专题02 一元二次方程的解法（10大题型+过关训练）-2025-2026学年九年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（苏科版）

专题02 一元二次方程的解法 目录 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【题型二 配方法解一元二次方程】 2 【题型三 公式法解一元二次方程】 2 【题型四 因式分解法解一元二次方程】 3 【题型五 用换元法解一元二次方程】 3 【题型六 用适当的方法解一元二次方程】 4 【题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 5 【题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】 5 【题型九 与一元二次方程有关的新定义类问题】 5 【题型十 配方法的应用】 6 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 例题：（2025·广东清远·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 2．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）方程的根为 ． 【题型二 配方法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·四川眉山·期中）用配方法解方程，下列配方法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【题型三 公式法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）解方程：． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【题型四 因式分解法解一元二次方程】 例题：（25-26九年级上·全国·课后作业）若矩形的两邻边边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形的对角线长为（   ） A． B．4 C．5 D．10 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）关于的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）关于的方程，下列四种不同解法中，完全正确的是（　　） ①两边同时除以得. ②化简整理得，∵，，，，∴. ③整理得，配方得，∴，∴，∴，. ④移项得：，∴或，∴，. A．① B．② C．④ D．③④ 【题型五 用换元法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是 ． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【题型六 用适当的方法解一元二次方程】 例题：（24-25九年级上·河北沧州·期末）用适当方法解方程． (1)； (2)． 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）选择适当方法解下列方程： (1) (2) 2．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例题：（2025年江苏省扬州市中考真题数学试卷）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【变式训练】 1．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）关于的一元二次方程（为常数）的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】 例题：（2025年四川省德阳市中考数学试题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【变式训练】 1．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【题型九 与一元二次方程有关的新定义类问题】 例题：（2025·河北邯郸·一模）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．两根之和为定值 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有两个不相等的实数根 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 【题型十 配方法的应用】 例题：（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值是 ． 2．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　） A． B．9 C． D．3 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把方程配方，化成的形式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（24-25九年级下·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级下·四川眉山·期中）方程，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是1，则 ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x是实数，且满足，则的值为 ． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）方程的根是 ． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 10．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东泰安·期中）解方程： (1)（配方法解方程）； (2)． 12．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 14．（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是_______． (2)判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 15．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程的解法 目录 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 1 【题型二 配方法解一元二次方程】 2 【题型三 公式法解一元二次方程】 4 【题型四 因式分解法解一元二次方程】 6 【题型五 用换元法解一元二次方程】 7 【题型六 用适当的方法解一元二次方程】 10 【题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 12 【题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】 14 【题型九 与一元二次方程有关的新定义类问题】 15 【题型十 配方法的应用】 17 【题型一 直接开平方法解一元二次方程】 例题：（2025·广东清远·二模）方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．直接应用开平方法计算即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）已知等腰三角形的底边长为4，腰长恰好是关于的一元二次方程的一个根，则的周长为（   ） A．6 B．10 C．14 D．6或14 【答案】C 【分析】通过解一元二次方程求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长． 本题综合考查了一元二次方程-开平方法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想． 【详解】解：由一元二次方程，得， 解得，或； ∴等腰三角形的两腰长是5或1； ①当等腰三角形的腰长是1时，，构不成三角形，所以不合题意，舍去； ②当等腰三角形的腰长是5时，，，所以能构成三角形， 所以该等腰三角形的周长； 故选：C． 2．（24-25九年级上·北京朝阳·期中）方程的根为 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元二次方程，移项，然后利用直接开平方法求解即可． 【详解】 解得． 故答案为：． 【题型二 配方法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·浙江宁波·期中）用配方法解方程时，原方程应变形为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 将方程通过配方法变形，转化为完全平方形式． 【详解】解：由原方程移项，得， 方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，得， 即， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25九年级下·四川眉山·期中）用配方法解方程，下列配方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法，先移项，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，进行配方即可．熟练掌握一除，二移，三配，四变形的步骤，是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴； 故选C 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． （1）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程； （2）先将二次项系数化为1，然后按照配方法解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解： 整理可得 ，即， ， ． （2）解：， 整理可得 ， ， ， ， ． 【题型三 公式法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·山东淄博·期中）若可以表示某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，由求根公式得出，，，即可得解，熟练掌握求根公式是解此题的关键． 【详解】解：∵可以表示某个一元二次方程的根， ∴，，， ∴这个一元二次方程为， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程；先求出，再由求根公式，即可求解；选用恰当的方法解方程是解题的关键． 【详解】解：，，， ， ， ，． 2．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）方程的两根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．用公式法，解一元二次方程即可． 【详解】解：方程中，，， ， ∴． 故选：D． 【题型四 因式分解法解一元二次方程】 例题：（25-26九年级上·全国·课后作业）若矩形的两邻边边长分别为一元二次方程的两个实数根，则矩形的对角线长为（   ） A． B．4 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法及矩形的性质。首先通过解方程求得方程的两个根，即可得出矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线的长. 【详解】解：方程， 即， 解得：=3，=4， ∴矩形的两邻边边长分别为3和4， 由勾股定理得 矩形ABCD的对角线长是：=5． 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·山东淄博·期中）关于的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用因式分解法求出方程的解，即可得出结果． 【详解】解：， ， ∴； ∴方程有两个不相等的实数根； 故选D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）关于的方程，下列四种不同解法中，完全正确的是（　　） ①两边同时除以得. ②化简整理得，∵，，，，∴. ③整理得，配方得，∴，∴，∴，. ④移项得：，∴或，∴，. A．① B．② C．④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程-因式分解法，直接开方法，公式法，以及配方法，根据解一元二次方程的方法逐一判断即可． 【详解】解：A．①不符合解一元二次方程的方法，故①错误； B．不是，故②错误； C．配方时，等式两边应该加4，故③错误； D．， ， ， ∴或， ∴，．故④正确． 故选：C． 【题型五 用换元法解一元二次方程】 例题：（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）若关于x的一元二次方程的解是，，则的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程关于x的一元二次方程可以看做是关于的一元二次方程，根据题意可得该方程的解满足或，据此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的解是，， ∴关于x的一元二次方程，即的解满足或， ∴或， 故答案为：或． 2．（25-26九年级上·全国·课后作业）【例】解方程． 解：设， 则原方程可化为， 解得． 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，原方程的解为． 上述解法称为“整体换元法”． 请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 【题型六 用适当的方法解一元二次方程】 例题：（24-25九年级上·河北沧州·期末）用适当方法解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用因式分解法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ （2）解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 【变式训练】 1．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）选择适当方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，平方差公式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）首先利用平方差公式展开并且移项，合并后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ，， 解得，； （2）解： 或 解得，． 2．（22-23九年级下·四川广安·阶段练习）用适当方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据一元二次方程的特点灵活选择解法是解题的关键． （1）方程两边同时加上4，再利用配方法解一元二次方程即可； （2）方程两边同时除以7，再利用直接开平方法解一元二次方程即可； （3）方程移项得，方程左边提取公因式进行因式分解即可求解方程． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ，； （2）， ， ， ，； （3）， ， ， ， 或， ，． 【题型七 根据判别式判断一元二次方程根的情况】 例题：（2025年江苏省扬州市中考真题数学试卷）关于一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 通过计算一元二次方程的判别式，即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于方程， 其判别式为：， 由于，说明该方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 【变式训练】 1．（2025·安徽·中考真题）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题思路为利用一元二次方程根的判别式，分别计算四个选项方程的值，根据与的大小关系判断根的情况 ．本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式及根据判断根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项B： ，，， ，有两个相等的实数根，不符合题意； 选项C： ，，， ，无实数根，不符合题意； 选项D： ，，， ，有两个不相等的实数根，符合题意； 故选：D． 2．（2025·河南·模拟预测）关于的一元二次方程（为常数）的根的情况为（    ） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：时，有两个不相等的实数根；时，有两个相等的实数根；时，没有实数根．据此即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选C． 【题型八 根据一元二次方程根的情况求参数】 例题：（2025年四川省德阳市中考数学试题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．当判别式时，方程有两个相等的实数根．代入方程系数计算判别式并解方程即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·甘肃·中考真题）关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据方程有两个实数根得到，然后解关于的不等式即可． 【详解】解：对于方程， 其根的判别式为：， ∵方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， 故选：B． 2．（2025·山东·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式，即可求解本题． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； 故答案为：． 【题型九 与一元二次方程有关的新定义类问题】 例题：（2025·河北邯郸·一模）对于任意4个实数a，b，c，d定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．两根之和为定值 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据新定义得到，再根据一元二次方程根的判别式即可得出答案，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·浙江·期中）定义新运算：，例如：．若方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．也考查了实数运算和理解能力．利用新运算的运算法则得到，再根据判别式的意义得到，然后解关于的方程即可． 【详解】解：根据运算法则，由得：， ， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为： ． 2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）新运算：对于实数a，b，定义运算“※”： (1)请解方程； (2)若关于x的方程没有实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，实数的运算： （1）根据定义的新运算可得：，从而可得，然后利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （2）根据题意，方程整理得：，即，利用一元二次方程判别式建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，方程整理得：，则， 解得：； （2）解：根据题意，方程整理得：，即， ∵方程没有实数根， ∴   解之得：， ∴实数m的取值范围是． 【题型十 配方法的应用】 例题：（2025·浙江·模拟预测）在实数范围内，代数式的值不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查配方的应用，熟练掌握配方法是解题的关键．利用配方法得，逐个判断选项即可． 【详解】解：∵， ∴选项D不可能， 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握配方法，理解非负数的性质是解答此题的关键．首先利用配方法将代数式转化为，然后根据非负数的性质可得出答案． 【详解】解：， ∵ ∴， ∴的最小值为， 即代数式的最小值为． 故答案为：． 2．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）【阅读材料】分解因式：． 解：原式 ． 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点． (1)用“配方法”分解因式． (2)用“配方法”求代数式的最小值． (3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长； 【答案】(1) (2)4 (3)等腰三角形的底边长为1 【分析】（1）根据“配方法”，将变形为，后用完全平方公式，平方差公式分解因式即可． （2）用“配方法”构造完全平方式，利用非负性求代数式的最小值即可． （3）先将转化为，求得a、b，后分类求等腰三角形的底边长． 【详解】（1）解： ． （2）解： 的最小值是4． （3）∵， ∴， ∴，， ∴，， ①当三边为2，2，1时，能构成三角形， ∴底边长为1； ②当三边为2，1，1时，不能构成三角形， 综上可知：等腰三角形的底边长为1． 【点睛】本题考查了配方法分解因式，求代数式的最值，实数的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系定理应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于x的一元二次方程可通过配方法转化为的形式，则m的值为（ 　） A． B．9 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据配方法解一元二次方程的步骤即可求解． 【详解】解： ， 方程可通过配方法转化为的形式， ， 解得：． 故选：C． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）把方程配方，化成的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法，先把移项，得，配成完全平方公式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴． 故选：B． 3．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期中）已知某三角形的两边长恰是一元二次方程的两根，则该三角形第三边长可能是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程和三角形的三边关系定理，先利用因式分解法求出方程的解，设第三边为x，根据三角形的三边关系定理得出，再逐个判断即可． 【详解】解： ， 解得：， 则三角形的两边长分别为：2，8， 设第三边为x，则由三角形的三边关系定理得：， 即， 只有8符合题意， 故选：C． 4．（24-25九年级下·江西九江·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选C． 5．（24-25九年级下·四川眉山·期中）方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的计算．根据方程确定系数a、b、c的值，代入判别式公式直接计算即可． 【详解】解：方程 中，，，． ∴． 故选C． 二、填空题 6．（24-25八年级下·浙江温州·期中）若关于x的一元二次方程有一个根是1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．将方程的根代入方程，得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：一元二次方程有一个根是1， ， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知x是实数，且满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程，先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 则原方程可变形为： ， ， 或 解得，， 则，， 当时，，故该方程无实数根， 当时，，故该方程有两根实数根， 所以， 故答案为：3． 8．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）方程的根是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 先将方程整理成一般形式，然后利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 解得， 故答案为：，． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，将配方得出，从而可得，，代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵把一元二次方程化为， ∴，， ∴， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）定义：如果一元二次方程满足．那么我们称这个方程为“湘”方程．已知方程是“湘”方程．且有两个相等的实数根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，解一元二次方程，根的判别式；由新定义得是的根，可得方程是“湘”方程，由根的判别式得，即可求解；理解新定义，能熟练解方程并能利用根的判别式求解是解题的关键． 【详解】解：， ， 是的根， 方程是“湘”方程， ， ， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 解得：， ， ； 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级下·山东泰安·期中）解方程： (1)（配方法解方程）； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：， 即， 开平方得：， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 分解因式得：， ，， 解得：，. 12．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得：，； （2）解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得：，． 13．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）【感知】把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． ①用配方法分解因式： 解：原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论a取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 【应用】根据上述材料，解答下列问题： （1）填空：________=（x- ）2； （2）将变形为的形式，并求出的最小值； 【探究】若，（为任意实数）试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】【应用】（1）36，6；（2），最小值【探究】，见解析 【分析】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． （1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． 探究：作差后配方比较大小． 【详解】应用：（1）∵ 故答案为：36，6． （2） ∵， ∴当时，原式有最小值． 【探究】因为，， ； 因为， 所以， 所以， 即． 14．（24-25八年级下·安徽六安·期中）对于关于的代数式，若存在实数，使得当时代数式的值也等于，则称为这个代数式的“不动值”．例如：对于关于的代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的“不动值”． (1)关于的代数式的不动值是_______． (2)判断关于代数式是否有不动值，若有请求出，没有则说明理由． (3)已知关于的代数式． ①若此代数式仅有一个不动值，求的值； ②若此代数式的不动值至少有一个是整数，求出正整数的值． 【答案】(1)4或 (2)没有不动值，理由见解析 (3)①；②1或3或5 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）根据可得只需要判断出方程是否有解即可； （3）①根据题意可得关于的一元二次方程有两个相等的实数根，据此利用判别式求解即可； ②根据题意可得方程，解方程可得或，再根据方程的解至少有一个为整数即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，则， ∴， ∴或， 解得或， ∴关于的代数式的不动值是4或； （2）解：关于代数式没有不动值，理由如下： 当时，则， ∴， ∴原方程无解， ∴不成立， ∴关于代数式没有不动值； （3）解：①∵关于的代数式仅有一个不动值， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当时，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵原代数式的不动值至少有一个是整数， ∴或是整数， ∴a的值可以是1或3或5． 15．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是一元二次方程的一个根．求方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解与解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行证明即可； （2）把代入方程，求出m的值，进而解方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ， ∴， ∴，即， ∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵是一元二次方程一个根， ∴， 解得， 此时，原一元二次方程为， 解得，， 所以方程的另一个根为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$