第05讲 全称量词与存在量词 2025年高一暑假数学讲义（人教A版2019必修第一册）

第05讲 全称量词与存在量词 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 用全称量词或存在量词改写命题 【题型二】 全称量词命题与存在量词命题的真假 【题型三】 含有一个量词的命题的否定 【题型四】 由全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，存在量词、存在量词命题的定义； 2.会判断一个命题的全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假； 3.正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【题型一】 用全称量词或存在量词改写命题 相关知识点讲解 1 全称量词与全称量词命题 (1)全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 2 存在量词与存在量词命题 (1)存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 【答案】(1)全称量词命题，符号表示为 (2)存在量词命题，符号表示为 (3)全称量词命题，符号表示为 (4)存在量词命题，符号表示为,的值随的增大而增大． 【知识点】判断命题是否为全称命题、用全称量词改写命题、判断命题是否为特称（存在性）命题、用存在量词改写命题 【分析】（1）（2）（3）（4）根据全称命题、特称命题的定义及形式求解． 【详解】（1）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （2）这是存在量词命题，符号表示为； （3）这是全称量词命题，隐藏了全称量词“所有的”，符号表示为； （4）这是存在量词命题，符号表示为，的值随的增大而增大． 变式练习 1 （23-24高一·江苏·假期作业）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系、用全称量词改写命题、子集的概念 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中， 而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误． 故选：B 2（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【答案】(1) (2) (3)且. (4)｛四边形｝，｛平行四边形｝ 【知识点】用全称量词改写命题、用存在量词改写命题 【分析】根据全称量词命题或存在量词命题的知识写出正确答案. 【详解】（1）. （2）. （3）且. （4）｛四边形｝，｛平行四边形｝. 【题型二】 全称量词命题与存在量词命题的真假 【典题1】（24-25高一上·广东深圳·期中）下列四个命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】根据全称量词命题、存在量词命题的知识对选项进行分析，从而确定正确答案 【详解】A选项，由得，不是整数，所以A选项错误. B选项，由得，不是整数，所以A选项错误. C选项，或时，，所以C选项错误. D选项，由于，所以D选项正确. 故选：D 变式练习 1（24-25高一上·全国·课前预习）下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】A 【分析】根据全称命题的概念排除BD，然后举反例排除C，即可判断. 【详解】“有一个”和“存在一个”为存在量词， 根据全称命题的概念可知：至少有一个实数，使， 存在一个负数，使都不是全称命题，排除选项BD； 因为是无理数，而 不是无理数， 所以命题：任意无理数的平方必是无理数为假命题，故选项C不合题意； 对于选项A，斜三角形的内角是锐角或钝角为全称命题且为真命题，符合题意． 故选：A 2（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，再逐项判断即可. 【详解】由，可得， 所以错误，错误， 错误，，即，正确. 故选：D. 3（24-25高一上·湖北·期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（    ） A．任意实数的平方都大于0 B．， C．存在整数，使得 D．，一元二次方程有实根 【答案】B 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】AB选项可举出反例；C选项，均为整数，则为整数，故不存在整数，使得，C错误；D选项，由根的判别式进行判断. 【详解】A选项，0的平方等于0，A错误； B选项，当时，，满足要求，B正确； C选项，， 均为整数，则为整数，故不存在整数，使得，C错误； D选项，当时，， 此时一元二次方程无实根，D错误. 故选：B 4（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（    ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 【答案】B 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断命题的真假、判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【分析】可通过分别判断选项正确和错误，来进行选择/ 【详解】选项A，，即有实数解，所以，显然此方程无实数解，故排除； 选项B，，，故该选项正确； 选项C，，而当，不成立，故该选项错误，排除； 选项D，，当时，当取得6的正整数倍时，，所以，该选项错误，排除. 故选：B. 【题型三】 含有一个量词的命题的否定 相关知识点讲解 命题的否定 (1) 命题的否定：对命题加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定； (2)全称命题的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. (3)存在量词的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. (4)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是命题。 (5)常见的正面词语的否定 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 【典题1】 （24-25高一上·全国·假期作业）写出下列命题的否定，并判定真假. (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)有些实数的绝对值是正数； (3)某些平行四边形是菱形. 【答案】(1)存在一个矩形不是平行四边形，假命题 (2)所有实数的绝对值都不是正数，假命题 (3)每一个平行四边形都不是菱形，假命题 【分析】利用命题否定的定义，然后分别判定真假即可. 【详解】（1）否定：存在一个矩形不是平行四边形. 由于矩形都是平行四边形，所以否定是假命题. （2）否定：所有实数的绝对值都不是正数. 由于非零实数的绝对值都是正数，所以否定是假命题. （3）否定：每一个平行四边形都不是菱形. 由于每个菱形本身都是平行四边形，所以否定是假命题. 变式练习 1（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 【答案】A 【分析】判断存在量词命题真假，并根据含有一个量词命题的否定求出p的否定. 【详解】p：有些三角形是锐角三角形为真命题， 根据存在量词命题否定为全称量词命题。 所以p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形， 故选：A. 2（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)0； 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据全称量词命题的否定形式可直接写出结果. 【详解】（1）所有的矩形都是平行四边形的否定为： 存在一个矩形，它不是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数的否定为： 存在一个素数不是奇数； （3）的否定为：0 【题型四】 由全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 【典题1】 （24-25高一上·北京·阶段练习）设集合，． (1)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (2)若，，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得集合，然后根据必要条件以及对进行分类讨论来求得的取值范围. （2）根据全称量词命题的知识以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】（1）依题意，集合. 若“”是“”的必要条件，则， 当时，，不符合题意. 当时，， 所以，解得. 当时，， 所以，此不等式组无解. 综上所述，的取值范围是. （2）依题意，，， 当时，，符合题意. 当时，， 则，解得. 当时，， 则，解得. 综上所述，的取值范围是. 变式练习 1（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【知识点】根据全称命题的真假求参数 【分析】由其否定为真命题，通过求解即可； 【详解】因为命题是假命题， 可得：为真命题； 可得：， 解得：， 故选：A 2（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数 【分析】根据“，使得”是真命题，即可求解最值得解. 【详解】由于“，使得”是假命题，则“，使得”是真命题， 故，则， 故选：A 3（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、并集的概念及运算、根据全称命题的真假求参数 【分析】（1）由集合的交集和并集的定义运算即可； （2）由已知可得，进而得到或，求解即可. 【详解】（1）当时，， 因为或， 所以，或； （2）因为“，都有”是真命题，所以， 因为集合，集合或， 所以或， 即或，所以实数的取值范围. 4（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【知识点】已知命题的真假求参数、根据全称命题的真假求参数、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【分析】（1）命题p为真得出不等式恒成立利用二次函数求给定区间上的最值即可求出a的最大值. （2）先求出命题q为真时a的取值范围，q为假时a的取值范围，然后利用集合的运算求a的取值范围. 【详解】（1）若p是真命题，即恒成立，时，的最小值为，所以， 即a的最大值为. （2）若q是真命题，，解得或， 若q是假命题，，解得， 由已知p、q一真一假， 若p真q假，则， 若q真p假，则， 综上： 或 【A组---基础题】 1（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 【答案】B 【详解】A，C，D均正确；B中，对于任意的恒成立． 2（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 【答案】C 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断命题是否为特称（存在性）命题 【分析】利用存在量词的概念以及命题的真假即可求解. 【详解】ABC均为存在量词命题，D不是存在量词命题，故D不符合题意， 选项A：因为，所以命题为假命题； 选项B：因为矩形都是平行四边形，所以命题为假命题； 选项C：，故命题为真命题，故C正确. 故选：C． 3（20-21高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题的否定是真命题的是（    ） A．，一元二次方程有实根 B．每个正方形都是平行四边形 C． D．存在一个四边形，其内角和不等于360° 【答案】D 【知识点】判断全称命题的真假、判断特称（存在性）命题的真假 【解析】对A，全称命题的否定为特称命题，再由判别式的符号即可判断真假；对B，全称命题的否定为特称命题，再由正方形与平行四边形的关系即可判断真假；对C，特称命题的否定为全称命题，由，计算即可判断真假；对D，特称命题的否定为全称命题，由四边形的内角和计算即可判断真假． 【详解】解：对A，，一元二次方程有实根， 其否定为：，一元二次方程无实根， 由△，可得原命题为真命题，命题的否定为假命题； 对B，每个正方形都是平行四边形，其否定为：存在一个正方形不是平行四边形， 原命题为真命题，其否定为假命题； 对C，，，其否定为：，， 由时，，则原命题为真命题，其否定为假命题； 对D，存在一个四边形，其内角和不等于，其否定为任意四边形，其内角和等于，连接四边形的一条对角线，可得两个三角形，则其四边形的内角和为， 可得原命题为假命题，其否定为真命题． 故选：D. 【点睛】本题考查命题的真假判断，主要是命题的否定，考查转化思想和判断能力、推理能力，属于基础题． 4 （22-23高一上·辽宁·阶段练习）命题：“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得，，进而即得. 【详解】由题可知，， 所以，，又， 所以. 故选：B. 5（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得为真命题，实数的取值范围；为真命题，实数的取值范围；进而可得与全为真命题时，实数的取值范围，进而可得结论. 【详解】若为真命题，则，又，所以，所以， 若为真命题，则有解，所以， 解得或， 所以与全为真命题时，实数的取值范围是或， 所以与不全为真命题，则实数的取值范围是或. 故选：D. 6（多选）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】交并补混合运算 【分析】通过讨论，得到集合，利用集合的运算、集合间的关系可判断各选项的正误. 【详解】已知集合， 当时，；当时，；当时，， 对于A，由对集合分析知，故A不正确， 对于C，由对集合分析知，故C正确； 对于B，当时，，此时，故B正确； 对于D，当时，，故D正确. 故选：BCD. 7 （22-23九年级·全国·随堂练习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 【答案】(1)，的内角和是 (2)，表示的相反数 (3)， 【知识点】用全称量词改写命题、用存在量词改写命题 【分析】（1）使用特称量词直接转换即可；（2）使用全称量词直接转换即可；（3）使用特称量词直接转换即可. 【详解】（1）由题意“存在一个多边形，其内角和是”，因此使用特称量词可直接转换为“，的内角和是”. （2）由题意“任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数”，因此使用全称量词可直接转换为“，表示的相反数”. （3）由题意“存在实数，”，因此使用特称量词可直接转换为“，”. 8．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知，，；，使得. (1)若是真命题，求的最大值； (2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围. 【答案】(1)1 (2)或. 【分析】（1）由，利用全称命题为真命题即可求得； （2）先求出命题q为真时a的取值范围，进而分类讨论：真假时和假真时，分别求出对应a的取值范围即可求解. 【详解】（1）要使，为真命题，只需，即的最大值为1. （2）若使，使得为真命题，则，解得. ①真假时，只需所以； ②假真时，只需所以， 所以或. 综上，的取值范围为或. 【B组---提高题】 1（23-24高一上·福建龙岩·开学考试）集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将代入集合，从而求出集合，再根据可得出关于实数的不等式，进而即可求得实数b的取值范围． 【详解】由， 当时，， 由“”是“”的充分条件， 则或，解得或， 所以实数b的取值范围是． 故答案为：． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 全称量词与存在量词 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 用全称量词或存在量词改写命题 【题型二】 全称量词命题与存在量词命题的真假 【题型三】 含有一个量词的命题的否定 【题型四】 由全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.理解全称量词、全称量词命题的定义，存在量词、存在量词命题的定义； 2.会判断一个命题的全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假； 3.正确地对含有一个量词的命题进行否定. 【题型一】 用全称量词或存在量词改写命题 相关知识点讲解 1 全称量词与全称量词命题 (1)全称量词 短语对所有的、对任意一个在逻辑中通常称为全称量词，用表示． 全称量词命题 含有全称量词的命题称为全称命题． 全称命题对中任意一个，有成立，记作． 2 存在量词与存在量词命题 (1)存在量词 短语存在一个、至少有一个在逻辑中通常称为存在量词，用表示． 含有存在量词的命题称为特称命题． 特称命题存在中的一个，使成立，记作. 【典题1】（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“”或“”表示． (1)整数的平方大于或等于零； (2)存在实数，满足； (3)实数的绝对值是非负数； (4)存在实数，使函数的值随的增大而增大． 变式练习 1 （23-24高一·江苏·假期作业）设非空集合P，Q满足，则表述正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 2（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）用量词符号表述下列命题： (1)任意一个实数乘以都等于它的相反数； (2)对任意实数，都有； (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除； (4)某个四边形不是平行四边形. 【题型二】 全称量词命题与存在量词命题的真假 【典题1】（24-25高一上·广东深圳·期中）下列四个命题中为真命题的是（    ） A． B． C． D． 变式练习 1（24-25高一上·全国·课前预习）下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是（    ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 2（2025·江苏苏州·模拟预测）已知为全集的两个不相等的非空子集，若，则（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·湖北·期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（    ） A．任意实数的平方都大于0 B．， C．存在整数，使得 D．，一元二次方程有实根 4（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）在下列命题中，是真命题的是（    ） A． B． C． D．已知，则对于任意的，都有 【题型三】 含有一个量词的命题的否定 相关知识点讲解 命题的否定 (1) 命题的否定：对命题加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定； (2)全称命题的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. (3)存在量词的否定 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词：. (4)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是命题。 (5)常见的正面词语的否定 正面词语 等于 大于 小于 是 都是 否定 不等于 不大于 不小于 不是 不都是 正面词语 至多有一个 至少有一个 任意 所有 否定 至少有两个 一个都没有 某个 某些 【典题1】 （24-25高一上·全国·假期作业）写出下列命题的否定，并判定真假. (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)有些实数的绝对值是正数； (3)某些平行四边形是菱形. 变式练习 1（24-25高一上·贵州六盘水·阶段练习）若命题p：有些三角形是锐角三角形，则（   ）． A．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 B．p是真命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 C．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都不是锐角三角形 D．p是假命题，且p的否定：所有的三角形都是锐角三角形 2（24-25高一上·全国·课堂例题）写出下列命题的否定： (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)每一个素数都是奇数； (3)0； 【题型四】 由全称量词命题、存在量词命题的真假求参数 【典题1】 （24-25高一上·北京·阶段练习）设集合，． (1)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围； (2)若，，求实数a的取值范围． 变式练习 1（23-24高一上·湖北宜昌·阶段练习）已知命题，若命题是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 2（24-25高一上·广东广州·期末）若“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·湖南邵阳·期中）已知集合，集合或，全集. (1)若，求，； (2)若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围. 4（24-25高一下·河北保定·阶段练习）已知，命题，；命题，． (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p、q中有且只有一个是真命题，求a的取值范围． 【A组---基础题】 1（25-26高一上·全国·课后作业）下列存在量词命题为假命题的是（   ） A．存在，使 B．存在，使 C．有的素数是偶数 D．有的实数为正数 2（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）下列命题中，是存在量词命题且为真命题的有 （   ） A．， B．有的矩形不是平行四边形 C．， D．， 3（20-21高一上·湖南长沙·阶段练习）下列命题的否定是真命题的是（    ） A．，一元二次方程有实根 B．每个正方形都是平行四边形 C． D．存在一个四边形，其内角和不等于360° 4 （22-23高一上·辽宁·阶段练习）命题：“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知命题，都有，命题存在，若与不全为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6（多选）（2025·河北·三模）已知集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7 （22-23九年级·全国·随堂练习）用量词符号“”“”表示下列命题： (1)存在一个多边形，其内角和是； (2)任何一个实数乘以后，都等于这个实数的相反数； (3)存在实数，. 8．（24-25高一上·甘肃金昌·阶段练习）已知，，；，使得. (1)若是真命题，求的最大值； (2)若p，q一个为真命题，一个为假命题，求的取值范围. 【B组---提高题】 1（23-24高一上·福建龙岩·开学考试）集合，．若“”是“”的充分条件，则实数b的取值范围是 ． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$