专题04 用一元二次方程解决实际问题（10大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题04 用一元二次方程解决实际问题 目录 【题型一 传播问题】 1 【题型二 增长率问题】 3 【题型三 与图形有关的问题】 4 【题型四 数字问题】 6 【题型五 营销问题】 8 【题型六 动态几何问题】 11 【题型七 工程问题】 13 【题型八 行程问题】 15 【题型九 握手、循环赛问题】 18 【题型十 其他问题】 20 【题型一 传播问题】 例题：（2025·广西南宁·模拟预测）毕业将至，九（1）班全体学生互赠祝福卡，共赠祝福卡1560张，问：九（1）班共有多少名学生？设九（1）班共有名学生，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个同学都要送其他名同学一张祝福卡，因此总赠送祝福卡数是张，再根据共赠祝福卡1560张列方程即可． 【详解】解：设九（1）班共有x名学生， 由题意得：， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·贵州贵阳·阶段练习）请根据图片内容填空：每轮传染中，平均一个人传染了 人． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设每轮传染中，平均一个人传染了人，根据“感染1个人，此人未被有效隔离，经过两轮传染后共有121名感染者”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设平均一个人传染了个人，根据题意得， 解得，，（舍去） 所以，平均一个人传染了10个人， 故答案为：10． 2．（24-25九年级上·河南安阳·阶段练习）有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 【题型二 增长率问题】 例题：（24-25八年级下·山东威海·期中）某城市为申办冬奥会，决定改善城市容貌，计划用两年时间，使绿地面积增加，这两年平均每年绿地面积的增长率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程解决增长率问题，解题关键是列出方程求解． 设每年的增长率为 ，根据“计划用两年时间，使绿地面积增加”列出方程求解． 【详解】解：设每年的增长率为 ， 则， 解得：(舍去），或， 即这两年平均每年绿地面积的增长率是， 故答案为： ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）某市为了解决新能源汽车充电难的问题，计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题．已知第一个月新建300个充电桩，第三个月新建500个，需建立月平均增长率x的方程．根据连续增长模型，第三个月的数量等于第一个月的数量乘以． 【详解】解：设月平均增长率为， 则第二个月的数量为， 第三个月的数量为． 根据题意，第三个月新建500个充电桩， 因此方程为： 故选：B． 2．（24-25八年级下·安徽六安·期中）电影《哪吒2》于2025年1月29日在中国上映，第一天票房约4.73亿，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房约18亿，若把增长率记作，则方程可以列为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．设平均每月的增长率为x，根据等量关系式：第一天的票房第三天的票房列出方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【题型三 与图形有关的问题】 例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）一份摄影作品【七寸照片（长7英寸，宽5英寸）】，现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同（如图），矩形衬纸的面积为照片面积的2倍，设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系式解题的关键． 设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，然后根据矩形衬纸的面积为照片面积的2倍列出方程即可． 【详解】解：设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，则矩形衬纸的长为英寸，宽为英寸，由题意得 ， 故选：D． 【变式训练】 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）《九章算术》中记载着：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？简译为：今有一扇门，不知门的高和宽．另有一竹竿，也不知竹竿的长短．竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键； 设门的对角线长为尺，根据：竹竿横着放时比门的宽长4尺，竹竿竖着放时比门的高长2尺，竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等，结合勾股定理即可列出方程，得到答案． 【详解】解：设门的对角线长为尺，则可列方程为； 故选：D． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室，要求长与宽的比为，在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长为多少时，蔬菜种植区域的面积是． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，解答此题，要运用含x的代数式表示矩形的长与宽，再由面积关系列方程．设矩形温室的宽为，则长为.，根据矩形的面积计算公式即可列出方程求解． 【详解】解：设矩形温室的宽为，则长为， 根据题意，得， ， ， ， 解得：（不合题意，舍去），， ， 答：当矩形温室的长为时，蔬菜种植区域的面积是． 【题型四 数字问题】 例题：（2025·江苏盐城·一模）如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个数为，列出方程，然后解方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意，设这个数为， ∴， ， ， ∴， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽蚌埠·期中）已知两个相邻的偶数之积为，若设较小的偶数为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得出方程，即可求解． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据题意得 故选：D． 2．（2025·广东深圳·二模）2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为，求这个最小数（请用方程知识解答）． 【答案】5 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解日历表的中数与数的关系，正确列式求解是关键． 设这个最小数为，则最大数为，由此列方程求解即可． 【详解】解：设这个最小数为，则最大数为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这个最小数为5． 【题型五 营销问题】 例题：（2025·山东济宁·三模）某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·重庆九龙坡·自主招生）某咖啡店2024年12月销售咖啡1200杯，每杯成本10元、售价15元．因新年人们对咖啡的需求增加，咖啡豆售价随之上涨，影响了该咖啡店每杯咖啡的售价和月销售量．2025年1-2月该咖啡店每杯咖啡的成本均为12元． (1)2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，求2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是多少元？ (2)2025年2月该咖啡店每杯咖啡的售价比1月每杯咖啡的售价提高了，2025年2月的销售量比2024年12月的销售量减少了，且2025年2月的销售利润是2024年12月销售利润的，求的值． 【答案】(1)2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）设2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元，根据2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯，但销售利润与2024年12月持平，列出一元一次方程求解即可； （2）利用总利润等于单杯的利润销售量，列出关于a的一元二次方程求解，并取符合实际的值即可． 【详解】（1）解：设2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元，根据题意得： 解得：， 答：2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是元； （2）解：根据题意得：， 即， 整理得：， 解得：或（舍去）， 答：的值为． 2．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示） (2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利元． (3)平均每天盈利能否达到元，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)每件童装降价元，平均每天盈利元； (3)平均每天销售利润不能达到元，理由见解析． 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用，理解题意找到题目蕴含的等量关系是列方程求解的关键． （1）根据销售量原销售量因价格下降而增加的数量，每件利润实际售价进价，列式即可； （2）根据总利润每件利润销售数量，列方程求解可得； （3）根据每台的盈利销售的件数元，即可列方程，再根据根的判别式求解． 【详解】（1）解：设每件童装降价x元时， 每天可销售件， 每件盈利：（元）； （2）解：根据题意，得：． 解得：，， ∵扩大销售量，增加利润， ， 答：每件童装降价元，平均每天盈利元； （3）解：依题意，可列方程： ， 化简，得 ， ． 方程无实数根． 故平均每天销售利润不能达到元． 【题型六 动态几何问题】 例题：（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，点从点出发向终点以每秒个单位长度移动，两点同时出发，一点先到达终点时两点同时停止，则（   ）秒后，的面积等于． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设移动时间为秒，因为秒，所以，列方程得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设移动时间为秒， 秒， ， 根据题意得， 解得或（不符合题意，舍去）， 秒后，的面积等于， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·新疆·阶段练习）中，，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．当运动时间t为 时，的面积为． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．在解答时要注意所求的解使实际问题有意义．根据三角形的面积公式建立方程就可以求出的值． 【详解】解：由题意，得，． 列方程，得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 当时，的面积等于． 故答案为：1 2．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动．与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．点、分别从点，同时出发，当点移动到点时，两点停止移动．设移动时间为 ． (1)填空：___________，___________；（用含的代数式表示） (2)是否存在的值，使得的面积为？若存在请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据路程速度时间就可以表示出，，再用就可以求出的长； （2）利用（1）的结论，根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 故答案为：，； （2）解：存在，理由如下： 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 存在的值，使得的面积等于，此时的值为1． 【题型七 工程问题】 例题：（2023·辽宁鞍山·一模）某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 【变式训练】 1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？” 条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多； （2）原计划每天修建的长度比实际少75米． 在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为米 【分析】选择（1）时，设原计划每天修建米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于的分式方程，解之经检验即可得出结论； 选择（2）时，设原计划每天修建盲道米，则实际每天修建米，根据提前2天完成这一任务，即可得出关于y的分式方程，解之经检验即可得出结论； 【详解】选（1）或（2） （1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 经检验：是所列方程的解 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． （2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为米 （舍） 经检验：是所列方程的解． 答：原计划每天修建下水管道的长度为米． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 2．（23-24九年级上·重庆开州·期末）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元． (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？ (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲最多施工900米 (2)的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键． （1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答； （2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设甲施工米， 由题意可得：， 解得：． 答：甲最多施工900米． （2）解：由题意可得：， 整理得， 解得． 答：的值为2． 【题型八 行程问题】 例题：（24-25九年级上·河南周口·期末）汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得： ， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故选：C. 【变式训练】 1．（24-25九年级上·辽宁锦州·期末）《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立。甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何，”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲每单位时间走7步，乙每单位时间走3步．乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时，甲、乙各走了多远？若设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，则下面由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程的应用，理解题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键．由题意得，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形，设相遇时，甲、乙行走了个单位时间，利用勾股定理列出方程即可解答． 【详解】解：如图，甲行走的路线与乙行走的路线组成直角三角形： 设相遇时，甲、乙行走了个单位时间， 则，， 由勾股定理得，， ． 故选：A． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【题型九 握手、循环赛问题】 例题：（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）为了践行“文明其精神，野蛮其体魄”的精神，2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，应邀请多少支球队参加？设邀请x支球队参加，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场，进行列出方程，即可作答． 【详解】解：∵设邀请x支球队参加，赛制为单循环（每两支队之间都赛一场），计划安排21场， ∴， 故选：D． 【变式训练】 1．（2025·云南红河·三模）某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有人，则每人需提条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设这个小组有人，则每人需提条建议， 则由题意得：， 故答案为：． 2．（2025·广东揭阳·一模）探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次． (1)若参加聚会的人数为3，则共握手___________次； (2)若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手___________次； (3)若参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数． (4)拓展应用：嘉嘉给琪琪出题：“若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为20个，求的值．” 琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20个”．琪琪的思考对吗？为什么？ 【答案】(1)3 (2) (3)10人 (4)琪琪的思考是对的，见解析 【分析】本题考查了数字类归纳探索、一元二次方程的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据每两个人见面必须握手，且只握手1次即可得； （2）先求出参加聚会的人数为时，共握手的次数，再归纳类推出一般规律即可得； （3）令（2）的结果等于45，解一元二次方程即可得； （4）参照（2）的规律，归纳类推出一般规律，再令其等于20，解一元二次方程，由此即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，若参加聚会的人数为3，则共握手3次， 故答案为：3． （2）解：由题意可知，参加聚会的人数为1，则共握手次， 参加聚会的人数为2，则共握手次， 参加聚会的人数为3，则共握手次， 参加聚会的人数为4，则共握手次， 归纳类推得：若参加聚会的人数为（为正整数），则共握手次， 故答案为：． （3）解：若参加聚会的人共握手45次， 则， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：参加聚会的人数为10人． （4）解：琪琪的思考是对的，理由如下： 若在的内部由顶点引出1条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出2条射线（不含，边），角的总数为个， 若在的内部由顶点引出3条射线（不含，边），角的总数为个， 归纳类推得：若在的内部由顶点引出条射线（不含，边），角的总数为个， 令，即， 解得或（均不是正整数，不符合题意，舍去）， 所以在这个问题上，角的总数不可能为20个，琪琪的思考是对的． 【题型十 其他问题】 例题：（2025·福建厦门·三模）如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可知，，，，则，然后列出，然后求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）， 故选：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精，第一次倒出一部分纯酒精后，再用水加满；第二次又倒出同样多的酒精溶液，若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升，则小明每次倒出的体积是 毫升． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确的列出一元二次方程是解题的关键．设每次倒出液体为x升，则可计算出第一次倒出再加满水的溶液浓度，再根据第二次倒完后，剩下的纯酒精是81升，列出一个一元二次方程即可求解． 【详解】解：设每次倒出液体为x毫升， 则第一次倒出再加满水的酒精溶液浓度为 ， 由题意可得： ， 整理可得： ， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴每次倒出的液体是10升． 故答案为：10． 2．（2025·山东威海·一模）某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 【答案】停车位的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为，根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：停车位的宽为． 一、单选题 1．（2025·云南临沧·模拟预测）如图，某中学规划修建一个矩形苗圃，苗圃的一面靠墙（墙最长可用长度为），另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成面积相等的两个区域，并在两个区域中各留米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长为，且矩形的面积为，请求出的长，设长为，则可以列出方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．设长为，矩形的面积为，据此列出方程即可． 【详解】解：设长为，根据题意可得： ， 即， 故选：． 2．（2025·云南曲靖·二模）我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台，其中一边利用办公楼墙壁，另三边用安全护栏围成．已知护栏总长为36米，起降平台的面积为162平方米．设与办公楼平行的一边长为x 米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程应用题，根据题意找到等量关系列出关系式即可． 因为是矩形，所以另一边为 米，再根据矩形面积公式：长×宽＝面积可得． 【详解】解：与办公楼平行的一边长为 米，与相邻的一边长为米． ∴ 故选：D． 3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边则剩下的矩形场地还是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 4．（2025·云南·模拟预测）昆明市粮油生产指导意见中指出，要坚持提高单产和品质并举，把大面积单产提升作为关键举措，多措并举巩固大豆扩种成果，挖掘油菜、花生等油料作物扩种潜力．某地2022年油料作物播种面积为100亩，2024年增长到121亩，设油料作物播种面积的年平均增长率为x，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据“2022年油料作物播种面积为100亩，2024年增长到121亩”列出方程，即可解题． 【详解】解：设油料作物播种面积的年平均增长率为x， 根据题意得：； 故选：B． 5．（2025·黑龙江佳木斯·三模）2025年，某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有3人被感染，经过两轮传播后就有192人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，则每轮每人传染的人数为（   ） A．5人 B．6人 C．7人 D．8人 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设1个人传染人，第一轮共传染人，第二轮共传染人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案． 【详解】解：设每个人传染人，根据题意列方程得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 故选：C． 二、填空题 6．（2025·广东东莞·二模）北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，设有x支队伍参加比赛，可列方程为： ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． 设有x支队伍，根据题意，得即可． 【详解】解：设有x支队伍，根据题意，得， 故答案为：． 7．（2025·湖南·模拟预测）步步高超市在政府的帮扶下，2025年4月1日当天的营业额是25万元，4月3日的营业额是81万元，假设每天营业额的平均增长率相等，设为x，那么可列出的方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用中的增长率问题，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．设每天营业额的平均增长率为x，根据2025年4月1日当天的营业额是25万元，4月3日的营业额是81万元，列出方程即可． 【详解】解：设每天营业额的平均增长率为x，根据题意得： ． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积为．则道路的宽为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设道路的宽度为，则两条路的面积为，根据栽种花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】解：设道路的宽度为， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴道路的宽度为． 故答案为：2． 9．（2025·江西九江·模拟预测）如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以的速度移动，同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动，当的面积等于时，经过的时间是 ． 【答案】/10秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，得到关于t的方程是解题的关键． 设运动时间为秒，根据点的运动速度分别表示出和的长度，再利用直角三角形面积公式列出关于的一元二次方程，求解方程得到运动时间． 【详解】设经过秒时，的面积等于． 点的速度是，移动时间为秒，，则； 点的速度是，移动时间为秒，则． ∵， ∴ 的面积． ∵， ∴， 化简得， 即， 整理为， 解得． 所以经过的时间是． 故答案为：． 10．（2025·重庆·三模）某云平台的网络安全事件中，最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒．两轮传播后共有196台服务器被控制，则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 ． 【答案】6 【分析】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得等量关系建立方程是解题的关键． 设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，由经过两轮传播后共有196台电脑被感染建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器传播设备的台数为x， 由题意得：， 整理得：， 解得，（舍）， 故每轮中平均每台服务器传播设备的台数为6台． 故答案为：6 三、解答题 11．（2025·湖南湘西·模拟预测）“双减”政策倡导学生合理使用电子产品，控制使用时长，防止网络沉迷．某品牌学习机商店，为了提高学习机的销量，减少库存，决定对该品牌学习机进行降价销售，经市场调查，当学习机的售价为每台1800元时，每天可售出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，已知每台学习机的进价为1000元．如果该品牌学习机商店拟获利4200元，该商店需要将每台学习机售价定为多少元？ 【答案】该商店需要将每台学习机售价定为1300元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每台学习机售价为x元，利用商店每天销售该品牌学习机获得的利润等于每台的销售利润乘以日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设每台学习机售价为x元，依题意得：， 解得：． ∵减少库存， ∴； 答：该商店需要将每台学习机售价定为1300元． 12．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在边上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积恰好为． (1)求此时花圃边的长； (2)花圃的面积能达到吗？若能，求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)花圃边的长为4米． (2)花圃的面积不能达到，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式等知识点，灵活运用所学知识解决实际问题成为解题的关键． （1）设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米，由墙的最大可用长度为，可知，再根据题意列一元二次方程求解即可； （2）令，再运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况即可解答． 【详解】（1）解：设花圃边的长为x，则花圃的边的长为米， ∵墙的最大可用长度为， ∴，解得： 由题意可得：， 整理得：，解得：或（舍弃）． 答：花圃边的长为4米． （2）解：花圃的面积不能达到，理由如下： 令， 整理得：， 因为， 所以方程无解，即花圃的面积不能达到． 13．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）某化工企业4月份第一周排放生产废水400吨，该企业积极转型，对生产设备进行改造升级，朝着绿色化工方向发展，4月份第三周排放生产废水324吨，若该企业4月份每周的污水排放量的减少率相同，求该企业4月份每周的污水排放量的减少率． 【答案】该企业4月份每周的污水排放量的减少率为 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据减少率正确列方程是解题关键．设该企业4月份每周的污水排放量的减少率为，根据“企业4月份第一周排放生产废水400吨，第三周排放生产废水324吨”，列方程求解即可． 【详解】解：设该企业4月份每周的污水排放量的减少率为， 则， 解得：，（不符合题意舍去） 答：该企业4月份每周的污水排放量的减少率为． 14．（2025·福建龙岩·二模）第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是：，表示的举办年份． (1)把八进制数换算成十进制数是_________； (2)小聪设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1)； (2)的值为． 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于的一元二次方程是解题的关键． （）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （）根据进制换算成十进制的方法可列出关于的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴的值为． 15．（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$专题04 用一元二次方程解决实际问题 目录 【题型一 传播问题】 1 【题型二 增长率问题】 2 【题型三 与图形有关的问题】 2 【题型四 数字问题】 3 【题型五 营销问题】 4 【题型六 动态几何问题】 5 【题型七 工程问题】 6 【题型八 行程问题】 7 【题型九 握手、循环赛问题】 8 【题型十 其他问题】 8 【题型一 传播问题】 例题:(2025 广西南宁 模拟预测)毕业将至,九(1)班全体学生互赠祝福卡,共赠祝福卡1560张,问:九(1)班共有多少名学生?设九(1)班共有名学生,根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.(23-24九年级上 贵州贵阳 阶段练习)请根据图片内容填空:每轮传染中,平均一个人传染了 人. 2.(24-25九年级上 河南安阳 阶段练习)有一个人患了某种传染病,经过两轮传染后共有81人患病. (1)每轮平均1个人会感染几人? (2)若病毒得不到有效控制,三轮感染后,患病的人数会不会超过700人? 【题型二 增长率问题】 例题:(24-25八年级下 山东威海 期中)某城市为申办冬奥会,决定改善城市容貌,计划用两年时间,使绿地面积增加,这两年平均每年绿地面积的增长率是 . 【变式训练】 1.(24-25八年级下 广西百色 期中)某市为了解决新能源汽车充电难的问题,计划新建一批智能充电桩,第一个月新建了300个充电桩,第三个月新建了500个充电桩,设该市新建充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意,可列出方程( ) A. B. C. D. 2.(24-25八年级下 安徽六安 期中)电影《哪吒2》于2025年1月29日在中国上映,第一天票房约4.73亿,以后每天票房按相同的增长率增长,第三天票房约18亿,若把增长率记作,则方程可以列为 . 【题型三 与图形有关的问题】 例题:(24-25八年级下 浙江杭州 期中)一份摄影作品【七寸照片(长7英寸,宽5英寸)】,现将照片贴在一张矩形衬纸的正中央,照片四周外露衬纸的宽度相同(如图),矩形衬纸的面积为照片面积的2倍,设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸,下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.(23-24九年级上 四川绵阳 期中)《九章算术》中记载着:今有户不知高、广,竿不知长短.横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出.问户高、广、邪各几何?简译为:今有一扇门,不知门的高和宽.另有一竹竿,也不知竹竿的长短.竹竿横着放时比门的宽长4尺,竹竿竖着放时比门的高长2尺,竹竿斜着放时与门的对角线恰好相等,求门的高、宽和对角线的长各是多少?若设门的对角线长为尺,则可列方程为( ) A. B. C. D. 2.(24-25八年级下 安徽安庆 期中)某村计划建造如图所示的长方形蔬菜温室,要求长与宽的比为,在温室内,沿前侧内墙保留宽的空地,其它三侧内墙各保留宽的通道.当矩形温室的长为多少时,蔬菜种植区域的面积是. 【题型四 数字问题】 例题:(2025 江苏盐城 一模)如图,根据小丽与的对话,在深度思考后,给出的答案是( ) A. B. C. D.或 【变式训练】 1.(24-25八年级下 安徽蚌埠 期中)已知两个相邻的偶数之积为,若设较小的偶数为,则可列方程为( ) A. B. C. D. 2.(2025 广东深圳 二模)2025年6月26日−28日是深圳市中考的日子,在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示),若圈出的四个数中,最小数与最大数的乘积为,求这个最小数(请用方程知识解答). 【题型五 营销问题】 例题:(2025 山东济宁 三模)某商店经销一种销售成本为20元/个的商品,当售价为每个30元时,每月可售出1000个,根据市场分析,每涨价1元,每月要少售出100个;每降价1元,则每月多售出100个.当该商品的售价定为( )元/个时,月利润为9600元 A.32 B.28 C.32或36 D.32或28 【变式训练】 1.(24-25九年级下 重庆九龙坡 自主招生)某咖啡店2024年12月销售咖啡1200杯,每杯成本10元、售价15元.因新年人们对咖啡的需求增加,咖啡豆售价随之上涨,影响了该咖啡店每杯咖啡的售价和月销售量.2025年1-2月该咖啡店每杯咖啡的成本均为12元. (1)2025年1月该咖啡店的销售量为1500杯,但销售利润与2024年12月持平,求2025年1月该咖啡店每杯咖啡的售价是多少元? (2)2025年2月该咖啡店每杯咖啡的售价比1月每杯咖啡的售价提高了,2025年2月的销售量比2024年12月的销售量减少了,且2025年2月的销售利润是2024年12月销售利润的,求的值. 2.(24-25八年级下 浙江杭州 期中)某童装专卖店在销售中发现,一款童装每件进价为元,销售价为元时,每天可售出件,商店决定采取适当的降价措施,以扩大销售量,每件童装每降价1元,平均每天可多售出2件.设每件童装降价x元. (1)每天可销售多少件,每件盈利多少元?(用含x的代数式表示) (2)每件童装降价多少元时,平均每天盈利元. (3)平均每天盈利能否达到元,请说明理由. 【题型六 动态几何问题】 例题:(24-25九年级上 四川绵阳 期末)如图,中,,,,点从点出发向终点以每秒个单位长度移动,点从点出发向终点以每秒个单位长度移动,两点同时出发,一点先到达终点时两点同时停止,则( )秒后,的面积等于. A. B. C.或 D.或 【变式训练】 1.(24-25九年级上 新疆 阶段练习)中,,,,点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动,与此同时,点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动.如果P、Q分别从A、B同时出发,当点Q运动到点C时,两点停止运动.当运动时间t为 时,的面积为. 2.(2025八年级下 全国 专题练习)如图,在中,,,,点从点开始沿边向终点以的速度移动.与此同时,点从点开始沿边向终点以的速度移动.点、分别从点,同时出发,当点移动到点时,两点停止移动.设移动时间为 . (1)填空:_,_;(用含的代数式表示) (2)是否存在的值,使得的面积为?若存在请求出此时的值;若不存在,请说明理由. 【题型七 工程问题】 例题:(2023 辽宁鞍山 一模)某花木园,计划在园中栽96棵桂花树,开工后每天比原计划多栽2棵,结果提前4天完成任务.问原计划每天栽多少棵? 【变式训练】 1.(22-23八年级下 江苏泰州 期末)问题:“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道,由于采用新的施工方式,_,提前2天完成任务,求原计划每天修建下水管道的长度?” 条件:(1)实际每天修建的长度比原计划多; (2)原计划每天修建的长度比实际少75米. 在上述的2个条件中选择1个_(仅填序号)补充在问题的横线上,并完成解答. 2.(23-24九年级上 重庆开州 期末)城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路,是国家高速银百高速公路(银川至百色)的一段,线路全长公里,甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程,隧道总长2100米,甲、乙分别从隧道两端向中间施工,计划每天各施工6米.因地质结构不同,两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样.甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元;乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元. (1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的,求甲最多施工多少米? (2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂,甲乙两队每日完成量和成本都发生变化.甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时,则每天可多挖米,乙在施工成本不变的情况下,比计划每天少挖米,若最终每天实际总成本比计划多万元,求的值. 【题型八 行程问题】 例题:(24-25九年级上 河南周口 期末)汽车在公路上行驶,它行驶的路程和时间之间的关系式为,那么行驶,需要的时间为( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.(24-25九年级上 辽宁锦州 期末)《九章算术》“勾股”章有一题:“今有二人同所立。甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会,问甲、乙行各几何,”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲每单位时间走7步,乙每单位时间走3步.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远?若设相遇时,甲、乙行走了个单位时间,则下面由题意所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 2.(23-24九年级上 全国 单元测试)一辆汽车以30米/秒的速度行驶,司机发现前方路面有情况,紧急刹车后汽车又滑行30米后停车. (1)则在这段时间内的平均车速为多少?从刹车到停车用了多长时间? (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少? (3)汽车滑行20米时用了多长时间? 【题型九 握手、循环赛问题】 例题:(24-25九年级下 福建莆田 阶段练习)为了践行“文明其精神,野蛮其体魄”的精神,2025年仙游县举办创建杯男子篮球联赛活动,赛制为单循环(每两支队之间都赛一场),计划安排21场,应邀请多少支球队参加?设邀请x支球队参加,则可列方程为( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.(2025 云南红河 三模)某学习小组为了在学习上更好地互帮互助,每位组员都给同组的其他同学各提一条建议,该小组一共收到72条建议.若设这个小组有人,则应列方程为 . 2.(2025 广东揭阳 一模)探究:在一次聚会上,规定每两个人见面必须握手,且只握手1次. (1)若参加聚会的人数为3,则共握手_次; (2)若参加聚会的人数为(为正整数),则共握手_次; (3)若参加聚会的人共握手45次,请求出参加聚会的人数. (4)拓展应用:嘉嘉给琪琪出题:“若在的内部由顶点引出条射线(不含,边),角的总数为20个,求的值.” 琪琪的思考:“在这个问题上,角的总数不可能为20个”.琪琪的思考对吗?为什么? 【题型十 其他问题】 例题:(2025 福建厦门 三模)如图,一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚,呈匀加速运动状态,速度每秒增加.(提示:本题中,距离平均速度时间,,其中是开始时的速度,是秒时的速度.)则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是( ) A. B. C. D. 【变式训练】 1.(24-25八年级下 安徽安庆 期中)小明将一个100毫升的容器盛满纯酒精,第一次倒出一部分纯酒精后,再用水加满;第二次又倒出同样多的酒精溶液,若此时容器内剩下的纯酒精是81毫升,则小明每次倒出的体积是 毫升. 2.(2025 山东威海 一模)某购物商场的地面停车场为矩形,其面积为,共设计了如图所示的56个停车位,每个停车位的尺寸都一样,且长比宽多,通车道的宽度都相等,求停车位的宽. 一、单选题 1.(2025 云南临沧 模拟预测)如图,某中学规划修建一个矩形苗圃,苗圃的一面靠墙(墙最长可用长度为),另外三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开,分成面积相等的两个区域,并在两个区域中各留米宽的门(门不用木栏),修建所用木栏总长为,且矩形的面积为,请求出的长,设长为,则可以列出方程是( ) A. B. C. D. 2.(2025 云南曲靖 二模)我市一科技公司计划在办公楼旁搭建一个矩形无人机起降平台,其中一边利用办公楼墙壁,另三边用安全护栏围成.已知护栏总长为36米,起降平台的面积为162平方米.设与办公楼平行的一边长为x 米,则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 3.(2025 黑龙江哈尔滨 三模)如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7644平方米,设道路的宽为x米,则可列方程为( ) A. B. C. D. 4.(2025 云南 模拟预测)昆明市粮油生产指导意见中指出,要坚持提高单产和品质并举,把大面积单产提升作为关键举措,多措并举巩固大豆扩种成果,挖掘油菜、花生等油料作物扩种潜力.某地2022年油料作物播种面积为100亩,2024年增长到121亩,设油料作物播种面积的年平均增长率为x,下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 5.(2025 黑龙江佳木斯 三模)2025年,某地甲型流感病毒传播速度非常快,开始有3人被感染,经过两轮传播后就有192人患了甲型流感.若每轮传染的速度相同,则每轮每人传染的人数为( ) A.5人 B.6人 C.7人 D.8人 二、填空题 6.(2025 广东东莞 二模)北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛,单循环比赛共进行了45场,设有x支队伍参加比赛,可列方程为: . 7.(2025 湖南 模拟预测)步步高超市在政府的帮扶下,2025年4月1日当天的营业额是25万元,4月3日的营业额是81万元,假设每天营业额的平均增长率相等,设为x,那么可列出的方程是 . 8.(24-25八年级下 安徽合肥 期中)如图,在一块长、宽的矩形空地上修建同样宽的两条道路,剩余部分栽种花草,且栽种花草的面积为.则道路的宽为 . 9.(2025 江西九江 模拟预测)如图,在中,,,,点P从点A开始沿边向点C以的速度移动,同时另一个点Q从点C开始沿向点B以的速度移动,当的面积等于时,经过的时间是 . 10.(2025 重庆 三模)某云平台的网络安全事件中,最初有4台服务器遭受攻击并感染病毒.两轮传播后共有196台服务器被控制,则每轮中平均每台服务器传播设备的台数为 . 三、解答题 11.(2025 湖南湘西 模拟预测)“双减”政策倡导学生合理使用电子产品,控制使用时长,防止网络沉迷.某品牌学习机商店,为了提高学习机的销量,减少库存,决定对该品牌学习机进行降价销售,经市场调查,当学习机的售价为每台1800元时,每天可售出4台,在此基础上,售价每降低50元,每天将多售出1台,已知每台学习机的进价为1000元.如果该品牌学习机商店拟获利4200元,该商店需要将每台学习机售价定为多少元? 12.(24-25八年级下 安徽阜阳 期中)如图,用长为的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.为了方便出入,在建造篱笆花圃时,在边上用其他材料做了宽为的两扇小门.若花圃的面积恰好为. (1)求此时花圃边的长; (2)花圃的面积能达到吗?若能,求出边的长;若不能,请说明理由. 13.(24-25八年级下 吉林长春 阶段练习)某化工企业4月份第一周排放生产废水400吨,该企业积极转型,对生产设备进行改造升级,朝着绿色化工方向发展,4月份第三周排放生产废水324吨,若该企业4月份每周的污水排放量的减少率相同,求该企业4月份每周的污水排放量的减少率. 14.(2025 福建龙岩 二模)第十四届国际数学教育大会()会徽的主题图案有着丰富的数学元素,展现了我国古代数学的文化魅力,其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数.八进制是以8作为进位基数的数字系统,有共个基本数字,八进制数换算成十进制数是:,表示的举办年份. (1)把八进制数换算成十进制数是_; (2)小聪设计了一个进制数,换算成十进制数是,求的值. 15.(2024 广东广州 模拟预测)今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区,新彩广州”为主题的烟花汇演,甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演,由于当晚该公园附近路段实施了交通管制,甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后,再步行2千米到达目的地,共花了1小时.此期间,已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍. (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少? (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地,若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时(),乙骑车时间比甲开车时间多a小时,求a的值. 1 学科网(北京)股份有限公司 $$