8.2 重力势能（讲义）（4大知识点+8大题型+分层练习）-2024～2025学年高一下学期物理知识详解与题型练习（人教版2019必修第二册）

8.2 重力势能 目录 【目标导航】 2 【思维导图】 2 【教材详解】 2 知识点1：重力做功 2 知识点2：重力势能与重力做功的关系 3 知识点3：重力势能的相对性和系统性 4 知识点4：弹性势能 6 【经典题型】 8 题型01 重力做功的计算 8 题型02 弹簧弹力做功的计算 9 题型03 重力势能的定义和公式 10 题型04 零势面对重力势能的影响 11 题型05 重力做功和重力势能的关系 13 题型06 弹性势能的定义和影响因素 13 题型07 弹性势能的表达式 14 题型08 弹簧弹力做功与弹性势能的变化 15 【课后巩固】 17 【基础练·强化巩固】 17 【拓展练·培优拔高】 22 课堂目标 关键词 1.通过对不同路径重力做功的分析，归纳出重力做功与路径无关的特点! 2.理解重力势能的表达式Ep=mgh，体会功能关系 W =mg·△h。 3.知道重力势能的大小与参考平面的选取有关，即重力势能具有相对性但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 4.了解弹性势能的决定因素。 ①重力势能及其变化 ②重力做功及做功特点 ③ 相对性和系统性 ④ 零势能面 ⑤ 弹性势能 知识点1：重力做功 思考：假如要从 17楼去9楼，可以乘电梯，也可以走楼梯，有两种不同的下楼方式，在此过程中，重力做的功是否相等? 1. 重力做功 如下图所示，将质量为m的物块从A移到B可以有如下路径： 沿路径①(折线 AOB)：重力做的功。 沿路径②(直线 AB)：重力做的功 沿路径③(任意曲线 ACB)：可以把整个路径分成许多很短的曲线，每小段曲线的长度都很小，近似看成是一段倾斜的直线，设每小段的高度差，设没一小段的高度差分别为、、……，整个路径重力所做的功等于每小段上重力所做功的代数和，则即。 可见，质量为m的物块通过三种路径(斜线、直线、曲线从A移到B的过程中，重力做的功都相等，说明物体运动时重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。重力做的功等于重力与沿重力方向的位移的乘积。重力做功的这个特点，为我们提供了一个求重力做功的简单而重要的方法。 2. 重力做功的表达式 用h表示初位置与末位置的高度差，用h1、h2分别表示初位置、末位置的高度，则有 3. 重力做功的正、负 由重力做功的表达式，可以发现：物体被举高时，重力做负功(通常说物体克服重力做功)；物体下落时，重力做正功；物体在水平面上运动时，重力不做功。 【点拨】 (1)重力做功的多少，不受其他力做功的影响。不论有多少力对物体做功，重力做功只由重力大小、物体在重力方向上的位移决定 (2)重力做功不受运动状态改变的影响。 知识点2：重力势能与重力做功的关系 三峡大坝上、下游的水位差可达113m。想一想三峡大坝修建的高度与发电量有何关系? 提示：三峡大坝之所以修建得很高，是为了提高水位落差，以利于更多的机械能转化为电能。 1. 重力势能 重力做功的表达式是，发现“mgh”与重力做的功密切相关，又随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，与初中学习的重力势能特征一致(物体由于受到重力并处在一定高度时所具有的能，叫作重力势能)。我们把mgh叫作物体的重力势能。 2. 重力势能的大小 重力势能Ep等于物体所受重力与所处高度的乘积，表达式为Ep=mgh。其中h表示物体重心到参考平面(零势能面)的高度。 【点拨】参考平面的选择 物体重心在参考平面上时，物体的重力势能为零。参考平面可以任意选取，实际问题中以解决问题方便为原则选取，通常选取地面为参考平面。物体重心在参考平面上方，重力势能为正值，物体重心在参考平面下方，重力势能为负值。 3. 重力势能的单位 重力势能是标量，其单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，符号为J。1J=lkg·m-2s-2·m=1N·m。 4. 重力做功与重力势能的关系 5. 重力势能的理解 （1），说明重力势能的变化仅与重力做功有关。所以，重力势能的变化仅取决于物体重力的做功情况，与物体是否还受其他力作用，以及物体做何种运动无关。 （2）重力做功过程是重力势能改变的过程，具体有两种情况： ①重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少。 ②物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增加多少。 【点拨】重力势能的两个解题要点 (1)重力势能变化多少是由重力做功的多少来量度的，与重力以外的其他力做功无关。 (2)计算重力做功时，找出初、末位置的高度差h，直接利用公式W=mgh 即可，无需考虑中间的复杂运动过程。 知识点3：重力势能的相对性和系统性 如图所示，小朋友正在玩滑梯。假设图中三个小朋友体重相同，在滑梯最高处的小朋友的重力势能一定为正值吗?站在地面上的小朋友的重力势能一定为零吗? 1. 参考平面与重力势能的相对性 物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为0。选择不同的参考平面，同一物体的高度h就有不同的值，物体的重力势能也就不同。对选定的参考平面而言，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值。如图所示：物体在A、B、C三点时重力势能的正负情况如表格所示。 参考平面 地面 正值 正值 零 桌面 正值 零 负值 A点的水平面 零 负值 负值 【点拨】重力势能与参考面的关系 如下图所示 结论：重力势能的表达式为，高度h的相对性决定了重力势能具有相对性。分析上表可知，对于同一物体，选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值即重力势能的大小与参考平面的选取有关。 ①对一个确定的过程，重力做的功WG和重力势能的变化量△Ep与参考平面的选取无关。 ②参考平面的选取是任意的，实际问题中视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点所在水平面为参考平面。 ③重力势能的计算式Ep=mgh 只适于地球表面及附近g值不变时的情况，当g值变化时，不能用其计算。 ④参考平面以下的重力势能均为负值，“+”“－”号代表重力势能比在参考平面上时具有的重力势能大或小。 2. 重力势能的“四性” (1)标量性：重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正、负。重力势能正、负的含义：正、负值分别表示物体处于参考平面上方或下方。 (2)相对性：选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关。 (3)绝对性：物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。 (4)系统性：重力是地球与物体相互吸引而产生的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化 的说法。 3. 重力做功和重力势能的比较 项目 重力做功 重力势能 物理 意义 重力对物体做功 由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能量 表达式 WG=mgh Ep=mgh 大小影响因素 重力mg和初末位置的高度差h有关 重力mg和相对参考平面度选择有关 特点 只与初末位置的高度差h有关，与路径和参考面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同 联系 重力做功的过程是重力势能改变的过程，重力做正功重力势能减少；重力做负功，重力势能增加，其大小关系为 拓展一：匀质链条类物体的重力势能 (1)当链条呈直线状态(水平、竖直或倾斜)放置时，重心位置在其中点，表达式Ep=mgh中的h表示链条重心相对于参考平面的高度。 (2)当链条不以直线状态(如折线)放置时，应当分段表示重力势能，然后将各重力势能求和。 知识点4：弹性势能 如下图所示，撑竿跳高运动员借助手中弯曲的竿跳得很高，这是因为弯曲的竿具有的弹性势能传给了运动员，使运动员的重力势能增大，这种由于形变而具有的能量叫作弹性势能。弹性势能与哪些因素有关?弹性势能是怎样产生的? 1. 弹性势能 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。卷紧的发条、拉开的弓、拉长或压缩的弹簧等都具有弹性势能。弹性势能存在于发生弹性形变的物体中。 2. 弹性势能的影响因素 弹性势能的大小跟物体的性质和形变的大小有关，形变越大，弹性势能越大。弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。 【点拨】弹性势能的大小 教材中没有给出弹簧弹性势能大小的表达式，但是，如果知道弹性势能的一般表达式，对弹性势能的理解及定性分析问题会有帮助。 以弹簧为例，设弹簧处于原长时的弹性势能为零，类比v-t图像的面积表示位移，则F-x图像中的面积就表示弹力做的功，如下图所示，当弹簧的形变量为x时，力F与形变量x成正比，则：弹力做功。外力克服弹簧弹力做的功全部转化为弹性势能储存在弹簧中，则弹性势能的大小：。其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧压缩或拉伸(以弹簧原长为起点)的长度。 3. 弹性势能与弹力做功的关系 如图 8-2-9 所示，0为弹簧的原长处。 (1)弹力做负功：如物体由О向A运动(压缩弹簧)或由O向A'运动(拉伸弹簧)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。 (2)弹力做正功：如物体由A向O运动或由A'向O运动时弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系为 特别提示 ①对于同一根弹簧，从原长状态伸长和压缩相同的长度时弹性势能相同。 ②取弹簧处于原长时的弹性势能为零，无论拉伸或压缩弹簧，弹性势能都为正值。 4. 弹性势能和重力势能的比较 项目 弹性势能 重力势能 定义 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能 物体由于被举高而具有的势能 表达式 相对性 通常选自然长度时弹性势能为零，表达式最为简洁 重力势能的大小与参考平面的选取有关，但变化量与参考平面的选取无关 系统性 弹性势能是弹簧本身具有的能量 重力势能是物体与地球这一系统所共有的 功能关系 弹性势能的变化等于克服弹力做功 重力势能的变化等于克服重力所做的功 联系 两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定。同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化 题型01 重力做功的计算 【典例1】质量相同的三个小球A、B、C，从同一高度下落，A做自由落体运动，B沿光滑曲面下滑，C沿粗糙斜面下滑，最终都落到地面上。 (1)分析小球在下落过程中的受力情况； (2)下落过程中重力对三球做的功相同吗？ (3)在推导重力做功的公式时，利用了哪种物理思想？ 【变式1-1】（24-25高二上·江苏·阶段练习）在建筑工地上，塔吊先将重1000N的建筑材料竖直向上吊10m，再沿水平方向移动20m。则在此过程中，重力做的功为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·福建厦门·期末）扔沙包是我国一种民间传统游戏，不仅能锻炼儿童投掷能力，还能训练手眼协调等能力。如图所示，某儿童将质量的沙包水平抛出，抛出点离水平地面的高度，沙包落地点与抛出点的水平距离，重力加速度g取，不计沙包大小及空气阻力，求： （1）从抛出到落地的过程中重力对沙包所做的功； （2）沙包水平抛出的初速度大小； （3）沙包落地时速度的大小。 题型02 弹簧弹力做功的计算 【典例2】如图所示，在光滑水平桌面上有一根轻质弹簧，将弹簧一端固定，另一端施以水平拉力弹簧缓慢伸长。弹簧从原长到伸长量为过程中，外力对弹簧做功，弹簧从原长到伸长量为过程中，外力对弹簧做功，弹簧始终处在弹性限度内，则（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】如图所示，放在地面上的木块与一劲度系数k＝200N/m的轻质弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.3m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.5m，求： (1)上述过程中拉力所做的功； (2)此过程弹簧弹性势能的变化量。 【变式2-2】（多选）如图甲所示，轻质弹簧放置在光滑的水平面上，左端系在墙上，与弹簧右端连接的质量为m的物块，在水平向右的拉力F的作用下，由静止开始向右运动，物块刚开始运动时，弹簧处于原长，弹簧对物块拉力的大小与物块向右运动的位移大小x的关系图像如图乙所示，在弹簧的弹性限度内，下列说法中正确的是（　　） A．弹簧的总长等于物块向右运动的位移x的大小 B．关系图像的斜率表示弹簧的劲度系数 C．若水平向右的拉力F为恒力，则物块的加速度越来越大 D．物块向右运动的位移大小由变为的过程中，物块克服弹簧的拉力做的功为 题型03 重力势能的定义和公式 【典例3】（2024·辽宁朝阳·三模）运动员从某一高度将质量为m的排球击出，从击出排球瞬间开始计时，排球在空中飞行的速率v随时间t的变化关系如图所示，图中相关坐标值均为已知，t2时刻排球恰好落到对方的场地上。排球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，以地面为参考平面。下列说法正确的是（    ） A．击球点到落地点间的水平距离为 B．击球点到落地点间的水平距离为 C．排球运动过程中离地的最大高度为 D．排球的最大重力势能为 【变式3-1】如图所示，质量为m的金属小球，从离水面H高处自由下落后进入水中。已知水深为h，若以水面为参考平面，小球运动至水底时的重力势能为（　　） A．mgH B．-mgh C．mg（H-h） D．-mg（H+h） 【变式3-2】（2024高二·山西·学业考试）如图所示，质量为m的苹果，从离地面高H的树上由静止开始下落，树下有一深度为h的坑。若以地面为重力势能的零势能面，则当苹果落到坑底时，其重力势能为（　　） A． B． C． D． 题型04 零势面对重力势能的影响 【典例4】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，可视为质点的小球位于桌子的上方，从A点运动到B点，小球质量m=1kg，h1=1m，h2=0.6m，取g=10m/s2，以桌面为参考平面，则说法错误的是（　　） A．小球在A点的重力势能是10J B．从A点运动到B点小球的重力势能减少了4J C．从A点运动到B点小球重力做功是16J D．若取地面为参考平面，从A点运动到B点小球重力做功是16J 【变式4-1】一棵树上有一个质量为0.3kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A处先落到地面C最后滚入沟底D。A、B、C、D、E水平面之间竖直距离如图所示。以地面C为零势能面，g取，则该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是（　　）      A．15.6J和9J B．9J和-9J C．15.6J和-9J D．15.6J和-15.6J 【变式4-2】（多选）现有质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，如图所示，下面关于小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是（　　） A．若以地面为参考平面，分别为，增加 B．若以桌面为参考平面，分别为，增加 C．若以地面为参考平面，分别为0，减少 D．若以桌面为参考平面，分别为，减少 题型05 重力做功和重力势能的关系 【典例5】（23-24高一下·江苏南京·期中）一个0.1kg的球从1.8m的高处落到地上又弹回到的1m高度，选下落起点为参考面（）下列说法正确的是（　　） A．整个过程重力做功为1.8J B．整个过程重力做了1J的功 C．物体的重力势能一定减少了0.8J D．物体在地面时的重力势能为0 【变式5-1】一根长L=2m，重力G=200N的均匀木杆放在水平地面上，现将它的一端从地面抬高1m，另一端仍搁在地面上，则物体重力势能的变化量为（　　） A．50 J B．100 J C．200 J D．400 J 【变式5-2】（22-23高一下·江西南昌·期末）如图所示为一栋楼房的截面图，各楼层高度已在图中标出，一只质量为1kg的小猫从一楼的A处沿楼梯爬上三楼，已知小猫爬到楼梯口B处时的重力势能为0，重力加速度大小取，则下面说法正确的是（　　）    A．小猫在A处的重力势能为15J B．小猫在E处的重力势能是在A处的2倍 C．小猫从B到D重力做的功为30J D．小猫从A到B重力势能增加了15J 题型06 弹性势能的定义和影响因素 【典例6】关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是（　　） A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大 B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小 C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大 D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能 【变式6-1】如图所示，A、B两木块中间连有一轻弹簧，开始时物体A静止在弹簧上面，用力F缓慢向上提直到恰好离开地面，设开始时弹簧的弹性势能为，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为，则关于、大小关系及弹簧势能变化的说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（多选）如图1所示，质量均为m的物块A和B用劲度系数为k的轻质弹簧拴接，竖直静置在水平桌面上。现用一竖直向上的力F拉动物块A，使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，如图2所示。已知重力加速度为g，从物块A开始运动到物块B恰要离开桌面的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，则对此过程，下列说法正确的是（　　） A．力F的初始值大小等于ma B．物块A的最大动能等于 C．物块A增加的重力势能等于 D．弹簧的弹性势能变化量为零 题型07 弹性势能的表达式 【典例7】（23-24高一下·辽宁大连·期中）如图所示，劲度系数分别为和的弹簧A和B连接在一起，拉长后将两端固定。若弹簧弹性势能可表示为，其中为弹簧形变量，则弹性势能的关系为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】如图所示，有一原长为l0的橡皮筋，上端固定，在下端拴一质量为M的物体时，橡皮筋伸长为a且恰好断裂。若该橡皮筋下端拴一质量为m(m<M)的物体，将m从橡皮筋没有形变的位置，竖直向上举高h后，由静止释放，也恰能使橡皮筋伸长为a时断裂，求橡皮筋的劲度系数和h的表达式。（设橡皮筋遵守胡克定律）    【变式7-2】探究弹性势能表达式的实验时，得到一根弹簧的弹力（F）—伸长量（x）图像如图乙所示，那么弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中，弹性势能的变化量为 J。 题型08 弹簧弹力做功与弹性势能的变化 【典例8】（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）小嵩同学做“弹簧弹力与形变量的关系”实验，根据实验数据绘制出的弹簧弹力—形变量（）图像如图甲所示。如图乙所示，放在水平地面上的物块与实验用的轻质弹簧相连，水平拉力F作用在弹簧上，初始时弹簧处于原长，拉力F的作用点缓慢移动了0.04m，物块相对于地面始终静止，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（    ）    A．弹簧的劲度系数为0.5N/m B．该过程中拉力F做的功为0.08J C．该过程中弹簧弹力对物块做的功为0.04J D．该过程中弹簧增加的弹性势能为0.04J 【变式8-1】（23-24高一下·北京顺义·期中）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为，为常量，如图。已知图像所围面积表示弹力做的功，你可以尝试画出图像后，判断以下说法正确的是（　　） A．从O运动到x1弹簧的弹力做正功 B．物块由O向右运动到x1与物块由x1到x2弹力做功相同 C．物块由x1运动到x2与由x2运动到弹力做功之比为3：5 D．物块由x1向右运动到x2与物块由x1向右运动到后再返回到x2弹力做功不相同 【变式8-2】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端点与管口A的距离为，一质量为的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点，压缩量为，不计空气阻力，重力加速度为，弹簧的弹性势能与形变量的关系为，则（    ） A．弹簧的最大弹性势能为 B．小球运动的最大速度等于 C．弹簧的劲度系数为 D．小球运动中最大加速度为 【基础练·强化巩固】 1．雨滴是水蒸气在高空中遇到冷空气凝聚成的小水滴，雨滴在无风时的下落过程中，初始时做自由落体运动，速度不断增大；在穿过云层过程中，雨滴吸收小水珠，其质量增大；在接近地面前，受阻力影响，做匀速运动。下列说法正确的是（　　） A．穿过云层过程中，重力势能一定增大 B．穿过云层过程中，重力势能一定为正值 C．从初始位置下落到地面过程中，重力的功率不断增大 D．从初始位置下落到地面过程中，阻力一直做负功 2．沿高度相同而长度和粗糙程度均不同的斜面把同一物体从底端拉到顶端，比较重力势能的变化，正确的是（    ） A．沿长度大的粗糙斜面拉，重力势能增加最多 B．沿长度小的粗糙斜面拉，重力势能增加最少 C．无论长度如何，都是斜面越粗糙重力势能增加越多 D．重力势能增加一样多 3．（23-24高一下·广东梅州·期末）我国科技创新规划提出要加强“深海”领域的探测和研究。如图是某大学科研小组在深海探测结束后，利用牵引汽车将探测器从海面起吊上岸的示意图，若不计滑轮摩擦和牵引绳质量。在牵引汽车以速率 v匀速向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．探测器处于超重状态 B．探测器上升的速率大于 v C．牵引绳拉力等于探测器重力 D．牵引绳拉力做的功等于探测器重力势能的增加量 4．（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）背越式跳高是一种以杆上背弓姿势、向上甩腿越过横杆，过杆后以背部落垫的跳高方式．某跳高运动员质量为M，在背越式跳高过程中恰好越过高度为H的横杆，重力加速度大小为g，不计空气阻力．下列说法正确的是（    ） A．运动员起跳阶段，地面对运动员的弹力不做功 B．运动员上升过程中，重力势能增加 C．运动员从起跳最低点到上升最高点过程先失重后超重 D．运动员刚接触海绵垫时，在竖直方向立即做减速运动 5．如图所示，质量为m的物体，放于水平面上，物体上竖直固定一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧。现用手拉住弹簧上端P缓慢向上提，使物体离开地面上升一段距离，在这一过程中，若P端上移的距离为H。关于物体的重力势能，下列说法正确的是（　　） A．减少了 B．增加了mgH C．增加了 D．减少了 6．如图所示，在离地面高为H处，将质量为m的小球以初速度竖直上抛，取抛出位置所在水平面为参考平面，则小球在最高点和落地处的重力势能分别为（    ）    A．g，0 B．， C．， D．， 7．如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置（即重力和弹簧弹力大小相等的位置），今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，则这两次弹力做功的关系为（　　）    A．W1<W2 B．W1＝2W2 C．W2＝2W1 D．W1＝W2 8．（多选）（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）资料显示，质量为的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为，超过该值将会爆胎。某次汽车正以30m/s的速度匀速通过一段凸凹不平的路面，将这段路面简化为弧形，其最高点和最低点分别为A、B，对应圆弧的半径r均为150m，两圆弧的圆心连线与竖直方向间的夹角为37°，取，，，则汽车（　　） A．从A点到B点的过程中重力势能减少了 B．通过最高点A时对路面的压力为6000N C．通过最低点B时不会爆胎 D．若以40m/s的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面 9．（多选）如图所示，一传送带与水平面的夹角为37°，长度足够长，沿逆时针方向以恒定速率运行，一物块无初速度地放在传送带顶端，传送带与物块之间的动摩擦因数μ=0.8，t表示物块的运动时间，x表示物块运动的位移大小，以传送带底端所在的平面为零重力势能参考面。关于物块在运动过程中的速度v、加速度a、重力势能Ep、动能Ek变化规律描述正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   10．（多选）如图所示，质量为m的小球在半径为R的半圆形轨道上来回运动，下列说法正确的是（　　）    A．若、等高，从到重力做功 B．若、等高，从到重力做功为零 C．若轨道有摩擦，重力做的功最多是 D．若轨道有摩擦，重力做的功可以大于 11．如图所示，幼儿园小朋友们正在玩滑梯： (1)小朋友们从最高点滑落到地面的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？ (2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？ 12．如图所示，物块压缩弹簧的长度越大，物块被弹开的速度越大，在压缩量相同的情况下，劲度系数越大的弹簧，弹开物块的速度越大。由此可以猜测弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关？ 13．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图所示，将一个质量为1kg的小球水平抛出，抛出点距水平地面的高度，小球落地点与抛出点的水平距离x＝4.8m。不计空气阻力。取，求： （1）小球从抛出到落地经历的时间； （2）小球抛出时的速度大小； （3）小球从抛出到落地重力做功W。 【拓展练·培优拔高】 1．如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法不正确的有（　　） A．从M到N，小车牵引力大小为40N B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J 2．（23-24高三上·山东青岛·期中）如图，两光滑直杆OA、OB成60°夹角固定在竖直平面内，其角平分线OC竖直。质量均为m的甲、乙两小环套在杆上，用轻质弹簧相连，开始时两环在同一高度且弹簧处于原长状态。将两环同时由静止释放，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。在两环沿直杆下滑的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两环的加速度一直减小 B．两环的速度先增大后减小 C．两环与杆间的弹力先增大后减小 D．两环的加速度为零时，弹簧的弹性势能最大 3．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中（弹簧保持竖直），下列说法正确的是（    ）    A．小球的动能先增大后减小 B．重力势能先减小后增大 C．弹性势能先增大后减小 D．重力先做正功后做负功 4．如图所示，一只可爱的毛毛虫外出觅食缓慢经过一边长为的等边三角形山丘。已知其身长为，总质量为，重力加速度为，如图其头部刚到达最高点，假设毛毛虫能一直贴着山丘前行，则从其头部刚到山顶到头部刚到山丘底端的过程中毛毛虫的重力势能变化量为（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，质量为的均匀金属链条，长为，有一半在光滑的足够高的斜面上，另一半竖直下垂在空中。已知斜面倾角为30°，顶端是一个很小的圆弧。从静止开始释放后整个链条滑动，当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能的减少量为（　　） A． B． C． D． 6．“神舟十二号”宇航员顺利返回地球后，又经过了两个星期左右的恢复锻炼，才逐渐适应地球的重力环境。如图所示，重物A质量为m，置于水平地面上。一根轻质弹簧，原长为L，劲度系数为k，下端与物体A相连接。宇航员恢复锻炼时现将弹簧（初始为原长）上端点P缓慢地竖直提起一段高度使重物A离开地面。已知上端点P向上移动的高度为h，则这时重物具有的重力势能为（以地面为零势能面）（　　） A．     B． C． D． 7．在光滑的桌面上有一根均匀柔软的质量为m、长为l的绳，其绳长的四分之一悬于桌面下，从绳子开始下滑至绳子刚好全部离开桌面的过程中，绳子的重力做功和重力势能变化如何（桌面离地高度大于l）（　　） A．， B．， C．， D．， 8．（多选）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平段以恒定功率、速度匀速行驶，在斜坡段以恒定功率、速度匀速行驶。已知小车总质量为，，段的倾角为，重力加速度，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．从到，小车牵引力大小为 B．从到，小车克服摩擦力做功 C．从到，小车重力势能增加 D．从到，小车克服摩擦力做功 9．（多选）如图所示，长为L的轻杆的B端用铰链固定在竖直墙上，C端与轻滑轮连接，绕过滑轮的轻绳上端固定于墙上A处，下端悬挂一重力为G的重物，当轻杆与竖直方向的夹角为时，系统处于静止状态。若将绳的上端从A处沿墙缓慢下移，直到轻杆与竖直方向成，不计一切摩擦，则此过程中（　　） A．BC杆受的压力不变 B．BC杆受的压力增大 C．重物的重力势能增加 D．重物的重力势能减少 10．（多选）在某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可视为质点）从弹簧原长处由静止释放，小球沿竖直方向向下运动，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图所示，其中和为已知量，（弹簧的弹性势能表达式为，其中k上为弹簧的劲度系数，y为弹簧形变量）。下列说法中正确的是（　　） A．当弹簧压缩量为时，小球P的速度为零 B．小球向下运动至速度为零时所受弹簧弹力大小为 C．弹簧劲度系数为 D．当弹簧压缩量为时，弹簧的弹性势能为 11．（24-25高一下·广东广州·期中）调速器可用来控制电动机的转速，其结构如图所示，竖直光滑圆筒外壳固定不动，中心转轴随电动机旋转，转轴上用铰链连接着一根轻质细杆，细杆的下端固定一个质量为m=1.0kg的摆锤。电动机转速较大时，摆锤会贴紧外壳，当外壳上任意一点受力超过F=7.5N时，传感器便会报警传递电动机转速过大的信息，并立刻停止转动。已知外壳的内径r=0.30m，杆长L=0.50m，重力加速度g=10m/s2。求： (1)当摆锤恰好与外壳接触时，转轴的角速度与细杆的弹力大小T； (2)电动机稳定转动时的最大角速度； (3)已知调速器的初始角速度，若角速度从此时开始增加，最终稳定为，这一过程中摆锤克服重力做功，求关于的函数关系。 12．（23-24高一下·吉林四平·期中）如图所示，是一种大型机械车间运输货物的天车，天车通过钢索竖直悬挂货物，现将一质量为的货物（可视为质点）沿着与水平方向成30°角的方向匀速吊起，使货物在10s内向斜上方移动了的距离，空气阻力不计，钢索始终竖直，重力加速度。求： （1）10s内钢索对货物的拉力做功； （2）10s末拉力的瞬时功率P； （3）10s内货物的重力做功及重力势能的变化量。 13．某同学制作了一个“竖直加速度测量仪”，可以用来测量竖直上下电梯运行时的加速度，其构造如图（a）所示。把一根轻弹簧上端固定在小木板上，下端悬吊0.9N重物时弹簧下端的指针指木板上刻度为C的位置，把悬吊1.0N重物时指针位置的刻度标记为0，以后该重物就固定在弹簧上，和小木板上的刻度构成了一个“竖直加速度测量仪”。 （1）请在图中除0以外的6根长刻度线旁，标注加速度的大小，示数的单位用m/s2表示，加速度的方向向上为正、向下为负。说明标注的原理。 （2）如图（b）所示，若以小球的平衡位置0为坐标原点，竖直向下建立x轴。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内。如果把弹性势能与重力势能的和称为系统的势能，并规定小球处在平衡位置时系统的势能为零，请根据“功是能量转化的量度”，证明：小球运动到0点下方x处时系统的势能。 （3）势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。物体的重力势能总是相对于某一个水平面来说的，选择不同的参考平面，物体的重力势能的数值是不同的，在参考平面上方的物体重力势能是正值，在参考平面下方的物体重力势能是负值：请问弹簧的弹性势能可以是负值吗？请用学过的理论分析论证你的观点。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 8.2 重力势能 目录 【目标导航】 2 【思维导图】 2 【教材详解】 2 知识点1：重力做功 2 知识点2：重力势能与重力做功的关系 3 知识点3：重力势能的相对性和系统性 4 知识点4：弹性势能 6 【经典题型】 8 题型01 重力做功的计算 8 题型02 弹簧弹力做功的计算 10 题型03 重力势能的定义和公式 13 题型04 零势面对重力势能的影响 15 题型05 重力做功和重力势能的关系 17 题型06 弹性势能的定义和影响因素 19 题型07 弹性势能的表达式 22 题型08 弹簧弹力做功与弹性势能的变化 24 【课后巩固】 27 【基础练·强化巩固】 27 【拓展练·培优拔高】 36 课堂目标 关键词 1.通过对不同路径重力做功的分析，归纳出重力做功与路径无关的特点! 2.理解重力势能的表达式Ep=mgh，体会功能关系 W =mg·△h。 3.知道重力势能的大小与参考平面的选取有关，即重力势能具有相对性但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 4.了解弹性势能的决定因素。 ①重力势能及其变化 ②重力做功及做功特点 ③ 相对性和系统性 ④ 零势能面 ⑤ 弹性势能 知识点1：重力做功 思考：假如要从 17楼去9楼，可以乘电梯，也可以走楼梯，有两种不同的下楼方式，在此过程中，重力做的功是否相等? 1. 重力做功 如下图所示，将质量为m的物块从A移到B可以有如下路径： 沿路径①(折线 AOB)：重力做的功。 沿路径②(直线 AB)：重力做的功 沿路径③(任意曲线 ACB)：可以把整个路径分成许多很短的曲线，每小段曲线的长度都很小，近似看成是一段倾斜的直线，设每小段的高度差，设没一小段的高度差分别为、、……，整个路径重力所做的功等于每小段上重力所做功的代数和，则即。 可见，质量为m的物块通过三种路径(斜线、直线、曲线从A移到B的过程中，重力做的功都相等，说明物体运动时重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。重力做的功等于重力与沿重力方向的位移的乘积。重力做功的这个特点，为我们提供了一个求重力做功的简单而重要的方法。 2. 重力做功的表达式 用h表示初位置与末位置的高度差，用h1、h2分别表示初位置、末位置的高度，则有 3. 重力做功的正、负 由重力做功的表达式，可以发现：物体被举高时，重力做负功(通常说物体克服重力做功)；物体下落时，重力做正功；物体在水平面上运动时，重力不做功。 【点拨】 (1)重力做功的多少，不受其他力做功的影响。不论有多少力对物体做功，重力做功只由重力大小、物体在重力方向上的位移决定 (2)重力做功不受运动状态改变的影响。 知识点2：重力势能与重力做功的关系 三峡大坝上、下游的水位差可达113m。想一想三峡大坝修建的高度与发电量有何关系? 提示：三峡大坝之所以修建得很高，是为了提高水位落差，以利于更多的机械能转化为电能。 1. 重力势能 重力做功的表达式是，发现“mgh”与重力做的功密切相关，又随着高度的增加而增加、随着质量的增加而增加，与初中学习的重力势能特征一致(物体由于受到重力并处在一定高度时所具有的能，叫作重力势能)。我们把mgh叫作物体的重力势能。 2. 重力势能的大小 重力势能Ep等于物体所受重力与所处高度的乘积，表达式为Ep=mgh。其中h表示物体重心到参考平面(零势能面)的高度。 【点拨】参考平面的选择 物体重心在参考平面上时，物体的重力势能为零。参考平面可以任意选取，实际问题中以解决问题方便为原则选取，通常选取地面为参考平面。物体重心在参考平面上方，重力势能为正值，物体重心在参考平面下方，重力势能为负值。 3. 重力势能的单位 重力势能是标量，其单位与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，符号为J。1J=lkg·m-2s-2·m=1N·m。 4. 重力做功与重力势能的关系 5. 重力势能的理解 （1），说明重力势能的变化仅与重力做功有关。所以，重力势能的变化仅取决于物体重力的做功情况，与物体是否还受其他力作用，以及物体做何种运动无关。 （2）重力做功过程是重力势能改变的过程，具体有两种情况： ①重力对物体做多少正功，物体的重力势能就减少多少。 ②物体克服重力做多少功，物体的重力势能就增加多少。 【点拨】重力势能的两个解题要点 (1)重力势能变化多少是由重力做功的多少来量度的，与重力以外的其他力做功无关。 (2)计算重力做功时，找出初、末位置的高度差h，直接利用公式W=mgh 即可，无需考虑中间的复杂运动过程。 知识点3：重力势能的相对性和系统性 如图所示，小朋友正在玩滑梯。假设图中三个小朋友体重相同，在滑梯最高处的小朋友的重力势能一定为正值吗?站在地面上的小朋友的重力势能一定为零吗? 1. 参考平面与重力势能的相对性 物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面。在参考平面上，物体的重力势能取为0。选择不同的参考平面，同一物体的高度h就有不同的值，物体的重力势能也就不同。对选定的参考平面而言，上方物体的重力势能是正值，下方物体的重力势能是负值。如图所示：物体在A、B、C三点时重力势能的正负情况如表格所示。 参考平面 地面 正值 正值 零 桌面 正值 零 负值 A点的水平面 零 负值 负值 【点拨】重力势能与参考面的关系 如下图所示 结论：重力势能的表达式为，高度h的相对性决定了重力势能具有相对性。分析上表可知，对于同一物体，选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值即重力势能的大小与参考平面的选取有关。 ①对一个确定的过程，重力做的功WG和重力势能的变化量△Ep与参考平面的选取无关。 ②参考平面的选取是任意的，实际问题中视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所达到的最低点所在水平面为参考平面。 ③重力势能的计算式Ep=mgh 只适于地球表面及附近g值不变时的情况，当g值变化时，不能用其计算。 ④参考平面以下的重力势能均为负值，“+”“－”号代表重力势能比在参考平面上时具有的重力势能大或小。 2. 重力势能的“四性” (1)标量性：重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正、负。重力势能正、负的含义：正、负值分别表示物体处于参考平面上方或下方。 (2)相对性：选取不同的水平面作为参考平面，其重力势能具有不同的数值，即重力势能的大小与参考平面的选取有关。 (3)绝对性：物体在两个高度不同的位置时，由于高度差一定，重力势能之差也是一定的，即物体的重力势能的变化与参考平面的选取无关。 (4)系统性：重力是地球与物体相互吸引而产生的，如果没有地球对物体的吸引，就不会有重力，也不存在重力势能，所以重力势能是这个系统共同具有的，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化 的说法。 3. 重力做功和重力势能的比较 项目 重力做功 重力势能 物理 意义 重力对物体做功 由物体与地球的相互作用产生，且由它们之间的相对位置决定的能量 表达式 WG=mgh Ep=mgh 大小影响因素 重力mg和初末位置的高度差h有关 重力mg和相对参考平面度选择有关 特点 只与初末位置的高度差h有关，与路径和参考面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体，选择不同的参考平面，其重力势能的值不同 联系 重力做功的过程是重力势能改变的过程，重力做正功重力势能减少；重力做负功，重力势能增加，其大小关系为 拓展一：匀质链条类物体的重力势能 (1)当链条呈直线状态(水平、竖直或倾斜)放置时，重心位置在其中点，表达式Ep=mgh中的h表示链条重心相对于参考平面的高度。 (2)当链条不以直线状态(如折线)放置时，应当分段表示重力势能，然后将各重力势能求和。 知识点4：弹性势能 如下图所示，撑竿跳高运动员借助手中弯曲的竿跳得很高，这是因为弯曲的竿具有的弹性势能传给了运动员，使运动员的重力势能增大，这种由于形变而具有的能量叫作弹性势能。弹性势能与哪些因素有关?弹性势能是怎样产生的? 1. 弹性势能 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫作弹性势能。卷紧的发条、拉开的弓、拉长或压缩的弹簧等都具有弹性势能。弹性势能存在于发生弹性形变的物体中。 2. 弹性势能的影响因素 弹性势能的大小跟物体的性质和形变的大小有关，形变越大，弹性势能越大。弹簧的弹性势能的大小由弹簧的劲度系数和形变量(拉伸或缩短的长度)共同决定，劲度系数越大，形变量越大，弹簧的弹性势能越大。 【点拨】弹性势能的大小 教材中没有给出弹簧弹性势能大小的表达式，但是，如果知道弹性势能的一般表达式，对弹性势能的理解及定性分析问题会有帮助。 以弹簧为例，设弹簧处于原长时的弹性势能为零，类比v-t图像的面积表示位移，则F-x图像中的面积就表示弹力做的功，如下图所示，当弹簧的形变量为x时，力F与形变量x成正比，则：弹力做功。外力克服弹簧弹力做的功全部转化为弹性势能储存在弹簧中，则弹性势能的大小：。其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧压缩或拉伸(以弹簧原长为起点)的长度。 3. 弹性势能与弹力做功的关系 如图 8-2-9 所示，0为弹簧的原长处。 (1)弹力做负功：如物体由О向A运动(压缩弹簧)或由O向A'运动(拉伸弹簧)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。 (2)弹力做正功：如物体由A向O运动或由A'向O运动时弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系为 特别提示 ①对于同一根弹簧，从原长状态伸长和压缩相同的长度时弹性势能相同。 ②取弹簧处于原长时的弹性势能为零，无论拉伸或压缩弹簧，弹性势能都为正值。 4. 弹性势能和重力势能的比较 项目 弹性势能 重力势能 定义 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能 物体由于被举高而具有的势能 表达式 相对性 通常选自然长度时弹性势能为零，表达式最为简洁 重力势能的大小与参考平面的选取有关，但变化量与参考平面的选取无关 系统性 弹性势能是弹簧本身具有的能量 重力势能是物体与地球这一系统所共有的 功能关系 弹性势能的变化等于克服弹力做功 重力势能的变化等于克服重力所做的功 联系 两种势能分别以弹力、重力的存在为前提，又由物体的初、末位置来决定。同属机械能的范畴，在一定条件下可相互转化 题型01 重力做功的计算 【典例1】质量相同的三个小球A、B、C，从同一高度下落，A做自由落体运动，B沿光滑曲面下滑，C沿粗糙斜面下滑，最终都落到地面上。 (1)分析小球在下落过程中的受力情况； (2)下落过程中重力对三球做的功相同吗？ (3)在推导重力做功的公式时，利用了哪种物理思想？ 【答案】(1)三个力 (2)相同 (3)分割与求和的极限思想 【详解】（1）A球只受重力作用，B球受重力和曲面的支持力作用，C球受重力、支持力、摩擦力三个力的作用； （2）三种情况中，重力做功均为 即重力做功相同； （3）把整个路径分成许多很短的间隔，经过的路程分割为许多小段，由于每一小段都很小，因而都可以近似看作一段倾斜的直线，设每一小段的高度差分别为∆h1，∆h2，∆h3，……，则物体通过每一小段时重力做功分别为mg∆h1，mg∆h2，mg∆h3，……，所以物体通过整个路径时重力做的功等于重力在每一小段上做的功的代数和，即 由此可知，推导重力做功时采用了无限分割与求和的极限思想。 【变式1-1】（24-25高二上·江苏·阶段练习）在建筑工地上，塔吊先将重1000N的建筑材料竖直向上吊10m，再沿水平方向移动20m。则在此过程中，重力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在此过程中，重力做的功为 故选B。 【变式1-2】（23-24高一下·福建厦门·期末）扔沙包是我国一种民间传统游戏，不仅能锻炼儿童投掷能力，还能训练手眼协调等能力。如图所示，某儿童将质量的沙包水平抛出，抛出点离水平地面的高度，沙包落地点与抛出点的水平距离，重力加速度g取，不计沙包大小及空气阻力，求： （1）从抛出到落地的过程中重力对沙包所做的功； （2）沙包水平抛出的初速度大小； （3）沙包落地时速度的大小。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）从抛出到落地的过程中重力对沙包所做的功为 （2）沙包做平抛运动，竖直方向有 解得 水平方向有 解得沙包水平抛出的初速度大小为 （3）沙包落地时的竖直分速度大小为 则沙包落地时速度的大小为 题型02 弹簧弹力做功的计算 【典例2】如图所示，在光滑水平桌面上有一根轻质弹簧，将弹簧一端固定，另一端施以水平拉力弹簧缓慢伸长。弹簧从原长到伸长量为过程中，外力对弹簧做功，弹簧从原长到伸长量为过程中，外力对弹簧做功，弹簧始终处在弹性限度内，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对弹簧一端施以水平拉力，弹簧缓慢伸长到形变量x过程中，拉力等于弹簧弹力，与弹簧的伸长量成正比 外力做功 可知 对弹簧一端施以水平拉力，弹簧缓慢伸长到形变量2x过程中，外力做的功变为原来的4倍，即 故ABC错，D正确。 故选D。 【变式2-1】如图所示，放在地面上的木块与一劲度系数k＝200N/m的轻质弹簧相连。现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动x1＝0.3m，木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢移动了x2＝0.5m，求： (1)上述过程中拉力所做的功； (2)此过程弹簧弹性势能的变化量。 【答案】(1)39J；(2)9J 【详解】(1)木块刚要滑动时，拉力的大小 从开始到木块刚滑动的过程，拉力做功 木块再缓慢移动的过程中，拉力做功 故拉力所做的总功为 (2)根据功能关系知此过程弹簧弹性势能的变化量 【变式2-2】（多选）如图甲所示，轻质弹簧放置在光滑的水平面上，左端系在墙上，与弹簧右端连接的质量为m的物块，在水平向右的拉力F的作用下，由静止开始向右运动，物块刚开始运动时，弹簧处于原长，弹簧对物块拉力的大小与物块向右运动的位移大小x的关系图像如图乙所示，在弹簧的弹性限度内，下列说法中正确的是（　　） A．弹簧的总长等于物块向右运动的位移x的大小 B．关系图像的斜率表示弹簧的劲度系数 C．若水平向右的拉力F为恒力，则物块的加速度越来越大 D．物块向右运动的位移大小由变为的过程中，物块克服弹簧的拉力做的功为 【答案】BD 【详解】A．由于弹簧处于原长时，物块开始向右运动，所以物块向右运动的位移大小x等于弹簧的伸长量，小于弹簧的总长，所以A项错误； B．由胡克定律 可知 即关系图像的斜率表示弹簧的劲度系数，所以B项正确； C．由牛顿第二定律 可得 当F为恒力时，随着物块向右运动的位移x的增大，物块的加速度a越来越小，所以C项错误； D．物块向右运动的位移大小由变为的过程中，物块克服弹簧的拉力做的功在数值上等于图乙阴影部分的面积，则有 所以D项正确； 故选BD。 题型03 重力势能的定义和公式 【典例3】（2024·辽宁朝阳·三模）运动员从某一高度将质量为m的排球击出，从击出排球瞬间开始计时，排球在空中飞行的速率v随时间t的变化关系如图所示，图中相关坐标值均为已知，t2时刻排球恰好落到对方的场地上。排球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度大小为g，以地面为参考平面。下列说法正确的是（    ） A．击球点到落地点间的水平距离为 B．击球点到落地点间的水平距离为 C．排球运动过程中离地的最大高度为 D．排球的最大重力势能为 【答案】D 【详解】AB．由题图可知，运动员从某一高度将排球击出，排球的速度先变小后变大，t1时刻排球处于最高点，速度方向水平，击球点到落地点间的水平距离 故AB错误； CD．排球落地时竖直方向的分速度 由速度位移公式可得排球运动过程中离地的最大高度 排球的最大重力势能 故C错误，D正确。 故选D。 【变式3-1】如图所示，质量为m的金属小球，从离水面H高处自由下落后进入水中。已知水深为h，若以水面为参考平面，小球运动至水底时的重力势能为（　　） A．mgH B．-mgh C．mg（H-h） D．-mg（H+h） 【答案】B 【详解】以水面为参考平面，小球运动至水底时的重力势能为 故选B。 【变式3-2】（2024高二·山西·学业考试）如图所示，质量为m的苹果，从离地面高H的树上由静止开始下落，树下有一深度为h的坑。若以地面为重力势能的零势能面，则当苹果落到坑底时，其重力势能为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以地面为零势能面，坑在地面以下，所以苹果落到坑底时的重力势能为 故选B。 题型04 零势面对重力势能的影响 【典例4】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）如图所示，可视为质点的小球位于桌子的上方，从A点运动到B点，小球质量m=1kg，h1=1m，h2=0.6m，取g=10m/s2，以桌面为参考平面，则说法错误的是（　　） A．小球在A点的重力势能是10J B．从A点运动到B点小球的重力势能减少了4J C．从A点运动到B点小球重力做功是16J D．若取地面为参考平面，从A点运动到B点小球重力做功是16J 【答案】B 【详解】A．小球在A点的重力势能是 选项A不符合题意； BC．从A点运动到B点小球的重力做功 则重力势能减少了16J，选项B错误，符合题意；选项C正确，不符合题意； D．若取地面为参考平面，从A点运动到B点小球重力做功仍是16J，选项D正确，不符合题意。 故选B。 【变式4-1】一棵树上有一个质量为0.3kg的熟透了的苹果P，该苹果从树上A处先落到地面C最后滚入沟底D。A、B、C、D、E水平面之间竖直距离如图所示。以地面C为零势能面，g取，则该苹果从A落下到D的过程中重力势能的减少量和在D处的重力势能分别是（　　）      A．15.6J和9J B．9J和-9J C．15.6J和-9J D．15.6J和-15.6J 【答案】C 【详解】该苹果从A落下到D的过程中，重力做功为 可知重力势能的减少量为；以地面C为零势能面，该苹果在D处的重力势能为 故选C。 【变式4-2】（多选）现有质量为m的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h，如图所示，下面关于小球落地时的重力势能及整个下落过程中重力势能的变化分别是（　　） A．若以地面为参考平面，分别为，增加 B．若以桌面为参考平面，分别为，增加 C．若以地面为参考平面，分别为0，减少 D．若以桌面为参考平面，分别为，减少 【答案】CD 【详解】AC．以地面为参考平面，小球落地时的重力势能为0，整个下落过程中重力势能减少了，故A错误，C正确； BD．以桌面为参考平面，小球落地时的重力势能为，整个下落过程中重力势能减少了，故B错误，D正确。 故选CD。 题型05 重力做功和重力势能的关系 【典例5】（23-24高一下·江苏南京·期中）一个0.1kg的球从1.8m的高处落到地上又弹回到的1m高度，选下落起点为参考面（）下列说法正确的是（　　） A．整个过程重力做功为1.8J B．整个过程重力做了1J的功 C．物体的重力势能一定减少了0.8J D．物体在地面时的重力势能为0 【答案】C 【详解】ABC．整个过程重力做功为 所以物体的重力势能减少了0.8J。故AB错误，C正确； D．物体在地面时的重力势能为 故D错误。 故选C。 【变式5-1】一根长L=2m，重力G=200N的均匀木杆放在水平地面上，现将它的一端从地面抬高1m，另一端仍搁在地面上，则物体重力势能的变化量为（　　） A．50 J B．100 J C．200 J D．400 J 【答案】B 【详解】由几何关系可知在木杆的重心上升的高度为 物体克服重力做功 故物体重力势能的变化量为 故选B。 【变式5-2】（22-23高一下·江西南昌·期末）如图所示为一栋楼房的截面图，各楼层高度已在图中标出，一只质量为1kg的小猫从一楼的A处沿楼梯爬上三楼，已知小猫爬到楼梯口B处时的重力势能为0，重力加速度大小取，则下面说法正确的是（　　）    A．小猫在A处的重力势能为15J B．小猫在E处的重力势能是在A处的2倍 C．小猫从B到D重力做的功为30J D．小猫从A到B重力势能增加了15J 【答案】D 【详解】A．小猫爬到楼梯口B处时的重力势能为0，则小猫在A处的重力势能为 选项A错误； B．小猫在E处的重力势能 选项B错误； C．小猫从B到D重力做的功为 选项C错误； D．小猫从A到B重力势能增加了 选项D正确。 故选D。 题型06 弹性势能的定义和影响因素 【典例6】关于弹簧的弹性势能，下列说法正确的是（　　） A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大 B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小 C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大 D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能 【答案】C 【详解】A．当弹簧变长时，它的弹性势能不一定增大，若弹簧处于压缩状态时，弹簧的弹性势能减小，选项A错误； B．若处于压缩状态时，弹簧变短时，弹簧的弹性势能增大，选项B错误． C．由得知，在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大，选项C正确． D．由可知弹簧的弹性势能由弹簧的形变量决定，弹簧在拉伸时的弹性势能不一定大于压缩时的弹性势能，选项D错误。 故选C。 【变式6-1】如图所示，A、B两木块中间连有一轻弹簧，开始时物体A静止在弹簧上面，用力F缓慢向上提直到恰好离开地面，设开始时弹簧的弹性势能为，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为，则关于、大小关系及弹簧势能变化的说法中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】据题意，开始时弹力为 弹簧的弹性势能为 当木块B恰好离开地面时，弹力为 此时弹性势能为 由于 则 弹性势能的变化量相同 故选B。 【变式6-2】（多选）如图1所示，质量均为m的物块A和B用劲度系数为k的轻质弹簧拴接，竖直静置在水平桌面上。现用一竖直向上的力F拉动物块A，使其向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，如图2所示。已知重力加速度为g，从物块A开始运动到物块B恰要离开桌面的过程中，弹簧始终处于弹性限度内，则对此过程，下列说法正确的是（　　） A．力F的初始值大小等于ma B．物块A的最大动能等于 C．物块A增加的重力势能等于 D．弹簧的弹性势能变化量为零 【答案】ABD 【详解】A．最初弹簧被压缩，A物体受到竖直向上的弹力等于重力，因为A物体向上做匀加速直线运动，对A受力分析：受重力、拉力和弹簧的弹力，开始阶段弹簧对A施加向上的支持力，由牛顿第二定律得 则得 由于初始位置 因此 故A正确； B．初始位置弹簧被压缩x，物块B恰要离开桌面时，弹簧伸长x，因此整个过程中物体A上升2x，物块A向上做加速度大小为a的匀加速直线运动，物块B恰要离开桌面时，物体A的速度最大，动能最大，由 ，， 解得 故B正确； C．物块A增加的重力势能等于 故C错误； D．初始位置弹簧的压缩量与物块B恰要离开桌面时弹簧的伸长量相同，则弹簧的弹性势能相同，故弹簧的弹性势能变化量为零，故D正确。 故选ABD。 题型07 弹性势能的表达式 【典例7】（23-24高一下·辽宁大连·期中）如图所示，劲度系数分别为和的弹簧A和B连接在一起，拉长后将两端固定。若弹簧弹性势能可表示为，其中为弹簧形变量，则弹性势能的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】弹簧A和B两端的拉力大小相等，胡克定律可知 解得 弹簧A和B弹簧弹性势能分别为 ， 则 即 故选A。 【变式7-1】如图所示，有一原长为l0的橡皮筋，上端固定，在下端拴一质量为M的物体时，橡皮筋伸长为a且恰好断裂。若该橡皮筋下端拴一质量为m(m<M)的物体，将m从橡皮筋没有形变的位置，竖直向上举高h后，由静止释放，也恰能使橡皮筋伸长为a时断裂，求橡皮筋的劲度系数和h的表达式。（设橡皮筋遵守胡克定律）    【答案】， 【详解】橡皮筋挂质量为M的物体，伸长a时，物体所受重力等于弹力，有 故橡皮筋的劲度系数 当m由静止下落至最低点的过程中，始、末位置速度为零，重力克服弹力做功，橡皮筋的弹性势能增加 解得 【变式7-2】探究弹性势能表达式的实验时，得到一根弹簧的弹力（F）—伸长量（x）图像如图乙所示，那么弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中，弹性势能的变化量为 J。 【答案】-1.8 【详解】[1]F—x图像与x轴包围的面积表示弹力做功的大小，故弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中，弹力的功 即弹簧由伸长量8cm到伸长量4cm的过程中弹力做正功，则弹性势能减小，变化量为 - 1.8J。 题型08 弹簧弹力做功与弹性势能的变化 【典例8】（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）小嵩同学做“弹簧弹力与形变量的关系”实验，根据实验数据绘制出的弹簧弹力—形变量（）图像如图甲所示。如图乙所示，放在水平地面上的物块与实验用的轻质弹簧相连，水平拉力F作用在弹簧上，初始时弹簧处于原长，拉力F的作用点缓慢移动了0.04m，物块相对于地面始终静止，弹簧始终在弹性限度内。下列说法正确的是（    ）    A．弹簧的劲度系数为0.5N/m B．该过程中拉力F做的功为0.08J C．该过程中弹簧弹力对物块做的功为0.04J D．该过程中弹簧增加的弹性势能为0.04J 【答案】D 【详解】A．根据题中图像可知，弹簧的劲度系数 故A错误； B．该过程中拉力F做的功 故B错误； C．由于物块相对于地面始终静止，因此摩擦力对物块做的功为0。故C错误； D．该过程中拉力F做的功转化为弹簧的弹性势能，因此弹簧增加的弹性势能为0.04J。故D正确。 故选D。 【变式8-1】（23-24高一下·北京顺义·期中）如图所示，弹簧的一端固定，另一端连接一个物块，弹簧质量不计。物块（可视为质点）的质量为m，在水平桌面上沿x轴运动。以弹簧原长时物块的位置为坐标原点O，当弹簧的伸长量为x时，物块所受弹簧弹力大小为，为常量，如图。已知图像所围面积表示弹力做的功，你可以尝试画出图像后，判断以下说法正确的是（　　） A．从O运动到x1弹簧的弹力做正功 B．物块由O向右运动到x1与物块由x1到x2弹力做功相同 C．物块由x1运动到x2与由x2运动到弹力做功之比为3：5 D．物块由x1向右运动到x2与物块由x1向右运动到后再返回到x2弹力做功不相同 【答案】C 【详解】画出弹簧的F-x图像如下图所示 A．从O运动到x1，弹簧的弹力向左，物体的位移方向向右，故弹簧弹力做负功，故A错误； B．物块从O运动到x1，弹力做功大小为 从x1运动到x2，弹簧的弹力做功大小为 故B错误； C．物块从x2运动到x3，弹力做功 则 W2：W3=3：5 故C正确； D．弹簧的弹力做功属于保守力做功，根据这个特性可知，物块由x1向右运动到x2与物块由x1向右运动到x3后再返回到x2弹力做的功相同，故D错误。 故选C。 【变式8-2】（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图所示，在一直立的光滑管内放置一轻质弹簧，上端点与管口A的距离为，一质量为的小球从管口由静止下落，将弹簧压缩至最低点，压缩量为，不计空气阻力，重力加速度为，弹簧的弹性势能与形变量的关系为，则（    ） A．弹簧的最大弹性势能为 B．小球运动的最大速度等于 C．弹簧的劲度系数为 D．小球运动中最大加速度为 【答案】A 【详解】A．小球下落到最低点时重力势能全部转化为弹簧的弹性势能，此时弹性势能最大，根据能量守恒，有 故A正确； C．根据弹性势能表达式 则有 解得 故C错误； B．当小球的重力等于弹簧弹力时，小球有最大速度，则有 再根据弹簧和小球组成的系统机械能守恒，有 解得最大速度为 故B错误； D．小球运动到最低点时有 解得 故D错误。 故选A。 【基础练·强化巩固】 1．雨滴是水蒸气在高空中遇到冷空气凝聚成的小水滴，雨滴在无风时的下落过程中，初始时做自由落体运动，速度不断增大；在穿过云层过程中，雨滴吸收小水珠，其质量增大；在接近地面前，受阻力影响，做匀速运动。下列说法正确的是（　　） A．穿过云层过程中，重力势能一定增大 B．穿过云层过程中，重力势能一定为正值 C．从初始位置下落到地面过程中，重力的功率不断增大 D．从初始位置下落到地面过程中，阻力一直做负功 【答案】D 【详解】A．根据重力势能 所以雨滴穿过云层向下运动过程中，h减小，m增大，h的减小量与m的增加量大小未知，重力势能不一定增大，A错误； B．若取雨滴初始下落位置为零势能面，则雨滴在穿过云层时，重力势能为负值，B错误； C．由题可知，在接近地面前，雨滴做匀速运动，由功率公式 可知雨滴速度不变，重力的功率不变，C错误； D．从初始位置下落到地面过程中，雨滴所受阻力始终与雨滴运动方向相反，阻力一直做负功，D正确。 故选D。 2．沿高度相同而长度和粗糙程度均不同的斜面把同一物体从底端拉到顶端，比较重力势能的变化，正确的是（    ） A．沿长度大的粗糙斜面拉，重力势能增加最多 B．沿长度小的粗糙斜面拉，重力势能增加最少 C．无论长度如何，都是斜面越粗糙重力势能增加越多 D．重力势能增加一样多 【答案】D 【详解】重力势能的变化只取决于重力做功，而重力做功与其他力是否存在无关，同一物体的高度变化相同，则重力势能变化相同。 故选D。 3．（23-24高一下·广东梅州·期末）我国科技创新规划提出要加强“深海”领域的探测和研究。如图是某大学科研小组在深海探测结束后，利用牵引汽车将探测器从海面起吊上岸的示意图，若不计滑轮摩擦和牵引绳质量。在牵引汽车以速率 v匀速向右运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．探测器处于超重状态 B．探测器上升的速率大于 v C．牵引绳拉力等于探测器重力 D．牵引绳拉力做的功等于探测器重力势能的增加量 【答案】A 【详解】ABC．设牵引绳与水平方向夹角为θ，当牵引汽车匀速运动时，探测器的速度为 则可知探测器速度小于v，并且速度在增加；加速度向上，所以探测器处于超重状态，牵引绳拉力大于探测器重力，故A正确，BC错误； D．探测器重力势能的增加量等于探测器克服重力所做的功；由于牵引绳拉力大于探测器重力，故牵引绳拉力做的功大于探测器克服重力所做的功，即大于探测器重力势能的增加量，故D错误。 故选A。 4．（23-24高一下·黑龙江绥化·阶段练习）背越式跳高是一种以杆上背弓姿势、向上甩腿越过横杆，过杆后以背部落垫的跳高方式．某跳高运动员质量为M，在背越式跳高过程中恰好越过高度为H的横杆，重力加速度大小为g，不计空气阻力．下列说法正确的是（    ） A．运动员起跳阶段，地面对运动员的弹力不做功 B．运动员上升过程中，重力势能增加 C．运动员从起跳最低点到上升最高点过程先失重后超重 D．运动员刚接触海绵垫时，在竖直方向立即做减速运动 【答案】A 【详解】A．运动员起跳脚蹬地的过程中，地面对人的弹力方向上没位移，所以弹力不做功，故A正确； B．上升过程中，人的重心上升的高度小于H，则重力势能增加量小于，故B错误； C．从起跳最低点到上升最高点过程运动员先加速运动离地后做减速运动，即加速度先向上然后向下，则先超重后失重，故C错误； D．刚接触海绵垫时，重力大于海绵的弹力，先做加速运动，当重力小于海绵的弹力后做减速运动，故D错误。 故选A。 5．如图所示，质量为m的物体，放于水平面上，物体上竖直固定一原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧。现用手拉住弹簧上端P缓慢向上提，使物体离开地面上升一段距离，在这一过程中，若P端上移的距离为H。关于物体的重力势能，下列说法正确的是（　　） A．减少了 B．增加了mgH C．增加了 D．减少了 【答案】C 【详解】手拉着弹簧上端P缓慢向上移动，物体始终处于平衡状态。根据胡克定律得弹簧的伸长量 在这一过程中，P端上移的距离为H，所以物体上升的高度为 所以物体重力势能的增加了 故选C。 6．如图所示，在离地面高为H处，将质量为m的小球以初速度竖直上抛，取抛出位置所在水平面为参考平面，则小球在最高点和落地处的重力势能分别为（    ）    A．g，0 B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】小球能上升到的最高点与抛出点相距 所以在最高点时具有的重力势能 落地时小球的位置在参考平面下方H处，所以落地时小球具有的重力势能 故选B。 7．如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置（即重力和弹簧弹力大小相等的位置），今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，则这两次弹力做功的关系为（　　）    A．W1<W2 B．W1＝2W2 C．W2＝2W1 D．W1＝W2 【答案】D 【详解】弹力做功与路径无关，只与初、末位置有关，两次初、末位置相同，故有 W1＝W2 故选D。 8．（多选）（24-25高一下·山东淄博·阶段练习）资料显示，质量为的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为，超过该值将会爆胎。某次汽车正以30m/s的速度匀速通过一段凸凹不平的路面，将这段路面简化为弧形，其最高点和最低点分别为A、B，对应圆弧的半径r均为150m，两圆弧的圆心连线与竖直方向间的夹角为37°，取，，，则汽车（　　） A．从A点到B点的过程中重力势能减少了 B．通过最高点A时对路面的压力为6000N C．通过最低点B时不会爆胎 D．若以40m/s的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面 【答案】BC 【详解】A．根据做功的公式可知重力做功为 故A错误； B．根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，通过最高点A时对路面的压力为6000N，故B正确； C．在最低点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，通过B时对路面的压力为，不会爆胎，故C正确； D．脱离路面的最小速度满足 解得 所以若以40m/s的速度匀速通过该路段时，会脱离路面，故D错误； 故选BC。 9．（多选）如图所示，一传送带与水平面的夹角为37°，长度足够长，沿逆时针方向以恒定速率运行，一物块无初速度地放在传送带顶端，传送带与物块之间的动摩擦因数μ=0.8，t表示物块的运动时间，x表示物块运动的位移大小，以传送带底端所在的平面为零重力势能参考面。关于物块在运动过程中的速度v、加速度a、重力势能Ep、动能Ek变化规律描述正确的是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】ACD 【详解】AB．物块无初速度地放在传送带顶端，一开始受到沿斜面向下的滑动摩擦力，物块的加速度大小为 可知物块向下做匀加速直线运动，当物块速度等于传送带速度时，由于 物块将与传送带保持相对静止一起向下做匀速直线运动，匀速阶段，物块的加速度为0，故A正确，B错误； C．物块做匀加速直线运动阶段，根据动能定理可知 物块做匀速运动阶段，物块的动能保持不变，故C正确； D．设物块在顶点的重力势能为，物块下滑过程重力做功等于重力势能的减少量，则有 可得 故D正确。 故选ACD。 10．（多选）如图所示，质量为m的小球在半径为R的半圆形轨道上来回运动，下列说法正确的是（　　）    A．若、等高，从到重力做功 B．若、等高，从到重力做功为零 C．若轨道有摩擦，重力做的功最多是 D．若轨道有摩擦，重力做的功可以大于 【答案】BC 【详解】AB．若、等高，从到重力竖直向下，在竖直方向位移为零，重力做功为零，A错误，B正确； CD．若轨道有摩擦，小球下落到最低点时，重力做的功最多是，C正确，D错误。 故选BC。 11．如图所示，幼儿园小朋友们正在玩滑梯： (1)小朋友们从最高点滑落到地面的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？ (2)小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做正功还是负功？重力势能是增加还是减少？ 【答案】(1)重力做正功，重力势能减少 (2)重力做负功，重力势能增加 【详解】（1）小朋友沿滑梯滑下的过程中重力做正功，重力势能减少。 （2）小朋友从地面爬上滑梯最高点的过程中重力做负功，重力势能增加。 12．如图所示，物块压缩弹簧的长度越大，物块被弹开的速度越大，在压缩量相同的情况下，劲度系数越大的弹簧，弹开物块的速度越大。由此可以猜测弹簧的弹性势能可能与哪些因素有关？ 【答案】与弹簧的形变量和劲度系数有关 【详解】物块压缩弹簧的长度越大，即形变量较大，物块被弹开的速度越大，则弹簧的弹性势能较大，而在压缩量相同的情况下，劲度系数越大的弹簧，弹开物块的速度越大，则弹簧的弹性势能较大，由此可知，弹簧的弹性势能可能与弹簧的形变量和劲度系数有关。 13．（23-24高一下·北京顺义·期中）如图所示，将一个质量为1kg的小球水平抛出，抛出点距水平地面的高度，小球落地点与抛出点的水平距离x＝4.8m。不计空气阻力。取，求： （1）小球从抛出到落地经历的时间； （2）小球抛出时的速度大小； （3）小球从抛出到落地重力做功W。 【答案】（1）0.6s；（2）8m/s；（3）18J 【详解】（1）根据 小球从抛出到落地经历的时间 （2）小球抛出时的速度大小 （3）小球从抛出到落地重力做功 【拓展练·培优拔高】 1．如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200W、速度5m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570W、速度2m/s匀速行驶。已知小车总质量为50kg，MN＝PQ＝20m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。下列说法不正确的有（　　） A．从M到N，小车牵引力大小为40N B．从M到N，小车克服摩擦力做功800J C．从P到Q，小车重力势能增加1×104J D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700J 【答案】C 【详解】A．小车从M到N，依题意有P1＝Fv1 代入数据解得F＝40N 故A正确，不符合题意； B．小车从M到N匀速行驶，小车所受的摩擦力大小为f1＝F＝40N 则摩擦力做功W1＝－40×20J＝－800J 则小车克服摩擦力做功800J，故B正确，不符合题意； C．依题意，从P到Q，小车重力势能增加ΔEp＝mg·PQsin 30°＝5000J 故C错误，符合题意； D．设小车从P到Q所受的摩擦力大小为f2，有f2＋mgsin30°＝ 摩擦力做功W2＝－f2·PQ 联立解得W2＝－700J 则小车克服摩擦力做功700J，故D正确，不符合题意。 故选C。 2．（23-24高三上·山东青岛·期中）如图，两光滑直杆OA、OB成60°夹角固定在竖直平面内，其角平分线OC竖直。质量均为m的甲、乙两小环套在杆上，用轻质弹簧相连，开始时两环在同一高度且弹簧处于原长状态。将两环同时由静止释放，弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力。在两环沿直杆下滑的过程中，下列说法正确的是（　　） A．两环的加速度一直减小 B．两环的速度先增大后减小 C．两环与杆间的弹力先增大后减小 D．两环的加速度为零时，弹簧的弹性势能最大 【答案】B 【详解】AB．根据对称性可知，两环在沿直杆下滑的过程中运动情况相同。以甲环为研究对象，在下滑的过程中受到重力、垂直杆向左上的弹力以及弹簧伸长产生的水平向右的弹力。沿杆和垂直与杆建立坐标系：沿杆方向，随着甲环的下滑，重力沿杆的分力不变，弹簧弹力沿杆方向的分力不断增大，甲环做加速度不断减小的加速运动；当弹簧弹力沿杆的分力与重力沿杆的分力相等时，甲环加速度为零，速度达到最大值；之后甲环的继续下滑过程中，弹簧弹力沿杆的分力大于重力沿杆的分力，甲环做加速度不断增大的减速运动直到速度减小到零，故A错误，B正确； CD．垂直杆方向，重力垂直杆的分力和弹簧弹力垂直杆的分力的矢量合平衡杆对环的弹力，随着环沿杆的下滑，弹簧形变不断增大，弹簧弹力不断增大，弹簧弹力垂直杆的分力不断增大，杆对环的弹力不断增大，当两环的速度为零时，弹簧的弹性势能最大，故C、D错误。 故选B。 3．如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中（弹簧保持竖直），下列说法正确的是（    ）    A．小球的动能先增大后减小 B．重力势能先减小后增大 C．弹性势能先增大后减小 D．重力先做正功后做负功 【答案】A 【详解】在小球刚接触弹簧的时候，弹簧的弹力小于小球的重力，合力向下，小球还是向下加速，当弹簧的弹力和小球的重力相等时，小球的速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，直至减为零。 A．根据以上分析，小球的速度先变大后变小，所以动能也是先增大后减小，故A正确； BD．小球一直向下运动，小球的重力做正功，重力势能一直减小，故BD错误； C．弹簧的弹力一直做负功，弹簧的弹性势能一直在增大，故C错误。 故选A。 4．如图所示，一只可爱的毛毛虫外出觅食缓慢经过一边长为的等边三角形山丘。已知其身长为，总质量为，重力加速度为，如图其头部刚到达最高点，假设毛毛虫能一直贴着山丘前行，则从其头部刚到山顶到头部刚到山丘底端的过程中毛毛虫的重力势能变化量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选山丘底端为零势能面，初状态的重力势能为 W1＝mg·sin 60°＝mgL 毛毛虫头部越过山顶刚到达山丘底端时的重力势能为 W2＝mg ·sin 60°＝mgL 其重力势能的变化量为 ΔW＝W2－W1＝mgL 故选B。 5．如图所示，质量为的均匀金属链条，长为，有一半在光滑的足够高的斜面上，另一半竖直下垂在空中。已知斜面倾角为30°，顶端是一个很小的圆弧。从静止开始释放后整个链条滑动，当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能的减少量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面，开始时斜面上的那部分链条的重力势能为 竖直下垂的那部分链条的重力势能为 当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能为 重力势能的减少量为 故选A。 6．“神舟十二号”宇航员顺利返回地球后，又经过了两个星期左右的恢复锻炼，才逐渐适应地球的重力环境。如图所示，重物A质量为m，置于水平地面上。一根轻质弹簧，原长为L，劲度系数为k，下端与物体A相连接。宇航员恢复锻炼时现将弹簧（初始为原长）上端点P缓慢地竖直提起一段高度使重物A离开地面。已知上端点P向上移动的高度为h，则这时重物具有的重力势能为（以地面为零势能面）（　　） A．     B． C． D． 【答案】C 【详解】物块刚A离开地面时，弹簧所受的弹力等于物块的重力，根据胡克定律得弹簧伸长的长度为 由弹簧上端P缓慢的竖直向上提起的距离L，则物块上升的高度为 以地面为势能零点，这时物块A具有的重力势能为 故C正确，ABD错误。 故选C。 7．在光滑的桌面上有一根均匀柔软的质量为m、长为l的绳，其绳长的四分之一悬于桌面下，从绳子开始下滑至绳子刚好全部离开桌面的过程中，绳子的重力做功和重力势能变化如何（桌面离地高度大于l）（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】设桌面为零势能面，将链条分成水平部分和竖直部分两段，水平部分的重力势能为零，竖直部分的重心在竖直段的中间，高度为，而竖直部分的重力为，重力势能 绳子刚好全部离开桌面，则高度为，而竖直部分的重力为，重力势能 重力势能的变化量 重力做的功 故A正确，BCD错误。 故选A。 8．（多选）如图所示，载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平段以恒定功率、速度匀速行驶，在斜坡段以恒定功率、速度匀速行驶。已知小车总质量为，，段的倾角为，重力加速度，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．从到，小车牵引力大小为 B．从到，小车克服摩擦力做功 C．从到，小车重力势能增加 D．从到，小车克服摩擦力做功 【答案】ACD 【详解】A．小车从M到N，依题意有 代入数据解得 故A正确； B．依题意，小车从M到N，因匀速，小车所受的摩擦力大小为 则摩擦力做功为 则小车克服摩擦力做功为1200J，故B错误； C．依题意，从P到Q，重力势能增加量为 故C正确； D．依题意，小车从P到Q，摩擦力为f2，有 摩擦力做功为 联立解得 则小车克服摩擦力做功为1500J，故D正确。 故选ACD。 9．（多选）如图所示，长为L的轻杆的B端用铰链固定在竖直墙上，C端与轻滑轮连接，绕过滑轮的轻绳上端固定于墙上A处，下端悬挂一重力为G的重物，当轻杆与竖直方向的夹角为时，系统处于静止状态。若将绳的上端从A处沿墙缓慢下移，直到轻杆与竖直方向成，不计一切摩擦，则此过程中（　　） A．BC杆受的压力不变 B．BC杆受的压力增大 C．重物的重力势能增加 D．重物的重力势能减少 【答案】BD 【详解】AB．受力示意图如下所示 以滑轮C为研究对象，分析受力情况，系统处于静止状态时，滑轮的合力为零，则绳子的拉力T和轻杆的支持力N的合力与重力G大小相等、方向相反，作出力的合成图如图，将A点沿墙稍下移一些时，系统又处于静止状态，则绳子的拉力大小等于物体的重力，保持不变；而轻杆的支持力N大小等于T、G的合力大小，T与G的夹角减小，则知N增大，故轻杆受的压力减小，故A错误，B正确； CD．设绳长为s，根据相似三角形可得 所以有 即在运动过程中，三角形ABC一直为等腰三角形，且满足。当为时，三角形ABC为等边三角形，则根据几何关系可知重物距离B点的竖直高度为 解得 当为时，为等腰直角三角形，根据几何关系可知重物距离B点的竖直高度为 解得 所以重物的重力势能减小，故C错误，D正确。 故选BD。 10．（多选）在某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可视为质点）从弹簧原长处由静止释放，小球沿竖直方向向下运动，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图所示，其中和为已知量，（弹簧的弹性势能表达式为，其中k上为弹簧的劲度系数，y为弹簧形变量）。下列说法中正确的是（　　） A．当弹簧压缩量为时，小球P的速度为零 B．小球向下运动至速度为零时所受弹簧弹力大小为 C．弹簧劲度系数为 D．当弹簧压缩量为时，弹簧的弹性势能为 【答案】BD 【详解】A．由题意可知，小球由静止释放，到弹簧压缩量为的过程中，由牛顿第二定律得 可见，小球做加速度逐渐减小的加速运动，当弹簧压缩量为时，加速度为零，速度达到最大，故A错误； B．由图像可得，小球刚释放时 当小球向下运动至速度为零时，由对称性可知，此时加速度向上大小为，即 解得弹簧弹力大小为 故B正确； C．由图像知，当弹簧压缩量为时，加速度为零，则 即 故C错误； D．由题意知，当弹簧压缩量为时，弹簧的弹性势能为 故D正确。 故选BD。 11．（24-25高一下·广东广州·期中）调速器可用来控制电动机的转速，其结构如图所示，竖直光滑圆筒外壳固定不动，中心转轴随电动机旋转，转轴上用铰链连接着一根轻质细杆，细杆的下端固定一个质量为m=1.0kg的摆锤。电动机转速较大时，摆锤会贴紧外壳，当外壳上任意一点受力超过F=7.5N时，传感器便会报警传递电动机转速过大的信息，并立刻停止转动。已知外壳的内径r=0.30m，杆长L=0.50m，重力加速度g=10m/s2。求： (1)当摆锤恰好与外壳接触时，转轴的角速度与细杆的弹力大小T； (2)电动机稳定转动时的最大角速度； (3)已知调速器的初始角速度，若角速度从此时开始增加，最终稳定为，这一过程中摆锤克服重力做功，求关于的函数关系。 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）当摆锤恰好接触外壳时，设绳与竖直方向的夹角为，则有 对摆锤受力分析，有， 解得rad/s， （2）根据牛顿第二定律有 解得 （3）根据牛顿第二定律有 解得 当时，有 当时，摆锤没有接触外壳 根据做功公式有 解得 当时，摆锤挤压外壳，且保持不动 根据做功公式有 解得 12．（23-24高一下·吉林四平·期中）如图所示，是一种大型机械车间运输货物的天车，天车通过钢索竖直悬挂货物，现将一质量为的货物（可视为质点）沿着与水平方向成30°角的方向匀速吊起，使货物在10s内向斜上方移动了的距离，空气阻力不计，钢索始终竖直，重力加速度。求： （1）10s内钢索对货物的拉力做功； （2）10s末拉力的瞬时功率P； （3）10s内货物的重力做功及重力势能的变化量。 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）货物做匀速直线运动，由平衡条件可知钢索拉力大小为 10s内钢索对货物的拉力做功为 代入数据解得 （2）10s末时的速度大小为 10s末钢索拉力的瞬时功率为 代入数据解得 （3）10s内重力做功为 由于 解得 13．某同学制作了一个“竖直加速度测量仪”，可以用来测量竖直上下电梯运行时的加速度，其构造如图（a）所示。把一根轻弹簧上端固定在小木板上，下端悬吊0.9N重物时弹簧下端的指针指木板上刻度为C的位置，把悬吊1.0N重物时指针位置的刻度标记为0，以后该重物就固定在弹簧上，和小木板上的刻度构成了一个“竖直加速度测量仪”。 （1）请在图中除0以外的6根长刻度线旁，标注加速度的大小，示数的单位用m/s2表示，加速度的方向向上为正、向下为负。说明标注的原理。 （2）如图（b）所示，若以小球的平衡位置0为坐标原点，竖直向下建立x轴。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内。如果把弹性势能与重力势能的和称为系统的势能，并规定小球处在平衡位置时系统的势能为零，请根据“功是能量转化的量度”，证明：小球运动到0点下方x处时系统的势能。 （3）势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。物体的重力势能总是相对于某一个水平面来说的，选择不同的参考平面，物体的重力势能的数值是不同的，在参考平面上方的物体重力势能是正值，在参考平面下方的物体重力势能是负值：请问弹簧的弹性势能可以是负值吗？请用学过的理论分析论证你的观点。 【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析；（2）说明见解析 【详解】（1）标注加速度大小如图所示 这样标注的原理：因为悬挂0.9N的重物时，指针在C处，悬挂1.0N的重物时指针在0处，重物增加了0.1N，弹簧伸长了两个大格，所以每个大格代表0.05N，由 知 所以每一个大格代表的加速度是0.5m/s2，加速度方向向上时，系统处于超重状态，指针向下移动，移动到0刻线下方第一条长刻度线时，加速度为0.5m/s2，移动到第二条长刻度线时加速度为1.0m/s2，往下以此类推；加速度方向向下时，系统处于失重状态，指针向上方移动，指针移动到0刻线上方第一条长刻度线时，加速度为-0.5m/s2，负号表示方向向下，同理移动到第二条和第三条长刻度线时加速度分别为-1.0m/s2和-1.5m/s2。 （2）小球在点时，设弹簧的形变量为，则此时弹簧的弹力 在小球从点运动到点下方处的过程中，弹簧的弹力随变化的情况如下图所示 图线下的面积等于弹力做的功 当小球运动到点下方处时，弹簧的弹性势能 小球的重力势能 所以，系统的势能 （3）弹性势能可以为负值，由于高中阶段习惯选择弹簧处于原长时，弹性势能为零的参考点，所以当把弹簧拉长或者压缩时，根据功能关系可知外界对弹簧都是做正功，则弹簧弹性势能均增大，所以不可能为负值。其实不然，弹性势能的零点原则上可以任意选取，如果弹性势能的零点不选择在自由长度处，则系统在任意状态下的弹性势能不总是正值，即在某些状态下可能是正值，而在另外一些状态下可能是负值。例如：若规定弹簧伸长3cm的时候弹性势能为0，那它伸长2cm时势能就是负的。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $$