1.1直线的斜率与倾斜角（教学课件）数学苏教版2019选择性必修第一册

1.1 直线的斜率与倾斜角 第一章 直线与方程 苏教版2019选择性必修第一册•高二 高效备课·轻松学习 高 中 数 学 学 习 目 标 1 2 3 了解直线的斜率和倾斜角的概念 理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性. 了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率． y x o x y o 问题：过一点有多少条直线？确定一条直线需要几个点？ （1）过一个点有 直线； （2） 确定一条直线。 无数条 两点 知识回顾 新知探究 我们知道，过一点可以画出无数条直线．过点P的两条直线PA，PB的区别在于它们的倾斜程度不同． 如何刻画直线的倾斜程度呢？ 新知探究 在实际生活中，楼梯或路面的倾斜程度可以用坡度来刻画 可以看出，如果楼梯台阶的高度（级高）与宽度（级宽）的比值越 大，那么坡度就越大，楼梯就越陡． 对于直线l上的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 如果x1≠x2，那么由相似三角形的知识可知，________是一个定值，我 们将其称为直线l的斜率. (x1≠x2). 在平面直角坐标系中，我们可以采用类似的方法来刻画直线的倾斜程度． 概念归纳 6 x y o 问题1：如果，则直线PQ的斜率怎样？ 斜率不存在，这时直线PQ⊥x轴。 问题2：对于一条与x轴不垂直的定直线而言，直线的斜率是定值吗？ 新知探究 注意点： (1)当直线与x轴垂直时，斜率不存在，不能用斜率公式. (2)当直线与y轴垂直时，斜率公式依然成立，此时k＝0. (3)直线AB的斜率与A，B两点的顺序无关. 它的斜率是一个定值，由该直线上任意两点确定的直线的斜率总是相等的． 典例分析 归纳总结 由例题中图可以看出： （１）当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜； （２）当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜； （３）当直线的斜率为零时，直线与x轴平行或重合． 例1. 如图所示，直线l1，l2，l3都经过点P(3,2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，－2)，Q3(－3,2)． (1)试计算直线l1，l2，l3的斜率； (2)若还存点Q4(a,3)，试求直线PQ4的斜率． 解　(1)由已知得，直线l1，l2，l3的斜率都存在． 设它们的斜率分别为k1，k2，k3. 则由斜率公式得 (2)当a＝3时，直线PQ4与x轴垂直，其斜率不存在； 当a≠3时，其斜率 教材P6 例题 若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”. 1.如图直线l1，l2，l3都经过点P(2，3)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1)，Q2(4，1)，Q3(5，3)，计算直线l1，l2，l3的斜率。 x y o l1 l2 l3 P(2，3) Q1(-2，-1) Q2(4，1) Q3(5，3) k1=1 k2=-1 k3=0 变式训练 2.已知直线l经过点A(m，2)，B(1，m2+2)，试求直线l的斜率。 解：当m≠1时， 当m＝1时，直线AB垂直于x轴，所以斜率不存在。 变式训练 1.分别求经过下列两点的直线的斜率： （1）（2，3），（4，5）； （2）（-2，3），（2，1）； （3）（-3，-1），（2，-1）； （4）（1，0），（0，-2）. 教材P8 练习1 例2.经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为 解 (1)根据斜率 斜率为表示直线上的任一点沿z轴方向向右平移4个单位长度,再沿y轴方向向上平移3个单位长度后仍在此直线上. 如果我们从点(3，2)开始,向右平移4个单位长度,再向上平移3个单位长度,就得到点(7，5) 因此,通过点(7，5)和点(3,2)画直线,即为所求(图1） 典例分析 方法技巧 解题的关键： 要画出直线,只需再确定直线上另一个点的位置 教材P6 例题 例2、经过点A(3，2)画直线，使直线的斜率分别为 典例分析 方法技巧 解题的关键： 要画出直线,只需再确定直线上另一个点的位置 解：(2)由于,因此,将点(3,2)先向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到点(8,-2).通过点(8,-2)和点(3，2)画直线,即为所求(图 (2)). 2.根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线： （1）P（1，2），k = 3； （2）P（2，4），k= （3）P（-1，3），k= 0； （4）P（-2，0），斜率不存在. （1）P（1，2），k=3；可得直线方程为：y-2=3（x-1）， 教材P8 练习4 2.根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线： （1）P（1，2），k = 3； （2）P（2，4），k= （3）P（-1，3），k= 0； （4）P（-2，0），斜率不存在. 教材P8 练习4 （3）P（-1，3），k= 0；可得直线方程为：y = 3. （4）P（-2，0），斜率不存在.可得直线方程为：x=-2. 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转过的最小正角称为直线l的倾斜角。 x y o 注意： (1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。 概括： 倾斜角和斜率都是刻画直线倾斜程度的量，斜率侧重于数量关系，而倾斜角则更加直观形象。 倾斜角 新知探究 问题4：如果一条直线绕着一点旋转，则它的倾斜角有什么变化？取值范围是什么？ x y o 规定： 当直线l与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0o。 新知探究 注意：倾斜角的范围包括0，但不包括π 当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角，此时， ． 当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角，此时， ． 因此，当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足） ． 概念归纳 3.分别求经过下列两点的直线的斜率和倾斜角： （1）（-1，2），（-2，1）；（2）（-1，3），； （3）（3，），（-2，）；（4）（a+1，a-1），（a，a）. 教材P8 练习2 4.设过点A的直线的斜率为k，分别根据下列条件写出直线上另一点B的坐标（答案不唯一）： （1）k =4，A（1，2）； （2）k=-2，A（-2，-3）； （3）k =.A（2，-4）； （4）k =，A（-3，2）. 教材P8 练习3 教材P9 练习5 5，分别判断下列三点是否在同一直线上： （1）（0，2），（2，5），（3，7）； （2）（-1，4），（2，1），（-2，5）； （3）（1，2），（1，3），（1，-1）. ， 方法技巧 直线的斜率 题型一 题型探究 例1.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率. (1)A(2,3)，B(4,5)； (2)C(－2,3)，D(2，－1)； (3)P(－3,1)，Q(－3,10)； 不存在.因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在. (4)E(a,2)，F(3,6). 当a＝3时，直线EF的斜率不存在； 若给出两个点的横坐标中含有参数，则要对参数进行分类讨论，分类的依据便是“两个横坐标是否相等”. 变式训练 1.如果直线l先沿x轴负方向平移2个单位长度，再沿y轴正方向平移2个单位长度后，又回到原来的位置，那么直线l的斜率是 A.－2 　　　　B.－1 　　　　C.1 　　　　D.2 √ 设A(a，b)是直线l上任意一点， 则平移后得到点A′(a－2，b＋2)， 题型探究 直线的倾斜角 题型二 方法技巧 求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论. 例2.(多选)设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角可能为 A.α＋45° B.α－135° C.135°－α D.α－45° √ 根据题意，画出图形，如图所示. 通过图象可知， 当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°； 当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°. √ 24 变式训练 2.(多选)已知直线斜率的绝对值为 ，则直线的倾斜角可以为 A.30° B.60° C.120° D.150° √ 故直线的倾斜角为60°或120°. √ 题型探究 倾斜角和斜率的应用 题型三 方法技巧 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系. (2)涉及直线与线段有交点问题常通过数形结合利用公式求解. 例3　已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围； 如图，由题意可知 要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞). (2)求直线l的倾斜角α的取值范围. 由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间， 又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， 所以α的取值范围是45°≤α≤135°. 26 变式训练 因为点M在函数x＋2y＝6的图象上，且1≤x≤3， 2、直线斜率的定义 3、直线倾斜角和斜率的取值范围 1、直线倾斜角的定义 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把 x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线l重合时所转过的最小正角称为直线l的倾斜角。 注意：(1)直线向上方向； (2)x轴的正方向。 课堂小结 4、直线的倾斜方向和直线斜率之间的关系 直线从左下方向右上方倾斜 直线从左上方向右下方倾斜 直线与x轴平行或重合 直线垂直于x轴 课堂小结 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 高 中 数 学    它的斜率可以看作k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝\f(纵坐标的增量,横坐标的增量)＝\f((y,(x)； 存在.直线AB的斜率kAB＝＝1. 存在.直线CD的斜率kCD＝＝－1. 于是直线l的斜率k＝kAA′＝＝－1. 由题意得直线的斜率为或－，  的几何意义是过M(x，y)，N(2,1)两点的直线的斜率. 3.已知实数x，y满足方程x＋2y＝6，当1≤x≤3时，求的取值范围. 所以可设该线段为AB，且A，B， 又kNA＝－，kNB＝， 所以的取值范围是∪. $$