1.2一元二次方程的解法（第2课时配方法）（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 1.2.2 一元二次方程的 解法——配方法 第一章 一元二次方程 章节导读 学 习 目 标 1 2 掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤 3 运用配方法解决比较大小、求最值、求参等问题 新知探究 思 考 1. 先填空，再观察。 ( 1 ) x2 + 2x + ____ = ( x + 1 )2； ( 2 ) x2 - 4x + ____ = ( x - 2 )2； ( 3 ) x2 + 6x + ____ = ( x + ____ )2； ( 4 ) x2 - 2px + ____ = ( x - ____ )2 ( 5 ) x2 + hx + ____ = ( x + ____ )2。 12 22 32 3 p2 p 新知探究 思 考 2. 解方程：x2 + 12x + 27 = 0。 无法直接开平方，怎么办？ 新知探究 思 考 3. 解方程：( x + 6 )2 - 9 = 0，同时思考该方程与 x2 + 12x + 27 = 0 有何关联。 解：( x + 6 )2 - 9 = 0 的解为：x1 = -3，x2 = -9； 若用完全平方公式展开 ( x + 6 )2， 则 ( x + 6 )2 - 9 = x2 + 12x + 36 - 9 = x2 + 12x + 27， ∴( x + 6 )2 - 9 = 0 的解就是 x2 + 12x + 27 = 0 的解。 新知探究 x2 + 2·x·6 + 62 = -27 + 62 由此可知：要解方程 x2 + 12x + 27 = 0，可以把它化成 ( x + h )2 = k 的形式，即 ( x + 6 )2 = 9。 x2 + 12x + 27 = 0 x2 + 12x = -27 为了方便配完全平方式，可以先将常数项移项到等式右边 x2 + 2·x·6 = -27 在方程的两边都加上一次项系数的一半的平方，即 ( 12 ÷ 2 )2 = 62 ( x + 6 )2 = 9 等号左边配成一个完全平方式 新知探究 配方法的定义： 把一个一元二次方程变形为 ( x + h )2 = k 的形式， 当 k ≥ 0 时，就可以用直接开平方法求出方程的解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 知识要点 典例分析 典例1 解方程：x2 - 18x + 1 = 0。 解：① 移项：x2 - 18x = -1， ② 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： x2 - 2·x·9 + 92 = -1 + 92， ③ 配方：( x - 9 )2 = 80， ④ 直接开方：x - 9 = ±4， ∴ x1 = 4 + 9，x2 = -4 + 9。 方法技巧 解题关键： 严格按照步骤计算。 典例分析 典例2 解方程：x2 - 7x + 6 = 0。 解：① 移项：x2 - 7x = -6， ② 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： x2 - 2·x· + = -6 + ， ③ 配方：( x - )2 = ， ④ 直接开方：x - = ±，∴ x1 = 6，x2 = 1。 典例分析 典例3 解方程：x2 + 14x + 49 = 0。 解：① 配方：( x + 7 )2 = 0， ② 直接开方：x + 7 = ±0， ∴ x1 = x2 = -7。 方法技巧 解题关键： 直接利用完全平方公式配方。 典例分析 典例4 解方程：x2 + 5x + 7 = 0。 解：① 移项：x2 + 5x = -7， ② 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： x2 + 2·x· + = -7 + ， ③ 配方：( x + )2 = < 0， ④ 方程无实数解。 方法技巧 解题关键： 若配方后等号右边 < 0， 则方程无实数解。 新知探究 配方法的一般步骤 ( 一元二次方程的二次项系数为1 )： ① 把原方程化为 x2 + bx + c = 0 的形式； ② 移项：x2 + bx = -c； ③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： x2 + 2·x· + = -c + ； ④ 配方： = ； ⑤ 若等号右边 ≥ 0，则直接开平方；若等号右边 < 0，则方程无实数解。 知识要点 新知探究 探究活动 用配方法解一元二次方程 x2 + 2x - 24 = 0，配方的过程可以用拼图直观地表示。 解：把方程 x2 + 2x - 24 = 0 变形为 x2 + 2x = 24，即 x ( x + 2 ) = 24； 配方的过程，可以看成将一个长是 ( x + 2 )，宽是 x，面积是24的矩形割补成一个正方形。 新知探究 探究活动 一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程 配方的过程 24 x + 2 x x ( x + 2 ) = 24 x2 + 2x = 24 x2 + 2x + 12 = 24 + 12 25 x + 1 x + 1 ( x + 1 )2 = 25 x x 1 1 x2 x x x x 1 1 x2 x x x x 1 1 x2 x x 1 割 补 成 一 个 正 方 形 配方 x + 1 = ±5 ∴ x1 = 4，x2 = -6 典例分析 典例5 解方程：2x2 - x - 3 = 0。 当一元二次方程的二次项系数不为1时，怎么办？ 分析： 把二次项系数化为1，即方程两边同时除以二次项系数。 典例分析 解：① 二次项系数化为1：x2 - x - = 0， ② 移项：x2 - x = ， ③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： x2 - 2·x· + = + ， ④ 配方：( x - )2 = ， ⑤ 直接开方：x - = ±，∴ x1 = ，x2 = -1。 典例5 解方程：2x2 - x - 3 = 0。 典例分析 典例6 解方程：2x2 + 2x + = 0。 解：① 二次项系数化为1：x2 + x + = 0， ② 配方：( x + )2 = 0， ③ 直接开方：x + = ±0，∴ x1 = x2 = 。 典例分析 典例7 解方程：2x2 - x + 1 = 0。 解：① 二次项系数化为1：x2 - x + = 0， ② 移项：x2 - x = ， ③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方： x2 - 2·x· + = + ， ④ 配方：( x - )2 = < 0， ⑤ 方程无实数解。 新知探究 配方法的一般步骤 ( 一元二次方程的二次项系数不为1 )： ① 把原方程化为 ax2 + bx + c = 0 的形式； ② 二次项系数化为1：x2 + x + c = 0； ③ 移项：x2 + x = ； ④ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方：x2 + 2·x· + = + ； ⑤ 配方： = ； ⑥ 若等号右边 ≥ 0，则直接开平方；若等号右边 < 0，则方程无实数解。 知识要点 题型探究 【例1】解方程：x ( x - 6 ) - 7 = 0。 配方法解方程-二次项系数为1 题型一 解：x2- 6x - 7 = 0， x2 - 6x = 7， x2 - 2·x·3 + 32 = 7 + 32， ( x - 3 )2 = 16， x - 3 = ±4， ∴ x1=7，x2=-1。 题型探究 【例2】解方程： ( 1 ) 2x2 + 4x - 5 = 0； ( 2 ) 4x2 + 12x + 9 = 0； 配方法解方程-二次项系数不为1 题型二 解：( 1 ) x2 + 2x - = 0， x2 + 2x = ， x2 + 2·x·1 + 12 = + 12， ( x + 1 )2 = ， x + 1 = ±，∴ x1 = ，x2 = ； ( 2 ) x2 + 3x + = 0， ( x + )2 = 0， x + = ±0， ∴ x1 = x2 = ； 题型探究 【例2】解方程： ( 3 ) 3x2 - 8x + 7 = 0。 配方法解方程-二次项系数不为1 题型二 解：x2 - x + = 0， x2 - x = ， x2 - 2·x· + = + ， ( x - )2 = < 0， ∴ 方程无实数解。 题型探究 【例3】( 1 ) 已知 m = 2b + 2022，n = b2 + 2025， 则 m 和 n 的大小关系中正确的是（　　） A．m > n B．m ≥ n C．m < n D．m ≤ n 配方法的应用-比较大小 题型三 解：( 1 ) ∵ m = 2b + 2022，n = b2 + 2025， ∴ n - m = b2 - 2b + 3 = b2 - 2b + 1 + 2 = ( b -1 )2 + 2 > 0， ∴ n > m。 C 解题方法与策略：作差法 ① 作差 ② 配完全平方式，使得差变形为“a ( )2 + c”的形式 ③根据完全平方式的非负性判断差的正负 题型探究 【例3】( 2 ) 若A = x2 + 2x + 2y，B = -y2 + 4x - 3，则A、B的大小关系为（　　） A．A > B B．A < B C．A = B D．无法确定 配方法的应用-比较大小 题型三 解：∵ A - B = x2 + 2x + 2y + y2 - 4x + 3 = x2 + 2x + 1 + ( y2 + 2y + 1 ) + 1 = ( x + 1 )2 + ( y + 1 )2 + 1 > 0， ∴ A > B。 A 题型探究 【例4】( 1 ) 求代数式 x2 - 10x + 5 的最小值。 配方法的应用-求最值 题型四 解：x2 - 10x + 5 = x2 - 10x + 25 - 20 = ( x - 5 )2 - 20， 当 ( x - 5 )2 = 0，即 x = 5 时， 代数式取最小值为-20。 解题方法与策略： ① 配完全平方式，使得代数式变形为“a ( )2 + c”的形式 ② 根据完全平方式的非负性， 当a ( )2 = 0时，代数式取最值c 题型探究 【例4】( 2 ) 求代数式 -2x2 + 10x + 1 的最大值。 配方法的应用-求最值 题型四 解：-2x2 + 10x + 1 = -2 ( x2 - 5x ) + 1 = -2 ( x2 - 5x + - ) + 1 = -2 ( x2 - 5x + ) + + 1 = -2 ( x - )2 + ， 当 -2 ( x - )2 = 0，即 x = 时，代数式取最大值为。 题型探究 【例5】已知 x2 + y2 - 4x - 6y + 13 = 0， 求 ( x - y )2025 的值。 配方法的应用-“0 + 0 = 0”模型 题型五 解：∵ x2 + y2 - 4x - 6y + 13 = 0， ∴ x2 - 4x + 4 + ( y2 - 6y + 9 ) = 0， ∴ ( x - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 0， ∴ x = 2，y = 3， ∴ ( x - y )2025 = ( 2 - 3 )2025 = -1。 解题方法与策略： ① 配完全平方式，使得等式变形为“a ( )2 + b ( )2 = 0”的形式 ②根据完全平方式的非负性可得：a ( )2 = b ( )2 = 0 课堂小结 配方法的定义： 把一个一元二次方程变形为 ( x + h )2 = k 的形式， 当 k ≥ 0 时，就可以用直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 课堂小结 配方法的一般步骤 ( 一元二次方程的二次项系数不为1 )： ① 把原方程化为 ax2 + bx + c = 0 的形式； ② 二次项系数化为1：x2 + x + c = 0； ③ 移项：x2 + x = ； ④ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方：x2 + 2·x· + = + ； ⑤ 配方： = ； ⑥ 若等号右边 ≥ 0，则直接开平方；若等号右边 < 0，则方程无实数解。 感谢聆听! $$