专题09 圆周角定理（10大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题09 圆周角定理 目录 【题型一 圆周角的定义】 1 【题型二 圆周角定理求角度】 2 【题型三 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 3 【题型四 直径所对的圆周角90度的应用】 4 【题型五 利用圆内接四边形的性质求角】 4 【题型六 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 5 【题型七 利用圆内接四边形的性质进行证明】 6 【题型八 确定圆的条件】 7 【题型九 圆相关的尺规作图】 8 【题型十 求外接圆的半径】 9 【题型一 圆周角的定义】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【题型二 圆周角定理求角度】 例题：（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则 ． 2．（2025·河南·二模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ． 【题型三 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 例题：（2025·山东潍坊·三模）如图，为的弦，于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京顺义·二模）如图，是的直径，点在上．若，则 ． 【题型四 直径所对的圆周角90度的应用】 例题：（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，为的直径，四边形的对角线交于点E，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ． 【题型五 利用圆内接四边形的性质求角】 例题：（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2025·宁夏银川·二模）如图，已知四边形内接于，点是劣弧的中点，连接，若，则的度数为 ． 2．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型六 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 例题：（2025·湖南邵阳·三模）如图，是的直径，点是上一点．已知的半径为4，则弦的长为 ． 【变式训练】 1．（2025·安徽蚌埠·三模）如图， 是的直径， 是的内接三角形．若，，则的长为 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长． 【题型七 利用圆内接四边形的性质进行证明】 例题：（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，四点都在上，．求证：． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，则的长． 2．（24-25九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，圆O过点B、C、D，的延长线与圆O交于点E， (1)当时， _________ ° ． (2)求证：是等腰三角形 【题型八 确定圆的条件】 例题：（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【题型九 圆相关的尺规作图】 例题：（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 【变式训练】 1．（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，做，使它过点、、（保留作图痕迹，不写作法）． 2．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【题型十 求外接圆的半径】 例题：（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，内接于，，，则的半径为 【变式训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点A，B，C，D都在上，为的直径，且，若，，则的半径为（    ） A．10 B．2 C． D．5 2．（2025·广西百色·二模）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 一、单选题 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）下列命题中，其中正确的是（   ） A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．度数相等的弧是等弧 D．相等的圆周角所对的弧相等 二、填空题 6．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为 ． 7．（2025·江苏南京·二模）如图，点，在以为直径的半圆上，且，若的度数为，则的度数为 ． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为 ． 9．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    10．（2025·山东·模拟预测）如图，点A，B，C在上，与的平分线交于点P，点M为上不同于点B，C的一点，若，则 ． 三、解答题 11．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 13．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，弦与相交于点 E，．若，求直径的长． 14．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 15．（2025·河南信阳·二模）学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． (1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 圆周角定理 目录 【题型一 圆周角的定义】 1 【题型二 圆周角定理求角度】 3 【题型三 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 5 【题型四 直径所对的圆周角90度的应用】 7 【题型五 利用圆内接四边形的性质求角】 9 【题型六 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 11 【题型七 利用圆内接四边形的性质进行证明】 14 【题型八 确定圆的条件】 17 【题型九 圆相关的尺规作图】 18 【题型十 求外接圆的半径】 21 【题型一 圆周角的定义】 例题：（2024九年级上·全国·专题练习）下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆周角的定义．根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可． 【详解】解：A、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； B、图中的角的顶点不在圆上，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意； C、图中的角的顶点在圆上，两边与圆相交，所以图中的角是圆周角，故本选项不符合题意； D、图中的角的顶点在圆上，但两边不与圆相交，所以图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练】 1．（2023·福建厦门·模拟预测）如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，所对的圆周角是 ，所对的圆周角是 ．    【答案】 【分析】根据圆周角的定义即可解答． 【详解】解：如图，   所对的圆周角是， 所对的圆周角是． 故答案为：；． 【点睛】本题考查了圆周角，顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 【题型二 圆周角定理求角度】 例题：（2023·重庆·模拟预测）如图，在中，弧所对的圆周角.若D为弧上一点，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，延长交于点，根据平行线的性质得出，根据邻补角得出，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，点，，在上，，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：∵点在上，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 2．（2025·河南·二模）如图，是的直径，点，在上，，与交于点．若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了圆周角定理，等边对等角，外角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由是的直径，得，由圆周角定理得，再由外角的定义得，即可得解． 【详解】解：因为是的直径， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 则， 故答案为：． 【题型三 同弧（等弧）所对的圆周角关系】 例题：（2025·山东潍坊·三模）如图，为的弦，于点．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．先由直角三角形的性质求出，再由圆周角定理得到，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 【变式训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，正方形内接于⊙，点是弧的中点，连接，，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等弧所对的圆周角相等，由正方形的性质可得，再由题意可得，则，再由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解；如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·北京顺义·二模）如图，是的直径，点在上．若，则 ． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查圆周角定理，连接，由圆周角定理得，由夹角的定义得，再由圆周角定理可得． 【详解】解：连接，如图， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【题型四 直径所对的圆周角90度的应用】 例题：（2025·山西·中考真题）如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，为的直径，四边形的对角线交于点E，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理及其推论，熟知直径所对的圆周角是90度是解题的关键； 根据为的直径可得，结合即可求解． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，为的直径，为的弦，且，连接．若，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 如图，连接，根据为的直径，得出，从而求出，根据得出，即可得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型五 利用圆内接四边形的性质求角】 例题：（24-25九年级下·安徽宿州·期中）如图，四边形内接于，过点作交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由平行线的性质求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故选；B． 【变式训练】 1．（2025·宁夏银川·二模）如图，已知四边形内接于，点是劣弧的中点，连接，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，同弧所对圆周角的性质，圆内接四边形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些性质是解题的关键．先利用点是劣弧的中点，得出，再得出，利用三角形内角和定理，得出，最后利用圆内接四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 2．（2025·海南·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，连接，延长至点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是利用同弧或等弧所对圆周角相等求出相关角的度数． 先根据等弧所对圆周角相等求出和，再利用圆内接四边形的外角等于内对角求出． 【详解】∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 故选：D． 【题型六 利用圆内接四边形的性质求线段长度】 例题：（2025·湖南邵阳·三模）如图，是的直径，点是上一点．已知的半径为4，则弦的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了圆周角定理的推论和含30度角的直角三角形的性质，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键； 根据是的直径，的半径为4，可得，，进而可得，即可求解． 【详解】解：∵是的直径，的半径为4， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：4． 【变式训练】 1．（2025·安徽蚌埠·三模）如图， 是的直径， 是的内接三角形．若，，则的长为 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外接圆，圆周角定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．连接，证明是等腰直角三角形即可求出答案． 【详解】 解：如图，连接． ， ． ， ， ， 又是的直径， ． 在中，由勾股定理，得 故答案为：． 2．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 【题型七 利用圆内接四边形的性质进行证明】 例题：（24-25九年级上·云南昭通·期末）如图，四点都在上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，三角形全等的判定方法．根据，，根据，得出，根据证明三角形全等即可． 【详解】证明：在中，， ， ， ， 在和中，， ． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·河南南阳·开学考试）如图，是的直径，是的一条弦，，连接，． (1)求证：； (2)若，，则的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键． （1）连接，根据垂径定理得出，证明，由圆周角定理得，即可得出结论； （2）由垂径定理得，，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示， ∵，是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是直径， ∴，， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25九年级下·吉林延边·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，圆O过点B、C、D，的延长线与圆O交于点E， (1)当时， _________ ° ． (2)求证：是等腰三角形 【答案】(1)138 (2)见解析 【分析】此题考查了圆周角定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握圆周角定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定． （1）由圆周角定理可得，再由四边形是平行四边形，可得，从而得出，再求解即可； （2）由四边形是平行四边形，可得，可证得，再由等腰三角形的判定可得，即可得证． 【详解】（1）解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 故答案为：138； （2）证明四边形是平行四边形， ， ， ， ， 是等腰三角形． 【题型八 确定圆的条件】 例题：（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．0个或1个 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，分三点共线和不共线求解即可． 【详解】解：若平面内A，B，C三个点共线，则过三点不能作出一个圆， 若平面内A，B，C三个点不共线，则过这三点能作出1个圆， 故过同一平面内A，B，C三个点作圆，可以作出的个数为0个或1个． 故选：D． 【变式训练】 1．（22-23九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是第 块． 【答案】① 【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径． 所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是①． 故答案为：①． 【点睛】本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的条件是解题的关键． 2．（2025·安徽合肥·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点都在上，则的半径为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形性质，确定圆心，点和圆的位置关系；分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，进而求得圆的半径． 【详解】解：如图所示，分别作、的垂直平分线，其交点即为点M，M点的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴的半径为， 故选：C． 【题型九 圆相关的尺规作图】 例题：（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）如图是一残破圆轮，A，B，C是其弧上的三个点．用尺规作出圆轮的圆心；(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】见详解 【分析】本题考查作图−应用与设计作图，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是作出线段的垂直平分线，利用垂直平分线的性质解决问题．线段与线段的垂直平分线的交点即为圆心O 【详解】 【变式训练】 1．（2025九年级·陕西西安·专题练习）如图，已知，做，使它过点、、（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图见解析 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，分别作线段的垂直平分线，相交于点，再以点为圆心，的长度为半径画圆即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求 2．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． (1)请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)若，，求此外接圆的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． 【题型十 求外接圆的半径】 例题：（24-25九年级上·四川南充·期中）如图，内接于，，，则的半径为 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，，根据圆周角定理得出，然后在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶连接，， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的半径为， 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，点A，B，C，D都在上，为的直径，且，若，，则的半径为（    ） A．10 B．2 C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理及勾股定理是解题的关键．根据平行线的性质得出，即，求出，根据直径所对的圆周角为直角得出，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径为． 故选：D． 2．（2025·广西百色·二模）如图，四边形内接于，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用相关定理．先根据圆内接四边形对角互补得出，由圆周角定理得出，根据可得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ∴的半径为：， 故选：A． 一、单选题 1．（2025·云南西双版纳·二模）如图，四边形是的内接四边形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形对角互补即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级下·河南驻马店·期中）如图，已知四边形是的内接四边形，是的直径，的平分线交于点，连接．若，则的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要查了圆周角定理，勾股定理．根据圆周角定理可得，从而得到，再由是的直径，可得，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：平分， ， ， ∴， 是的直径， ． 由勾股定理得：． 故选：C 3．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理，三线合一，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵弦，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三线合一，勾股定理，圆的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 4．（2025·四川泸州·中考真题）如图，四边形内接于，为的直径．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边对等角，直径所对的圆周角是直角，根据等边对等角以及三角形内角和定理可得，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而根据为的直径，得出，进而得出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ 故选：B． 5．（24-25九年级下·江苏无锡·阶段练习）下列命题中，其中正确的是（   ） A．经过三个点一定可以作圆 B．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 C．度数相等的弧是等弧 D．相等的圆周角所对的弧相等 【答案】B 【分析】本题考查了命题，根据圆的基本知识点，三角形外心的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、同一平面内，不共线的三个点一定可以作圆，故原说法错误，不符合题意； B、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法正确，符合题意； C、同圆或等圆中，度数相等的弧是等弧，故原说法错误，不符合题意； D、同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故原说法错误，不符合题意； 故选：B． 二、填空题 6．（2025·江苏泰州·二模）如图A，B，C，E四点在上，，，，则的直径为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，利用垂径定理先求出，再利用勾股定理在中求出圆的半径，即可求出圆的直径． 【详解】解：∵是的半径，， ∴． 在中， 设，则． 由勾股定理，得， 解得，即． ∴，即圆的直径为10． 故答案为：10． 7．（2025·江苏南京·二模）如图，点，在以为直径的半圆上，且，若的度数为，则的度数为 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，圆周角定理，平行线的性质，根据题意可得，由平行线的性质得到，则，据此求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故答案为：94． 8．（2025·陕西·中考真题）如图，为的直径，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据为的直径，，则，再根据，即，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， 即， ∵， ∴， 则， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·贵州遵义·期中）如图，的网格图中，每个方格的边长为1，经过三点圆弧所在圆的半径的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查的是确定圆弧所在圆的圆心，勾股定理的应用，如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，再利用勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，由网格特点可得：线段，线段的垂直平分线交于格点，    ∴为圆心， ∴半径， 故答案为： 10．（2025·山东·模拟预测）如图，点A，B，C在上，与的平分线交于点P，点M为上不同于点B，C的一点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质．熟练掌握角平分线有关的三角形内角和，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质是解题的关键．由角平分线的定义可得，由，可求，则，由题意知，分当在上方时，当在下方时，两种情况求解作答即可． 【详解】解：∵与的角平分线交于点P， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 当在上方时，如图， ∴， 当在下方时，如图， ∴， 综上所述，或， 故答案为：或． 三、解答题 11．（24-25九年级上·河南濮阳·期中）如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键： （1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果； （2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴平分， ∴， ∴； （2）∵的半径为2， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，中，为的直径，交于点． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直径对的圆周角是直角，三角形内角和定理等知识，属于基础题． （1）连接，则，由等腰三角形的性质即可证得结论成立； （2）由等腰三角形的性质及，可求得等腰三角形的两个底角的度数，再直径对的圆周角是直角，得，由即可求解． 【详解】（1）证明：连接，如图， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵为的直径， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·吉林·期中）如图，是的直径，弦与相交于点 E，．若，求直径的长． 【答案】10 【分析】本题考查了圆的有关性质，直径所对的圆周角是直角，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，正确理解圆周角定理是解题的关键．先判断是直角三角形，然后根据圆周角定理得出，再根据角的直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， 直径的长10． 14．（2025·安徽·中考真题）如图，四边形的顶点都在半圆O上，是半圆O的直径，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和垂径定理是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，则可证明，据此可证明． （2）连接，交于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到，即，则可证明，由垂径定理可得点E为的中点，则是的中位线，即可得到．设半圆的半径为r，则．由勾股定理知，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：连接，交于点E．由题意知， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴点E为的中点， 又∵O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 设半圆的半径为r，则． 由勾股定理知，， 即， 解得，（舍去）． ∴． 15．（2025·河南信阳·二模）学校耕读园里有一块空地，空地上有三棵树A，B，C，学校想修建一个圆形苗圃，使三棵树都在苗圃的边上． (1)请你把苗圃的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)若中，米，米，，试求圆形苗圃的面积． 【答案】(1)见解析 (2)圆形花坛的面积为平方米 【分析】本题考查了作垂直平分线，画三角形的外接圆，勾股定理，直角所对的弦是直径； （1）根据线段垂直平分线性质，求三角形的外接圆； （2）根据勾股定理求斜边，斜边的一半就是圆的半径，即可求圆的面积． 【详解】（1）解：如图，即为苗圃的位置． （2）∵，米，米， ∴米， ∴外接圆的半径为米． ∴圆形花坛的面积为平方米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$