预习课第07讲 图形的旋转及旋转作图 暑假讲义2025-2026学年九年级上册数学(人教版)

第07讲 图形的旋转及旋转作图 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 判断生活中的旋转现象 【题型二】 旋转的性质 角度1 找旋转中心、旋转角 角度2 旋转性质 角度3 旋转中的规律性问题 【题型三】 与旋转有关的综合性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握旋转的概念； 2.了解旋转的三要素和性质. 1 旋转 把一个平面图形绕着平面内的一点转动一个角度. 2 旋转的三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角度 如下图，绕着点旋转后得到，其中旋转中心是点，旋转方向是顺时针，旋转角度是. 3 性质 ① 对应点到旋转中心的距离相等(如上图，，，)； ② 对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(如上图，，，； ③ 旋转前后的图形全等(如上图). 【题型一】 判断生活中的旋转现象 相关知识点讲解 把一个平面图形绕着平面内的一点转动一个角度. 如钟表中时针的旋转，风车上叶片的旋转等等. 【典题1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 变式练习 1 （24-25八年级下·广东佛山·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 2（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【题型二】旋转的性质 相关知识点讲解 1旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度 如下图，绕着点旋转后得到，其中旋转中心是点，旋转方向是顺时针，旋转角度是. 2 性质 ① 对应点到旋转中心的距离相等(如上图，，，)； ② 对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(如上图，，，； ③ 旋转前后的图形全等(如上图). 角度1 找旋转中心、旋转角 【典题1】 （23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 变式练习 1（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（    ） A．点O， B．点O， C．点O， D．点B， 2（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 3（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 4（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 角度2 旋转的性质 【典题1】 （2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【典题2】（2025·河南新乡·三模）如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2025·浙江台州·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是由绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 3（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C．，两点之间的距离为 D．，，三点共线 4（2025·山东潍坊·二模）如图，在直角坐标系中，等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移1个单位长度，得到，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 角度3 旋转中的规律性问题 【典题1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式练习 1（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 2（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为 A． B． C． D． 【题型三】与旋转有关的综合性问题 【典题1】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典题2】（21-22八年级下·广东深圳·期中）某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？    探究一： (1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为 探究二： (2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： (3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点． ①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即． ②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 变式练习 1（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 2（2023·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 3（2022·湖北·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 4（2023九年级上·全国·专题练习）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【A组---基础题】 1（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   2（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3（2025·四川自贡·二模）如图中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为（     ） A．3 B． C． D． 4（19-20九年级上·浙江·阶段练习）如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（    ） A． B． C． D． 5（2025九年级下·海南·专题练习）如图．等边的顶点在第一象限，边在轴上，点，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6（21-22八年级下·山东菏泽·期末）如图，已知的周长为6，对角线AC与BD相交于点O，的周长比的周长小1． (1)求这个平行四边形各边的长． (2)将射线OA绕点O顺时针旋转，交AD于E，当旋转角度为多少度时，CA平分．说明理由． 7（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【B组---提高题】 1（2025·河北唐山·二模）如图，等边三角形，D为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D．12 2（2025九年级下·全国·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 图形的旋转及旋转作图 本讲义亮度： 1 构建知识体系 明确学习目标，深入浅出，力求打扎实基础； 2 例题经典 力求熟练掌握各常考题型，提高分析能力； 【题型一】 判断生活中的旋转现象 【题型二】 旋转的性质 角度1 找旋转中心、旋转角 角度2 旋转性质 角度3 旋转中的规律性问题 【题型三】 与旋转有关的综合性问题 3 课后分层练习 进一步巩固所学内容. 1.掌握旋转的概念； 2.了解旋转的三要素和性质. 1 旋转 把一个平面图形绕着平面内的一点转动一个角度. 2 旋转的三要素 旋转中心、旋转方向、旋转角度 如下图，绕着点旋转后得到，其中旋转中心是点，旋转方向是顺时针，旋转角度是. 3 性质 ① 对应点到旋转中心的距离相等(如上图，，，)； ② 对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(如上图，，，； ③ 旋转前后的图形全等(如上图). 【题型一】 判断生活中的旋转现象 相关知识点讲解 把一个平面图形绕着平面内的一点转动一个角度. 如钟表中时针的旋转，风车上叶片的旋转等等. 【典题1】（24-25七年级下·江苏南京·期中）电影《哪吒之魔童闹海》的热映，推动了我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．对下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（   ） A．轴对称，平移，旋转 B．旋转，轴对称，平移 C．轴对称，旋转，平移 D．平移，旋转，轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：哪吒图片的变换顺序是轴对称平移旋转． 故选：A． 变式练习 1 （24-25八年级下·广东佛山·期中）数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（   ） A．国旗上升的过程 B．在笔直的公路上行驶的汽车 C．工作中的风力发电机叶片 D．传输带运输的东西 【答案】C 【分析】根据旋转变换的概念，对选项进行一一分析，排除错误答案．本题考查生活中的旋转现象．旋转变换：一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．要注意旋转的三要素：①定点−旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 【详解】解：A、国旗上升的过程是平移，不属于旋转，不符合题意； B、在笔直的公路上行驶的汽车属于平移，不是绕着某一个固定的点转动，不属于旋转，不符合题意； C、工作中的风力发电机叶片，符合旋转变换的定义，属于旋转，符合题意； D、传输带运输的东西是平移，不属于旋转，不符合题意． 故选：C． 2（24-25七年级下·江苏盐城·期中）对下列“握手”图片从左向右的顺序依次变换，描述正确的是（　　） A．轴对称→平移→旋转 B．轴对称→旋转→平移 C．旋转→轴对称→平移 D．平移→旋转→轴对称 【答案】A 【分析】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 根据平移变换，旋转变换，轴对称变换的定义判断即可． 【详解】解：“握手”的变换顺序是轴对称→平移→旋转． 故选：A． 【题型二】旋转的性质 相关知识点讲解 1旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度 如下图，绕着点旋转后得到，其中旋转中心是点，旋转方向是顺时针，旋转角度是. 2 性质 ① 对应点到旋转中心的距离相等(如上图，，，)； ② 对应点到旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(如上图，，，； ③ 旋转前后的图形全等(如上图). 角度1 找旋转中心、旋转角 【典题1】 （23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在的正方形网格中，由旋转得到，其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心在对应点连线的垂直平分线上是解题的关键．根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，进而得出答案． 【详解】 解：根据旋转的性质可知：旋转中心在对应点连线的垂直平分线上， 由图形可知：点在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上， ∴旋转中心是点， 故选：A． 变式练习 1（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（    ） A．点O， B．点O， C．点O， D．点B， 【答案】A 【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质解答即可，熟练掌握旋转的定义及性质是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：绕着点O逆时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O，， 故选：A． 2（24-25七年级下·江苏盐城·期中）如图，在等边三角形网格中，以某个格点为旋转中心，将旋转，得到，则旋转中心是（　　） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：． 3（23-24七年级上·上海宝山·期末）如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 4（24-25八年级下·江苏无锡·期中）在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点M、N、P、Q中，可能是旋转中心的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心． 【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图： 故选∶A． 角度2 旋转的性质 【典题1】 （2025七年级下·全国·专题练习）如图，已知中，，，将绕点逆时针旋转得到，以下结论：①，②∥，③，④，正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．根据旋转的性质可得，，，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可． 【详解】解：①绕点逆时针旋转得到， ，故①正确； ②绕点逆时针旋转， ． ， ． ， ． ，故②正确； ③在中， ， ． ． 与不垂直，故③不正确； ④在中， ， ． ，故④正确． ①②④这三个结论正确． 故选：B 【典题2】（2025·河南新乡·三模）如图，正方形的顶点，，将正方形以原点为旋转中心，顺时针旋转后，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，锐角三角函数，旋转的性质，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解题的关键． 过点作轴，过点作轴，则，连接，可证“一线三等角”全等，，由全等三角形的性质及勾股定理求得，由得，则，由等腰直角三角形即可求解． 【详解】解：过点作轴，过点作轴， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在直角中，， ， 由题意得，， ， 在直角中，， ， 而， 点， 即点的对应点的坐标为， 故选：A． 变式练习 1（2025·浙江台州·二模）如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 2（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是由绕点B 按逆时针方向旋转得到的．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转性质，全等三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由旋转得，则，因为，所以，代入计算，即可作答． 【详解】解：∵是由绕点按逆时针方向旋转得到的， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3（2025·河北唐山·二模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，下列结论错误的是（   ） A． B． C．，两点之间的距离为 D．，，三点共线 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，根据旋转的性质，等边三角形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、由旋转性质可知，，原选项正确，不符合题意； 、由旋转性质可知，， ∵， ∴， 由于题中没有说明， ∴不能说明，原选项错误，符合题意； 、连接， 由旋转性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴，两点之间的距离为，原选项正确，不符合题意； 、由旋转性质可知，， ∵， ∴， ∴，，三点共线，原选项正确，不符合题意； 故选：． 4（2025·山东潍坊·二模）如图，在直角坐标系中，等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转，再沿轴向右平移1个单位长度，得到，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作轴于点，根据旋转的性质以及含30度角的直角三角形的性质，得出，进而根据点的平移，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵等边的顶点的坐标为，将等边绕点顺时针旋转得到 ∴， ∴， ∴ ∵再沿轴向右平移1个单位长度得到 ∴的坐标是， 故选：D． 角度3 旋转中的规律性问题 【典题1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）将按如图方式放在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要是考查了旋转性质、中心对称求点坐标、三角形全等以及点的坐标特征，熟练利用条件证明全等三角形，；通过旋转和中心对称求解对应点坐标，是求解该题的关键．根据旋转性质，可知6次旋转为1个循环，故先需要求出前6次循环对应的A点坐标即可，利用全等三角形性质求出第一次旋转对应的A点坐标，之后第2次旋转，根据图形位置以及长，即可求出，第3、4、5次分别利用关于原点中心对称，即可求出，最后一次和A点重合，再判断第2025次属于循环中的第3次，最后即可得出答案． 【详解】解：第一次旋转时：过点作轴的垂线，垂足为，如下图所示： 由的坐标为可知：，， 在中，， 由旋转性质可知：， ，， ， 在与中： ， ，， 此时点对应坐标为， 当第二次旋转时，如下图所示： 此时点对应点的坐标为． 当第3次旋转时，第3次的点对应点与点成中心对称，故坐标为． 当第4次旋转时，第4次的点对应点与第1次旋转的点成中心对称，故坐标为． 当第5次旋转时，第5次的点A对应点与第2次旋转的点成中心对称，故坐标为． 第6次旋转时，与A点重合． 故前6次旋转，点A对应点的坐标分别为：、、、、、． 由于，故第2025次旋转时，A点的对应点为． 故选：A． 变式练习 1（2023·河南许昌·二模）如图，等腰的顶点在轴上，顶点在轴上，已知，将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标为，则旋转的次数可能是（    ）    A．71 B．72 C．73 D．74 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，规律探索，循环节的计算，根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可． 【详解】根据题意，第一次旋转落在第一象限，第二次旋转落在第四象限，第三次旋转落在第三象限，第四次回到启动点，由此得到旋转的图形按照循环节为4进行规律旋转，除以4看余数即可， ∵在第四象限， ∴除以4后的余数为2， ∵， 故选D．   ． 2（23-24九年级上·内蒙古鄂尔多斯·期末）风力发电是一种常见的绿色环保发电形式，它能够使大自然的资源得到更好地利用．如图1，风力发电机有三个底端重合、两两成角的叶片，以三个叶片的重合点为原点水平方向为x轴建立平面直角坐标系（如图2所示），已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为，在一段时间内，叶片每秒绕原点O顺时针转动，则第秒时，点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质分别求出第1、2、3、时，点的对应点、、、的坐标，找到规律，进而得出第时，点的对应点的坐标． 【详解】解：如图． ， 在第一象限的角平分线上， 叶片每秒绕原点顺时针转动， ，，，， 点的坐标以每4秒为一个周期依次循环， ， 第时，点的对应点的坐标与相同，为． 故选：． 【题型三】与旋转有关的综合性问题 【典题1】（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）在中，，点D为中点，，绕点D旋转，分别与边交于E，F两点．下列结论：①；②；③；④始终为等腰直角三角形，其中正确的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，连接，根据等腰直角三角形的性质就可以得出，就可以得出，进而得出，就有，由勾股定理就即可求出结论． 【详解】解：连接， ， 点D为中点，， ．，． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ． ， ． ， ， ． ，， 始终为等腰直角三角形． ， ． ， ． ∴正确的有4个． 故选：D． 【典题2】（21-22八年级下·广东深圳·期中）某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？    探究一： (1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为 探究二： (2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： (3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点． ①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即． ②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）通过旋转变换可得四边形面积等于直角梯形面积的一半，结合题意求直角梯形的面积即可求解； （2）通过旋转变换可得四边形面积等于等边三角形的面积的，根据等边三角形的性质可求得，，根据角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得等边三角形的高，求出等边三角形的面积，即可求解； （3）①根据旋转的性质即可求解； ②通过旋转变换可得四边形面积等于等腰三角形面积，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意“等补四边形”的面积． 故答案为：9． （2）解：过点作交于点，如图：    根据题意可得， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 则， 故“等补四边形”的面积． 故答案为：． （3）解：①由旋转的性质可知，， 故答案为：． ②：由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积的面积． 【点睛】本题考查了旋转变换，直角梯形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式等，解题的关键是利用旋转变换把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积． 变式练习 1（23-24九年级上·河南新乡·期中）如图，中，，，，点E是边上一点，将绕点B顺时针旋转到，连接，则长的最小值是（　　） A．2 B．2.5 C． D． 【答案】B 【分析】取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H，在中，利用含30度角的直角三角形的性质可求出的长，的度数，再根据线段的中点定义可得，从而可得，然后利用旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，进而利用证明，最后利用全等三角形的性质可得，再根据垂线段最短，即可解答． 【详解】解：取的中点为点D，连接，过点D作，垂足为H， ∴， ∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，即当点E和点H重合时，有最小值，且最小值为2.5， ∴长的最小值是2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，垂线段最短，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 2（2023·广东广州·二模）如图，在矩形中，，，将矩形绕点A逆时针旋转至矩形，旋转角为，当点C，和三点共线时，的长为（        ）．    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当点C，和三点共线，，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，通过证明，得出，设，则，在中，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：∵点C，和三点共线， ∴， ∵矩形绕点A逆时针旋转至矩形， ∴，， 在中，根据勾股定理可得：， 在中，根据勾股定理可得：， 在和中， ， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 即，解得：， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是正确画出图形，根据勾股定理列出方程求解． 3（2022·湖北·模拟预测）【模型建立】 （1）如图1，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接．当时，求的长． 【模型迁移】 （3）如图3，在菱形中，，点E是对角线上一点，连接，．将绕点E逆时针旋转，交的延长线于点F，连接，与交于点G．当时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），理由见解析． 【分析】（1）利用SAS证明即可； （2）先证,再利用勾股定理求解； （3）先证,再利用等边三角形的判定性质证明即可． 【详解】（1）证明：如图1中，∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：如图2中，设交于点J． 由（1）知，， ， ∵EF是绕点E逆时针旋转得到， ∴， 在中，； （3）解：结论：． 理由：如图3中， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 是绕点E逆时针旋转得到的， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，图形的旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确理解图形的相关性质是解本题的关键． 4（2023九年级上·全国·专题练习）似曾相识 （1）如图①，正方形的边长等于4，中心为，正方形的边长也等于4，在正方形绕着点O旋转的过程中，若将这两个正方形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请直接写出它的变化范围． 类比探索 （2）如图②，等边的边长等于4，中心为，等边的边长也等于4，在等边绕着点O旋转的过程中，若将这两个等边三角形重叠部分的面积记为S，那么S是否为定值？若S为定值，请直接写出该定值；若S变化，请求出它的变化范围．    【答案】（1）4（2） 【分析】（1）根据正方形的性质得出，，，推出，证出，即可得出结果； （2）发生变化，对旋转角分情况讨论即可． 【详解】解：（1）连接，，    四边形和四边形都是正方形， ，，， ， 在与中， ， ， 四边形的面积等于三角形的面积， 即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的， ； （2）设等边绕着点的旋转角为，等边的边长等于4，则高为， ①如图，当经过点时，若此时开始旋转，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    ②如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为菱形， ，    ③如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为等边三角形， ，    ④如图，当旋转至图中位置时，，重叠部分的形状为直角三角形， ，    综上所述，这两个等边三角形重叠部分的面积是变化的，的变化范围是． 【点睛】本题考查正方形的性质和等边三角形的性质，找出面积之间的关系是解题关键． 【A组---基础题】 1（24-25九年级上·广西防城港·期中）如图，将该图按顺时针方向旋转后的图形是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了判断由一个图形旋转而成的图形，发挥自身的空间想象能力是解题的关键．根据旋转的定义即可直接得出答案．注意，要看清是顺时针旋转还是逆时针旋转． 【详解】 解：根据旋转的定义，将  按顺时针方向旋转后的图形是  ， 故选：． 2（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，格点三角形甲逆时针旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【详解】解：∵甲经过旋转后得到乙， ∴点A与点E为对应点，点B和点F为对应点， ∴旋转中心在的垂直平分线上，也在的垂直平分线上， 作的垂直平分线和的垂直平分线， 它们的交点为M点，如图， 即旋转中心为M点． 故选：A． 3（2025·四川自贡·二模）如图中，，，，将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处，则、两点间的距离为（     ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定得到，由此旋转得到，运用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点落在点处， ∴，， ∴， 如图所示， ∴， 故选：B ． 4（19-20九年级上·浙江·阶段练习）如图，等腰中，，，且边在直线a上，将绕点A顺时针旋转到位置①可得到点，此时；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③可得到点时，按此规律继续旋转，直至得到点为止，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出，，，，，，，，，观察得出规律从而求出. 【详解】由等腰直角三角形的性质和已知条件得出，，， ，，， ，，， 观察得出三个为一组， ∵， ∴，故选B. 【点睛】本题是对图形规律性问题的考查，熟练掌握旋转知识和准确找到规律是解决本题的关键. 5（2025九年级下·海南·专题练习）如图．等边的顶点在第一象限，边在轴上，点，将绕点逆时针旋转得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作轴于点，根据题意，结合等边三角形的性质求出的长度，利用旋转的性质得到    的长度和的度数，再利用含角的直角三角形的性质，勾股定理求出和的长度，再利用点在第二象限求解． 【详解】解：过点作轴于点，如下图 点， ，， . 是等边三角形， ． 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ， ， ． 在第二象限， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了点的坐标，旋转的性质，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，理解相关知识是解答关键． 6（21-22八年级下·山东菏泽·期末）如图，已知的周长为6，对角线AC与BD相交于点O，的周长比的周长小1． (1)求这个平行四边形各边的长． (2)将射线OA绕点O顺时针旋转，交AD于E，当旋转角度为多少度时，CA平分．说明理由． 【答案】(1)AB=CD=1，AD=BC=2 (2)当旋转角度为90度时，CA平分∠BCE，理由见解析 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质可得出，再由的周长为6，的周长比的周长小1可求出各边的长度； （2）根据平分，得到，再根据平行四边形的性质得到，即可证明△EAC是等腰三角形，再根据三线合一定理求出∠AOE=90°即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC， ∵△AOB的周长比△BOC的周长小1， ∴AB+OA+OB+1=OB+OC+BC， ∴AB+1=BC， ∵四边形ABCD的周长为6， ∴AB+BC+CD+AD=6， ∴AB+BC=3， ∴AB=CD=1，AD=BC=2； （2）解：当旋转角度为90度时，CA平分∠BCE，理由如下： ∵平分． ∴∠ACB=∠ACE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，OA=OC， ∴∠EAC=∠ACB， ∴∠EAC=∠ECA， ∴EA=EC， 又∵OA=OC， ∴OE⊥AC， ∴∠AOE=90°， ∴当旋转角度为90度时，CA平分∠BCE． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，求旋转角，角平分线的定义等等，熟知平行四边形的性质是解题的关键． 7（24-25九年级上·广西钦州·期末）综合与实践． 【问题初探】（1）如图，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点旋转，得到，则的取值范围可解．请作出并直接写出的取值范围； 【问题解决】（2）如图，为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小（提示：将绕点顺时针旋转）； 【问题拓展】（3）如图，在正方形中，，分别为，边上的点，且满足，，，求的面积． 【答案】（1）图见解析，；（2）；（3） 【分析】（1）如图，将绕点旋转，得到，连接，由旋转得到，，证明四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，证明是等边三角形得，在中，运用勾股定理逆定理可得，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点顺时针旋转得到，由旋转可知，，，，推出，证明，求出即可． 【详解】解：（1）如图，将绕点旋转，得到，连接， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， 又∵， ∴，即， ∴， ∴的取值范围为； （2）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴的大小为； （3）如图，将绕点顺时针旋转得到， ∴，，，， ∵四边形是正方形，，，， ∴，， ∴点在的延长线上， ∴， ， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．解题的关键是旋转构造全等进行转换． 【B组---提高题】 1（2025·河北唐山·二模）如图，等边三角形，D为边上的动点，将线段绕点D逆时针旋转，得到线段，连接，，则周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D．12 【答案】D 【分析】连接，延长到点G，利用三角形全等的判定和性质，证明点E在定直线上运动，过点A作于点N，交于点M，证明点A与点M关于直线对称，根据题意，当取得最小值时，的周长才有最小值，解答即可． 【详解】解：连接，延长到点G， ∵为等边三角形，， ∴， ∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故点E在定直线上运动， 过点A作于点N，交于点M， ∵， ∴ ∴， 故点A与点M关于直线对称， ∵周长为， 故当取得最小值时，的周长才有最小值， 故点E与点N重合时，取得最小值，且， 故周长最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，角的平分线的证明，将军饮马河原理即轴对称的应用，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的应用是解题的关键． 2（2025九年级下·全国·专题练习）在边长为的正中有一点，连接，求的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，当点共线时，取得最小，最小为的值，如图所示，过点作延长线于点，在中，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，绕点逆时针旋转得到，取的中点，连接， ∴，， 在中，，， ∴， 在中，点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 当点共线时，取得最小，最小为的值， 如图所示，过点作延长线于点， ∵点是的中点， ∴， ∵是等边三角形，绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质等知识的综合，掌握等边三角形，旋转的性质，费马点求最短线段的方法是解题的关键． 10 学科网（北京）股份有限公司 $$