第4次月考滚动检测卷-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 38 — 第四次月考滚动检测卷 (范围:一元函数的导数及其应用) (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第18题.该题主要考查导数在实际问题中的应用的问题,让考生建立数学模型, 利用导数求极值,注意根据实际意义舍弃不合适的极值点,从而提高学生的思维能力,值得 推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知某质点作变速直线运动,位移S(m)与时间t(s)的关系为S(t)=ln(2t+1)+t,则t=1时.该 质点瞬时速度的大小为 ( ) A.1m/s B.43m /s C.53m /s D.2m/s 2.下列求导运算中错误的是 ( ) A.[ln(1-x)]'= 11-x B. x ex '=1-xex C.(3x)'=3xln3 D.(sinx·cosx)'=cos2x 3.在同一坐标系中作出三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)及其导函数的图象,下列可能正确 的序号是 ( ) A.①② B.①③ C.③④ D.①④ 4.函数f(x)=x3-3x的极大值点为 ( ) A.1 B.-2 C.2 D.-1 5.若函数f(x)=1x2 -2x-a,当x≥13 时,f(x)≤0恒成立,则a的取值范围 ( ) A.(-∞,3] B.[3,+∞) C.-∞,253 􀭤􀭥 􀪁 􀪁 D.253 ,+∞􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 6.函数f(x)=x3-3x在区间(-2,m)上有最大值,则m 的取值范围是 ( ) A.(-1,3) B.(-1,3] C.(-1,3] D.(-1,2] 7.已知a=π-2022,b=lnπ-ln2022,c=eπ-e2022,其中π,e分别是圆周率、自然对数的底数,则 ( ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.b<a<c 8.若实数x,y满足4lnx+2ln(2y)≥x2+8y-4,则 ( ) A.xy= 24 B.x+y= 2 C.x+2y=1+ 2 D.x 2y=1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R)的图象如图所示,则以下结论正确的有 ( ) A.a<0 B.b<0 C.c<0 D.a+b+c>0 10.函数f(x)=e x x 在区间(0,+∞)上 ( ) A.有最大值,无最小值 B.有最小值,无最大值 C.函数f(x)存在唯一的零点 D.函数f(x)存在唯一的极值点 11.给出下列四个命题:①f(x)=x3-3x2 是增函数,无极值;②f(x)=x3-3x2 在(-∞,2)上有最 大值;③(cosx)'=sinx;④函数f(x)=lnx+ax存在与直线2x-y=0平行的切线,则实数a 的取值范围是(-∞,2).其中正确命题的序号为 ( ) A.① B.② C.③ D.④ 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知函数f(x)=lnx-ax+1的极大值为1,则实数a= . 13.已知直线x=t分别与函数f(x)=ex+x和g(x)=3x-1的图象交于点A,B,则|AB|的最小值 为 . 14.已知f(x)=x 2 2+lnx 与g(x)=2x-x3+c的图象有一条公切线,则c= . 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=13x 3-ax+a,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)当a=1时,求f(x)在[-2,2]上的最值. — 37 — — 40 — 16.(15分)已知函数f(x)=x-sinx,x∈(0,+∞). (1)求曲线y=f(x)在点 π2,f π2 处的切线方程; (2)证明:2ex·f(x)+cosx·ex>1. 17.(15分)已知f(x)= x-lnx. (1)求f(x)的单调区间; (2)若存在x使f(x)<m 成立,求实数m 的取值范围. 18.(17分)生产某产品的全部成本c与产品的件数x(单位:件)满足函数c=1200+275x 3(单位:万 元);该产品单价p(单位:万元)的平方与生产的产品件数x(单位:件)成反比,现已知生产该产 品100件时,其单价p=50万元.且工厂生产的产品都可以销售完.设工厂生产该产品的利润为 f(x)(万元).(注:利润=销售额-成本) (1)求函数y=f(x)的表达式; (2)求当生产该产品的件数x(件)为多少时,工厂生产该产品的利润最大? 19.(17分)已知f(x)=ax2+bx+5-ln2x. (1)若f(x)在定义域内单调递增,求a+b的最小值; (2)当a=0时,若f(x)有两个极值点x1,x2,求证:x1+x2>2e. — 39 — —64 — 13.8π+2cm 128π (π+2)2 cm3 [设圆柱的底面半径为r,圆柱的高为h. 则由题意可得πr+2h+2r=12,所以h=12- (2+π)r 2 =6- 2+π 2 r. 由h>0,得r< 122+π. 故容器的容积V=πr2h=πr2 6-2+π2 r =6πr2-π(2+π)2 r3 0< r< 122+π , 容易忽略上半球是容器的盖子,化妆水储存在圆柱中. V'=12πr-3π (2+π) 2 r 2,令V'=0,解得r=0(舍)或r= 8π+2. 显然当r∈ 0,8π+2 时,V'>0,函数V=6πr2-π(2+π)2 r3 单调 递增; 当r∈ 8π+2 ,12 2+π 时,V'<0,函数V=6πr2-π(2+π)2 r3 单调 递减. 所以当r= 8π+2cm 时,V 取得最大值, 此时 h=6-2+π2 × 8 π+2=2cm ,V =π 8π+2 2 ×2= 128π (π+2)2 cm3.] 14. 3,134 [f'(x)=3x2-2ax+1,由题可得,函数f(x)有极值, 故Δ=4a2-12>0,解得:a> 3,设x0 是函数f(x)的极小值点, 故 f'(x0)=3x20-2ax0+1=0 x0> a 3 , 解得:a=12 3x0+1x0 x0> 33 ,又因为函数f(x)的极小值大 于零,所以f(x0)=x30-ax20+x0+3=- 1 2x 3 0+ x0 2+3= 1 2 (-x0 + 2)(x20+2x0+3)>0,解得:x0<2. 所以:a=12 3x0+1x0 2>x0> 33 , 由对勾函数的知识可得a=12 3x0+1x0 在 33,2 上单调递 增,所以a∈ 3,134 .] 15.解 (1)f'(x)=3x2-2ax+3,f'(3)=27-6a+3=0,a=5, f'(x)=3x2-10x+3=(3x-1)(x-3), 所以f(x)在区间 -∞,13 ,(3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)递增; 在区间 1 3 ,3 上,f'(x)<0,f(x)递减. 所以f(x)的极大值为f 13 =1327,极小值为f(3)=-9. (2)依题意f'(x)=3x2-2ax+3≥0在 R上恒成立, 所以Δ=4a2-36a≤0,a2-9=(a+3)(a-3)≤0,解 得-3≤ a≤3, 所以a的取值范围是[-3,3]. 16.解 (1)由已知可得:f'(x)=3x2-6,令f'(x)=0,即3x2-6= 0, 解得x1=- 2,x1= 2, 所以当x> 2或x<- 2时, f'(x)>0,当- 2<x< 2时,f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为 (-∞,- 2),(2,+∞); 单调递减区间为(- 2,2). (2)由(1)可知y=f(x)的图象的大致走势及走向,如图所示, 又f(- 2)=5-4 2,f(2)=5+4 2, 所以当5-4 2<a<5+4 2时,直线y=a与函数y=f(x)的图 象有三个不同的交点,方程f(x)=a有三个不等实根. 17.解 (1)设燃料费为u元/时,速度为v千米/时, 则u=kv3(v>0). 由10=k×103,得k= 1100. 每千米航程成本函数为y=1v 1100v3+180 = 1100v3+180v (v> 0),则y'=v 3-9000 50v2 . 令y'=0,得v=10 3 9. 当0<v<1039时,y'<0,函数单调递减;当v>10 3 9时,y'>0, 函数单调递增, 所以速度为1039千米/时时,每千米航程的成本最低. (2)由(1)知,函数y= 1100v 2+180v 在(0,20]上单调递减, 当限速不超过20千米/时时, ymin= 1 100×20 2+18020=13 (元) 所以 轮 船 限 速 不 超 过20千 米/时,每 千 米 航 程 的 最 底 成 本 为 13元. 18.解 (1)由f(x)=ex-2x+2a(x∈R)知 f'(x)=ex-2. 令f'(x)=0,得x=ln2. 当x<ln2时,f'(x)<0, 故函数f(x)在区间(-∞,ln2)上单调递减; 当x>ln2时,f'(x)>0, 故函数f(x)在区间(ln2,+∞)上单调递增. ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2, +∞), f(x)极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a,无极 大值; (2)要证当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1, 即证当a>ln2-1且x>0时,ex-x2+2ax-1>0. 设g(x)=ex-x2+2ax-1(x>0). 则g'(x)=ex-2x+2a, 由(1)知g'(x)min=2-2ln2+2a. 又a>ln2-1,则g'(x)min>0. 于是对∀x∈R,都有g(x)>0,∴g(x)在 R上单调递增. 于是对∀x>0,都有g(x)>g(0)=0. 即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1. 19.解 (1)依题意: f'(x)=6x2-12-18=6(x-3)(x+1), 故当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,3)时,f'(x)<0, 当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0, ∴f(x)的单调增 区 间 为(-∞,-1),(3,+∞),单 调 减 区 间 为 (-1,3); (2)令g(x)=0,得-a=f(x). ∵f(-1)=15,f(3)=-49, 结合f(x)单调性,作出f(x)图象: ∴g(x)=f(x)+a至多有两个零点可转化为 y=f(x)与y=-a至多有两个交点. 结合图象可知,-a≥15或-a≤-49, 即实数a的取值范围为(-∞,-15]∪[49,+∞). 第四次月考滚动检测卷 1.C [由题意得S'(t)= 22t+1+1 ,所以t=1时,该质点的瞬时速度 为5 3 m /s.] 2.A [对于A,[ln(1-x)]'= 11-x ·(1-x)'=- 11-x ,所以 A错 误,对于B, xex =e x-xex (ex)2 =1-x ex ,所以B正确,对于C,(3x)'= 3xln3,所以C正确,对于 D,(sinx·cosx)'=(sinx)'cosx+ sinx(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,所以D正确,故选A.] 3.A [根据f'(x)>0时,y=f(x)递增,f'(x)<0时,y=f(x)递减 可得, ①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的,可 能正确; 而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减,故错误, ④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减,故错误.] 4.D [因为f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)=0,解得 x1=-1,x2=1, 所以当x<-1或x>1时,f'(x)>0;当-1<x<1时,f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调 递减, 故f(x)的极大值点为x=-1,故选D.] 5.D [依题意,当x≥13 时,a≥1 x2 -2x恒成立, 令g(x)=1x2 -2x,x≥13 ,则a≥g(x)max, 又g'(x)=-2x3 -2=-2 1x3+1 <0, ∴g(x)在 13 ,+∞ 上单调递减, ∴a≥g(x)max=g 13 =9-23=253,即a≥253.] 6.D [因为f(x)=x3-3x,所 以f'(x)=3x2-3=3(x2-1)= 3(x+1)(x-1), 所以当x<-1或x>1时f'(x)>0,当-1<x<1时f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调 递减, 所以f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值,因为 在(-2,m)上有最大值, 所以极大值点-1∈(-2,m), 又f(-1)=2,当x3-3x=2时,即(x+1)2(x-2)=0,解得x=2 或x=-1, 所以-1<m≤2,故选D.] 7.C [构造函数f(x)=lnx-x,则f'(x)=1x-1= 1-x x ,当x>1 时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以f(π)>f(2022),即lnπ-π>ln2022-2022,所以lnπ- ln2022>π-2022,即b>a; 构造函数g(x)=ex-x,g'(x)=ex -1,当x>0时,g'(x)>0, g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(π)<g(2022),即eπ-π< e2022-2022,所以,eπ-e2022<π-2022,即c<a,所以c<a<b.] 8.A [∵4lnx+2ln(2y)≥x2+8y-4(x>0,y>0) ∴2[ln(x2)+ln(2y)]≥x2+8y-4,即ln(x2)+ln(2y)≥12x 2+ 4y-2, ∴ln 12x2 ·(4y) ≥12x2+4y-2,设a=12x2,b=4y(a>0, b>0),则有lnab≥a+b-2,即lna+lnb≥a+b-2,∴(lna-a+ 1)+(lnb-b+1)≥0, 令g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=1x-1= 1-x x , ∴当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减; ∴g(x)max=g(1)=0,即g(x)≤0, 要使(lna-a+1)+(lnb-b+1)≥0成立等价于g(a)+g(b)≥0 成立, 只有当a=b=1时,即g(a)=g(b)=0时才满足, ∴a=12x 2=1,b=4y=1,∴x= 2,y=14 ,∴xy= 24. ] 9.BC [由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调 递增,在(-1,3)上单调递减,在x=-1处取得极大值,在x=3处 取得极小值, 又f'(x)=3ax2+2bx+c,所以x=-1和x=3为方程3ax2+2bx+ c=0的两根且a>0; 所以-1+3=-2b3a ,-1×3=c3a ,所以b=-3a<0,c=-9a<0, 所以a+b+c=a+(-3a)+(-9a)=-11a<0;故选BC.] 10.BD [因为f(x)=e x x ,x∈(0,+∞),所以f'(x)= (x-1)ex x2 ,令 f'(x)>0,则x>1,令f'(x)<0,则0<x<1,所以f(x)在(0,1) 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数在x=1处取得极 小值即最小值,所以f(x)min=f(1)=e,即函数有最小值,无最大 值,存在唯一的极值点,又x∈(0,+∞),所以ex∈(1,+∞),所 以f(x)>0恒成立,故函数在(0,+∞)上不存在零点;故选BD.] 11.BD [对于①中,函数f(x)=x3-3x2,可得f'(x)=3x2-6x= 3x(x-2), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 63 — —66 — 当x<0或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当0<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 所以函数f(x)在(-∞,0),(2,+∞)单调递增,在区间(0,2)单 调递减,所以①不正确; 对于②中,由①知,函数f(x)在(-∞,0)单调递增,在区间(0,2) 单调递减, 所以当x=0时,函数f(x)取得最大值,所以②正确; 对于③中,根据导数的运算公式, 可得(cosx)'=-sinx,所以③不正确; 对于④中,函数f(x)=lnx+ax,可得f'(x)=1x+a , 若存在与直线2x-y=0平行的切线,可得f'(x)=2有解,即 1 x+a=2 在(0,+∞)上有解,即a=2-1x 在(0,+∞)上有解, 又由2-1x<2 ,所以实数a的取值范围是(-∞,2),所以④正确.] 12.1e [f'(x)=1x-a ,由题意f'(x)=1x-a=0 在(0,+∞)上有 解,x=1a 且a>0,f 1a =ln1a =1,所以a=1e,x=1a =e, f'(x)=1x- 1 e ,当0<x<e时,f'(x)>0,f(x)递增,x>e时, f(x)<0,f(x)递减,所以x=e时,f(x)取得极大值,且极大值 f(e)=lne-1e ·e+1=1.] 13.3-2ln2 [当x=t时,|AB|=|f(t)-g(t)|=|et+t-3t+1|= |et-2t+1| 令h(t)=et-2t+1,h'(t)=et-2 h(t)在(-∞,ln2)上递减,(ln2,+∞)上递增, h(t)min=h(ln2)=3-2ln2>0 ∴|AB|最小值为3-2ln2.] 14.-32 [因为f(x)=x 2 2+lnx ,g(x)=2x-x3+c, 所以f'(x)=x+1x≥2 (x>0),g'(x)=2-3x2≤2, 所以公切线 的 斜 率 为2,与f(x)的 图 象 相 切 于 点 1,12 ,与 g(x)的图象相切于点(0,c), 故 c-12 0-1=2 ,即c=-32. ] 15.解 (1)由题意得,f'(x)=x2-a, 当a≤0时,f'(x)≥0恒成立,此时f(x)在(-∞,+∞)上是增 函数, 当a>0时,令f'(x)=0,解得x=± a, 令f'(x)>0,可得x<- a或x> a; 令f'(x)<0,可得- a<x< a, 所以f(x)在(-∞,- a)和(a,+∞)上是增函数,在[- a,a] 上是减函数. (2)由题意得,f(x)=13x 3-x+1, 由(1)知,f(x)在[-2,-1)和(1,2]上是增函数,在[-1,1]上是 减函数. 又f(-2)=13× (-2)3-(-2)+1=13 , f(-1)=13× (-1)3-(-1)+1=53 , f(1)=13×1 3-1+1=13 , f(2)=13×2 3-2+1=53 , 故f(x)在[-2,2]上的最大值为53 ,最小值为1 3. 16.解 (1)f'(x)=1-cosx,f' π2 =1,f π2 =π2-1, 故曲线y=f(x)在点 π2,f π2 处的切线方程为 y- π2-1 =x-π2. 即x-y-1=0. (2)设g(x)=(2x-2sinx+cosx)ex, 则g'(x)=(2x-2sinx+cosx)ex+(2-2cosx-sinx)ex =[2(x-sinx)+2- 2sin x+π4 ]ex. 由(1)知x>sinx,又2- 2sin x+π4 >0, 所以g'(x)>0,所 以g(x)在(0,+∞)上 单 调 递 增,故g(x)> g(0)=1, 所以,∀x∈(0,+∞),2ex·f(x)+cosx·ex>1. 17.解 (1)∵f(x)= x-lnx,∴x>0, ∴f'(x)= 1 2 x -1x= x-2 2x . 则当 x-2>0,即x>4时,f'(x)>0; 当 x-2<0,即0<x<4时,f'(x)<0, ∴f(x)的递减区间为(0,4),递增区间为(4,+∞). (2)若存在x使f(x)<m 成立,则m>f(x)min, 由(1)可知f(x)min=f(4)=2-ln4. ∴m>2-ln4. 18.解 (1)依题意:设p2=kx ,代入x=100,p=50得: k=25×104, ∴p2=250000x ,p=500 x , 故f(x)=px- 1200+275x3 =500 x-1200-275x3(x>0). (2)由(1)得f'(x)=250 x -675x 2, 令f'(x)=0,得x=25, 所以函数f(x)在(0,25)上,f'(x)>0,f(x)递增; 在(25,+∞)上f'(x)<0,f(x)递减, 所以函数f(x)在x=25处有极大值; 因为f(x)在(0,+∞)上只有唯一极值,所以函数f(x)在x=25 处有最大值; 故当生产该产品的件数为25件时,工厂生产该产品的利润最大. 19.解 (1)方法一:f'(x)=2ax+b-2lnxx ,取x=12 ,得f' 12 = a+b+4ln2≥0, 所以a+b≥-4ln2,令g(x)=f'(x),g'(x)=2a-2·1-lnxx2 , x=12 时,g' 12 =2a-2·1+ln21 4 =2a-8(1+ln2), 所以取a=4(1+ln2),b=-4-8ln2时, f'(x)=(8+8ln2)x-4-8ln2-2·lnxx , g'(x)=8+8ln2-2·1-lnxx2 = (8+8ln2)x2-2+2lnx x2 ,分子随x增大而增大, 而g' 12 =0,所以当0<x<12时,f'(x)单调递减,当x>12 时,f'(x)单调递增, 而f' 12 =0,得f'(x)≥0,符合单调递增, 所以(a+b)min=-4ln2. 方法二:f'(x)=2ax+b-2lnxx ,x∈(0,+∞), 因为f(x)在定义域内单调递增, 所以f'(x)=2ax+b-2lnxx ≥0 在x∈(0,+∞)上恒成立, 故b≥2lnxx -2ax ,设S(x)=2lnxx -2ax , 若a<0,则当x>1时,2lnxx >0 , 故b≥2lnxx -2ax 在(0,+∞)上恒成立,这不可能. 若a=0,则b≥2lnxx 在(0,+∞)上恒成立,取x=1,则有b≥0,故 a+b≥0. 若a>0,此时S'(x)=2×1-lnx-ax 2 x2 , 令T(x)=1-lnx-ax2,则T(x)为(0,+∞)上的减函数, 而T(e)=-ae2≤0, 取 M=mine 1 2, 1 2a ,则当0<x<M 时, 有T(x)>12-lnx> 1 2- 1 2=0 ,故T(x)在(0,+∞)上存在唯 一零点, 设该零点为x0,由零点存在定理可得0<x0<e. 故当0<x<x0 时,S'(x)>0;当x>x0 时,S'(x)<0, 故S(x)在(0,x0)为增函数,在(x0,+∞)上为减函数,故S(x)max= S(x0). 所以b≥2lnx0x0 -2ax0, 因为1-lnx0-ax20=0,故a= 1-lnx0 x20 , 所以b+a≥4x0lnx0-2x0+1-lnx0 x20 ,其中0<x0<e. 设u(x)=4xlnx-2x+1-lnx x2 ,0<x<e, 则u'(x)= (2x-1)(3-2lnx) x3 , 当0<x<12 时,u'(x)<0,当12<x<e 时,u'(x)>0, 故u(x)在 0,12 为减函数,在 12,e 为增函数, 故u(x)min=u 12 =-4ln2,故b+a≥-4ln2即b+a的最小 值为-4ln2. (2)方法一:当a=0时,f(x)=bx+5-ln2x,f'(x)=b-2lnxx , f'(x1)=f'(x2)=0, 则 lnx1 x1 = lnx2 x2 =b2 ,令g(x)=lnxx ,g'(x)=1-lnxx2 , 令h(x)=g(e+x)-g(e-x)(0<x<e), 下证h(x)>0恒成立, h(x)=ln (e+x) e+x - ln(e-x) e-x = (e-x)ln(e+x)-(e+x)ln(e-x) e2-x2 , 设分子为F(x), F'(x)=e-xe+x+ e+x e-x-ln (e2-x2)≥2-ln(e2-x2)≥0,所 以 F(x)在(0,e)上单调递增,F(0)=0, 所以F(x)在(0,e)上恒大于0,即h(x)在(0,e)上恒大于0, 所以g(e+x)>g(e-x),取x=e-x1(0<x1<e),则g(2e-x1)> g(x1)=g(x2), 所以2e-x1<x2,即2e<x1+x2. 方法二:当a=0时,f'(x)=b-2lnxx , 因为f(x)有两个极值点x1,x2, 所以b-2lnx1x1 =0,b-2lnx2x2 =0, 即2lnx1=bx1,2lnx2=bx2,从而 2 b= x2-x1 lnx2-lnx1 , 令g(x)=2lnxx ,则g'(x)=2 (1-lnx) x2 , 当0<x<e时,g'(x)>0,当x>e时,g'(x)<0, 所以函数g(x)=2lnxx 在(0,e)上递增,在(e,+∞)上递减,所以 g(x)max=g(e)= 2 e , 又因当x→0时,g(x)→-∞,当x→+∞时,g(x)→0,且g(x)> 0,所以0<b<2e , 由对数均值不等式得2 b= x2-x1 lnx2-lnx1 < x1+x2 2 ,从而x1+x2> 4 b>2e ,所以x1+x2>2e. 期末考试测控卷 1.C [设等差数列{an}的首项为a1,则a5=a1+4d=5,S5=5a1+ 10d=5,联立解得a1=-3,d=2,故选C.] 2.A [因为a2a8=4a23,所以a25=4a23,所以q2=2.] 3.B [∵正项等比数列{an}的前n项和为Sn,∴S10,S20-S10,S30- S20,S40-S30也成等比数列,∴10×(130-S20)=(S20-10)2,解得 S20=40或S20=-30(舍), 故S40-S30=270,∴S40=400.] 4.B [因为函数f(x)在[1,+∞)上是增函数,所以f'(x)≥0在[1, +∞)上恒成立,即f'(x)=1+5x2 -ax ≥0 ,即a≤x+5x 恒成立, 又x+5x≥2 x ·5 x =2 5 ,当且仅当x= 5时,等号成立,所以 a≤2 5,故选B.] 5.C [由函数f(x)=3ex-ax求导得:f'(x)=3ex-a,因函数f(x) 在R上有小于0的极值点,则f'(x)=0有小于0的根,即当x<0 时,a=3ex,而函数3ex 在 R上单调递增,则当x<0时,0<3ex< 3,于是得0<a<3, 经验证,当0<a<3时,函数f(x)=3ex-ax在R上有小于0的极 值点, 所以实数a的取值范围是(0,3).] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 65 —