专题03 一元二次方程根的判别式 根与系数的关系（9大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版） - 副本 (2)

专题03 一元二次方程根的判别式 根与系数的关系 目录 【题型一 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 1 【题型二 判断含参数的一元二次方程的根的情况】 2 【题型三 由一元二次方程的根的情况确定字母的值】 2 【题型四 证明一元二次方程的根的情况】 2 【题型五 利用根与系数的关系求代数式的值】 3 【题型六 利用根与系数的关系求方程的根】 3 【题型七 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 4 【题型八 根于系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 4 【题型九 与根的判别式或根与系数的关系有关的新定义问题】 4 【题型一 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 例题：（24-25八年级下·安徽安庆·期中）一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式训练】 1.（2025·上海·二模）方程的实数解数量为 个． 2．（2025·河南周口·三模）一元二次方程的根的情况是 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【题型二 判断含参数的一元二次方程的根的情况】 例题：（2025·河南商丘·模拟预测）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【变式训练】 1．（2025·云南临沧·模拟预测）有关的一元二次方程解的情况分析正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．不能确定 D．有两个不相等的实数根 2．（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【题型三 由一元二次方程的根的情况确定字母的值】 例题：（24-25九年级下·河南商丘·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【变式训练】 1．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 【题型四 证明一元二次方程的根的情况】 例题：（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； (2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·北京·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 【题型五 利用根与系数的关系求代数式的值】 例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ，是方程的两个实数根，则 ． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 2．（2025·山西晋城·三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【题型六 利用根与系数的关系求方程的根】 例题：（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【变式训练】 1．（2025·内蒙古·模拟预测）关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 2．（2025·江苏盐城·三模）若关于的一元二次方程的两个解是，，则的值是 【题型七 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 例题：（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则     ． 【题型八 根于系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 例题：（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（   ） A．19 B．18 C．17 D．16 2．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）已知矩形的两边长分别为的长是关于的方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形为正方形？并说明理由； (2)若的长为2，求矩形的对角线长． 【题型九 与根的判别式或根与系数的关系有关的新定义问题】 例题：（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【变式训练】 1．（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 2．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知是方程的两根，则的值为（   ） A． B．10 C．2 D． 3．（2025·河南商丘·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 4．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 5．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 二、填空题 6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 7．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 8．（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情况是 ． 9．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ． 10．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 12．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，则；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，则___________，___________； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)若实数满足，且，求的值． 13．（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 14．（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 15．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当方程的一个根是1时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 一元二次方程根的判别式 根与系数的关系 目录 【题型一 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 1 【题型二 判断含参数的一元二次方程的根的情况】 2 【题型三 由一元二次方程的根的情况确定字母的值】 4 【题型四 证明一元二次方程的根的情况】 5 【题型五 利用根与系数的关系求代数式的值】 8 【题型六 利用根与系数的关系求方程的根】 9 【题型七 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 10 【题型八 根于系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 12 【题型九 与根的判别式或根与系数的关系有关的新定义问题】 14 【题型一 判断不含参数的一元二次方程的根的情况】 例题：（24-25八年级下·安徽安庆·期中）一元二次方程的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式训练】 1.（2025·上海·二模）方程的实数解数量为 个． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据判别式来判断即可，当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根，当时，方程没有实数根． 【详解】解：， ， ， ∴方程无实数根，即实数解数量为0个， 故答案为：0． 2．（2025·河南周口·三模）一元二次方程的根的情况是 A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，先把方程整理成一般式，再求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式和一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：方程整理得，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【题型二 判断含参数的一元二次方程的根的情况】 例题：（2025·河南商丘·模拟预测）若是方程的一个根，则此方程的根的情况是（   ） A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．时，没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根的判别式，先把代入方程求出的值，再求出的值即可判断求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴方程为， ∵， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：． 【变式训练】 1．（2025·云南临沧·模拟预测）有关的一元二次方程解的情况分析正确的是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．不能确定 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程得出判别式的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ，即 方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 2．（2025·上海金山·二模）利用根的判别式判断方程（为常数）的根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：因为一元二次方程为（为常数）， 则， 所以此一元二次方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 【题型三 由一元二次方程的根的情况确定字母的值】 例题：（24-25九年级下·河南商丘·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查根的判别式，解题的关键是根据题意列出方程求解． 由方程有两个相等的实数根，根据根的判别式可得到关于m的方程，则可求得m的值． 【详解】∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ∴， 解得． 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·上海·中考真题）已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 2．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（   ） A． B．6 C．或 D．或 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求出的值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 开方得：或， 解得：或． 故选：D． 【题型四 证明一元二次方程的根的情况】 例题：（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于的一元二次方程． (1)证明：当取不为0的任何值时，方程总有实数根； (2)为何整数时，方程有两个不相等的正整数根． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据关于的一元二次方程，则，且，即可作答． （2）运用因式分解法得或，结合方程有两个不相等的正整数根，为整数，即可作答． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程， ∴，且 当取不为0的任何值时，总有， 所以方程总有实数根； （2）解：， ， 或， 由题意方程有两个不相等的正整数根， 即是正整数，且为整数，， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·北京·期中）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程只有一个根小于0，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． （1）计算一元二次方程根的判别式，根据根的判别式进行判断即可得证； （2）根据公式法求得方程的解，得出，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）证明：关于x的一元二次方程， ∴ ∵ ， ∴此方程总有两个实数根； （2）∵ ∵ ∴ 解得：， ∵方程只有一个根小于0， ∴， 解得：． 2．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的两边的长是关于x的一元二次方程的两个根，第三边的长是10． (1)求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当n为何值时，为等腰三角形？并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)时，为等腰三角形，的周长分别为30或32． 【分析】此题考查解一元二次方程，根的判别式，灵活选用适当的方法求得方程的解即可． （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而可证出：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）由（1）的结论及为等腰三角形，可得出只能是的腰，再将代入原方程中求出n的值，分别解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）证明： ∴无论n为何值方程总有两个不等实根； （2）解：∵方程有两个不相等实根， 为等腰三角形， ∴方程的其中一根应为10， ∴， 即：， 解得， 当时，方程为， 解得， ∴三边为10，10，12，周长为， 当时，方程为， 解得， ∴三边为8，10，12，周长为． 【题型五 利用根与系数的关系求代数式的值】 例题：（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知 ，是方程的两个实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 根据一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知m，n是方程的两个实数根，则的值是（） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系，利用方程根的定义将高次项降次，结合根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的实数根， ∴． 代入所求表达式： 由根与系数的关系，方程的两根之和为：， ∴． 故选：B． 2．（2025·山西晋城·三模）已知是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键， 根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，据此可求出和的值，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 【题型六 利用根与系数的关系求方程的根】 例题：（2025·江苏苏州·中考真题）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，其中，则 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，结合，进行求解即可，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【变式训练】 1．（2025·内蒙古·模拟预测）关于x的一元二次方程的一个根，则另一个根 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系列出关系式，把一个根代入计算即可求出所求． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， 即另一个根， 故答案为：． 2．（2025·江苏盐城·三模）若关于的一元二次方程的两个解是，，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时， ， ．也考查了一元二次方程的解．先根据分别是关于的一元二次方程的两个根，得，再利用整体代入的方法计算． 【详解】∵关于的一元二次方程的两个根是，， ∴， ∴ 故答案为：． 【题型七 利用根与系数的关系降次求代数式的值】 例题：（24-25九年级下·湖南娄底·期中）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值是（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义．根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知m、n是方程，的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据方程的解得到，根与系数的关系，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴； 故答案为：0． 2．（24-25八年级下·安徽宣城·期中）已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则     ． 【答案】2026 【分析】本题考查一元二次方程根的定义和根于系数的关系，解题的关键是掌握根于系数关系的公式．利用一元二次方程根的定义和根于系数的关系将原式进行转换求解即可． 【详解】解：∵a、b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案是：2026． 【题型八 根于系数的关系与三角形、四边形的综合运用】 例题：（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，且其面积为4，则该菱形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及菱形的性质，掌握菱形对角线与菱形的面积、边长间的关系，根与系数的关系及等式的变形是解决本题的关键． 设菱形的两条对角线长分别为a、b，利用根与系数的关系及对角线与菱形面积的关系得等式，再根据菱形的边长与对角线的关系求出菱形的边长． 【详解】解：设菱形的两条对角线长分别为a、b， 由题意得：， ∵菱形面积为4， ∴，解得：， ∴菱形的边长为 ， 故答案为：． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·江西景德镇·期中）如果一个三角形两边的长分别等于一元二次方程的两个实数根，那么这个三角形的第三边长可能是（   ） A．19 B．18 C．17 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系，三角形的三边关系，利用一元二次方程根与系数关系，可得到方程的两根之和，再运用三角形成立的条件判断即可． 【详解】解：利用根与系数的关系可知方程的两根之和为， 这个三角形的两边之和为， 第三边应小于， 答：这个三角形的第三边的长可能是． 故选：D． 2．（24-25九年级上·贵州遵义·阶段练习）已知矩形的两边长分别为的长是关于的方程的两个实数根． (1)当为何值时，四边形为正方形？并说明理由； (2)若的长为2，求矩形的对角线长． 【答案】(1)时，四边形为正方形，理由见详解 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系的应用； （1）利用正方形的判定方法得到时，矩形为正方形，则根据根的判别式的意义得到，然后解关于m的方程即可； （2）设，利用根与系数的关系得，通过解方程组得到，然后利用勾股定理计算矩形的对角线长． 【详解】（1）解：当m为1时，四边形为正方形． 理由如下： 当时，矩形为正方形， 此时，即， 解得， 即时，四边形为正方形； （2）设， 根据根与系数的关系得， 即，②， 得， 解得， 即， ∴矩形的对角线长为． 【题型九 与根的判别式或根与系数的关系有关的新定义问题】 例题：（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵有两个实数根， ∴， 解得：． 故选：A． 【变式训练】 1．（2025·河南焦作·二模）定义运算：，例如，则不解方程，判断方程的根的情况是 ． 【答案】有两个不等实数根 【分析】本题考查新定义，解一元二次方程，理解新定义的运算，得出方程是解题的关键． 先利用新定义得到，再把方程化为一般式，进而判断判别式的符号，求解即可． 【详解】解：∵， ， 即， ∵ ∴ ∴方程有两个不等实数根， 故答案为：有两个不等实数根． 2．（2025·甘肃定西·三模）对于任意实数a，b，定义新运算“”： ，例如：．若m，n是方程的两个实数根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，新定义下的实数运算；由得：，由根与系数的关系得；再把所求代数式通分，整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得：， ∵m，n是方程的两个实数根， 即m，n是方程的两个实数根， ∴； ∴； 故选：A． 一、单选题 1．（2025·河北邯郸·二模）定义一种运算：，如：．若，则所有满足条件的实数的和为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据定义可得，即，再利用判别式可证明原方程有两个不相等的实数根，则由根与系数的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴原方程有两个不相等的实数根， ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知是方程的两根，则的值为（   ） A． B．10 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式变形进行求解即可，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 3．（2025·河南商丘·三模）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．本题计算出，由此即可得出答案． 【详解】解：， ， 关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江·期中）关于的方程的两个实数根分别为，，且，则的值为（    ） A．2或3 B．3或 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数法关系，因式分解法解一元二次方程，完全平方公式的应用，先根据一元二次方程根与系数法关系得出，，再利用完全平方公式得出关于n的一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得出n的值． 【详解】解： 即， ∵，是的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：或， 故选：C 5．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．方程有两个实数根的条件是二次项系数不为零且判别式非负．据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程为二次方程， ∴． ∵方程有两个实数根（包括相等的情况）， ∴， ∴ ∴且． 故选：A． 二、填空题 6．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．根据定义可得且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 7．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）设，是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：． 8．（2025·吉林四平·三模）一元二次方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．据此即可求解． 求出的值，再判断符号即可． 【详解】解：一元二次方程，， ∴ ， ∴方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 9．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知关于x的一元二次方程的两个实数根相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元二次方程的定义．根据一元二次方程的的两个实数根相等，然后计算根据，解出m的值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根相等， ∴，且， 解得， 故答案为：． 10．（2025·四川眉山·中考真题）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）把代入，解关于k的方程即可； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则，由此可解. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 12．（24-25八年级下·山东济南·阶段练习）阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，则，．如：一元二次方程的两个实数根分别为，则；又如：一元二次方程的两个实数根分别为，则，． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题． (1)一元二次方程的两个根分别为，则___________，___________； (2)已知一元二次方程的两根分别为，求的值； (3)若实数满足，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查韦达定理，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意中的公式进行计算即可； （2）先求出，再根据题意求出与的值即可得到答案； （3）根据即可得到答案． 【详解】（1）解：一元二次方程的两个根分别为，则，， 故答案为：； （2）解：一元二次方程的两根分别为， ，， ， ； （3）解：实数满足，且， 则是的解， 故，， ， ， ． 13．（2025·四川南充·一模）关于的方程为，其中为实数． (1)判断方程根的情况，并说明理由． (2)当原方程的两根满足时，求的值． 【答案】(1)方程总有两个不相等的实数根．理由见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系，解一元二次方程，熟知一元二次方程根与系数的关系，根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系得到，再根据已知条件得到关于k的方程，解方程即可． 【详解】（1）方程总有两个不相等的实数根． 理由： 原方程为一元二次方程． 方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由根系关系，得． ， ． 配方，得． 整理，得 解得，或． 14．（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)若是“邻根方程”，求的值． (2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)或 (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键． （1）先解方程得出或，再由“邻根方程”的定义得出或，求解即可； （2）设的两根分别是，则，，，再由“邻根方程”的定义得出，求出，即可得解． 【详解】（1）解：解方程可得或， 由题意知，或， 解得或； （2）解：设的两根分别是， 则，，， 因为（，均为常数）为“邻根方程”， 所以， 所以， 所以， 又因为， 所以，满足的数量关系是． 15．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根． (2)当方程的一个根是1时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握利用根的判别式判断一元二次方程解的情况是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式判定即可； （2）将代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入， 得， 解得：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$