精品解析：上海市崇明区2024-2025学年高二下学期期末学业质量调研数学试题

2024学年第二学期期末学业质量调研 高二数学 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1－6题每题4分，7－12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1. 双曲线的渐近线方程________． 【答案】 【解析】 【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程． 【详解】∵双曲线的a=2，b=1，焦点在x轴上 而双曲线的渐近线方程为y=± ∴双曲线的渐近线方程为y=± 故答案为y=± 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想 2. 以为圆心，为半径的圆的方程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，直接写出圆的方程即可. 【详解】依题意，所求圆的方程为. 故答案为： 3. 椭圆的两个焦点之间的距离为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】确定椭圆焦点坐标，即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：， 所以， 则焦点坐标为， 所以两个焦点之间的距离为2， 故答案为：2 4. 直线与直线的夹角的大小是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用两直线夹角公式去求解即可. 【详解】线与直线的斜率分别为， 由直线的夹角公式可得，又，所以. 故答案为：. 5. 某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】先设事件，根据已知条件，写出对应事件的概率，，，，再根据全概率公式求解即可. 【详解】设任取一件商品是一等品， 取到的商品是甲品牌，则， 取到的商品是乙品牌，则， 已知甲品牌一等品比例为90%，即， 乙品牌一等品的比例为95%，即， 所以由全概率公式可知 . 故答案为： 6. 已知点、，则线段的垂直平分线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 7. 若随机变量服从正态分布，，则____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 则. 故答案为：. 8. 某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据古典概型概率公式求出各事件的概率，再根据条件概率公式，求出条件概率. 【详解】已知男生中有10名团员，女生中有9名团员，共有19名团员，则， 已知男生中有10名团员，则, 可得， 故答案为：. 9. 曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 【答案】 【解析】 【分析】联立方程组，求出两点坐标，根据两点间的距离公式，求出线段长度. 【详解】联立方程组得，消去得，解得或， 所以不妨设，则. 故答案为：. 10. 已知曲线在处的切线方程为，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】由题意先求，利用导数的几何意义求即可求解. 【详解】因为曲线在处的切线方程为， 所以， 故答案为：1. 11. 已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分析分段函数的单调性，由题意得到对应结论，然后建立不等式组，求得实数a的取值范围. 【详解】∵二次函数开口向下，是极大值， 一次函数，当时，函数是单调函数，没有极值点， 要想函数有两个极值点，则这两个极值点为和， 又∵函数在上单调递减，∴在上递增. ∴，∴. 故答案： 12. 已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数最多为_______． 【答案】343 【解析】 【分析】分析函数的性质，由对应取值的情况分类讨论求出的个数即可. 【详解】依题意，函数在上单调递增，在上单调递减，在处既得极大值，在处取得极小值， 因此对应取值可以是1个、2个或3个，且当或时，取值只有1个； 当或时，取值只有2个；当时，取值有3个， 当对应的个数均为1时，集合的个数为1； 当对应的个数为两个1，一个2时，集合的个数为； 当对应的个数为两个1，一个3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个1，两个2时，集合的个数为； 当对应的个数为1，2，3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个1，两个3时，集合的个数为； 当对应的个数为两个2，一个3时，集合的个数为； 当对应的个数为一个2，两个3时，集合的个数为； 当对应的个数均为3时，集合的个数为， 所以符合要求的集合的个数最多为343. 故答案为：343 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13－14题每题4分，15－16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】 13. 直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 14. 方程可以化简为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 15. 已知函数的图像是连绵不断的曲线，其导函数为．有如下两个命题：①若为奇函数，则为偶函数；②存在函数，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调．则（    ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义，分别判断两个命题的真假，得出答案. 【详解】当为奇函数，则，则， 根据复合函数求导可得， 则有，即，可知为偶函数，①是真命题， 当时，，即函数，使得在定义域上单调，但在定义域不单调，所以②是真命题. 故选：A. 16. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性. 【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，. 故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为. 故， 随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小； ，随着的增大，增大. 故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 17. 求经过点，且满足下列条件的直线的方程： （1）经过点； （2）与直线平行． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【小问1详解】 由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； 【小问2详解】 由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 18 已知圆，直线． （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程整理成标准方程，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，即可得解； （2）联立直线方程和圆方程，根据韦达定理结合向量数量积的坐标运算可得，即可得解. 【小问1详解】 由圆的一般方程可得标准方程，则，即. 所以圆心到直线距离， 因为直线与圆相切，所以，解得，满足. 所以，. 【小问2详解】 由题意，联立可得， 设， 则，解得， 根据韦达定理可得， 则， 所以，满足. 所以，圆的半径满足，故. 19. 甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 （1）从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为 （3），理由见解析 【解析】 【分析】(1) 通过统计甲获胜的场数，利用古典概型概率公式计算甲获胜的概率； (2) 先确定甲得分不低于分的场次，乙得分大于丙得分的场次，进而确定的可能取值，计算相应的概率，得到分布列，最后根据数学期望公式计算期望； (3) 先根据已知场比赛的获胜频率得到每人获胜的概率，由于接下来的比赛获胜场数符合二项分布，利用二项分布的方差公式计算并比较方差大小. 【小问1详解】 甲获胜的场次为第五场(分)和第八场(分)，共场， 故从上述8场比赛中随机选择一场，甲获胜的概率； 【小问2详解】 甲得分的场次：，共场， 乙得分丙得分的场次：，共场. 的可能取值：0,1,2， 总选法：， ：选场乙丙，，概率， ：选场乙丙和场乙丙，，概率， ：选场乙丙，，概率， 分布列如下： 0 1 2 数学期望：. 【小问3详解】 以频率估计获胜概率：甲：，乙：，丙：， 三人获胜场数符合二项分布， ，， 所以 20. 如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． （1）求椭圆的离心率； （2）若点M的坐标为，求点P的坐标； （3）求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程，直接求离心率； （2）首先利用垂直关系，先求点坐标，再求点的坐标； （3）首先设，设，，首先根据，得到，再根据，得到坐标的关系，最后根据，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率； 【小问2详解】 ，，设，，， 因为，所以，即，即 设，，， 由题意可知，，得，， 则； 【小问3详解】 设，，设，，，， 由，所以，得， ，，， 由，所以，且， 化简得，又， 所以，即 所以，得， . 21. 已知，． （1）求曲线在处的切线； （2）设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； （3）与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）存在，有2条. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）构造函数，利用导数探讨函数的性质，将问题转化为直线与函数图象的交点个数求解. （3）设出与曲线均相切的直线切点，再利用导数的几何意义建立方程，转化为函数零点个数求解. 【小问1详解】 依题意，，求导得，则，而当时，， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 方程，令函数， 则关于的方程解的个数，即为直线与函数图象交点个数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递减，函数值集合为，， 当时，直线与函数图象有2个交点，原方程有2个解； 当时，直线与函数图象有1个交点，原方程有1个解； 当时，直线与函数图象无交点，原方程有0个解. 【小问3详解】 假设直线与曲线、均相切，对应的切点分别为，， 而，，则，消去得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 因此函数在及各存在一个零点， 所以存在2条与曲线均相切的直线. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末学业质量调研 高二数学 考生注意： 1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分． 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1－6题每题4分，7－12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】 1. 双曲线的渐近线方程________． 2. 以为圆心，为半径圆的方程是_______． 3. 椭圆的两个焦点之间的距离为_______． 4. 直线与直线的夹角的大小是_____. 5. 某地市场上，某商品主要有甲、乙两种品牌，已知甲的市场占有率为45%，乙的市场占有率为55%．已知甲品牌一等品比例为90%，乙品牌一等品的比例为95%．现在该地市场上任取一件该商品，它是一等品的概率是_______． 6. 已知点、，则线段的垂直平分线方程为_______． 7. 若随机变量服从正态分布，，则____________. 8. 某班级有40名学生，其中男生21名，女生19名，男生中有10名团员，女生中有9名团员，在该班中随机选取一名学生，A表示“选到是团员”，B表示“选到的是男生”，则_______． 9. 曲线与直线交于A、B两点，则线段AB的长度为_______． 10. 已知曲线在处的切线方程为，则_______． 11. 已知，若函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________． 12. 已知函数的定义域和值域都为，且图像是一条连续不断的曲线，其导函数的值如下表： ＋ 0 － 0 ＋ 设，若集合，其中为常数，则符合要求的集合的个数最多为_______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13－14题每题4分，15－16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】 13. 直线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 14. 方程可以化简为（    ） A. B. C. D. 15. 已知函数的图像是连绵不断的曲线，其导函数为．有如下两个命题：①若为奇函数，则为偶函数；②存在函数，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调．则（    ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是真命题，②是假命题 16. 有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（ ） A. 增加，增加 B. 增加，减小 C. 减小，增加 D. 减小，减小 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】 17. 求经过点，且满足下列条件的直线的方程： （1）经过点； （2）与直线平行． 18. 已知圆，直线． （1）若直线与圆相切，求实数的值； （2）直线与圆相交于、两点，且，求圆的半径． 19 甲、乙、丙三人进行篮球投篮比赛，共比赛8场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 9 10 11 8 12 10 9 13 乙 8 12 9 11 10 13 8 11 丙 10 9 12 10 9 8 11 12 （1）从上述8场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在上述8场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设表示乙得分大于丙得分的场次数，求的分布列和数学期望； （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述8场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行5场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差，，的大小关系，并说明理由． 20. 如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． （1）求椭圆离心率； （2）若点M的坐标为，求点P的坐标； （3）求证：为定值． 21. 已知，． （1）求曲线在处的切线； （2）设R，试根据的不同取值，讨论关于的方程解的个数； （3）与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $