精品解析：上海市晋元高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

上海市晋元高级中学2024学年第二学期期末考试 高二年级 数学学科 试卷 考试时间：120 分钟 满分：150分 命题人：魏巍、侯乃畅、张殷兵 审核人：张殷兵 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，若，则实数的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】解方程即得解. 【详解】解：因为，所以（舍去）或， 所以. 故答案为：0 2. 已知函数，则_______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用瞬时变化率和极限思想求得，再结合函数解析式求得即可. 【详解】因， 由可得， 故. 故答案为：6. 3. 已知，，若，则________. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】对与求导后代入题干中的条件，列出方程，求出x的值. 【详解】函数的导数公式可知，， 由得，即，解得. 故答案为： 4. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 5. 设随机变量的分布列，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分布列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】因为，可得，解得， 因此. 故答案为：. 6. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____ 【答案】 【解析】 【分析】利用图象判断的单调性，进而得到的正负，最后求出不等式解集即可. 【详解】由图象得在，上单调递增，在上单调递减， 则当时，，当时，， 若，则当时，或当时，， 当，时，解得， 当，时，解得， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 7. 设，方程的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用零点分段法去绝对值，由此求得方程的解集. 【详解】依题意， 当时，方程化为，恒成立. 当时，方程化为，不符合. 当时，方程化为. 当时，方程化为，恒成立. 方程的解集为. 故答案为： 8. 两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有______种. 【答案】15 【解析】 【分析】按照分组的结果分类讨论，利用分类加法原理求解即可. 【详解】不妨记两本相同的图书为元素，两本不同的音乐书为元素，根据题意，分类讨论： 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况； 综上，不同的分法共有种. 故答案为：15 9. 甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对立事件的关系和独立性可求得、，再根据条件概率的计算公式即可求解. 【详解】， ， 所以. 故答案为：. 10. 已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X，则X的期望为______． 【答案】## 【解析】 【分析】讨论从甲盒中随机取到球的颜色，进而确定对应的可能取值，分别求出对应概率，再应用独立事件乘法公式、互斥概率求法求各可能情况的概率，最后求期望即可. 【详解】若从甲盒中随机取到的为红球且概率为，则的可能取值为， 则，， 若从甲盒中随机取到的为白球且概率为，则的可能取值为， 则，，， 综上，，，， 故. 故答案为： 11. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可. 【详解】结合解析式可知当时，；当时，. 因为，所以. 令，得，则， 故. 令，则， 令得；令得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，， 因为，所以. 所以的取值范围为. 故答案为： 12. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据分布乘法求出所有的个数，由0出现的次数讨论数列是“好数列”的个数，利用概率公式计算即可. 【详解】由题意，因为项数为6且， 所以每一项都有两种选择，根据分布乘法计数原理， 可构成的数列个数为个， 由题意，若为“好数列”，则意味着若，其前一项与后一项相等， ①则若中没有0，则数列为，不符合题意， ②若中有1个0，不论0在那个位置，都会出现3个1相邻，不符合题意， ③若中有2个0，则，，符合“好数列”定义； ④若中有3个及以上0，若0相邻，根据定义，数列只能为， 若0不相邻，只能1和0间隔出现，会出现两个0中间出现1，不符合题意， 综上，符合题意的“好数列”只有4个， 所以数列是“好数列”的概率为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解“好数列”的定义，根据题意能列出符合条件的数列. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图及相关系数的概念判断即可. 【详解】由散点图可知，图（1）中两个变量成正相关，且散点图近似在一条直线上，所以且； 图（2）中两个变量成负相关，且散点图比较分散，所以且； 所以. 故选：D 14. 某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ）附：若，则. A. 23 B. 46 C. 159 D. 317 【答案】C 【解析】 【分析】依题意，计算数据后乘以总人数即可. 【详解】由，得， 则， 估计优秀的学生人数约为. 故选：C 15. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 经验回归直线至少经过点中的一个 C. 一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D. 若，，，则事件A与事件B相互独立 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布方差公式，求出二项分布方差，判断A的正误，根据回归直线性质，判断B的正误，根据第百分位数定义，求出第80百分位数，判断C的正误，根据独立事件的判定方法，判断D的正确. 【详解】对A，，故A错误； 对B，经验回归直线必过样本中心点，但不一定过样本点，故B错误； 对C，数据组共10个数据，故第80百分位数为从小到大第8，9个数据的平均数，即，故C正确； 对D，，，故，故事件与事件不相互独立，故D错误； 故选：C． 16. 已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，把化为，并将它视为a的函数，利用对勾函数的性质求得，再构造函数，利用对勾函数求解作答. 【详解】由，，得，，于是， ，令， 函数在上递减，在上递增，显然， 因此，令函数，， 令，在上单调递减，在上单调递增， 而，即，于是， 因为对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则， 所以实数m的取值范围是. 故选：C 【点睛】思路点睛：涉及多变量函数，结合给定条件采用消元、以其中的某个变量为自变量，另外的变量为参数，依次推理求解即可. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补即可得到答案； （2）根据充分不必要条件得⫋，列出不等式组，解出即可. 【小问1详解】 当时，集合， 又或，则， 或；. 【小问2详解】 若，且“”是“”的充分不必要条件， ⫋，则 解得， 故的取值范围是. 18. 已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. （1）求n的值； （2）求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． 【答案】（1）9；（2）T2＝－18x3，9. 【解析】 【分析】（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是2时比x的指数是1时的系数要大162，所以，即可求解n的值； （2）根据上一问写出的特征项以及已经求出的n值即可计算展开式中含x3的项即：． 【详解】（1）因为， ， 依题意得，所以， 所以n2＝81，又n∈N*，故n＝9； （2）设第k＋1项含x3项，则， 所以，k＝1， 所以含x3的项为 二项式系数为． 19. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 200 对短视频剪接成长视频的APP无需求 150 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400． （1）求的值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？ 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有差异 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意可得列联表，计算，并与临界值对比分析. 【小问1详解】 由题意可得：，解得． 【小问2详解】 零假设为：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异． 由已知得，如下列联表： 青年人 中老年人 合计 对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550 对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450 合计 400 600 1000 可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异． 20. 如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. （1）求与的方程； （2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； （3）设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得. 【答案】（1）与 （2） （3） 设直线的斜率分别为，点P，A，B的坐标分别为， 则， 的方程为， 代入可得， 故， 所以， 同理可得，又，故， 故， 即，所以存在，使得. 【解析】 【分析】（1）设的方程分别为与，将点的坐标代入的方程可求出，利用椭圆的定义可求出的值，从而可得，进而可得的方程； （2）分点在第四象限和第一象限时两种情况讨论求出点的坐标； （3）利用两点的斜率公式及点在上即可证明，设的方程为，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系，从而可表示，化简为常数，即可得出答案. 【小问1详解】 设的方程分别为与， 由，得，故的坐标分别为， 所以故， 故与的方程分别为与. 【小问2详解】 当点在第四象限时，直线的倾斜角都为钝角，不适合题意； 当在第一象限时，由直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 可知，故， 设点坐标为，可知且， 解得，故点的坐标为， 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（答案不唯一，满足的均可） （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为，所以， 因为，所以， 综上所述， 所以函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由题意直线是函数和函数在上的一条分界线，则在上恒成立，利用分离参数法，再构造函数，利用导数求出其最值，即可得解； （2）由题意，设是函数和函数在上过坐标原点的分界线，则在上恒成立，再分离参数，求出函数的最值，进而可求出的值，即可得证； （3）由题意可得恒成立，令，求出，则恒成立，再利用根的判别式求出，再构造函数，利用导数求出其最小值即可得出结论. 【小问1详解】 由题意直线是函数和函数在上的一条分界线， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 令，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 综上所述，， 所以满足题意的直线可以是；（答案不唯一，满足的均可） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若存在，则恒成立， 令，则，所以， 因此，恒成立，即恒成立， 由得，， 现在只要判断是否恒成立， 设，则， 当时，，，， 当时，，， 所以，即恒成立 所以函数和函数在上存在分界线， 其方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市晋元高级中学2024学年第二学期期末考试 高二年级 数学学科 试卷 考试时间：120 分钟 满分：150分 命题人：魏巍、侯乃畅、张殷兵 审核人：张殷兵 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分. 1. 已知集合，若，则实数的值为__________. 2. 已知函数，则_______． 3. 已知，，若，则________. 4. 不等式的解集是__________． 5. 设随机变量的分布列，则______. 6. 如图所示为函数的图象，则不等式的解集为_____ 7. 设，方程的解集为__________. 8. 两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有______种. 9. 甲乙两人射击，每人射击一次.已知甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.7，两人每次射击是否命中互不影响.设事件为“两人至少命中一次”，事件为“甲命中”，则条件概率的值为______. 10. 已知甲盒中有3个红球2个白球，乙盒中有4个红球1个白球，从甲盒中随机取1球放入乙盒，然后再从乙盒中随机取2球，记取到红球的个数为随机变量X，则X的期望为______． 11. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________. 12. 项数为的数列满足，当且仅当时（其中,规定：），称为“好数列”．在项数为6且的所有中，随机选取一个数列，该数列是“好数列”的概率为__________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 对两组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 14. 某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ）附：若，则. A. 23 B. 46 C. 159 D. 317 15. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量，则 B. 经验回归直线至少经过点中的一个 C. 一组数据11，12，12，13，14，15，16，18，20，22的第80百分位数为19 D. 若，，，则事件A与事件B相互独立 16. 已知对任意正数a、b、c，当时，都有成立，则实数m的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知集合，或. （1）当时，求； （2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知n的展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. （1）求n的值； （2）求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数． 19. 近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据： 青年人 中年人 老年人 对短视频剪接成长视频的APP有需求 200 对短视频剪接成长视频的APP无需求 150 其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400． （1）求的值； （2）根据小概率值的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是否有差异？ 参考公式：，其中． 临界值表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点. （1）求与的方程； （2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标； （3）设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得. 21. 若存在实数常数k，m，对任意，不等式恒成立，则称直线是函数和函数在上的分界线． （1）请写出函数和函数在上的一条斜率为1的分界线；（不必证明） （2）求证：函数和函数在上过坐标原点的分界线有且只有一条； （3）试探究函数（e为自然对数的底数）和函数在上是否存在分界线．若存在，求出分界线方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $