专题05 一元二次方程全章专项复习（三大考点12种大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题05 一元二次方程全章专项复习 目录 【题型一 根据一元二次方程定义求值】 2 【题型二 根据实际问题列一元二次方程】 3 【题型三 根据一元二次方程的根代入求值】 4 【题型四 一元二次方程的解法】 5 【题型五 一元二次方程根的判别式的应用】 8 【题型六 一元二次方程根与系数的关系的应用】 9 【题型七 配方法的应用】 11 【题型八 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 14 【题型九 列一元二次方程解决循环传播问题】 16 【题型十 列一元二次方程解决解决有关面积问题】 17 【题型十一 列一元二次方程解决销售利润问题】 19 【题型十二 一元二次方程与动点综合应用】 22 【题型一 根据一元二次方程定义求值】 例题：（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴，， 解得， 故答案为：1． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得，然后根据题意可得，从而可得：，再把a的值代入中，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 由题意得：， 解得：， ∴该方程中的一次项系数， 故答案为：5． 【题型二 根据实际问题列一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·浙江·期中）为了促进消费，某国产品牌汽车在2025年初进行了连续两次降价，每辆车售价由原来的35万元降到了22.4万元，设平均每次降价率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，读懂题意，掌握两次连续降价的含义，列出正确的方程是解答本题的关键． 根据题意，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出方程，由此得到答案． 【详解】解： 设平均每次降价的百分率为， 则根据题意可列方程为：， 故选：D． 【变式训练】 1.（2025·上海青浦·二模）一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物，根据共送礼物870件可列出方程． 【详解】解：设参加联欢会的同学有x人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 【题型三 根据一元二次方程的根代入求值】 例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知是方程的根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查方程根的概念及代数式的整体代入思想． 已知是方程的根，可将代入方程得到等式，再通过整体代入法求解目标代数式的值． 【详解】解：由题意，，得， ∴， 故选D． 【变式训练】 1.（2025·广东深圳·三模）已知一元二次方程有一个根为4，则m为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，把代入一元二次方程，得到关于m的方程，即可求出m的值． 【详解】解：一元二次方程有一个根为4， ， 解得， 故答案为：2． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及代数式求值，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ m是方程的一个根， ， ， ∴ 故答案为：15． 【题型四 一元二次方程的解法】 例题：（24-25八年级下·浙江·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ，， （2）解：， ， 或， ∴，． 【变式训练】 1.（24-25八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键． （1）采用公式法解此方程，即可求解； （2）采用因式分解法解此方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：由原方程得：， 故或， 解得，． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)方程没有实数根 (3)， (4) 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）运用直接开方法求解即可； （2）运用公式法求解即可； （3）将方程整理后，运用公式法求解即可； （4）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 变形为：， 开方，得：， ∴，． （2）解：， ∵，，， ∴， ∴该方程没有实数根． （3）解：， 整理，得， ∵，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． （4）解：， 因式分解，得， ∴， ∴． 【题型五 一元二次方程根的判别式的应用】 例题：（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东东营·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，当时，即时，方程为一元一次方程，方程有实数根；当时，根据根的判别式，即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可求出a的取值范围．综上即可得出结论． 【详解】解：当时，即时，方程为一元一次方程，方程有实数根； 当，即时，方程为一元二次方程，则，即， 解得． 综上，当时方程有实数根． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，首先将方程化为一般形式，进一步利用根判别式求解即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：由得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 即的取值范围是且． 故答案为：且． 【题型六 一元二次方程根与系数的关系的应用】 例题：（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴． 代入所求表达式： 由根与系数的关系，方程的两根之和为：， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数之间的关系，正确理解题意是解题的关键： （1）根据根的判别式得出，再根据完全平方式转化，进而可得出结论； （2）根据一元二次方程根与系数之间的关系得出，，再将其代入得出，求解即可 【详解】（1）证明： ， 故无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）解：，， ， ， ， ，． 故m的值为或． 【题型七 配方法的应用】 例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．根据配方法的步骤进行配方即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 【答案】A 【分析】本题考查整式的混合运算，先利用整式的混合运算法则，结合完全平方公式将化简，因为把整式表示成的形式，得出，故，即可作答． 【详解】解：∵ ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 当时，则有最小值，且为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)20 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的面积，解题的关键是掌握配方法． （1）利用“配方法”计算即可； （2）两式相减，差和0比较，确定大小； （3）大三角形面积减去小三角形面积，再把含有t的式子配方，求最小值． 【详解】（1）解：， ， ， 的最大值为； （2） ， ， ； （3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动 点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ， S的最小值为20． 【题型八 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 例题：（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为 . 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 第一天票房约200万元，根据增长率为x得出第二天为万元，第三天为元，根据三天后累计票房收入共728万元，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：将增长率记作x， 根据题意得：． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·云南·中考真题）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，正确理解题意是解题的关键． 根据题意，3月到5月共经过两个月，每个月的增长率为x，则5月份的盈利为3月份的盈利乘以，即可建立方程． 【详解】解：设该书店每月盈利的平均增长率为， 由题意得： ， 故选：A． 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． (1)求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； (2)若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 【答案】(1)这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； (2)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是根据苹果园两年的产量列一元二次方程求出平均增长率，根据平均增长率计算出年果园的总产量． 设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是，可列方程，解方程可得这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； 根据平均增长率计算出年该苹果园的总产量，根据计算结果进行判断即可． 【详解】（1）解：设这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：这个苹果园总产量平均每年增产的百分率是； （2）解：年该苹果园的总产量能突破吨， 理由如下： 吨， ， 年该苹果园的总产量能突破吨． 【题型九 列一元二次方程解决循环传播问题】 例题：（2025·重庆·三模）（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】11 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中，平均每个人传染了x个人，根据一人经过两轮传染后共有144人感染者，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论 【详解】解：设每轮传染中，平均每个人传染了x个人， 依题意，得：， 解得：（不合题意，舍去）． 故答案为： ． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设参加比赛的队伍共有x支，则每支队伍都要与其他支队伍比赛一场，且相同两支队伍之间的比赛只算一场，据此建立方程求解即可． 【详解】解；设参加比赛的队伍共有x支， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， ∴参加比赛的队伍共有12支， 故选：C． 2．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 【题型十 列一元二次方程解决解决有关面积问题】 例题：（2025·新疆喀什·模拟预测）在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意可知：矩形挂图的长为，宽为；则运用面积公式列方程即可．解此类题的关键是看准题型列面积方程，矩形的面积矩形的长矩形的宽． 【详解】解：挂图长为，宽为， 所以根据矩形的面积公式可得：． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了而长减少了，那么面积增加，设长方形原来的宽为，所列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设长方形原来的宽为，依题意列出方程即可，掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设长方形原来的宽为，依题意可得： ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米．    (1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） (2)求满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)4． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平行于围墙的一边长；找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平行于围墙的一边长围栏的总长度门的宽度垂直于墙的一边长，即可用含的代数式表示出平行于围墙的一边长； （2）根据生态园的面积为平方米，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：平行于围墙的一边长为米． 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得， 解得，． ∵垂直于墙的一边长不超过6米， ． 故的值为4． 【题型十一 列一元二次方程解决销售利润问题】 例题：（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程． 【详解】解：设每盒应降价元， ∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒， ∴销量为：盒， ∵平均每天盈利2240元， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键． 设每千克水果应涨价元，依题意列方程得：，解方程得，要使顾客得到实惠，应取，即可得到答案． 【详解】解：设每千克水果应涨价元， 依题意列方程得： 整理，得 解这个方程，得 要使顾客得到实惠，应取， 答：每千克应涨价元． 2．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 【答案】(1)每件服装应降价20元 (2)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利1200元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件，根据平均每天销售这种服装盈利达到1500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设每件服装应降价x元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； （2）解：平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元，理由如下： 设每件服装应降价y元，则平均每天可售出件， 依题意得：， 整理得：． ∵， ∴该方程无实数根， ∴平均每天销售这种服装盈利不能达到1500元． 【题型十二 一元二次方程与动点综合应用】 例题：（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 【答案】或 【分析】本考查了一元一次方程，一元二次方程的应用，分两种情况讨论，，，根据分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，当时，点在线段上，在上， ∵正方形的边长为，为的中点， ∴ 依题意，，，则； ∵ ∴ ∴ ∴， 解得： 则 如图所示，当时，点在线段上，在上， 依题意，，则， ∵，即 ∴ 解得：或（舍去） 综上所述，或 则 故答案为：或． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，、、、是矩形的四个顶点，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，当时间为 时，点和点之间的距离是． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理和矩形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形．设当秒时，利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设当时间为时，点和点之间的距离是， 如下图所示，过点作， 则，，， 在中， ， 解得：，， 当运动时间为或时，点和点之间的距离是． 故答案为：或． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5秒或9秒，的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形为矩形，根据，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段， 故答案为：t，； （2）解：∵四边形为矩形， 则，即， 解得：； （3）解：过点作于点 在中，根据勾股定理， 已知， ， 则可得方程， 即， 移项可得， 两边同时开平方得； 当时， 移项可得， 解得； 当时， 移项可得， 解得； 所以，经过秒或秒，的长为． 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 2．（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【分析】通过计算一元二次方程的判别式，根据的值判断方程根的情况．若，方程有实数根；若，方程有两个不相等实数根 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握“一元二次方程的根的情况由判别式决定，时有实数根，时有两个不相等实数根”是解题的关键． 【详解】解：对于一元二次方程，其中，， ． ∴判别式 ． ∴方程有两个实数根． 故选A ． 3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握定义进行判断是解题的关键． 一元二次方程：含有一个未知数，含有未知数的项的最高次数是2，2， 这样的整式方程是一元二次方程，根据定义逐一判断即可． 【详解】选项A： 整理为，是整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合定义； 选项B： 含两个未知数和，不符合“一个未知数”的条件，排除； 选项C： 化简： ，化简后为一次方程，排除； 选项D： 未明确，当时方程变为一次方程，不符合定义，排除． 故选：A． 4．（24-25八年级下·广西百色·期中）在下列数中，能使一元二次方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】通过因式分解法解方程，根据零乘积定理确定解． 本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】解：将方程 左边因式分解，得 ， 根据零乘积定理，若两数乘积为0，则至少有一个数为0， 因此 或， 解得 或， 选项中只有4（D选项）符合条件， 故选：D． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用——增长率问题，熟练掌握终止量与起始量和增长次数的关系，是解题的关键． 根据该县接待游客人次的年平均增长率为x，则2023年五一期间接待游客万人次，则2024年五一期间接待游客万人次，列出方程即可． 【详解】解：∵该县接待游客15万人次，年平均增长率为x， ∴2023年增长到人次， 2024年增长到人次， ∵2024年增长至46万人次， ∴． 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了根的判别式，利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以， 解得． 故答案为：1． 7．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得到且，然后解不等式和方程得到满足条件的k的值． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据方程的解得到，根与系数的关系，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：0． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 【答案】12 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程即可，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设这种植物的主根长出x根支根．由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ∴这种植物的主根长出12根支根． 故答案为：12． 10．（24-25八年级下·山东泰安·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：当时，方程为一元二次方程，由题意得： ， 即， 解得：且， 当时，方程为，它是一元一次方程，有实数根， ∴关于x的方程有实数根，则m的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的步骤是解题的关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用公式法或配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 其中，，，， ∴， ∴，． 12．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握根的判别式与方程的根的个数之间的关系是解题的关键： （1）运用一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据根与系数的关系可得、，然后代入得到关于m的方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵关于x的一元二次方程， ∴方程总有2个实数根； （2）解：由题意，得：，， ∵， ∴， ∴，解得：． 13．（2025·河南·模拟预测）汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣工艺，也是国家非物质文化遗产之一．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批汴绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了元，采购书签花费了元．每件文化衫比每个书签的进价贵元，且采购书签的数量是文化衫数量的倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件元、书签的售价为每个元．经统计，平均每天能售出文化衫件，书签个．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销，要求降价幅度不超过．据调查，每降低元，平均每天多售出件文化衫．社团希望在保证书签的售价和销量不变的情况下，通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到元，则文化衫的售价应定为每件多少元？ 【答案】(1)每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元 (2)元 【分析】（）设采购文化衫件，则采购书签个，每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元，根据题意列出方程求出进而即可求解； （）售出个书签的利润为元，降价前文化衫每件的利润为元，设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解； 本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设采购文化衫件，则采购书签个，每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴，， 答：每件文化衫的进价为元，每个书签的进价为元； （2）解：售出个书签的利润为元， 降价前文化衫每件的利润为元， 设文化衫降价元，则降价后的销量为件，每件的利润为元， 根据题意，得， 解得，， ∵降价幅度不超过，，即， ∴不合，舍去， ∴， 元， 答：文化衫的售价应定为每件元. 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】(1)根为2，，不是邻根方程 (2)或 (3) 【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断； （2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值； 本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∵， 不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵关于x的方程是邻根方程， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； 答：t的最大值为4． 15．（24-25八年级下·山东泰安·期中）下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理得，，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 下面是用平均数法解方程时写的解题过程， 直接开平方并整理，得…… 任务： (1)小论文中的根据1是______． (2)小明用平均数法解方程时，将方程写为的形式，请问式子中的______，______． (3)请用平均数法解方程：． 【答案】(1)平方差公式 (2)4；2 (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据平方差公式即可得解； （2）根据阅读材料中的信息所给的方法即可求解； （3）根据题干中的“平均数法”解方程即可． 【详解】（1）解： ， 原方程可变形， 得 （平方差公式） ， 故答案为：平方差公式； （2）解：∵， ∴， ∴，． 故答案为：4；2 （3）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元二次方程全章专项复习 目录 【题型一 根据一元二次方程定义求值】 2 【题型二 根据实际问题列一元二次方程】 2 【题型三 根据一元二次方程的根代入求值】 2 【题型四 一元二次方程的解法】 3 【题型五 一元二次方程根的判别式的应用】 3 【题型六 一元二次方程根与系数的关系的应用】 4 【题型七 配方法的应用】 4 【题型八 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 5 【题型九 列一元二次方程解决循环传播问题】 6 【题型十 列一元二次方程解决解决有关面积问题】 6 【题型十一 列一元二次方程解决销售利润问题】 7 【题型十二 一元二次方程与动点综合应用】 8 【题型一 根据一元二次方程定义求值】 例题：（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）若是关于x的一元二次方程，则m的值是 ． 2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于的一元二次方程化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为 ，则该方程中的一次项系数为 ． 【题型二 根据实际问题列一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·浙江·期中）为了促进消费，某国产品牌汽车在2025年初进行了连续两次降价，每辆车售价由原来的35万元降到了22.4万元，设平均每次降价率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1.（2025·上海青浦·二模）一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为 ． 2．（24-25八年级下·上海崇明·期中）联欢会上，每位同学向其他同学赠送1件礼物，结果共有互赠礼物870件，求参加联欢会的同学人数，设参加联欢会的同学有x人，那么可列出方程 ． 【题型三 根据一元二次方程的根代入求值】 例题：（24-25九年级上·江西南昌·阶段练习）已知是方程的根，则的值为（   ） A． B． C．5 D．8 【变式训练】 1.（2025·广东深圳·三模）已知一元二次方程有一个根为4，则m为 ． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果m是方程的一个根，那么代数式的值为 ． 【题型四 一元二次方程的解法】 例题：（24-25八年级下·浙江·期中）解方程： (1) (2) 【变式训练】 1.（24-25八年级下·浙江金华·期中）解方程： (1)； (2)． 2．（24-25八年级下·山东泰安·期中）用适当的方法解方程 (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五 一元二次方程根的判别式的应用】 例题：（2025·四川广安·中考真题）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东东营·期中）关于的方程有实数根，则的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【题型六 一元二次方程根与系数的关系的应用】 例题：（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 2．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两根，且满足，求m的值． 【题型七 配方法的应用】 例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知一元二次方程可以通过配方转化为的形式，则的值为 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把整式表示成的形式，则的最小值为（    ） A．5 B．2.5 C．7 D．3.5 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值． (2)比较代数式与的大小，并说明理由． (3)知识迁移： 如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值． 【题型八 列一元二次方程解决有关平均变化率的问题】 例题：（24-25八年级下·浙江温州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》于2025年春节档上映，一上映就获得全国人民的追捧.据不完全统计，某市第一天票房约200万元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入共728万元，将增长率记作x，则方程可以列为 . 【变式训练】 1．（2025·云南·中考真题）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元．设该书店每月盈利的平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·模拟预测）某苹果园种植一种优质苹果，随着果树的成长，该苹果园的总产量从年的吨增加到年的吨． (1)求这个苹果园总产量平均每年增产的百分率； (2)若平均每年增产的百分率率不变，年该苹果园的总产量能突破吨吗?请说明理由． 【题型九 列一元二次方程解决循环传播问题】 例题：（2025·重庆·三模）（奥密克戎）是新冠病毒的变异毒株，它具有传染性强，传播速度快的特点．若有一个人感染了它，但是没有得到有效的隔离，那么经过两轮传染后将共有144名感染者．在每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【变式训练】 1．（2025·黑龙江佳木斯·二模）2024年法国巴黎奥运会，男子篮球比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，一共进行66场比赛，则参加比赛的队伍共有（    ） A．10支 B．11支 C．12支 D．8支 2．（2025·贵州贵阳·二模）象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【题型十 列一元二次方程解决解决有关面积问题】 例题：（2025·新疆喀什·模拟预测）在一幅长，宽的矩形字画的四周镶上等宽的白色纸边，制成一幅如图所示的矩形挂图，整个挂图的面积是，设白色纸边的宽度为，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段练习）长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了而长减少了，那么面积增加，设长方形原来的宽为，所列方程是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长为34米的围栏（围栏宽忽略不计）建两个相同面积的生态园，两个生态园各留一扇宽为1米的门．由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米，每个生态园的面积为48平方米．设每个生态园垂直于墙的一边长为米．    (1)平行于围墙的一边长为______米；（结果需化简，用含的代数式表示） (2)求满足条件的的值． 【题型十一 列一元二次方程解决销售利润问题】 例题：（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 2．（24-25八年级下·浙江·期中）服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五•一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． (1)要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ (2)平均每天销售这种服装盈利能不能达到1500元？如果能达到，请计算应该降价多少元？如果不能，请说明为什么？ 【题型十二 一元二次方程与动点综合应用】 例题：（2025·贵州铜仁·模拟预测）如图，正方形的边长为，为的中点，点以的速度从点出发，沿向点运动，同时点以的速度从点出发，沿向点运动，当点运动到点时，、两点同时停止运动，若在运动过程中，当时，的长度为 ． 【变式训练】 1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，、、、是矩形的四个顶点，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，当时间为 时，点和点之间的距离是． 2．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期中）如图所示，在四边形中，，，，动点从点出发沿AD方向向点以的速度运动，动点从点开始沿着方向向点以的速度运动．点分别从点和点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段__________（用含有t的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形是矩形？ (3)经过多长时间，PQ的长为？ 一、单选题 1．（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 2．（24-25八年级下·北京海淀·阶段练习）k为实数，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 3．（24-25八年级下·山东淄博·期中）下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广西百色·期中）在下列数中，能使一元二次方程成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多．据统计，2022年“五一”假期期间，该县接待游客15万人次，2024年增长至46万人次．设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为 ． 7．（24-25八年级下·广西百色·期中）若方程是一元二次方程，则k的值是 ． 8．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为 ． 9．（26-27九年级上·全国·课后作业）某种植物的根特别发达，它的主根长出若干数目的支根，支根中的又长出同样多的小支根，而其余支根长出一半数目的小支根．主根、支根、小支根的总数是109根，则这种植物的主根长出 根支根． 10．（24-25八年级下·山东泰安·期中）若关于的方程有实数根，则的取值范围为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取任何实数时，方程总有两个实数根． (2)若方程的两个实数根满足，请求出m的值． 13．（2025·河南·模拟预测）汴绣也称“宋绣”，是流行于河南开封一带的传统刺绣工艺，也是国家非物质文化遗产之一．在学校举办的“传承非遗文化”社团活动中，某社团定制了一批汴绣文化衫和书签，其中采购文化衫花费了元，采购书签花费了元．每件文化衫比每个书签的进价贵元，且采购书签的数量是文化衫数量的倍． (1)求每件文化衫和每个书签的进价． (2)社团活动期间，文化衫的售价为每件元、书签的售价为每个元．经统计，平均每天能售出文化衫件，书签个．为了提高文化衫的销量，社团决定对文化衫进行降价促销，要求降价幅度不超过．据调查，每降低元，平均每天多售出件文化衫．社团希望在保证书签的售价和销量不变的情况下，通过合理调整文化衫的价格，使平均每天的总利润达到元，则文化衫的售价应定为每件多少元？ 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”． (1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值； (3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值． 15．（24-25八年级下·山东泰安·期中）下面是小华同学的数学小论文，请认真阅读，并完成下面的任务． 论文名称：平均数法解一元二次方程 在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形， 得 （根据1） 直接开平方并整理得，，我们称这种解法为平均数法． 经典练习： 下面是用平均数法解方程时写的解题过程， 直接开平方并整理，得…… 任务： (1)小论文中的根据1是______． (2)小明用平均数法解方程时，将方程写为的形式，请问式子中的______，______． (3)请用平均数法解方程：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$