抽象函数七大题型+精练+五年真题讲义-2026届高三数学第一轮复习（新高考地区适用）

培优点 抽象函数 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 02 必备基础知识梳理 考点1：判断抽象函数的单调性的方法 考点2：判断抽象函数奇偶性的方法: 考点3：常见的抽象函数模型 05 必考题型精讲精练 题型一：抽象函数的定义域和值域 题型二：赋值法求抽象函数的函数值 题型三：求抽象函数的解析式 题型四：抽象函数单调性、奇偶性、对称性和周期性的判断 题型五：抽象函数单调性、奇偶性、对称性和周期性的应用 题型六：抽象函数的导数 题型七：类周期函数和倍增函数 06 真题呈现（2025年--2021年真题） 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年北京卷 抽象函数的值域、充分不必要条件的判断 近几年，对抽象函数的考查有所增加，主要考查抽象函数求函数值、抽象函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的应用． 2025年北京卷 抽象函数的解析式、诱导公式 2024年全国Ⅰ卷 抽象函数不等关系 2023年全国Ⅰ卷 抽象函数求函数值、抽象函数的奇偶性 2022年全国Ⅱ卷 抽象函数的周期性 2022年全国Ⅰ卷 根据抽象函数的对称性和周期性求函数值 2022年全国乙卷（理） 抽象函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性 2021年全国Ⅱ卷 抽象函数的奇偶性、对称性和周期性 必备基础知识梳理 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 1. 判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为。 ②若给出的是“积型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为。 2.判断抽象函数奇偶性的方法 ①验证定义域的对称性； ②应用赋值法构造关于和的关系。 ③处理非标准自变量形式：若条件中出现如为奇函数的描述，需注意自变量替换规则：奇函数定义应改写为。 2. 常见抽象函数模型 ①正比例函数，对应：； ②一次函数型，对应：或 或 ③二次函数型，对应：； ④三次函数型，对应： ⑤幂函数，对应：或； ⑥指数函数，对应：或； ⑦对数函数，对应：或或； ⑧正弦函数，对应：，来源于； ⑨余弦函数，对应：，来源于； 余弦型函数，对应：或 。 ⑩正切函数，对应：，来源于。 必考题型精讲精练 题型一：抽象函数的定义域和值域 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 5．（22-23高二下·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 题型二：赋值法求抽象函数的函数值 1．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数满足，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．方程有解 C． D． 4.（2025·江苏·二模）已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·河南·三模）函数满足：，，且，则（    ）． A．4900 B．4950 C．5000 D．5050 6．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 7．（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R上的函数满足且，则 ． 题型三：求抽象函数的解析式 1．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一上·四川达州·期末）函数满足：，则（   ） A． B． C．图象不关于对称 D．的解析式可以是 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·福建龙岩·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 5.（多选）（2024·浙江杭州·一模）已知函数的定义域为，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则（   ）. A． B． C． D．没有极值 7．（多选）（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．的极小值点为0 D．是奇函数 8．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 9．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 11．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 题型四：抽象函数单调性、奇偶性、对称性和周期性的判断 1．（多选）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 2．（多选）（2024·河南·三模）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．单调递增 3．（多选）（2025·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值为 4．（多选）（2025·广东汕头·二模）已知函数的定义域为且，，则（    ） A． B． C．为的极小值点 D．是偶函数 5．（多选）（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知定义域为R的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在单调递减 D．若，则不等式的解集为 6．（多选）（2025·山西·三模）已知定义域为的函数满足：对任意的，，且当时，．则（   ） A． B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 7．（多选）（2025·河北张家口·二模）已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（   ） A． B．为偶函数 C．当时， D．当时， 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．3是函数的一个周期 9．（24-25高三上·江苏·期末）定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 10．（多选）（2025·海南·三模）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C． D．若，则 11．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 12．（多选）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 13．（多选）（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．是函数的图象的一条对称轴 D． 14．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：，，且，则（    ） A． B．可能是偶函数 C．的图象不可能关于点对称 D．若，，则在上单调递增 15．（2025·安徽合肥·三模）已知，，且当时，则下列正确的是（   ） A． B．当时， C． D． 16．（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，是定义在上的连续函数，对任意，，且，则下列说法正确的是（    ） A．一定是偶函数 B．一定是周期函数 C． D．对任意，有 题型五：抽象函数的单调性、奇偶性、对称性好和周期性的应用 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数与都为奇函数，且对，都有，则（   ） A．2525 B．2526 C．5049 D．5050 5．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．（多选）（2025·河北石家庄·三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数 C． D． 7．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．为奇函数 8．（多选）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D． 9．（多选）（2025·江西·二模）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高三下·山西·阶段练习）已知是定义在上的非常值函数，当时，，对任意的，都有，若，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．不等式的解集为 11．（多选）（2025·安徽合肥·三模）已知，，且当时，则下列正确的是（   ） A． B．当时， C． D． 题型六：抽象函数的导数 1．（多选）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数关于点对称 B．函数关于直线对称 C．函数的周期为4 D． 2．（多选）（2025·四川攀枝花·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 4．（多选）（2025·山东威海·三模）已知是定义在上的增函数，且可导，为奇函数，记函数分别是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 5．（多选）（2025·河南鹤壁·模拟预测）函数的导函数和函数都是上偶函数，且，，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 6．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知函数和其导函数的定义域均为，若函数是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B．是周期函数 C． D． 7．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 题型七：类周期函数和倍增函数 1．（多选）（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为 D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为 2．（多选）（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）设函数的定义域为，满足，且当时，.则（    ） A．当时， B．关于的方程有且仅有3个实数根 C．若对任意都有，则的最大值为 D． 3．（24-25高三上·全国·阶段练习）定义在上的函数满足：①；②；③，则 ， ． 真题呈现 1．（2025年北京高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025年北京高考真题）关于定义域为R的函数，以下说法正确的有 ． ①存在在R上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在R上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（多选）（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 5．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 6．（多选）（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 7.（2022年全国乙卷（理）高考真题）已知函数，的定义域均为，且 ，．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 8.（2021年全国新高考Ⅱ卷高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优点 抽象函数 目录： 01考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 02 必备基础知识梳理 考点1：判断抽象函数的单调性的方法 考点2：判断抽象函数奇偶性的方法: 考点3：常见的抽象函数模型 05 必考题型精讲精练 题型一：抽象函数的定义域和值域 题型二：赋值法求抽象函数的函数值 题型三：求抽象函数的解析式 题型四：抽象函数单调性、奇偶性、对称性和周期性的判断 题型五：抽象函数单调性、奇偶性、对称性和周期性的应用 题型六：抽象函数的导数 题型七：类周期函数和倍增函数 06 真题呈现（2025年--2021年真题） 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 考情分析 考题示例 考点分析 考情分析 2025年北京卷 抽象函数的值域、充分不必要条件的判断 近几年，对抽象函数的考查有所增加，主要考查抽象函数求函数值、抽象函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性的应用． 2025年北京卷 抽象函数的解析式、诱导公式 2024年全国Ⅰ卷 抽象函数不等关系 2023年全国Ⅰ卷 抽象函数求函数值、抽象函数的奇偶性 2022年全国Ⅱ卷 抽象函数的周期性 2022年全国Ⅰ卷 根据抽象函数的对称性和周期性求函数值 2022年全国乙卷（理） 抽象函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性 2021年全国Ⅱ卷 抽象函数的奇偶性、对称性和周期性 必备基础知识梳理 考情分析（五年真题（2025年--2021年）考点分布） 1. 判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为。 ②若给出的是“积型”抽象函数…，判断符号时要比要变形为，或变形为。 2.判断抽象函数奇偶性的方法 ①验证定义域的对称性； ②应用赋值法构造关于和的关系。 ③处理非标准自变量形式：若条件中出现如为奇函数的描述，需注意自变量替换规则：奇函数定义应改写为。 2. 常见抽象函数模型 ①正比例函数，对应：； ②一次函数型，对应：或 或 ③二次函数型，对应：； ④三次函数型，对应： ⑤幂函数，对应：或； ⑥指数函数，对应：或； ⑦对数函数，对应：或或； ⑧正弦函数，对应：，来源于； ⑨余弦函数，对应：，来源于； 余弦型函数，对应：或 。 ⑩正切函数，对应：，来源于。 必考题型精讲精练 题型一：抽象函数的定义域和值域 1．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域为， 所以， 即，解得， 即的定义域是. 故选：A. 2．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 3．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数的定义域是，则的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以的定义域为，又因为，即，所以， 所以函数的定义域为. 故选：A. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ，函数的定义域为 ． 【答案】 ； 【详解】因为 由，得，所以的定义域为． 由，得，所以函数的定义域为． 故答案为：． 5．（22-23高二下·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为 . 【答案】 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以，即的定义域为， 所以，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 题型二：赋值法求抽象函数的函数值 1．（2025·山西·模拟预测）已知，则（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】B 【详解】， 故， 所以， 故，解得. 故选：B. 2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数满足，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，有，从而，A正确； 令，得，故，B正确； 由题意得，，即，C正确； 令，则，，满足， 但，即不满足，D错误. 故选：D. 3．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．方程有解 C． D． 【答案】C 【详解】因和， 对于A，令，则，即，故A错误； 对于B，令，则，可得， 令，当时，则， 即，，，， 则 ， 其中也符合，因，故方程无实数解，即B错误； 对于C，令，则，得到， 由，则C正确； 对于D，与不能恒相等，故D错误. 故选：C. 4.（2025·江苏·二模）已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是奇函数，则， 令，可得，可得， 在中令得，所以， 在中令得， 所以， 所以. 故选：D. 5．（2025·河南·三模）函数满足：，，且，则（    ）． A．4900 B．4950 C．5000 D．5050 【答案】B 【详解】令，则，可得， 令，则，可得， 令，则，可得， 令，，则，可得， 当时，则 ， 显然也满足上式， 所以，故. 故选：B 6．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数满足：，，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】依题意，因为，则， 令，则，因为，所以， 又因为，则，即， 令，则，即， 令，则，所以，故得， 又； 又， 所以，即． 故选：C． 7．（2025·浙江绍兴·三模）已知定义在R上的函数满足且，则 ． 【答案】 【详解】令，所以， 所以， 即，，……， 所以，以上式子相加可得：， 所以， 所以. 故答案为：. 题型三：求抽象函数的解析式 1．（24-25高一上·广东·期中）的定义域为，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，联立消去，得， 而，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故选：A 2．（多选）（24-25高一上·四川达州·期末）函数满足：，则（   ） A． B． C．图象不关于对称 D．的解析式可以是 【答案】AD 【详解】令，可得，解得，故A正确； 取，则满足：，此时，故B错误； 由B，当时，函数图象关于对称，故C错误； 若时，， ，且 所以满足，故D正确. 故选：AD 3．（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数满足，对任意，有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，令，得； 令，得，所以． 所以， 所以. 故选：A． 4．（2024·福建龙岩·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】C 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故A错误； 取，，则， 所以，，，， 将以上各式相加，得， 又因为， 所以， 对于B，令，则，即， 因为，所以方程无解，故B错误； 对于C，， 其对称轴为，故C正确； 对于D，， 其对称轴为，故D错误. 故选：C 5.（多选）（2024·浙江杭州·一模）已知函数的定义域为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】令，，则 令，则 则，， ∴或 令，则 若，则，矛盾， ∴，则，∴A选项错误； 令，则，∴B选项正确； 令，则，则，即，C选项正确； 由A、C选项中结论，令，则，则 令，则， 即，D选项错误. 故选：BC. 6．（多选）（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域为R，，且当时，，则（   ）. A． B． C． D．没有极值 【答案】ABD 【详解】对于A，令，得，故A正确； 对于B，令，则由选项A得， 所以，，据此类推可得， 所以，故B正确； 对于C，由选项B得，所以也满足题意，不一定是，故C错误； 对于D，令得即， 所以函数满足，即函数是奇函数， 令，，则，则， 当时，，因为当时，，所以， 即，即，所以是增函数，没有极值， 当时，，因为当时，且函数是奇函数， 所以，即，即， 所以是增函数，没有极值，故D正确； 故选：ABD. 7．（多选）（24-25高三上·陕西渭南·阶段练习）对任意，函数都满足，则（    ） A． B． C．的极小值点为0 D．是奇函数 【答案】AC 【详解】令，则有， 故A正确； 因为， 所以对任意均成立， 当取任意值，取固定值时，为常数， 当取任意值，取固定值时，为常数， 所以与等于同一个常数， 设， 则有，，令， 则，解得，故B错误； ，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 故0是的极小值点，故C正确； ，所以不一定是奇函数，故D错误. 故选：AC. 8．（24-25高三上·安徽合肥·期中）已知函数对任意满足，则 . 【答案】 【详解】因为，以代替得： ， 得：. 故答案为：. 9．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【详解】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以， 故答案为： 10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且满足，，若，则函数的解析式为 . 【答案】 【详解】函数的定义域为，且满足， 取，得，所以， ，，， 以上各式相加得． 故答案为：. 11．（2025·重庆·模拟预测）设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数 ． 【答案】 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 题型四：抽象函数单调性、奇偶性、对称性和周期性的判断 1．（多选）（2025·山东菏泽·一模）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【答案】ABD 【详解】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 2．（多选）（2024·河南·三模）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．单调递增 【答案】BCD 【详解】由题意， 在中， A和B项，当时，， 解得：或， 当时，则， 由于具有任意性，故不成立， ∴，A错误，B正确； C项，当时，， ∵， ∴为奇函数，且，C正确； D项，由C项可知，故为增函数，D正确. 故选：BCD. 3．（多选）（2025·广东深圳·二模）已知函数的定义域为，，，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，令，则，解得，A错； 对于B选项，令，则，即， 所以， 令，，可得，即， 即，故，B对； 对于C选项，因为， 同理有， 所以， 若，设， 令，则， 再令， 则， 所以函数的零点关于y轴对称； 若，则， 令有， 故函数为偶函数，C对； 对于D选项，令，则， 所以，可得，故函数的最大值为，D对. 故选：BCD. 4．（多选）（2025·广东汕头·二模）已知函数的定义域为且，，则（    ） A． B． C．为的极小值点 D．是偶函数 【答案】AD 【详解】在中， 对于A，令，则，，A正确； 对于B，令，则，В错误； 对于C，若函数为，显然符合题意，此时无极小值点，C错误； 对于D，令，则，则， 令，则，故是偶函数，D正确． 故选：AD. 5．（多选）（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知定义域为R的函数不是常值函数，当时，，而且对任意的有，则下列说法正确的有（    ） A． B．若，则 C．在单调递减 D．若，则不等式的解集为 【答案】AB 【详解】对于A，令，则有或者， 但是当时，， 与不是常值函数矛盾，故，A选项正确； 对于B，令，则，， 当，则，故，， 故，B选项正确； 对于C，任取，令，则， 于是， 故在单调递增，C选项错误； 对于D，令可得：， 于是函数是偶函数， 又，于是原不等式可转化为， 又由在单调递增可得：，解得：，D不正确， 故选：AB. 6．（多选）（2025·山西·三模）已知定义域为的函数满足：对任意的，，且当时，．则（   ） A． B．是偶函数 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减 【答案】ABD 【详解】A选项，令，则，所以，A正确； B选项，令，则， 所以，令，则， 所以是偶函数，B正确； CD选项，任取，且，则， 因为，所以，因此，，即， 所以在区间上单调递减，C错误，D正确． 故选：ABD． 7．（多选）（2025·河北张家口·二模）已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（   ） A． B．为偶函数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对于A，令，得，解得，故A正确； 对于B，令，则，所以是奇函数，故B错误； 对于C，当时，，因为当时，，是奇函数， 所以当时，，所以，故C正确； 对于D，设，令，则， 因为，所以， 因为，所以，因此，即在上单调递增， 因为是奇函数，所以在上单调递增， 当时，，故，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．3是函数的一个周期 【答案】AB 【详解】对于A，令，则， 因为，所以，故A正确； 对于B，令，则， 因为，所以，即， 因为的定义域为，所以为偶函数，故B正确； 对于C，令，，则， 由，，得，则， 所以不一定成立，故C错误； 对于D，令，，则，所以； 令，，则，所以， 所以，，，，，， 所以3不是的一个周期，故D错误． 故选：AB 9．（24-25高三上·江苏·期末）定义在上的函数满足，当时，，且，则下列说法正确的是（  ） A． B．是奇函数 C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【详解】因为， 取可得， 所以，A错误； 函数的定义域为，定义域关于原点对称， 由， 用替换可得，， 所以，即， 所以函数为奇函数，B正确； 任取，， 则， 又当时，，且， 所以，故， 所以函数在上单调递减，C正确； 因为， 所以不等式可化为， 所以，又函数在上单调递减， 所以， 所以，所以不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 10．（多选）（2025·海南·三模）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（   ） A． B．是奇函数 C． D．若，则 【答案】ABD 【详解】对于A，令可得：， 所以，正确； 对于B，令，可得：， 令可得：，即， 所以，即是奇函数，正确； 对于C：令，可得， 由B可得：， 所以，C错误； 对于D，令，可得：， 所以 所以， ， , 累加可得： 所以， 化简可得：， 当时，代入可得满足， 所以，则， 故选：ABD 11．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，对任意，都有，且，则下列选项正确的是（    ） A． B．为减函数 C． D．为奇函数 【答案】ACD 【详解】选项A：解法一：令，，则由题意得， 将代入解得，A说法正确； 解法二：令，则由题意得，即，解得， 若，令，，则，得，与矛盾，故，A说法正确； 选项B：令，则由题意得， 将代入得，故不是减函数，B说法错误； （另解：也可以根据，直接判断不是减函数） 选项C：由B可知， 所以，C说法正确； 选项D：令，，则由题意可得， 将，代入解得， 令，则①， 由B可知，所以， 代入①式可得，即， 所以为奇函数，D说法正确； 故选：ACD 12．（多选）（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知对任意，且，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D． 【答案】AC 【详解】由题意得任意，，且， 令，则，则． 令，则，故A正确． 令，则，所以的图象关于直线对称，故C正确． 令，则，结合C选项，得，所以有，则为奇函数． 又因为的图象关于直线对称，所以是以2为周期的函数，所以，故B错误． 令，则，，故D错误． 故选：AC． 13．（多选）（24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．的图象关于中心对称 C．是函数的图象的一条对称轴 D． 【答案】AD 【详解】对于A，令，代入等式可得.得到，开方后解得，所以A选项正确. 对于B，令，则原等式变为. 因为前面已求得，所以，即，移项可得. 根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以B选项错误. 对于C，令，原等式变为. 由于，则，即. 令，则，那么. 根据周期函数的定义，所以是函数的一个周期. 当，时，可得， 可得，①； 当时，可得 ②. 由①+②可得，由于， 所以， 代入②式得到，由于，进而解得. 令，原等式变为. 因为，所以，移项可得. 又因为，所以. 根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心. 因为是函数的一个周期，，所以也是函数图象的一个对称中心，所以C选项错误. 对于D，根据前面的分析，有，，，，且是函数的一个周期，所以. 因为，所以，所以D选项正确. 故选：AD. 14．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知定义在R上的函数满足：，，且，则（    ） A． B．可能是偶函数 C．的图象不可能关于点对称 D．若，，则在上单调递增 【答案】ABD 【分析】令建立方程可解，通过构造函数得到发现可以为幂函数，通过举例说明可判断BC选项，，，则，再利用定义法证明函数在的单调性即可得到在上单调性. 【详解】令，或（舍去），故A正确；，即， 设，则，所以当时成立， 故可以为，此时时偶函数，故B正确； 由上知也可以为，此时关于对称，故C错误； ，，即，， ，，时，， ，设，则，则，所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 15．（2025·安徽合肥·三模）已知，，且当时，则下列正确的是（   ） A． B．当时， C． D． 【答案】BCD 【详解】∵， ∴，即， 两式相乘， ∵，∴，即， ∴，所以函数周期为6，故A错误； 当时，， 又，故B正确； ∵， ∴除以6余数为5，故，故C正确， 由题知，， 代入可求， ∴， 故D正确， 故选：BCD. 16．（2025·安徽合肥·二模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．的图象关于点对称 D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】A选项，令得，令得；D选项，令得，令得，故，的一个周期为1，，所以，故为偶函数，D正确；BC选项，令，结合函数周期，得到，令得，所以，故，故B错误，C正确. 【详解】A选项，中，令得， 又，故，解得， 中，令得，故，A正确； D选项，中，令得 ，即，， 中，令得 ，即， 因为，所以，故， 故的一个周期为1， 故，所以，故为偶函数，D正确； B选项，中，令得 ， 由于，，故， 由于的一个周期为1，故， 所以，解得， 中，令得 ， 又，故，， 所以，故， 故不存在，，B错误； 由上可知，，故的图象关于点对称，C正确. 故选：ACD 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，是定义在上的连续函数，对任意，，且，则下列说法正确的是（    ） A．一定是偶函数 B．一定是周期函数 C． D．对任意，有 【答案】AD 【分析】令得，进而有，令结合奇偶性定义判断A；由此令，则满足题设，即可判断B；其中即可判断C；令得，进而有即可判断D. 【详解】对于A，令，则，则， 于是. 令，则，则， 又的定义域为，所以为上的偶函数，正确； 对于B，由A知，令，则， 满足，但此时不是周期函数，错误； 对于C，由A得，，则不成立，错误； 对于D，令，可得，则， 即，正确. 故选：AD 题型五：抽象函数的单调性、奇偶性、对称性好和周期性的应用 1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏扬州·期中）已知函数是偶函数，在上单调递增，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意函数是偶函数，所以的对称轴是， 因为在上单调递增，所以在上单调递减， 由，有，即， 解得或，所以不等式的解集为. 故选：C. 3．（2025·山东德州·三模）已知函数是定义在上的增函数，且为奇函数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令，则， 由， 可得， 即， 又因为为奇函数，所以. 因为是定义在上的增函数，所以也是定义在上的增函数， 故，即恒成立. 因为，所以的最小值为， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）函数与都为奇函数，且对，都有，则（   ） A．2525 B．2526 C．5049 D．5050 【答案】D 【详解】由与都为奇函数， 则，， 又，所以，， 所以，即， 所以，即， 又，，得， 所以，，…，， 所以. 故选：D. 5．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 6．（多选）（2025·河北石家庄·三模）已知函数是定义在R上的偶函数，是定义在R上的奇函数，则（    ） A．的图象关于点中心对称 B．是周期为2的函数 C． D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为是R上的奇函数，其图象关于原点对称， 又可看成是函数向左平移1个单位得到，所以的图象关于点中心对称，故A正确； 对于B，由是R上的奇函数，可得，即 ， 又，则，所以，故是周期为4的函数，故B错误； 对于 C，由，令，得，则， ，故C正确； 对于D，由，则，又，是周期为4的函数， 则， 而的值无法确定，故D错误. 故选：AC. 7．（多选）（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数满足关系式，，且在上的解析式为，为的导函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．为奇函数 【答案】ACD 【详解】由，可得到函数图像的对称轴为， 由，可得到函数图像的对称中心横坐标为， 所以函数的周期. 因为时，，根据对称性和周期性，可画出的图像，如图所示. 由周期性可知，，故A正确； 根据周期性可知，，故B错误； ，由图可知，，，所以，故C正确； 由图可知，函数在轴两侧的图像是对称的，因此导函数应应当关于原点对称，即为奇函数，故D正确； 故选：ACD. 8．（多选）（2025·湖南邵阳·三模）已知函数的定义域为，且，，当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数为奇函数 C． D． 【答案】BC 【详解】因为，所以，所以关于点中心对称，故A错误； 令，所以，又， 所以，故为奇函数，故B正确； 又因为，所以是偶函数，所以， 所以，所以， 所以是周期为4的函数， 令，得，令，得，令，得， 所以，故C正确； ， 又， 故，又因为当，单调递减，且， 所以，所以关于点中心对称， 所以在区间上单调递减，所以， 所以，故D错误. 故选：BC. 9．（多选）（2025·江西·二模）已知函数的定义域为，，且，，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为， 所以， 所以，即，所以， 则，故A正确； 设，， 则，，，， 所以，，，， 由，所以，即， 由，则，即， 所以， 所以，故B错误； ，故C正确； ，无法判断是否大于，故D不一定正确； 故选：AC. 10．（多选）（24-25高三下·山西·阶段练习）已知是定义在上的非常值函数，当时，，对任意的，都有，若，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．不等式的解集为 【答案】BC 【详解】对于A，令x为任意实数，则， ∵是非常值函数，∴，故A错误； 对于B，令x为任意实数，，得， 令，∴，故B正确； 对于C，∵， 当时，，∴，∴当，， ∴对任意恒成立， 任取，则，即， 所以在上单调递减，故C正确； 对于D，令，得， 令，得， 再由可知， 又∵在上单调递减，∴不等式等价于， 解得或，故D错误. 故选：BC 11．（多选）（2025·安徽合肥·三模）已知，，且当时，则下列正确的是（   ） A． B．当时， C． D． 【答案】BCD 【详解】∵， ∴，即， 两式相乘， ∵，∴，即， ∴，所以函数周期为6，故A错误； 当时，， 又，故B正确； ∵， ∴除以6余数为5，故，故C正确， 由题知，， 代入可求， ∴， 故D正确， 故选：BCD. 题型六：抽象函数的导数 1．（多选）（2025·黑龙江吉林·模拟预测）定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数关于点对称 B．函数关于直线对称 C．函数的周期为4 D． 【答案】AC 【详解】对于A，因为为奇函数，所以， 所以函数关于点对称，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以， 又，所以， 所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故B错， 对于C，因为，所以，所以，为常数， 因为，所以，所以， 取，可得.所以， 由，得， 所以，即， 所以，所以函数是周期函数，且周期为， 又，即， 所以函数也是以周期得周期函数，故C正确； 对于D，因为，， 所以，即， 所以，则， 所以， ，无法确定该值，故D错误. 故选：AC. 2．（多选）（2025·四川攀枝花·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】由求导可得：， 因为，所以， 又因为是偶函数，所以， 由上两式可得，又可得， 又两式相减得：， 所以是一个周期为的周期函数，故C错误； 由可得， 又由可得，故A正确； 又由可得， 因为是一个周期为的周期函数，所以，故B正确； 由， 由，结合是一个周期为的周期函数，可得， 所以， 即，故D正确； 故选：ABD 3．（多选）（2025·四川成都·三模）已知函数，对任意，均有，且为的导函数，则（    ） A． B．为奇函数 C． D． 【答案】ABD 【详解】令，得，解得，故A正确； 令，得，所以，即为奇函数，故B正确； 令，得. 因为，所以， 所以， 所以的周期是4，所以， 所以，故C错误； 对两边求导，得，所以的周期为4. 对两边求导，，所以.对于中关于求导， 可得， 令，可得， 令，可得.又因为， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ABD. 4．（多选）（2025·山东威海·三模）已知是定义在上的增函数，且可导，为奇函数，记函数分别是的导函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】因为为奇函数，故，令则， 因为故， 故，故A正确. 对于B，因为，则， 故，故B正确. 对于C，因为，， 故，故，故C错误. 对于D，因为为上的增函数，故， 而，故当时，，当时，， 故当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 而，故为图象的对称轴， 故， 设，其中， 故为上的增函数，故， 故，故， 故，故 即，故D正确. 故选：ABD. 5．（多选）（2025·河南鹤壁·模拟预测）函数的导函数和函数都是上偶函数，且，，则（   ） A．的图象关于点对称 B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【详解】由是偶函数，得，即， 则（为常数），由于， 取，得，于是， 对于A，由函数是R上偶函数，得， 由，得，即， 于是，函数图象关于点对称，A正确； 对于B，由，得，即， 由，得，于是， 即，因此，函数是周期为4的周期函数，B正确； 对于C，由，，得， 则， ，因此，C错误； 对于D，由，得，， ，， 因此，D正确. 故选：ABD 6．（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知函数和其导函数的定义域均为，若函数是偶函数，是奇函数，则（   ） A． B．是周期函数 C． D． 【答案】ABD 【详解】由函数是偶函数， 可得：， 令，可得：，A正确， 对两边求导可得：， 也即，即，① 又是奇函数，可得：， 也即，② 由①②可得，即，周期为，B正确， 因为是奇函数，所以，则， 由①，令，可得，所以， 令，可得，又周期为，， 所以， 所以， 所以，D正确， 对于C，由现有条件无法确定， 故选：ABD 8．（多选）（2025·河北·模拟预测）已知函数定义域为，函数是的导函数，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．的一个周期为2 C．的图象关于对称 D． 【答案】ACD 【分析】由推出关于对称，即可判断A；对求导可得关于对称，又由推出关于对称，由两个对称即可推出的周期为4，进而得到的对称轴，即可判断；通过代入特殊值，求出及，再利用周期求出，即可判断D. 【详解】，关于对称，，故A正确； 对求导可得， 即，关于对称， 又，关于对称， 的一个周期为4，关于对称，故B错误，故C正确； 将代入，可得， 将代入，可得， ，， ，故D正确. 故选：ACD． 题型七：类周期函数和倍增函数 1．（多选）（2025·重庆·模拟预测）已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列结论正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．函数的零点从小到大依次记为，若，则的取值范围为 D．若函数在上恰有4个零点，则的取值范围为 【答案】AC 【详解】由题可知，，A正确. 由，可作出的部分图象，可知在上单调递增，在上单调递减，B不正确. 由，得，根据函数的对称性可知，当时，可知，是方程的两个不同的根，且，，根据的图象可知，a的取值范围为，C正确. 当函数在上恰有4个零点时，根据的图象可知，a的取值范围为，D不正确. 故选： 2．（多选）（24-25高三上·江苏淮安·阶段练习）设函数的定义域为，满足，且当时，.则（    ） A．当时， B．关于的方程有且仅有3个实数根 C．若对任意都有，则的最大值为 D． 【答案】ACD 【详解】定义在上的函数，由，得， 对于A，当时，，则，A正确； 对于B，当时，，，由，得； 当时，，解得；当时，， 解得或，因此方程的根不只3个，B错误； 对于C，当时，，则， 当时，，当时，， 因此由的图象每向右移一个单位，所得函数在该区间上的最小值变为相邻上一个区间上最小值的2倍， 由图知，要使对任意，都有，则， 由，得，因此m的最大值是，C正确； 对于D，由选项C知，，， 数列是以为首项，2为公比的等比数列，， ，则， 于是， 两式相减得， 因此，D正确. 故选：ACD 3．（24-25高三上·全国·阶段练习）定义在上的函数满足：①；②；③，则 ， ． 【答案】 1 【详解】在①中，令，得， 在②中，令，得， 在①中，令，得，所以； 在②中，令，得， 由③知，在上非严格单调递增，又因为，所以均有． 注意到，因此， 于是 , 故答案为：1， 真题呈现 1．（2025年北京高考真题）已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2025年北京高考真题）关于定义域为R的函数，以下说法正确的有 ． ①存在在R上单调递增的函数使得恒成立； ②存在在R上单调递减的函数使得恒成立； ③使得恒成立的函数存在且有无穷多个； ④使得恒成立的函数存在且有无穷多个． 【答案】②③ 【详解】对于①，若存在上的增函数，满足， 则即， 故时，，故， 故即，矛盾，故①错误； 对于②，取，该函数为上的减函数且， 故该函数符合，故②正确； 对于③，取， 此时，由可得有无穷多个， 故③正确； 对于④，若存在，使得， 令，则，但，矛盾， 故满足的函数不存在，故④错误. 故答案为：②③ 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 4．（多选）（2023年新课标全国Ⅰ卷高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 5．（2022年新高考全国Ⅱ卷高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 6．（多选）（2022年新高考全国Ⅰ卷高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 7.（2022年全国乙卷（理）高考真题）已知函数，的定义域均为，且 ，．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以，因为，所以. 所以故选：D 8.（2021年全国新高考Ⅱ卷高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论. 【详解】因为函数为偶函数，则，可得， 因为函数为奇函数，则，所以，， 所以，，即， 故函数是以为周期的周期函数， 因为函数为奇函数，则， 故，其它三个选项未知. 故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $$