第4章 数列-【三清必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

— 26 — 第四章 数列 (时间:120分钟 满分:150分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 名师推好题 第8题.该题主要考查结合杨辉三角求等差数列和的问题,让考生根据图形发现 规律由此得出结论,从而提高学生的逻辑思维能力,值得推荐. 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.设数列{an}满足a1= 1 4 ,且2an+1an+an=3an+1(n∈N*),则a4= ( ) A.122 B. 1 32 C. 1 82 D. 1 128 2.在等差数列{an}中,若a2=4,a5=10,则公差d= ( ) A.12 B.1 C. 3 2 D.2 3.已知等差数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且满足a6=17,S5=a2a3,则a12=( ) A.28 B.30 C.32 D.35 4.等比数列{an}中,a1=1,a2a5=8a1a3,则a3= ( ) A.-4 B.2 C.4 D.8 5.已知等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若q=2,S2=6,则S3= ( ) A.8 B.10 C.12 D.14 6.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆 形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环 依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次 也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面 形石板(不含天心石) ( ) A.3699块 B.3474块 C.3402块 D.3339块 7.已知数列{an}满足an+1=2an+2n+1,则下列结论正确的是 ( ) A.数列 an 2n 是公差为12的等差数列 B.数列 an2n 是公差为1的等差数列 C.数列 an 2n 是公比为12的等比数列 D.数列 an2n 是公比为1的等比数列 8.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角, 这是数学史上的一个伟大成就在杨辉三角中,若去除所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4, 5,10,10,5,…则此数列的前46项和为 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … A.4080 B.2060 C.2048 D.2037 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全 部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an+1(n∈N*),则下列选项中正确是 ( ) A.a1=-1 B.S5=-32 C.数列{an}是等比数列 D.数列{Sn-1}的前n项和为2-2n+1 10.若数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=-an+1(n∈N*),则 ( ) A.a1= 1 2 B.S3= 9 8 C.数列{an}是等比数列 D.Sn+1= 1 2Sn 11.已知等差数列{Sn}的前n项的和为Sn,且S6>S7>S5,有下面4个结论:其中正确结论的序号为 ( ) A.d<0 B.S11>0 C.S12<0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.若数列{an}通项公式为an=2n,记前n项和为Sn,则a2= ;S4= . 13.已知数列{an}的前n项和Sn=2n-2,则数列{an}的通项公式为 . 14.如图,画一个边长为4cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,以此类 推,这样一共画了5个正方形,则这5个正方形的面积的和是 cm2. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)数列{an}满足an=6- 9 an-1 (n∈N*,n≥2). (1)求证:数列 1an-3 是等差数列; (2)若a1=6,求数列{an}的通项公式. — 25 — — 28 — 16.(15分)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,a2=- 3 4 ,且-2S2,S3,4S4 成等差数列. (1)求数列{an}的公比q和通项an; (2)设Tn=1-Sn,求满足|Tn|> 1 2022 的n的最大值. 17.(15分)已知等差数列{an}中,公差d为整数,其前n项和为Sn.满足S5=35,且a2+1是a1+1 和a4 的等比中项. (1)求{an}的通项公式; (2)设bn= 12 an+an 的前n 项和为Tn,求Tn. 18.(17分)2025年推出一种新型家用轿车,购买时费用为16.9万元,每年应交付保险费及汽油费 共1.2万元,汽车的维修费为:第一年无维修费用,第二年为0.2万元,从第三年起,每年的维修 费均比上一年增加0.2万元. (1)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、汽油费及维修费)为f(n),求f(n)的 表达式; (2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年,年平均费用最少)? 19.(17分)已知公差不为0的等差数列{an}满足a3+a4=12,S1,S2,S4 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)令bn=10-an,若bn 的前n 项和为Tn,求Tn 的最大值,并求此时n的值. — 27 — —62 — D.S2=2a1+d=2×(-9d)+d=-17d,S16=16a1+ 16×15 2 d= -24d, 由d>0,得S2>S16,故D错误.] 10.ABC [由题意得:a1a4=a2a3=32,而a2+a3=12,解得:a2=4, a3=8或a2=8,a3=4 当a2=4,a3=8时,q=2,满足题意; 当a2=8,a3=4时,q= 1 2 ,不合题意,舍去,故A正确; 由于a1=4÷2=2,所 以 Sn = 2(1-2n) 1-2 =2 n+1-2,则 Sn + 2=2n+1, 其中 Sn+2 Sn-1+2 =2 n+1 2n =2,故{Sn+2}是等比数列,B正确; S8=29-2=510,C正确; an=2n,则log2an=n,则log2an-log2an-1=n-(n-1)=1, 故数列{log2an}是公差为1的等差数列,D错误.] 11.AD [因为a1>1,a7·a8>1, a7-1 a8-1 <0,所以a7>1,0<a8<1, 所以0<q<1,故A正确; a7·a9=a28<1,故B错误; 因为a1>1,0<q<1,所以数列{an}为递减数列,所以Sn 无最大 值,故C错误; 又a7>1,0<a8<1,所以Tn 的最大值为T7,故D正确.] 12.13 [由题设,a2a4=a1a5= a25 q4 =1,则q4=181 ,而q>0,可得q= 1 3. ] 13.- 3 或 2 [依 题 意 an = nd,所 以 a21+a22+a23 b1+b2+b3 = d2+4d2+9d2 d2+d2·q+d2·q2 = 14 1+q+q2 =2,解得q=-3或q=2.] 14.40 [设这n台收割机工作的时间(单位:h)依次为a1,a2,…,an, 依题意,{an}是一个等差数列,且a1=5an ①,a1+a2+…+an= 24n ②; 由②得 n(a1+an) 2 =24n ,所以a1+an=48 ③.将①③联立,解得 a1=40. 故用这种方法收割完这片土地上的小麦需要40h.] 15.解 (1)数列{an}为公差d 大于0的等差数列,a2+a5=12,且 a1,a3,a13成等比数列, 所以 a1+d+a1+4d=12 (a1+2d)2=a1·(a1+12d) ,解得 a1=1d=2 ,整理得an=1+ 2(n-1)=2n-1. (2)由(1)得, bn= 1 (2n-1)(2n+1)= 1 2 12n-1- 12n+1 . 所以Sn=b1+b2+…+bn =12 1-13 + 13-15 +…+ 12n-1- 12n+1 =12 1- 12n+1 = n2n+1. 由于Sm= m 2m+1= 20 41 ,解得m=20. 16.解 (1)设等比数列{an}的公比q,且a1,a2+1,a3 是公差为-3 的等差数列, 所以 a2+1-a1=-3 a3-a2-1=-3 ,即 a1q-a1=-4 a1q2-a1q=-2 , 解得: a1=8 q=12 , 所以数列{an}的通项公式an=8· 12 n-1 =24-n; (2)bn=a2n=24-2n, bn+1 bn =14 ,所以数列{bn}是首项b1=4,公比为 1 4 的等比数列,Sn= 41- 14 n 1- 14 =163 1- 14 n . 17.解 (1)依题意,小李在乙公司工作第n年的年薪为bn=4.8· (1+8%)n-1(n∈N*). 所以小李在乙公司连续工作5年,则b5=4.8·(1+8%)4≈6.72 万元; (2)由题意,小 李 在 甲 公 司 工 作 连 续 工 作n 年 的 工 资 总 收 入 为 4.2n+n (n-1) 2 ×0.6 , 小李在乙公司工作10年的总收入 4.8[1-(1+8%)10] 1-(1+8%) +7.2 , 则4.2n+n (n-1) 2 ×0.6≥ 4.8[1-(1+8%)10] 1-(1+8%) +7.2 , ∴(n+24)(n-11)≥0,∵n∈N*,∴n≥11, ∴小李在甲公司至少要连续工作11年,他的工资总收入才不低 于在乙公司工作10年的总收入. 18.解 (1)令m=n=1,得a2=a21,又S2=a1+a2=12, 解得:a1=3或a1=-4(负值舍去), 令m=1,得an+1=a1an,所以 an+1 an =3, 所以{an}是以3为首项,3为公比的等比数列, 所以an=3n. (2)由(1)可得,bn= n an =n 3n , 所以Tn= 1 3+ 2 32 +3 33 +…+n 3n , 所以1 3Tn= 1 32 +2 33 +3 34 +…+ n 3n+1 , 两式 相 减 得,2 3Tn = 1 3 + 1 32 + 1 33 + 1 34 + … + 1 3n - n 3n+1 = 1 3 1-13n 1- 13 - n 3n+1 =12- 2n+3 2·3n+1 , 所以Tn= 3 4- 2n+3 4×3n . 19.解 (1)当n=1时,a1=S1=1-5a1-85,∴a1=-14, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1-5an+5an-1, 整理得6an=5an-1+1,∴6(an-1)=5(an-1-1), ∵a1-1=-15,∴an-1-1≠0,∴ an-1 an-1-1 =56 , ∴{an-1}是以-15为首项, 5 6 为公比的等比数列; (2)由(1)知,{an-1}是以-15为首项, 5 6 为公比的等比数列, 得an-1=(-15)× 56 n-1 , 所以an=-15× 56 n-1 +1, (3)由(2)得an=-15× 56 n-1 +1, ∴Sn=n-5an-85=75× 56 n-1 +n-90, 当n≥2时,Sn-1=75× 56 n-2 +n-1-90=75× 56 n-2 + n-91, 故an=Sn-Sn-1=-15× 56 n-1 +1, 当Sn-Sn-1>0时,15× 56 n-1 <1, ∴n>log5 6 1 15+1≈15.85 , 所以当n≥16时,Sn>Sn-1,同理当2≤n≤15时, Sn<Sn-1; 故n=15时,Sn 取得最小值,即S15为最小值. 第五章 一元函数的导数及其应用 1.B [对于 A,(cosx)'=-sinx,所以 A错误,对于B,(lgx)'= 1 xln10 ,所以 B正 确,对 于 C,(ex)'=ex,所 以 C错 误,对 于 D, (x)'=12x 1 2= 1 2 x ,所以D错误,故选B.] 2.D [由题,f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2-1x2 -1x = 2x2-x-1 x2 , 令f'(x)=0,则x=1或x=-12 (舍去), 所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 所以f(x)的单调减区间为(0,1),故选D.] 3.D [由y=f'(x)的部分图象可知,当1<x<2或4<x<5时, f'(x)>0, 当2<x<4时,f'(x)<0,所以f(x)在(1,2)和(4,5)上为增函数, 在(2,4)上为减函数, 所以x=2为极大值点,x=4为极小值点,所以ABC正确, 若x=5是(1,5)图象的最高点,则f(x)在(1,5)上无最大值,所以 D错误,故选D.] 4.A [因为函数f(x)=13x 3-4x,所以f'(x)=x2-4,令f'(x)= 0,得x=±2, 当-3<x<-2或2<x<4时,f'(x)>0,当 -2<x<2时, f'(x)<0, 又f(-3)=3,f(-2)=163 ,f(2)=-163 ,f(4)=163 , 所以f(x)在[-3,4]上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为163 ,-163 ,故 选A.] 5.A [由题意知:f'(x)=-3x2-2a,又单调递增区间为(-2,2), f'(2)=-12-2a=0,解得a=-6.此时f'(x)=-3x2+12,令 f'(x)>0,解得x∈(-2,2),即单调递增区间为(-2,2).] 6.C [根据题意,f'(x)=3x2+6ax+b, ∵函数f(x)在x=-1处有极值0, ∴f'(-1)=3-6a+b=0且f(-1)=-1+3a-b+a2=0,∴a= 1,b=3或a=2,b=9, a=1,b=2时f'(x)=3x2+6x+3≥0恒成立,此时函数无极值 点,∴a=2,b=9,∴a+b=11.] 7.D [依题意,2ex-2+a(x-2)>2(x-1)+aln(x-1), 则2ex-2+alnex-2>2(x-1)+aln(x-1)(*). 令g(t)=2t+alnt(t>1),则(*)式即为g(ex-2)>g(x-1). 又ex-2>x-1>1在(2,+∞)上恒成立, 故只需g(t)在(1,+∞)上单调递增, 则g'(t)=2+at ≥0 在(1,+∞)上恒成立, 即a≥-2t在(1,+∞)上恒成立,解得a≥-2.] 8.A [由题意,函数f(x)=2x3-6x+m,可得f'(x)=6x2-6= 6(x-1)(x+1), 当x<-1时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当-1<x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 所以函数f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值, 要使得函数f(x)有三个零点, 则满足 f(-1)=-2+6+m>0 f(1)=2-6+m<0 ,解得-4<m<4, 即实数m 的取值范围是(-4,4).] 9.AD [f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以函数f(x)在 R上单 调递增,所以函数不存在极值点,故B错误,D正确;f'(1)=0,故 A正确;f(x)=13x 3-x2+x=0,得x(x2-3x+3)=0,x2-3x+ 3=0中,Δ=9-12<0,所以x2-3x+3>0恒成立,即方程只有一 个实数根,即x=0,故C错误.] 10.CD [因为f(x)=1x-1+lnx , 所以f'(x)=-1x2 +1x = x-1 x2 (x>0),当f'(x)>0时,x-1> 0,x>1, 即当x∈(1,+∞)时f(x)是增函数,B错误, 当f'(x)<0时,x-1<0,0<x<1, 即当x∈(0,1)时f(x)是减函数, 则当x=1时,f(x)取极小值,即最小值, f(1)=11-1+ln1=0 ,f(x)≥0, 故A错误,C正确,D正确,故选CD.] 11.AB [f(x)+f'(x)>0,所以,exf(x)+exf'(x)>0,则设x∈R, g(x)=exf(x),得g'(x)>0,g(x)单调递增,所以,必有g(2)> g(0),g(ln2)>g(0),则e2f(2)>f(0),2f(ln2)>f(0),所以 A 和B正确;故选AB.] 12.y=x-2 [由曲线y=x3-mx 过点(1,-1),得-1=1-m,即 m=2,从而可知y=x3-2x,求导可得y'=3x2-2,所以曲线在点 (1,-1)处的切线斜率为k=1,故切线方程为y-(-1)=x-1, 即y=x-2.] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 61 — —64 — 13.8π+2cm 128π (π+2)2 cm3 [设圆柱的底面半径为r,圆柱的高为h. 则由题意可得πr+2h+2r=12,所以h=12- (2+π)r 2 =6- 2+π 2 r. 由h>0,得r< 122+π. 故容器的容积V=πr2h=πr2 6-2+π2 r =6πr2-π(2+π)2 r3 0< r< 122+π , 容易忽略上半球是容器的盖子,化妆水储存在圆柱中. V'=12πr-3π (2+π) 2 r 2,令V'=0,解得r=0(舍)或r= 8π+2. 显然当r∈ 0,8π+2 时,V'>0,函数V=6πr2-π(2+π)2 r3 单调 递增; 当r∈ 8π+2 ,12 2+π 时,V'<0,函数V=6πr2-π(2+π)2 r3 单调 递减. 所以当r= 8π+2cm 时,V 取得最大值, 此时 h=6-2+π2 × 8 π+2=2cm ,V =π 8π+2 2 ×2= 128π (π+2)2 cm3.] 14. 3,134 [f'(x)=3x2-2ax+1,由题可得,函数f(x)有极值, 故Δ=4a2-12>0,解得:a> 3,设x0 是函数f(x)的极小值点, 故 f'(x0)=3x20-2ax0+1=0 x0> a 3 , 解得:a=12 3x0+1x0 x0> 33 ,又因为函数f(x)的极小值大 于零,所以f(x0)=x30-ax20+x0+3=- 1 2x 3 0+ x0 2+3= 1 2 (-x0 + 2)(x20+2x0+3)>0,解得:x0<2. 所以:a=12 3x0+1x0 2>x0> 33 , 由对勾函数的知识可得a=12 3x0+1x0 在 33,2 上单调递 增,所以a∈ 3,134 .] 15.解 (1)f'(x)=3x2-2ax+3,f'(3)=27-6a+3=0,a=5, f'(x)=3x2-10x+3=(3x-1)(x-3), 所以f(x)在区间 -∞,13 ,(3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)递增; 在区间 1 3 ,3 上,f'(x)<0,f(x)递减. 所以f(x)的极大值为f 13 =1327,极小值为f(3)=-9. (2)依题意f'(x)=3x2-2ax+3≥0在 R上恒成立, 所以Δ=4a2-36a≤0,a2-9=(a+3)(a-3)≤0,解 得-3≤ a≤3, 所以a的取值范围是[-3,3]. 16.解 (1)由已知可得:f'(x)=3x2-6,令f'(x)=0,即3x2-6= 0, 解得x1=- 2,x1= 2, 所以当x> 2或x<- 2时, f'(x)>0,当- 2<x< 2时,f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间为 (-∞,- 2),(2,+∞); 单调递减区间为(- 2,2). (2)由(1)可知y=f(x)的图象的大致走势及走向,如图所示, 又f(- 2)=5-4 2,f(2)=5+4 2, 所以当5-4 2<a<5+4 2时,直线y=a与函数y=f(x)的图 象有三个不同的交点,方程f(x)=a有三个不等实根. 17.解 (1)设燃料费为u元/时,速度为v千米/时, 则u=kv3(v>0). 由10=k×103,得k= 1100. 每千米航程成本函数为y=1v 1100v3+180 = 1100v3+180v (v> 0),则y'=v 3-9000 50v2 . 令y'=0,得v=10 3 9. 当0<v<1039时,y'<0,函数单调递减;当v>10 3 9时,y'>0, 函数单调递增, 所以速度为1039千米/时时,每千米航程的成本最低. (2)由(1)知,函数y= 1100v 2+180v 在(0,20]上单调递减, 当限速不超过20千米/时时, ymin= 1 100×20 2+18020=13 (元) 所以 轮 船 限 速 不 超 过20千 米/时,每 千 米 航 程 的 最 底 成 本 为 13元. 18.解 (1)由f(x)=ex-2x+2a(x∈R)知 f'(x)=ex-2. 令f'(x)=0,得x=ln2. 当x<ln2时,f'(x)<0, 故函数f(x)在区间(-∞,ln2)上单调递减; 当x>ln2时,f'(x)>0, 故函数f(x)在区间(ln2,+∞)上单调递增. ∴f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2, +∞), f(x)极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2-2ln2+2a,无极 大值; (2)要证当a>ln2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1, 即证当a>ln2-1且x>0时,ex-x2+2ax-1>0. 设g(x)=ex-x2+2ax-1(x>0). 则g'(x)=ex-2x+2a, 由(1)知g'(x)min=2-2ln2+2a. 又a>ln2-1,则g'(x)min>0. 于是对∀x∈R,都有g(x)>0,∴g(x)在 R上单调递增. 于是对∀x>0,都有g(x)>g(0)=0. 即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1. 19.解 (1)依题意: f'(x)=6x2-12-18=6(x-3)(x+1), 故当x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,3)时,f'(x)<0, 当x∈(3,+∞)时,f'(x)>0, ∴f(x)的单调增 区 间 为(-∞,-1),(3,+∞),单 调 减 区 间 为 (-1,3); (2)令g(x)=0,得-a=f(x). ∵f(-1)=15,f(3)=-49, 结合f(x)单调性,作出f(x)图象: ∴g(x)=f(x)+a至多有两个零点可转化为 y=f(x)与y=-a至多有两个交点. 结合图象可知,-a≥15或-a≤-49, 即实数a的取值范围为(-∞,-15]∪[49,+∞). 第四次月考滚动检测卷 1.C [由题意得S'(t)= 22t+1+1 ,所以t=1时,该质点的瞬时速度 为5 3 m /s.] 2.A [对于A,[ln(1-x)]'= 11-x ·(1-x)'=- 11-x ,所以 A错 误,对于B, xex =e x-xex (ex)2 =1-x ex ,所以B正确,对于C,(3x)'= 3xln3,所以C正确,对于 D,(sinx·cosx)'=(sinx)'cosx+ sinx(cosx)'=cos2x-sin2x=cos2x,所以D正确,故选A.] 3.A [根据f'(x)>0时,y=f(x)递增,f'(x)<0时,y=f(x)递减 可得, ①②中函数的图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的,可 能正确; 而③中导函数为负的区间内相应的函数不为递减,故错误, ④中导函数为负的区间内相应的函数不为递减,故错误.] 4.D [因为f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),令f'(x)=0,解得 x1=-1,x2=1, 所以当x<-1或x>1时,f'(x)>0;当-1<x<1时,f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调 递减, 故f(x)的极大值点为x=-1,故选D.] 5.D [依题意,当x≥13 时,a≥1 x2 -2x恒成立, 令g(x)=1x2 -2x,x≥13 ,则a≥g(x)max, 又g'(x)=-2x3 -2=-2 1x3+1 <0, ∴g(x)在 13 ,+∞ 上单调递减, ∴a≥g(x)max=g 13 =9-23=253,即a≥253.] 6.D [因为f(x)=x3-3x,所 以f'(x)=3x2-3=3(x2-1)= 3(x+1)(x-1), 所以当x<-1或x>1时f'(x)>0,当-1<x<1时f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调 递减, 所以f(x)在x=-1处取得极大值,在x=1处取得极小值,因为 在(-2,m)上有最大值, 所以极大值点-1∈(-2,m), 又f(-1)=2,当x3-3x=2时,即(x+1)2(x-2)=0,解得x=2 或x=-1, 所以-1<m≤2,故选D.] 7.C [构造函数f(x)=lnx-x,则f'(x)=1x-1= 1-x x ,当x>1 时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上单调递减, 所以f(π)>f(2022),即lnπ-π>ln2022-2022,所以lnπ- ln2022>π-2022,即b>a; 构造函数g(x)=ex-x,g'(x)=ex -1,当x>0时,g'(x)>0, g(x)在(0,+∞)上单调递增,所以g(π)<g(2022),即eπ-π< e2022-2022,所以,eπ-e2022<π-2022,即c<a,所以c<a<b.] 8.A [∵4lnx+2ln(2y)≥x2+8y-4(x>0,y>0) ∴2[ln(x2)+ln(2y)]≥x2+8y-4,即ln(x2)+ln(2y)≥12x 2+ 4y-2, ∴ln 12x2 ·(4y) ≥12x2+4y-2,设a=12x2,b=4y(a>0, b>0),则有lnab≥a+b-2,即lna+lnb≥a+b-2,∴(lna-a+ 1)+(lnb-b+1)≥0, 令g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=1x-1= 1-x x , ∴当x∈(0,1)时,g'(x)>0,g(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减; ∴g(x)max=g(1)=0,即g(x)≤0, 要使(lna-a+1)+(lnb-b+1)≥0成立等价于g(a)+g(b)≥0 成立, 只有当a=b=1时,即g(a)=g(b)=0时才满足, ∴a=12x 2=1,b=4y=1,∴x= 2,y=14 ,∴xy= 24. ] 9.BC [由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调 递增,在(-1,3)上单调递减,在x=-1处取得极大值,在x=3处 取得极小值, 又f'(x)=3ax2+2bx+c,所以x=-1和x=3为方程3ax2+2bx+ c=0的两根且a>0; 所以-1+3=-2b3a ,-1×3=c3a ,所以b=-3a<0,c=-9a<0, 所以a+b+c=a+(-3a)+(-9a)=-11a<0;故选BC.] 10.BD [因为f(x)=e x x ,x∈(0,+∞),所以f'(x)= (x-1)ex x2 ,令 f'(x)>0,则x>1,令f'(x)<0,则0<x<1,所以f(x)在(0,1) 上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以函数在x=1处取得极 小值即最小值,所以f(x)min=f(1)=e,即函数有最小值,无最大 值,存在唯一的极值点,又x∈(0,+∞),所以ex∈(1,+∞),所 以f(x)>0恒成立,故函数在(0,+∞)上不存在零点;故选BD.] 11.BD [对于①中,函数f(x)=x3-3x2,可得f'(x)=3x2-6x= 3x(x-2), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 63 —