第3次月考滚动检测卷-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—60 — 4.C [设 等 比 数 列{an}的 公 比 为q,q≠0,依 题 意a1=1,a2a5= 8a1a3, q·q4=8q2⇒q=2,所以a3=a1q2=4.] 5.D [由题意S2=a1+2a1=6,a1=2, 所以a3=2×22=8,S3=S2+a3=6+8=14.] 6.C [设每一层有n 环,由题意可知从内到外每环之间构成公差 d=9,a1=9的等差数列. 由等差数列的性质知Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,且(S3n- S2n)-(S2n-Sn)=n2d, 则9n2=729,得n=9, 则三层共有扇面形石板S3n=S27=27×9+ 27×26 2 ×9=3402 (块).] 7.B [因为an+1=2an+2n+1故可得 an+1 2n+1 = 2an 2n+1 +1,∴ an+1 2n+1 - an 2n =1, ∴ an 2n 是公差为1的等差数列.] 8.D [杨辉三角的第n行的和为2n-1,(n=1,2,…),故前n行的和 为Sn= 1-2n 1-2=2 n-1, 每一行的个数为1,2,3,…,可看成以1为首项,以1为公差的等差 数列,则Tn= n(n+1) 2 , 当n=11时,T11= 11×12 2 =66 , 去除两端的1可得66-21=45, 则此数列的前46项的和为: S11-21+11=211-1-21+11=2037.] 9.ACD [Sn=2an+1,令n=1,则S1=a1=2a1+1,所以a1=-1, 故A正确; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an+1-(2an-1+1) 所以an=2an-1(n≥2)且a1=-1, 所以数列{an}是首项为-1,公比为2的等比数列. 所以an=-2n-1,Sn= -1×(1-2n) 1-2 =1-2 n 故C正确, 所以S5=-31,故B错误; 因为Sn-1=-2n,所以{Sn-1}的前n项和为 -2+(-22)+(-23)+…+(-2n)=-(2+22+…+2n)= -2 (1-2n) 1-2 =2-2 n+1,故D正确.] 10.AC [将n=1代入S=-an+1得a1= 1 2 ,A对;因为Sn=-an+ 1(n∈N*), 则Sn-1=-an-1+1,n≥2,∴an=Sn-Sn-1=-an+an-1,即 an an-1 = 1 2 , 所以数列{an}是首项为 1 2 ,公比为1 2 的等比数列,C对; ∴Sn= 1 2× 1- 12 n 1-12 =1- 12 n ,Sn+1=1- 12 n+1 ≠12 Sn,BD错误.] 11.AB [∵S6>S7>S5, ∴6a1+ 6×5 2 d>7a1+ 7×6 2 d>5a1+ 5×4 2 d , 即a1+6d=a7<0,2a1+11d=a6+a7>0, ∴a6>0,a7<0, 所以d=a7-a6<0,a1>0且|a6|>|a7|. 所以S11= 11 2 (a1+a11)=11a6>0,S12= 12 2 (a1+a12)=6(a6+ a7)>0,因为a6>0,a7<0,所 以{an}为 递 减 数 列,且a1>a2> a3>a4>a5>a6>0>a7>…,所以当n=6时Sn 取得最大值,故 选AB.] 12.4 20 [因为an=2n,所以a2=4,又an+1-an=2,a1=2,所以数 列{an}是以2为首项2为公差的等差数列,则S4= 4(a1+a4) 2 = 2×(2+8)=20.] 13.an= 0,n=1 2n-1,n≥2 [an= 0,n=1Sn-Sn-1,n≥2 , 整理得到an= 0,n=1 2n-1,n≥2 .] 14.31 [第一个正方形的面积为16cm2;第 二 个 正 方 形 的 边 长 为 4+4=2 2cm,面积为8cm2; 第三个正方形的边长为 2+2=2cm,面积为4cm2;第四个正方 形的边长为 1+1= 2cm,面积为2cm2;第五个正方形的边长 为 1 2+ 1 2=1cm ,面积为1cm2. 所以这5个正方形的面积的和是16+8+4+2+1=31cm2.] 15.解 (1)当n≥2时, 1an-3 - 1an-1-3 = 1 6- 9an-1 -3 - 1an-1-3 = an-1 3an-1-9 - 1an-1-3 = an-1-3 3an-1-9 =13 , ∴数列 1an-3 是以13为公差的等差数列. (2)∵ 1a1-3 =13 ,∴数列 1an-3 首项为13,公差为13,∴ 1an-3= 1 3+ 1 3 (n-1)=n3 , 则an-3= 3 n ,∴an=3+ 3 n. 16.解 (1)设等比数列{an}的公比为q,因为-2S2,S3,4S4 成等差 数列,可得2S3=-2S2+4S4, 即S4-S3=S2-S4,所以2a4=-a3, 解得q= a4 a3 =-12 , 又因为a2=- 3 4 ,所以数列{an}的通项公式为 an= -34 · -12 n-2 =-3× -12 n . (2)由an=-3× -12 n , 可得Sn= 3 2 1- -12 n 1- -12 =1- -12 n , 所以Tn=1-Sn= -12 n , 所以|Tn|= -12 n = 12 n , 由|Tn|> 1 2022 ,可得 12 n > 12022 ,即n<log22022且n∈N*, 故满足|Tn|> 1 2022 的n的最大值为10. 17.解 (1)由题意:5a3=35,∴a3=7, 由于a2+1是a1+1和a4 的等比中项, 故(a2+1)2=a4(a1+1), 则(8-d)2=(8-2d)(7+d),又d为整数,解得d=2,所以a1= a3-2d=3, ∴an=2n+1,n∈N*; (2)bn= 12 2n+1 +2n+1=12 · 14 n +2n+1; ∴Tn= 1 2 1 4 1- 14 n 1-14 +(3+2n+1)n2 =16 1- 14 n + n2+2n. 18.解 (1)由题意,每年的维修费构成一等差数列,n年的维修总费 用为 n[0+0.2(n-1)] 2 =0.1n 2-0.1n(万元), 所以f(n)=16.9+1.2n+(0.1n2-0.1n)=0.1n2+1.1n+16.9 (万元),n∈N*. (2)该辆轿车使用n年的年平均费用为 f(n) n = 0.1n2+1.1n+16.9 n = 0.1n + 16.9 n + 1.1 ≥ 2 0.1n·16.9n +1.1=3.7 (万元). 当且仅当0.1n=16.9n 时取等号,此时n=13. 故这种汽车使用13年报废最合算. 19.解 (1)由题意知, 2a1+5d=12 (2a1+d)2=a1(4a1+6d) ,且d≠0, 解得a1=1,d=2,所以an=1+2(n-1)=2n-1. (2)由(1)知,bn=10-an=11-2n, 由bn+1-bn=11-2(n+1)-(11-2n)=-2,所以{bn}是以-2 为公差的等差数列, 令bn>0,解得n< 11 2 ,所以当n≤5时,bn>0, 故当n=5时,T5=5×9+ 5×4 2 × (-2)=5×9-20=25为 最 大值. 第三次月考滚动检测卷 1.C [由题, a1=8 S2=2a1+d=13 ,所以d=-3, 所以an=8-3(n-1)=-3n+11,所以a7=-3×7+11=-10, 故选C.] 2.B [在等差数列{an}中,由 a7 a9 =45 ,得S13 S17 = 13(a1+a13) 2 17(a1+a17) 2 =1317× a7 a9 =1317× 4 5= 52 85. ] 3.C [设公比为q,由a3-2a2=5,S3=3,得 a1q2-2a1q=5 a1+a1q+a1q2=3 ,解得 a1=4 q=-12 ,或 a1= 1 7 q=-5 ,故选C.] 4.D [设等比数列{an}的公比为q,则q>0,依题意q2= a4 a2 =4,所以 q=2, 又a1= a2 q=1 ,所以an=a1qn-1=2n-1,所以an+an+3=2n-1+2n+2= 9×2n-1, S5=9(1+2+22+23+24)=9× 1-25 1-2=279. ] 5.D [由 b2+b8 a3+a5+a7 = b1+b9 3 2 (a1+a9) = 23 ·B9 A9 = 23 × 9+4 2×9+1= 26 57. ] 6.D [设等比数列{an}的公比为q,则P=a1+a2+…+an,Q-P= an+1+an+2+…+a2n=qn(a1+a2+…+an)=qnp,R-Q=a2n+1+ a2n+2+…+a3n=q2n(a1+a2+…+an)=q2nP,所以,(P-Q)2= P(R-Q).] 7.C [当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-2,又a1=S1=2, 即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256, 所以数列{an}的前10项中S偶 = 1-45 1-4= 1023 3 =341 ,S奇 =2+ 2(1-44) 1-4 =2+ 510 3 =172 ,所以S奇 S偶 = 172 341 ,故选C.] 8.C [由S4=S7 得:a5+a6+a7=S7-S4=0,∴3a6=0,即a6=0; 设等差数列{an}的公差为d,则 a3=a1+2d=2 a6=a1+5d=0 , 解得: a1= 10 3 d=-23 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 , 对于A,∵d<0,∴{an}为递减数列,A错误; 对于B,Sn= 10 3n+ n(n-1) 2 × (-23 )=-13n 2+113n , ∵n∈N*,∴当n=5或n=6时,Sn 取得最大值,B错误; 对于C,由-13n 2+113n>0 得:0<n<11,∵n∈N*,∴n≤10,C 正确; 对于D,∵an= 10 3- 2 3 (n-1)=-23n+4 ,∴由an>0得:n<6, 则不等式an>0的解集为{1,2,3,4,5},为有限集,D错误.] 9.BC [设等差数列{an}的公差为d,由S6=S13,得6a1+ 6×5 2 d= 13a1+ 13×12 2 d , 解得a1=-9d,因为a1<0,所以d>0. A.由d>0,得等差数列{an}为递增数列,故A错误; B.a10=a1+9d=-9d+9d=0,故B正确; C.Sn=na1+ n(n-1) 2 d=-9nd+ n2 2d- n 2d= d 2 (n2-19n), 因为d>0,n>0,由二次函数的性质可知 当n=9或n=10时,Sn 取 到 最 小 值,即S9 为Sn 中 最 小 项,故 C正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 59 — —62 — D.S2=2a1+d=2×(-9d)+d=-17d,S16=16a1+ 16×15 2 d= -24d, 由d>0,得S2>S16,故D错误.] 10.ABC [由题意得:a1a4=a2a3=32,而a2+a3=12,解得:a2=4, a3=8或a2=8,a3=4 当a2=4,a3=8时,q=2,满足题意; 当a2=8,a3=4时,q= 1 2 ,不合题意,舍去,故A正确; 由于a1=4÷2=2,所 以 Sn = 2(1-2n) 1-2 =2 n+1-2,则 Sn + 2=2n+1, 其中 Sn+2 Sn-1+2 =2 n+1 2n =2,故{Sn+2}是等比数列,B正确; S8=29-2=510,C正确; an=2n,则log2an=n,则log2an-log2an-1=n-(n-1)=1, 故数列{log2an}是公差为1的等差数列,D错误.] 11.AD [因为a1>1,a7·a8>1, a7-1 a8-1 <0,所以a7>1,0<a8<1, 所以0<q<1,故A正确; a7·a9=a28<1,故B错误; 因为a1>1,0<q<1,所以数列{an}为递减数列,所以Sn 无最大 值,故C错误; 又a7>1,0<a8<1,所以Tn 的最大值为T7,故D正确.] 12.13 [由题设,a2a4=a1a5= a25 q4 =1,则q4=181 ,而q>0,可得q= 1 3. ] 13.- 3 或 2 [依 题 意 an = nd,所 以 a21+a22+a23 b1+b2+b3 = d2+4d2+9d2 d2+d2·q+d2·q2 = 14 1+q+q2 =2,解得q=-3或q=2.] 14.40 [设这n台收割机工作的时间(单位:h)依次为a1,a2,…,an, 依题意,{an}是一个等差数列,且a1=5an ①,a1+a2+…+an= 24n ②; 由②得 n(a1+an) 2 =24n ,所以a1+an=48 ③.将①③联立,解得 a1=40. 故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40h.] 15.解 (1)数列{an}为公差d 大于0的等差数列,a2+a5=12,且 a1,a3,a13成等比数列, 所以 a1+d+a1+4d=12 (a1+2d)2=a1·(a1+12d) ,解得 a1=1d=2 ,整理得an=1+ 2(n-1)=2n-1. (2)由(1)得, bn= 1 (2n-1)(2n+1)= 1 2 12n-1- 12n+1 . 所以Sn=b1+b2+…+bn =12 1-13 + 13-15 +…+ 12n-1- 12n+1 =12 1- 12n+1 = n2n+1. 由于Sm= m 2m+1= 20 41 ,解得m=20. 16.解 (1)设等比数列{an}的公比q,且a1,a2+1,a3 是公差为-3 的等差数列, 所以 a2+1-a1=-3 a3-a2-1=-3 ,即 a1q-a1=-4 a1q2-a1q=-2 , 解得: a1=8 q=12 , 所以数列{an}的通项公式an=8· 12 n-1 =24-n; (2)bn=a2n=24-2n, bn+1 bn =14 ,所以数列{bn}是首项b1=4,公比为 1 4 的等比数列,Sn= 41- 14 n 1- 14 =163 1- 14 n . 17.解 (1)依题意,小李在乙公司工作第n年的年薪为bn=4.8· (1+8%)n-1(n∈N*). 所以小李在乙公司连续工作5年,则b5=4.8·(1+8%)4≈6.72 万元; (2)由题意,小 李 在 甲 公 司 工 作 连 续 工 作n 年 的 工 资 总 收 入 为 4.2n+n (n-1) 2 ×0.6 , 小李在乙公司工作10年的总收入 4.8[1-(1+8%)10] 1-(1+8%) +7.2 , 则4.2n+n (n-1) 2 ×0.6≥ 4.8[1-(1+8%)10] 1-(1+8%) +7.2 , ∴(n+24)(n-11)≥0,∵n∈N*,∴n≥11, ∴小李在甲公司至少要连续工作11年,他的工资总收入才不低 于在乙公司工作10年的总收入. 18.解 (1)令m=n=1,得a2=a21,又S2=a1+a2=12, 解得:a1=3或a1=-4(负值舍去), 令m=1,得an+1=a1an,所以 an+1 an =3, 所以{an}是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以an=3n. (2)由(1)可得,bn= n an =n 3n , 所以Tn= 1 3+ 2 32 +3 33 +…+n 3n , 所以1 3Tn= 1 32 +2 33 +3 34 +…+ n 3n+1 , 两式 相 减 得,2 3Tn = 1 3 + 1 32 + 1 33 + 1 34 + … + 1 3n - n 3n+1 = 1 3 1-13n 1- 13 - n 3n+1 =12- 2n+3 2·3n+1 , 所以Tn= 3 4- 2n+3 4×3n . 19.解 (1)当n=1时,a1=S1=1-5a1-85,∴a1=-14, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1-5an+5an-1, 整理得6an=5an-1+1,∴6(an-1)=5(an-1-1), ∵a1-1=-15,∴an-1-1≠0,∴ an-1 an-1-1 =56 , ∴{an-1}是以-15为首项, 5 6 为公比的等比数列; (2)由(1)知,{an-1}是以-15为首项, 5 6 为公比的等比数列, 得an-1=(-15)× 56 n-1 , 所以an=-15× 56 n-1 +1, (3)由(2)得an=-15× 56 n-1 +1, ∴Sn=n-5an-85=75× 56 n-1 +n-90, 当n≥2时,Sn-1=75× 56 n-2 +n-1-90=75× 56 n-2 + n-91, 故an=Sn-Sn-1=-15× 56 n-1 +1, 当Sn-Sn-1>0时,15× 56 n-1 <1, ∴n>log5 6 1 15+1≈15.85 , 所以当n≥16时,Sn>Sn-1,同理当2≤n≤15时, Sn<Sn-1; 故n=15时,Sn 取得最小值,即S15为最小值. 第五章 一元函数的导数及其应用 1.B [对于 A,(cosx)'=-sinx,所以 A错误,对于B,(lgx)'= 1 xln10 ,所以 B正 确,对 于 C,(ex)'=ex,所 以 C错 误,对 于 D, (x)'=12x 1 2= 1 2 x ,所以D错误,故选B.] 2.D [由题,f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2-1x2 -1x = 2x2-x-1 x2 , 令f'(x)=0,则x=1或x=-12 (舍去), 所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)的单调减区间为(0,1),故选D.] 3.D [由y=f'(x)的部分图象可知,当1<x<2或4<x<5时, f'(x)>0, 当2<x<4时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,2)和(4,5)上为增函数, 在(2,4)上为减函数, 所以x=2为极大值点,x=4为极小值点,所以ABC正确, 若x=5是(1,5)图象的最高点,则f(x)在(1,5)上无最大值,所以 D错误,故选D.] 4.A [因为函数f(x)=13x 3-4x,所以f'(x)=x2-4,令f'(x)= 0,得x=±2, 当-3<x<-2或2<x<4时,f'(x)>0,当 -2<x<2时, f'(x)<0, 又f(-3)=3,f(-2)=163 ,f(2)=-163 ,f(4)=163 , 所以f(x)在[-3,4]上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为163 ,-163 ,故 选A.] 5.A [由题意知:f'(x)=-3x2-2a,又单调递增区间为(-2,2), f'(2)=-12-2a=0,解得a=-6.此时f'(x)=-3x2+12,令 f'(x)>0,解得x∈(-2,2),即单调递增区间为(-2,2).] 6.C [根据题意,f'(x)=3x2+6ax+b, ∵函数f(x)在x=-1处有极值0, ∴f'(-1)=3-6a+b=0且f(-1)=-1+3a-b+a2=0,∴a= 1,b=3或a=2,b=9, a=1,b=2时f'(x)=3x2+6x+3≥0恒成立,此时函数无极值 点,∴a=2,b=9,∴a+b=11.] 7.D [依题意,2ex-2+a(x-2)>2(x-1)+aln(x-1), 则2ex-2+alnex-2>2(x-1)+aln(x-1)(*). 令g(t)=2t+alnt(t>1),则(*)式即为g(ex-2)>g(x-1). 又ex-2>x-1>1在(2,+∞)上恒成立, 故只需g(t)在(1,+∞)上单调递增, 则g'(t)=2+at ≥0 在(1,+∞)上恒成立, 即a≥-2t在(1,+∞)上恒成立,解得a≥-2.] 8.A [由题意,函数f(x)=2x3-6x+m,可得f'(x)=6x2-6= 6(x-1)(x+1), 当x<-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当-1<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值, 要使得函数f(x)有三个零点, 则满足 f(-1)=-2+6+m>0 f(1)=2-6+m<0 ,解得-4<m<4, 即实数m 的取值范围是(-4,4).] 9.AD [f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以函数f(x)在 R上单 调递增,所以函数不存在极值点,故B错误,D正确;f'(1)=0,故 A正确;f(x)=13x 3-x2+x=0,得x(x2-3x+3)=0,x2-3x+ 3=0中,Δ=9-12<0,所以x2-3x+3>0恒成立,即方程只有一 个实数根,即x=0,故C错误.] 10.CD [因为f(x)=1x-1+lnx , 所以f'(x)=-1x2 +1x = x-1 x2 (x>0),当f'(x)>0时,x-1> 0,x>1, 即当x∈(1,+∞)时f(x)是增函数,B错误, 当f'(x)<0时,x-1<0,0<x<1, 即当x∈(0,1)时f(x)是减函数, 则当x=1时,f(x)取极小值,即最小值, f(1)=11-1+ln1=0 ,f(x)≥0, 故A错误,C正确,D正确,故选CD.] 11.AB [f(x)+f'(x)>0,所以,exf(x)+exf'(x)>0,则设x∈R, g(x)=exf(x),得g'(x)>0,g(x)单调递增,所以,必有g(2)> g(0),g(ln2)>g(0),则e2f(2)>f(0),2f(ln2)>f(0),所以 A 和B正确;故选AB.] 12.y=x-2 [由曲线y=x3-mx 过点(1,-1),得-1=1-m,即 m=2,从而可知y=x3-2x,求导可得y'=3x2-2,所以曲线在点 (1,-1)处的切线斜率为k=1,故切线方程为y-(-1)=x-1, 即y=x-2.] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 61 — — 30 — 第三次月考滚动检测卷 (范围:数列) (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第19题.该题主要考查等比数列的判定与证明的问题,让考生结合不等式求解前 n项和的最值问题,从而提高学生的逻辑思维能力,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设Sn 是等差数列{an}的前n项和,若a1=8,S2=13,则a7= ( ) A.26 B.-7 C.-10 D.-13 2.设Sn 是等差数列{an}的前n项和,若 a7 a9 =45 ,则S13 S17 = ( ) A.1317 B. 52 85 C. 17 13 D. 85 52 3.设等比数列{an}的前n项和为Sn,且有a3-2a2=5,S3=3,则{an}的公比为 ( ) A.12 或5 B.2或15 C.-12 或-5 D.-2或-15 4.已知正项等比数列{an}中,a2=2,a4=8,数列{an+an+3}的前n项和为Sn,则S5= ( ) A.288 B.99 C.99或279 D.279 5.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An 和Bn,且 An Bn =2n+1n+4 ,则 b2+b8 a3+a5+a7 =( ) A.43 B. 38 39 C. 13 19 D. 26 57 6.已知一个等比数列的前n项、前2n项、前3n项的和分别为P、Q、R,则下列式子正确的是 ( ) A.P+Q=R B.Q2=PR C.P2+Q2=P(R-Q) D.(P-Q)2=P(R-Q) 7.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1+1,则数列{an}的前10项中所有奇数项之和与所有偶数项之 和的比为 ( ) A.12 B.2 C. 172 341 D. 341 172 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a3=2,且S4=S7,则下列说法中正确的是 ( ) A.{an}为递增数列 B.当且仅当n=5时,Sn 有最大值 C.不等式Sn>0的解集为{n∈N*|n≤10} D.不等式an>0的解集为无限集 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.等差数列{an}的前n项和为Sn,a1<0,S6=S13,则 ( ) A.数列{an}是递减数列 B.a10=0 C.S9 是Sn 中最小项 D.S2<S16 10.在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn 是数列{an}的前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列 说法正确的是 ( ) A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列 C.S8=510 D.数列{log2an}是公差为2的等差数列 11.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7·a8>1, a7-1 a8-1 <0,则下列结论正确的是 ( ) A.0<q<1 B.a7·a9>1 C.Sn 的最大值为S9 D.Tn 的最大值为T7 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.正项等比数列{an}满足a5= 1 9 ,a2a4=1,则该数列的公比的值为 . 13.已知等差数列{an}的公差d≠0,等比数列{bn}的公比为q,若a1=d,b1=d2,且 a21+a22+a23 b1+b2+b3 =2, 则q= . 14.有n台型号相同的联合收割机,现收割一片土地上的小麦,若同时投入工作,则到收割完毕需要 24h.现在这些收割机是每隔相同的时间依次投入工作的,每一台投入工作后都一直工作到小麦 收割完毕.如果第一台收割机工作的时间是最后一台的5倍,则用这种方法收割完这片土地上 的小麦需要 h. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知数列{an}为公差大于0的等差数列,a2+a5=12,且a1,a3,a13成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn= 1 an·an+1 ,数列{bn}的前n项和为Sn,若Sm= 20 41 ,求m 的值. — 29 — — 32 — 16.(15分)已知等比数列{an}各项均为正数,且a1,a2+1,a3 是公差为-3的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=a2n,求数列{bn}的前n项和Sn. 17.(15分)在一次招聘会上,应聘者小李被甲、乙两家公司同时意向录取.甲公司给出的工资标准: 第一年的年薪为4.2万元,以后每年的年薪比上一年增加6000元;乙公司给出的工资标准:第 一年的年薪为4.8万元,以后每年的年薪比上一年增加8%. (1)若小李在乙公司连续工作5年,则他在第5年的年薪是多少万元? (2)为了吸引小李的加盟,乙公司决定在原有工资的基础上每年固定增加交通补贴0.72万元. 那么小李在甲公司至少要连续工作几年,他的工资总收入才不低于在乙公司工作10年的总收 入? (参考数据:1.084≈1.4,1.085≈1.5,1.0810≈2.2,1.0811≈2.3) 18.(17分)已知正项数列{an}的前n项和为Sn,S2=12,且am+n=aman(m,n∈N*). (1)求{an}的通项公式; (2)若bn= n an ,求数列{bn}的前n项和Tn. 19.(17分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85 (1)证明:{an-1}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式; (3)求数列{Sn}的通项公式,并求出n为何值时,Sn 取得最小值,并说明理由. — 31 —