1.5 等腰三角形 考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年八年级数学上册（苏科版2024）

1.5 等腰三角形 一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰。 二、等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 2. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合（简称“三线合一”）。 3. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。 4. 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等。 5. 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 6. 等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）上任意一点到两腰的距离相等。 7. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角（锐角）度数等于顶角度数的一半。 三、等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 四、等边三角形的定义和性质 1. 定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形。 2. 性质： （1） 等边三角形的三条边都相等。 （2） 等边三角形的三个角都等于60°。 （3） 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 （4） 等边三角形各边上的高线、中线、所对的角平分线重合，且长度相等。 巩固课内例1:等边对等角 1．在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，点是上一点，，，则 ． 3．已知在中，，．说明的理由． 巩固课内例2:平行+角平分线=等腰 1．如图，的平分线上有一点P，过点P作的平行线，，则点P到射线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 2．如图，在中，平分平分，过点作的平行线分别与，相交于点M，N．若，的周长为7，则的周长为 ． 3．已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证： (1)是等腰三角形； (2)． 巩固课内例3:等边三角形的判定 1．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 2．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是 三角形． 3．如图，在中，，是边的垂直平分线，点O在上，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 巩固课内例4:斜中定理 1．如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知在中，，是边上的中线，，则的长度是 ． 3．如图，已知，，E为的中点．求证：． 类型一、等腰三角形的定义 1．已知有理数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形周长是（   ） A．17 B．22 C．17或22 D．以上答案均不对 2．以，为边长的等腰三角形的底边长为 ． 3．若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、． (1)求、的值； (2)求该等腰三角形的周长． 类型二、三线合一 1．如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 2．如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 3． 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 类型三、等角对等边 1．为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 3．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 类型四、等边三角形的性质 1．如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在等边中，于点D，延长至点E，使得，连接，若，则的长为 ． 3．如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 类型一、网格中的等腰三角形 1．正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 3．图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使它与全等； (2)在图②中画一个，使它与全等； (3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 类型二、30°对应的直角边=斜边的一半 1．如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 2．如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ． 3．如图，在中，是角平分线，交于点，且，垂足分别为E，F． (1)求证：． (2)若，则的长为______． 类型三、等腰(边)三角形的手拉手 1．如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 2．如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则= ． 3．已知和均是等边三角形． (1)与之间的数量关系为_____； (2)如图2，当绕点C旋转至点D，且在的延长线上时，，，存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图3，当绕点C旋转至经过点B时，过点A作于点F，请直接写出线段，与之间的数量关系． 类型四、尺规作图 1．如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在已知的中，按如下步骤作图： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点； ②作直线，交于点，连接． 若，则的度数为 ． 3．如图，中． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的角平分线，交于点； ②作，交延长线于点； (2)判断与的数量关系并证明． 类型五、腰上的高与另一腰的夹角 1．钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（   ） A． B． C． D．或 2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 3．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求底角的度数． 类型一、最值问题 1．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ． 3．综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 类型二、三线合一+斜中定理 1．如图，在中，，，是高，是中线，AH交BM于点N、于点E，交于点D，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 2．如图，在四边形中，为对角线的中点，连接，若，则的度数为 度． 3．如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)证：； (2)若，，连接、，求的度数． 类型三、折叠问题 1．如图，先将正方形纸片（，）对折，折痕为，再把点折叠到上，折痕为，点在上的对应点为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 3．【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 类型四、新定义问题 1．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边长为3，则腰的长为（    ） A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6 2．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于 ． 3．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． 【简单认识】 四边形是“等对角四边形”，且，若，则的度数为 　　 ． 【初步研究】 如图①是特殊的“等对角四边形”，其中，作另外一组对角的角平分线、，发现他们是平行的（不考虑共线的特殊情况），请证明． 【深度思考】 （1）图②、图③均为的正方形网格，线段、的端点均在网点上，按要求在图②、图③中以和为边各画一个等对角四边形． （要求：四边形的顶点在格点上，所画的两个四边形不全等． （2）四边形是“等对角四边形”，若，，则的度数为 　　 ． 【高阶挑战】 画一个如图④的“筝形”，它也是较特殊的“等对角四边形”，除了，还有邻边，此时发现另一组邻边也成立．由此我们作出猜想：“对于任意的等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等．”你认为这样的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举反例说明． 类型五、等腰三角形动点求t 1．已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（   ）时，是直角三角形． A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为 ． 3．如图，在中，，已知，，，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒． (1)当时，用含有的代数式表示的长______________； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等，求的值； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.5 等腰三角形 一、等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，相等的两边叫作腰。 二、等腰三角形的性质 1. 等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）。 2. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合（简称“三线合一”）。 3. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。 4. 等腰三角形两腰上的中线相等，两腰上的高相等，两底角的平分线也相等。 5. 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。 6. 等腰三角形底边上的高（或底边上的中线或顶角的平分线）上任意一点到两腰的距离相等。 7. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角（锐角）度数等于顶角度数的一半。 三、等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）。 四、等边三角形的定义和性质 1. 定义：三边都相等的三角形叫作等边三角形。 2. 性质： （1） 等边三角形的三条边都相等。 （2） 等边三角形的三个角都等于60°。 （3） 等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴，分别为三边的垂直平分线。 （4） 等边三角形各边上的高线、中线、所对的角平分线重合，且长度相等。 巩固课内例1:等边对等角 1．在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：在中，，， ，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意； 不能证明， 故选项D不正确，符合题意； 故：D． 2．如图，，点是上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，平行线的性质，根据等边对等角，得到，平行线的性质，得到，进而得到，利用平角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．已知在中，，．说明的理由． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 巩固课内例2:平行+角平分线=等腰 1．如图，的平分线上有一点P，过点P作的平行线，，则点P到射线的距离为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了角直角三角形的性质，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，三角形的外角性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，于点，由角平分线得到，然后结合平行线证明，以及三角形的外角性质得到，再由角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点作于点，于点， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即点P到射线的距离为1， 故选：B． 2．如图，在中，平分平分，过点作的平行线分别与，相交于点M，N．若，的周长为7，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，得到，，求得，根据三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ， 的周长为， ， 的周长， 故答案为：12． 3．已知：如图，为的外角平分线上的一点，，，求证： (1)是等腰三角形； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判断与性质． （1）由可得，由平分得，从而，故可得结论； （2）根据证明即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ，， 为的外角平分线上的一点， ， ， ， 是等腰三角形； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴． 巩固课内例3:等边三角形的判定 1．若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了等边 三角形的判定、轴对称图形，如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形，有一个内角为的等腰三角形是等边三角形． 【详解】解：三角形是轴对称图形， 这个三角形一定是等腰三角形， 又这个三角形有一个内角为， 这个三角形一定是等边三角形． 故选：C． 2．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式摆放，若，则是 三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定，关键是由平行线的性质得到．由平行线的性质得到，又，由三角形内角和定理求出，得到，即可证明是等边三角形． 【详解】解：∵直尺的对边平行 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 3．如图，在中，，是边的垂直平分线，点O在上，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)8． 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知掌握相关知识是解题的关键。 （1）根据线段垂直平分线的性质得到，则，由等边对等角可得，则，据此可证明，再由三角形内角和定理可得，据此可证明结论； （2）过点O作于点F．求出．可得，再求出，得到．则．由三线合一定理打得到．则． 【详解】（1）证明：∵是边的垂直平分线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴是等边三角形． （2）解：如图，过点O作于点F． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 巩固课内例4:斜中定理 1．如图所示，在中，，点为边的中点，顶点B,C分别对应刻度尺上的刻度和，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解决问题的关键．根据，为边的中点，结合点B，C对应的数求出长解答即可． 【详解】解：由图可知， ∵点为边的中点，， ∴， 故选：B． 2．如图，已知在中，，是边上的中线，，则的长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查直角三角形斜边上中线的性质，直接根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边边上的中线， ∴， ∴． 故答案为：4 3．如图，已知，，E为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形斜边中线的性质推出，，即可证明． 【详解】证明：，， ， 为的中点， ，， ． 类型一、等腰三角形的定义 1．已知有理数a，b满足，则以a，b的值为两边长的等腰三角形周长是（   ） A．17 B．22 C．17或22 D．以上答案均不对 【答案】B 【分析】此题考查了绝对值和平方数的非负性，等腰三角形的概念和三角形的三边关系．首先根据绝对值和平方数的非负性求出，，然后根据等腰三角形的概念和三角形的三边关系分情况讨论，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴解得，． 当4是等腰三角形的腰时， 三角形三边分别为，4，4，9， ∵，围不成三角形，不符合题意； 当9是等腰三角形的腰时， 三角形三边分别为，4，9，9， ∵，能围成三角形，符合题意； ∴三角形的周长为． 故选：B． 2．以，为边长的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】4 【分析】题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 分两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：若为腰，此时三角形的三边长分别为，，， ∵，不能构成三角形，舍去； 若为腰，此时三角形的三边长分别为，，， ∵，满足三角形三边关系，符合题意； 综上所述，底边长为． 故答案为：4 3．若代数式的值与无关，且等腰三角形的两边长为、． (1)求、的值； (2)求该等腰三角形的周长． 【答案】(1) (2)7或8 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，解二元一次方程组，等腰三角形的定义，正确求得m、n是解答的关键． （1）化简这个多项式，因为代数式的值与y无关，所以含y的项的系数等于0，列出方程组求出、的值； （2）根据、，分两种情况求出该等腰三角形的周长． 【详解】（1）解： ， ∵代数式的值与无关， ∴， 解得：； （2）解：当3是等腰三角形的腰时，三边为3，3，2，此时周长； 当2是等腰三角形的腰时，三边为2，2，3，周长． ∴该等腰三角形的周长为7或8． 类型二、三线合一 1．如图，是等腰底边上的中线，平分，交于点，，则的面积是（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形底边上三线合一，角平分线上点到角两边距离相等，解题的关键是作出辅助线．过作交于点，根据等腰三角形底边上三线合一得到，结合，平分得到即可得到答案； 【详解】解：如图，过作交于点， ∵是等腰三角形底边上的中线， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵ ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【答案】110 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解：在中，，D为的中点， ，即， ，， ， ； 故答案为：． 3． 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意知，，则，求出，由垂直平分，可得，则，由，计算求解即可； （2）由，可得，，由的周长为，，可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为，， ∴， 解得，， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 类型三、等角对等边 1．为了使桥面更加稳固，桥面上的斜拉钢缆一般与桥面呈三角形结构，如图是桥面上两条绳索与桥面的示意图，已知，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等角对等边这一判定定理是解题的关键．根据等腰三角形的判定定理（等角对等边），判断三角形的边的关系，进而求出 的长度． 【详解】解：在中， ， （等角对等边）， 又， ． 故选：C． 2．如图，在中，为边的中线，E为上一点，连接并延长交于点F，若，，，则的长为 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长至，使，连接，可证明，则，，根据，得，可证出，即得出，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，的平分线交于点D，过点D作交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． （1）根据角平分线性质可得，由，根据平行线的性质得，到，即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出，由，根据平行线的性质即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：， ， ， ， ． 类型四、等边三角形的性质 1．如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，在等边中，于点D，延长至点E，使得，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据等边三角形性质，得，根据， ，，得，根据，可得，即得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的性质，含30度的直角三角形性质，等腰三角形判定和性质，勾股定理，三角形外角性质，是解题的关键． 3．如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，角平分线的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）证．得，，再由三角形的外角性质得即可； （2）证是等边三角形，得，，再证，得，即可解决问题． 【详解】（1）∵是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ， ， 平分． 类型一、网格中的等腰三角形 1．正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知点A，B在格点上，点C也在格点上，若为等腰三角形，则图中符合条件的点C有（    ） A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 根据等腰三角形的定义判断即可． 【详解】解：如图，满足条件点C有8种情形． 故选：C． 2．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得为等腰三角形，则点C的个数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当为底时，当为腰时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：如图，由题意知，当为底时，满足要求的点如；当为腰时，满足要求的点如； ∴共有5个， 故答案为：5． 3．图①、图②、图③均是（的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均在格点上，在给定的网格中按下列要求画图． (1)在图①中画一个，使它与全等； (2)在图②中画一个，使它与全等； (3)在图③中画一个，使是等腰三角形且为钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定与性质，三角形的分类，等腰三角形的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （2）运用网格特征，即可画出一个与全等的，即可作答． （3）根据是等腰三角形且为钝角三角形，且结合网格特征，即可作答． 【详解】（1）解：如图①所示 （2）解：如图②所示 （3）解：如图③所示 类型二、30°对应的直角边=斜边的一半 1．如图，在中，，，交于点，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据含角的直角三角形的性质求得，由等边对等角以及三角形内角和定理求得，进而求得，再根据等边对等角得到，最后根据即可得解． 【详解】解：， 为直角三角形， 又，， ， ，， ， ， ，即， ， 是等腰三角形，即， ， 故选：D． 2．如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的性质，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合三角形内角和定理求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，在中，是角平分线，交于点，且，垂足分别为E，F． (1)求证：． (2)若，则的长为______． 【答案】(1)详见解析 (2)1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，三角形面积计算，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到结论； （2）过点B作于点G，根据全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，根据直角三角形性质求出，得出三角形的面积，根据，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：过点B作于点G，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 类型三、等腰(边)三角形的手拉手 1．如图，点是等边内一点，若将绕点按逆时针方向旋转一个角度后得到，连接，若，则的长度为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转的性质，由旋转得，得，得，可判断出是等边三角形，故可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ 由旋转得， ∴， ∴ 而， ∴，即， ∵， ∴是等边三角形， ∴, 故选：B． 2．如图，在中，，点在内，将以点为旋转中心进行旋转，使点B与点C重合，点M 落在点N处，若,且 B、M、N三点恰共线，则= ． 【答案】40°/40度 【分析】由全等可推理得到，由可得到，又由，结合三角形内角和定理即可求得答案． 【详解】解：由旋转可知： ∴， ∴ 即： 又∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等相关知识点，牢记相关的知识点并能结合图形灵活应用是解题的关键． 3．已知和均是等边三角形． (1)与之间的数量关系为_____； (2)如图2，当绕点C旋转至点D，且在的延长线上时，，，存在什么数量关系？并说明理由； (3)如图3，当绕点C旋转至经过点B时，过点A作于点F，请直接写出线段，与之间的数量关系． 【答案】(1)相等 (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判断，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由等边三角形得到，，，然后证明出，即可得到； （2）同（1）可得，结合，可得结论； （3）如图所示，连接，同（1）可得，，得到，，然后求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）相等，理由如下： ∵和均是等边三角形 ∴，， ∴ ∴ ∴； （2），理由如下： 同（1）可得， ∴ ， ∵， ∴； （3），理由如下： 如图所示，连接 同（1）可得， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 类型四、尺规作图 1．如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 2．如图，在已知的中，按如下步骤作图： ①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点； ②作直线，交于点，连接． 若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了垂直平分线，等角对等边，三角形外角和内角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由题中作图方法可知，为线段的垂直平分线，则，根据等角对等边，可得，再结合三角形外角和内角可得，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， 由题中作图方法可知，为线段的垂直平分线， 则， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，中． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的角平分线，交于点； ②作，交延长线于点； (2)判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明间解析 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图，平行线的性质与判定，等边对等角等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）角平分线的尺规作图，作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）先证明，得到，再由角平分线的定义推出，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 类型五、腰上的高与另一腰的夹角 1．钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，根据题意画出图形，得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， 依题意，， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴， 故选：． 2．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则顶角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，三角形的内角和定理，正确画出图形是解题的关键．根据题意画出图形，根据三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：①等腰三角形为锐角三角形， ， ； ②等腰三角形为钝角三角形， ， 故答案为：或． 3．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，求底角的度数． 【答案】等腰三角形底角的度数为或 【分析】本题考查等边对等角，三角形的内角和定理，分等腰三角形的顶角为锐角和钝角，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如答图①所示． 因为， 所以． 因为， 所以． 因为，所以； ②若，如答图②所示． 同①可得， 所以． 因为， 所以． 综上所述，等腰三角形底角的度数为或． 类型一、最值问题 1．如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点的应用，找到是解题的关键．作点E关于对称的点M，连接，与交于点F，推出最小时即为，再根据等边三角形的性质可得结果． 【详解】解：作点E关于对称的点M，连接，与交于点F， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴，平分， ∴M在上， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当时，最小，且为， ∵， ∴，即点M为中点， ∵是等边三角形， ∴平分， ∴， 故选：C． 2．如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据折叠得到，，则，那么当点三点共线时，取得最小值为，导角得到，再根据角直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接， ∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：9． 3．综合与实践 【问题呈现】小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在中，，，点D、E分别是上的动点，且，试探究的最小值． 【问题分析】小明通过构造全等三角形，将要求的两条线段拼接到一起，双动点问题转化为单动点问题，再根据两点之间，线段最短，进而解决上述几何问题． 【问题解决】如图②，过点C作，且使，连接．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）连接__________，的最小值即为线段__________的长度． 【方法应用】如图③，在中，，，于点D，点M、N分别是线段上的动点，且，当的值最小时，的度数为__________． 【答案】（1）见解析；（2），；方法应用： 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的性质和判定，最短路径问题以及等腰三角形的性质的运用等知识点，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 问题解决：（1）根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）连接，连接的最小值即为线段的长度． 方法应用：在下方作，使，连接，则最小值为，此时三点在同一直线上，推出，所以，即可得到． 【详解】问题解决：（1）证明：∵， ， 在和中， ， ， ； （2）解：连接的最小值即为线段的长度． 则， 故的最小值即为线段的长度． 故答案为：； 方法应用：解：在下方作，使，连接． 则． ， 即最小值为，此时三点在同一直线上． ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， 故答案为：． 类型二、三线合一+斜中定理 1．如图，在中，，，是高，是中线，AH交BM于点N、于点E，交于点D，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 如图，作交的延长线于．通过角的等量代换，得出，再通过证明，然后角的等量代换，得出，再通过证明，最后证明，即可解决问题； 【详解】解：如图，作交的延长线于． ，， ∴是等腰直角三角形， ∵是高，是中线， ∴平分，，， ， ， ， ， ∴ ， ∵， ， ，，，故②③正确， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， ，，故①④正确， 故选：D． 2．如图，在四边形中，为对角线的中点，连接，若，则的度数为 度． 【答案】34 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出，然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可． 【详解】解：，是的中点， ，，， ， ，， ， ，， ， ∵ ∴． 故答案为：． 3．如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点． (1)证：； (2)若，，连接、，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得到，，则，然后根据等腰三角形的性质得出结论； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，结合平角的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接、， ∵、分别是、边上的高，M是的中点， ∴， ∴都是直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰三角形， 又∵N为中点， ∴； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴， ∴． 类型三、折叠问题 1．如图，先将正方形纸片（，）对折，折痕为，再把点折叠到上，折痕为，点在上的对应点为，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，证明得到为等边三角形是解题的关键． 连接，由对称得，，垂直平分，证明为等边三角形，，再由求出，即可求解． 【详解】解：连接， 由对称得，，垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 3．【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由平行线的性质得，由折叠的性质得，从而，进而可证是等腰三角形； （2）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 类型四、新定义问题 1．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边长为3，则腰的长为（    ） A．1.5 B．3 C．6 D．1.5或6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系．分类讨论：或，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】解：∵是等腰三角形，底边， ∴． 当时，是“倍长三角形”； 当时，， 根据三角形三边关系，此时A、B、C不构成三角形，不符合题意； ∴当等腰是“倍长三角形”，底边，则腰的长为6． 故选：C． 2．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”．若在等腰中，，则它的特征值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数，从而可求解，熟记等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴， ∴它的特征值等于， 故答案为：． 3．我们定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”． 【简单认识】 四边形是“等对角四边形”，且，若，则的度数为 　　 ． 【初步研究】 如图①是特殊的“等对角四边形”，其中，作另外一组对角的角平分线、，发现他们是平行的（不考虑共线的特殊情况），请证明． 【深度思考】 （1）图②、图③均为的正方形网格，线段、的端点均在网点上，按要求在图②、图③中以和为边各画一个等对角四边形． （要求：四边形的顶点在格点上，所画的两个四边形不全等． （2）四边形是“等对角四边形”，若，，则的度数为 　　 ． 【高阶挑战】 画一个如图④的“筝形”，它也是较特殊的“等对角四边形”，除了，还有邻边，此时发现另一组邻边也成立．由此我们作出猜想：“对于任意的等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等．”你认为这样的猜想正确吗？若正确，请证明；若不正确，请举反例说明． 【答案】【简单认识】；【初步研究】见解析；【深度思考】（1）见解析；（2）或；【高阶挑战】猜想不正确，见解析 【分析】本题考查四边形综合题、等腰三角形的判定和性质、“等对角四边形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，学会举反例说明问题． 根据四边形是“等对角四边形”，且，，可得的度数； 根据四边形是“等对角四边形”得，利用角平分线定义证明，进而可以解决问题； （1）根据“等对角四边形”的定义画出图形即可求解； （2）根据“等对角四边形”的定义及四边形的内角和是求解即可； 根据等边对等角得出，求出，根据等腰三角形的判定得出；猜想不正确．举一个反例即可． 【详解】解：四边形是“等对角四边形”，且， ， ， ， ， 的度数为， 故答案为：； 初步研究：证明：， ， 、分别是角平分线， ，， ， ， ， ； 深度思考：（1）如图所示： （2）四边形是“等对角四边形”， 当时， ，， ， ， 当时， ，， ， 的度数为或； 故答案为：或； 高阶挑战：猜想不正确，理由如下： 如图④的“筝形”， ， ， ， ． ， ； “对于任意的等对角四边形，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等．”猜想不正确， 反例：如图⑤中，，，但． 类型五、等腰三角形动点求t 1．已知：如图，是边长的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达点B时，P、Q两点停止，当t为（   ）时，是直角三角形． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的性质，度的角所对的直角边是斜边的一半．根据题意，是直角三角形分两种情况，一是，二是，分别求解即可，具体见详解． 【详解】解：∵动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是， ∴ 是边长的等边三角形 当时 ，即得， 当时 ，即得 故当或时，是直角三角形． 故选：B． 2．如图，是射线上一点，，动点从点出发沿射线以的速度运动，动点从点出发沿射线以的速度运动，点同时出发，设运动时间为（s），当是等腰三角形时，的值为 ． 【答案】或． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、解一元一次方程．解决本题的关键是根据等腰三角形中有两条边相等把几何问题转化为方程求解，本题中还要注意运用分类讨论的思想上，要分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况讨论．当点在点的左侧时，根据可得方程，解方程求出值即可；当点在点的右侧时，根据，可知是等边三角形，所以也有，可得方程，解方程求出即可． 【详解】解：如下图所示， 当点在点的左侧时，设运动时是等腰三角形， ， ， 若是等腰三角形， 则有， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 如下图所示， 当点在点的右侧时，设运动时是等腰三角形， ， 是等边三角形， ， ，点运动的速度为， ， 点以的速度运动， ， ， 解得：； 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 3．如图，在中，，已知，，，动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒． (1)当时，用含有的代数式表示的长______________； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值； (3)当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等，求的值； (4)当点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为或4或． (4)或或． 【分析】本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （1）观察图形用来求解； （2）当是以为腰的等腰三角形时有两种情况，①，②，两种情况，表示出线段长，即可列列方程求解； （3）分三种情况：当点与点重合时，当点在上时，当点在上时，分别求解即可； （4）先求出周长的一半，分三种情况：当点在上时，，当点在上时，， 当点在上时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿运动，设点的运动时间是秒．， ， 故答案为：． （2）解：∵当是以为腰的等腰三角形时， 点一定在上，     ①若， ， （秒）， ②若， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述：当是以为腰的等腰三角形时，的值为或． （3）解：当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等， ①当点与点重合时，点P到直角边，的距离都等于0，此时，解得， ②当点在上时，点P到直角边，的距离都等于，此时， 过点作， ； ∵， ∴，解得： ③当点在上时，点P到直角边，的距离都等于，此时， 过点作， ； ∵， ∴，解得： 综上所述：当点在直角边，上运动过程中，如果点到的两条边距离相等， 的值为 或4或． （4）解：，，，， 的周长为， 点与顶点连接的线段将的周长分为相等的两部分时，每一部分的周长为， 当点在上时，，    ， （秒）， 当点在上时，，    ， （秒）， 当点在上时，，    ， （秒）， 综上所述，的值为或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$