专题10 直线与圆的位置关系（9大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题10 直线与圆的位置关系 目录 【题型一 判断点与圆的位置关系】 1 【题型二 由点与圆的位置关系求半径】 2 【题型三 判断直线和圆的位置关系】 4 【题型四 由直线与圆的位置关系求半径】 6 【题型五 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 7 【题型六 由直线与圆的位置关系求交点的个数】 9 【题型七 由直线与圆的位置关系求最值】 11 【题型八 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 15 【题型九 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 18 【题型一 判断点与圆的位置关系】 例题：（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为3，，且， ∴点A在内， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若的半径为，一点和圆心的距离为，当时，点在上；当时，点在内；当时，点在外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴点A在外 故选：A 2．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系，解题的关键是理解设点到圆心的距离为，圆的半径为，若点在圆外，则时，当点在圆上时，则时；当点在圆内时，则． 【详解】解：∵点在上， ∴点到圆心的距离为， 故答案为：． 【题型二 由点与圆的位置关系求半径】 例题：（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径为解题的关键．根据圆外一点到圆的最大距离与最小距离之差为直径即可得出答案． 【详解】解：圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是， 圆的直径是， 圆的半径是． 故选：B． 【变式训练】 1．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，掌握点P到圆心的距离，当时，点P在圆内是解题的关键． 根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：∵点P在半径为5的内， ∴， ∴点P到圆心O的距离不可能是6． 故选：D． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【答案】4或7 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据题意，分①点P在内；②点P在外两种情况分别求解即可． 【详解】解：①当点P在内，如图1： ，， ， 的半径； ②当点P在外，如图2： ，， ， 的半径； 综上所述，的半径或7． 故答案为：4或7． 【题型三 判断直线和圆的位置关系】 例题：（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，要确定直线与圆的位置关系，要比较圆心到直线的距离与半径的大小，从而可确定位置关系． 根据圆心到直线的距离与圆的半径大小的关系进行判断，即当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【详解】解：∵的半径为，线段，线段 ∴点在以为圆心长为半径的圆上，点在以O圆心长为半径的上 当时，如左图所示，由知，直线与相切； 当与不垂直时，如右图所示，过点作于点，则所以直线与相交； ∴直线与的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林通化·期中）如图，已知的半径为，点到直线的距离为，则把直线向上平移 cm，才能使与相切． 【答案】或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 2．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【答案】D 【分析】本题考查了判断直线和圆的位置关系，熟练掌握直线和圆的位置关系是解题的关键．比较圆心O到直线上的距离与的半径大小关系，即可得出结论． 【详解】解：直线上有一点到圆心O的距离为， 圆心O到直线上的距离， 的半径， ， 当时，直线与相切； 当时，直线与相交； 直线与的位置关系是相切或相交． 故选：D． 【题型四 由直线与圆的位置关系求半径】 例题：（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知的半径为10，直线l与相切于点P，则（   ） A．1 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离d，圆的半径r，直线与圆的位置关系：①当时，直线与圆相离；②当时，直线与圆相切；③当时，直线与圆相交．据此求解即可． 【详解】解：∵的半径为10，直线l与相切于点P， ∴． 故选D． 【变式训练】 1．（22-23九年级下·上海·阶段练习）如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解答本题的关键． 根据这个圆与这条直线有公共点，可判断出直线与圆相切或相交，即可得到与的大小关系． 【详解】解：这个圆与这条直线有公共点， 直线与圆相切或相交， 圆心到直线的距离为， ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相离，则的半径可以是 ． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解一元二次方程，熟练掌握直线与圆的位置关系是解决问题的关键． 因式分解法求出方程的根，根据圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，， ∵的圆心到直线l的距离d是一元二次方程的一个根， ∴， ∵与直线l相离， ∴的半径， 即， ∴的半径可以是3（答案不唯一）． 故答案为：3（答案不唯一）． 【题型五 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 例题：（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交即，即可判断． 【详解】解：∵直线与相交， ∴圆心到直线的距离小于， 符合要求的为4， 故选：A． 【变式训练】 1．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系．解决本题的关键是确定圆的半径，进而可知直线与圆心的距离d的取值范围．先求出圆的半径为，再根据直线与圆相交时，d的取值范围． 【详解】解：∵圆的半径为 ∴当直线与圆相交时，直线与圆心的距离， 故选：C． 2．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 【题型六 由直线与圆的位置关系求交点的个数】 例题：（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，以点C为圆心以长为半径作，则与的三边的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离． 过作于，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，再和的半径比较即可得出结果． 【详解】解：过作于，如图所示： 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：， 解得：， 即到的距离等于的半径长， ∴和的位置关系是相相切， ∴与的三边的交点个数为3个， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交， ∴直线与有2个交点， 故选：B． 2．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正方形的边与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点．若，则的半径是 ． 【答案】 【分析】连接，并延长交于点，连接，首先证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进而根据垂径定理得出，设，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：连接，并延长交于点，连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 即， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即的半径是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、切线的性质定理、垂径定理、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键． 【题型七 由直线与圆的位置关系求最值】 例题：（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ， 是等边三角形，且， ， ， 是的切线， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点E为切点），则切线长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质， 先根据直角三角形的性质，勾股定理求出，连接，可知是直角三角形，当时，最小，最小，再根据三角形的面积相等求出，然后根据勾股定理得出答案． 【详解】解：在中，， ∴． 根据勾股定理得， 即， 解得． 连接， ∵是的切线， ∴， 则是直角三角形． 当时，最小，最小． ∵， ∴， 解得． 在中，根据勾股定理得． 所以的最小值为． 故答案为：． 2．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，的半径为2，点是边上的动点，过点作的切线为切点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．连接，，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接，， ∵是的切线， ∴； ∴， ∴当时，线段最短， ∴的长最短， ∵在中，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型八 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 例题：（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案． 【详解】解：的圆心P的坐标为， ， 的半径为2， ， ，， 当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1， 当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5， 平移的距离为或， 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    【答案】2或10 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【详解】解：当位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； ∴(秒)； 当位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． ∴(秒)； 故答案为：2或10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 2．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【答案】 【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，分当点P在射线OA和点P在射线OB两种情况进行计算是解题的关键． 求得当位于点O的左边与CD相切时t的值和位于点O的右边与CD相切时t的值，两值之间即为相交． 【详解】解：当点P在射线时，与相切，如图，过P作于E， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）； 当点P在射线时，与相切，如图，过P作与F， ∴， ∵， ∴， ∴的圆心在直线上向右移动了后与相切， ∴移动所用的时间（秒）． ∴当的运动时间满足条件时，与直线相交． 故答案为：． 【题型九 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【答案】或/或 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，根据直线与圆的位置关系即可求解． 【详解】解：观察图形：∵的半径为，点到直线的距离为． ∴把直线向上平移或才能使与相切， 故答案为：或． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由垂径定理和勾股定理得，当点H平移到点C时，直线与圆相切，求得． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时， ∴， 即直线在原有位置向下移动后与圆相切． 故选：B． 【点睛】本题利用了垂径定理，勾股定理，及切线的概念求解，正确掌握各定理并应用是解题的关键． 2．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 【答案】 【分析】该题考查了切线的性质，一次函数与几何综合，得出点的运动轨迹是解题的关键． 根据题意得出点的运动轨迹为以4为半径的，得出当的图象与只有1个交点时，即与的图象相切，根据等面积法求解即可． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， ∴，且， 故点的运动轨迹为以4为半径的， 在中，令，则，即， 令，则，即， 则， 当的图象与只有1个交点时， 即与的图象相切， 此时， 如图，则，即， 解得：， 故答案为：． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （     ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，由切线的性质得到，则可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由圆周角定理可得出，再由圆的切线定理可得出，最后由直角三角形两锐角互余即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵以为直径的与相切于点A， ∴， ∴． 故选：B． 3．（2025九年级下·河北·专题练习）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小确定点与圆的位置关系． 根据“点到圆心的距离大于半径，则点在圆外”即可解答． 【详解】解：∵的半径为3，当， 即点到圆心的距离大于半径， ∴点P在圆外， 故选：A． 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 5．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，等边三角形的判定和性质，连接，，切线得到，求出，平行，得到，进而得到为等边三角形，推出为等边三角形，即可得出结果． 【详解】连接，，则：， ∵与相切于点A， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 故选C． 二、填空题 6．（2025·浙江湖州·二模）如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 由是的切线，则有，根据等边对等角得，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题考查切线的性质与三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键，根据切线的性质得到，从而得到，再根据三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：∵是的切线， ， ， ， ， 故答案为：． 8．（2025·北京丰台·二模）如图，，是的切线，，是切点．若，则 °． 【答案】25 【分析】本题主要考查了切线的性质，全等三角形的性质和判定， 先根据切线的性质及切线长定理得，再证明，根据全等三角形的性质得，然后结合已知条件答案可得． 【详解】解：∵是的切线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：25． 9．（24-25九年级上·北京·期中）点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为 ． 【答案】或/1或4 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，分别考虑点P在圆内和点P在圆外两种情况是解题的关键．根据点P在圆内时，圆的直径为最短距离与最长距离的和，点P在圆外时，圆的直径为最长距离与最短距离的差，由此即可得出答案． 【详解】若点P在圆内，如图①， 则，， ， 的半径为． 若点P在圆外，如图②， 则，， ， 的半径为． 故答案为：或． 10．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点．若，，则的半径为 ． 【答案】 【分析】连接并延长，交于点，连接，如图所示，证垂直平分，再由圆周角定理、切线的性质，推出四边形为矩形，可知，进而由勾股定理求出的长，设的半径为，在中，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：连接并延长，交于点，连接，如图所示： ， 垂直平分， ， 为的切线， ， 为的直径， ， ∴四边形为矩形， ， ， ∴， 设的半径为， 则， 在中，由勾股定理得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查切线的性质、圆周角定理、中垂线的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理、解方程等知识．熟练掌握圆的相关性质，并灵活运用相关几何判定与性质求解是解决问题的关键． 三、解答题 11．（2025·陕西·模拟预测）如图，是的直径，以为边作交于点，且．过点作于点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接．由等边对等角得出，，等量代换可得出，即可得出，由平行线的性质即可得出． （2）连接，．由直径所对的圆周角等于90度以及等腰三角形三线合一的性质得出，再由正切的定义得出，由勾股定理得出，进而可求出，，． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵是半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接，． ∵为的直径， ∴，． 又∵，， ∴点是的中点，． ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴， 解得． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线证明，等边对等角，平行线的判定和性质，直径所对的圆周角等于90度， 等腰三角形三线合一，平行线截线段成比例定理，正切的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键． 12．（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题考查切线的判定、等弧所对的圆周角相等、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定是解答的关键．连接，先证明得到，再利用平行线的性质得到，进而利用切线的判定定理可得结论． 【详解】证明：连接， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，又为的半径， ∴是的切线． 13．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切与点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． （1）由切线的性质得到，据此根据角的和差关系可得答案； （2）由等边对等角得到，再由三角形内角和定理可得，则可证明，进而可证明． 【详解】（1）解：∵与相切与点， ∴， ∴， ∵， ∴; （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，交边于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，余角的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）连接，根据是的直径，得出．根据切线性质得出，根据余角性质得出．根据，得出，即可证明结论； （2）设的半径为，则，根据勾股 定理得出，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴，即． ∵是的切线， ∴，即， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：由题意可知． 设的半径为，则， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴的半径为6． 15．（2025·广西南宁·模拟预测）已知：如图，是的直径，点在上，的外角平分线交于点，的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，分别求线段和的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接，由角平分线得，再根据得，从而证得，进而可得，得，得为的切线； （2）首先证明，从而得，然后利用直角三角形的性质和勾股定理可得和长． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵为的半径， 为的切线； （2）解：，， ， 平分， ， ∵的延长线于点 ∴， ∴ ∴ ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理及其推论，直角三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，关键是掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 直线与圆的位置关系 目录 【题型一 判断点与圆的位置关系】 1 【题型二 由点与圆的位置关系求半径】 2 【题型三 判断直线和圆的位置关系】 2 【题型四 由直线与圆的位置关系求半径】 2 【题型五 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 3 【题型六 由直线与圆的位置关系求交点的个数】 3 【题型七 由直线与圆的位置关系求最值】 4 【题型八 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 5 【题型九 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 6 【题型一 判断点与圆的位置关系】 例题：（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）如果的半径为3，，则点在（   ） A．外 B．内 C．上 D．不确定 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山西忻州·阶段练习）已知的半径为，若，则点与的位置关系是（    ） A．点在外 B．点在上 C．点在内 D．不能确定 2．（2025·云南·中考真题）已知的半径为，若点在上，则点到圆心的距离为 ． 【题型二 由点与圆的位置关系求半径】 例题：（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）圆外一点到圆的最大距离是，最小距离是，则这个圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·上海黄浦·二模）已知点在半径为5的内，那么点到圆心的距离不可能是（   ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习）在同一平面内，点P到上的最大距离是11，最小距离是3，那么的半径 ． 【题型三 判断直线和圆的位置关系】 例题：（24-25九年级下·上海·阶段练习）已知同一平面内有和点A与点B，如果的半径为，线段，线段，那么直线与⊙的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相交或相切 【变式训练】 1．（24-25九年级上·吉林通化·期中）如图，已知的半径为，点到直线的距离为，则把直线向上平移 cm，才能使与相切． 2．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知的半径，直线上有一点到圆心O的距离为，那么直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离或相切 D．相切或相交 【题型四 由直线与圆的位置关系求半径】 例题：（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知的半径为10，直线l与相切于点P，则（   ） A．1 B．5 C．8 D．10 【变式训练】 1．（22-23九年级下·上海·阶段练习）如果一圆的半径为，圆心到直线的距离为，且这个圆与这条直线有公共点，那么下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知的圆心到直线l的距离是一元二次方程的一个根，若与直线l相离，则的半径可以是 ． 【题型五 由直线与圆的位置关系求圆心到直线的距离】 例题：（2025·浙江·一模）已知的半径是5，直线与相交，则圆心到直线的距离可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】 1．（2024·湖北武汉·二模）如果直径为的圆与一条直线有两个公共点，则圆心到该直线的距离满足（   ） A． B． C． D． 2．（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【题型六 由直线与圆的位置关系求交点的个数】 例题：（2025九年级下·浙江·专题练习）在中，以点C为圆心以长为半径作，则与的三边的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式训练】 1．（24-25九年级上·四川德阳·期末）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线的距离，则直线与的交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．没有交点 D．不能确定 2．（2025·江苏宿迁·三模）如图，正方形的边与相切于点，、是正方形与圆的另两个交点．若，则的半径是 ． 【题型七 由直线与圆的位置关系求最值】 例题：（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点E为切点），则切线长的最小值是 ． 2．（23-24九年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，的半径为2，点是边上的动点，过点作的切线为切点，则线段长的最小值为 ． 【题型八 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 例题：（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（   ） A．1 B．1或5 C．3 D．3或5 【变式训练】 1．（22-23九年级·江苏·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    2．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在直线上，开始时，．如果以的速度向右运动，那么当的运动时间满足条件 时，与直线相交． 【题型九 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 例题：（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切? 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，半径，直线，垂足为H，且l交于A，B两点，，将直线l沿所在直线向下平移，若l恰好与相切时，则平移的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南娄底·二模）如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ． 一、单选题 1．（2025·山西·模拟预测）如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （     ）   A． B． C． D． 2．（2025·河南平顶山·模拟预测）如图，以为直径的半圆交于点，已知与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·河北·专题练习）已知的半径为3，当时，点与的位置关系为（   ） A．点在圆外 B．点在圆内 C．点在圆上 D．不能确定 4．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·福建·中考真题）如图，与相切于点A，的延长线交于点C．，且交于点B．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2025·浙江湖州·二模）如图，是的直径，点在的延长线上，是的切线，为切点，连结，，若，则的度数为 ． 7．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，是的切线，点为切点，连接，，若，则 ． 8．（2025·北京丰台·二模）如图，，是的切线，，是切点．若，则 °． 9．（24-25九年级上·北京·期中）点P到上的点的最短距离为，最长距离为，则的半径为 ． 10．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）如图，在中，，为的外接圆，为的切线，为的直径，连接并延长交于点．若，，则的半径为 ． 三、解答题 11．（2025·陕西·模拟预测）如图，是的直径，以为边作交于点，且．过点作于点，延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求线段的长． 12．（2025·江苏·二模）如图，在中，是的直径，点在上，点是弧的中点，，垂足为点．求证：是的切线． 13．（2025·湖南·中考真题）如图，的顶点，在上，圆心在边上，，与相切与点，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 14．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在中，点是边上一点，以为直径的与边相切于点，交边于点，连接、． (1)求证：； (2)若，求的半径． 15．（2025·广西南宁·模拟预测）已知：如图，是的直径，点在上，的外角平分线交于点，的延长线于点． (1)求证：为的切线； (2)若，，分别求线段和的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$