第09讲 正多边形与圆 （知识清单+4大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（苏科版）

第09讲 正多边形与圆 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 正多边形和圆的综合 题型二 求正多边形的中心角 题型三 已知正多边形的中心角求边数 题型四 尺规作图——正多边形 知识清单 知识点1．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型练习 【题型一】正多边形和圆的综合 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，画出图形，如图，连接、，作于，利用半径求得即可求得面积．解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形． 【详解】解：如图： 连接、，作于， 根据题意，， 为等边三角形， ， ， ， 根据勾股定理可得， 等边三角形的面积为， 正六边形由6个等边三角形组成， 正六边形的面积为． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】本题主要考查了正多边形的外接圆和正多边形圆心角，圆周角定理等知识点，解决此题的关键是要画出正多边形的外接圆． 根据正多边的性质画出外接圆，根据圆心角定义求出，根据圆周角定理可以求出答案． 【详解】解：如图，作正边形的外接圆， 根据正多边形的圆心角定义可知， ∴， 故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为 ． 【答案】 【知识点】正多边形和圆的综合 【分析】此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法．根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为，分别求出正三角形，正方形，正六边形的面积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为， 如图，在正中，边长为，于点D， ∴， ∴， ∴正的面积为； ∵正方形的边长为， ∴正方形的面积为； 如图，在正六边形中，边长为，点O为中心，连接，于点G， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为； ∴． 故答案为： 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 【答案】；正六边形的面积为 【知识点】正多边形和圆的综合、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查的是正多边形与圆、三角函数、三角形面积的计算，连接，根据正六边形的性质推出，，再利用直角三角形的性质求得，由三角函数求出边心距，即可求出正六边形的周长和面积． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，作于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴正六边形的面积． 【题型二】求正多边形的中心角 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）一个正边形绕其中心旋转后能与自身重合，则可取的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】求旋转对称图形的旋转角度、求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形性质及旋转性质，根据题意，分别计算等于各选项值时的中心角，逐项判断即可得到答案，熟记正多边形的性质及旋转后对称是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项正确，符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 当时，， ∴此时正多边形绕其中心旋转后能与自身重合，故项错误，不符合题意； 故选：． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【知识点】求正多边形的中心角、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题主要考查了求正多边形的中心角，已知正多边形的中心角求边数等知识点，熟练掌握正边形的每个中心角都等于是解题的关键． 连接，由正六边形与正方形可得，，进而可得，再由“正边形的每个中心角都等于”即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 正六边形与正方形， ，， ， 是正n边形的一个中心角， ， 故选：． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）正五边形的一个中心角等于 度． 【答案】 【知识点】求正多边形的中心角 【分析】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为：，则代入求解即可． 【详解】解：正十边形的中心角为：． 故答案为： 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【知识点】正多边形和圆的综合、求正多边形的中心角 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 【题型三】已知正多边形的中心角求边数 【例3】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正多边形和圆的综合、已知正多边形的中心角求边数、圆周角定理 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，连接，，根据圆周角定理得到，即可得到结论，熟练掌握圆周角定理的应用及正确理解正多边形与圆的关系是解题的关键． 【详解】解：连接，， ∵、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵， ∴， ∴这个正多边形的边数， 故选：． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【知识点】已知正多边形的中心角求边数、求正多边形的中心角 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 2．（2024·江苏泰州·一模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条． 【答案】 【知识点】求对称轴条数、已知正多边形的中心角求边数 【分析】本题考查了正多边形与圆，对称轴数量问题，先求得正多边形的边数，进而根据对称性求得对称轴数量，即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为，∵中心角的度数=， ，， ∴这个正多边形为正五边形，每个顶点与其对边中点的连线所在的直线为对称轴，共5条对称轴， 故答案为：． 3． 【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 【答案】【类比探究】四边形的面积=．【拓展应用】6 【知识点】已知正多边形的中心角求边数、旋转综合题(几何变换) 【分析】类比探究：通过证明可得，则． 拓展应用：通过证明可得，则． 【详解】解：类比探究：如图2，∵为正方形的中心角， ∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=45°， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON， ∴． 拓展应用：如图3，∵为正六边形EF的中心角， ∴OB=OC，∠OBM=∠OCN=60°， ∵绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点 ∴∠BOM=∠CON， ∴△BOM≌△CON， ∴． ∵四边形面积为， ∴正六边形的面积为6． 【点睛】本题考查了旋转，正多边形的性质，正多边形的中心角，三角形的全等，图形的割补，熟练掌握旋转的性质，正多边形的性质是解题的关键． 【题型四】尺规作图——正多边形 【例4】 如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【答案】D 【知识点】尺规作图——正多边形、正多边形和圆的综合 【分析】甲的做法可根据对角线垂直平分可得到菱形，从而可得到多个等边三角形和各边和各角相等，乙的做法根据等边三角的内角是60°，求出其他等边三角形，从而得出各边和各角相等 【详解】甲： ∵BF是中垂线   ∴四边形OCDE是菱形    ∴△OCD, △OED都是等边三角形， 同理可得△OAB, △OAF也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 乙： ∵AB=AO=BO=AF=OF ∴△OAB, △OAF都是等边三角形， 同理可得△OCD, △OED也是等边三角形    ∴∠BOC=∠EOF=60° ∴△OBC, △OEF也是等边三角形 ∴内接六边形各边相等，各角相等都是120° ∴圆内接六边形ABCDEF是正六边形 故选D 【点睛】本题关键是想办法求出多个等边三角形，从而得到六条边，六个角也相等 【举一反三】 1．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 【答案】12 【知识点】尺规作图——正多边形 【分析】如图，连接OA、OC、OB，根据角的转换求出中心角即可解决问题． 【详解】如图，连接OA、OC、OB． ∵若AC、AB分别是内接正三角形、正方形的一边， ∴，， ∴， 由题意得：， ∴12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 2．仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法) (1)如图①，画出的一个内接矩形. (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形. 【答案】（1）答案见详解；（2）答案见详解. 【知识点】尺规作图——正多边形 【分析】（1）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，画出圆的两条直径，即可得到⊙O的一个内接矩形； 【详解】（2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与AB互相垂直，即可得到⊙O的内接正方形． 解：（1）如图所示，过O作⊙O的直径AC与BD，连接AB，BC，CD，DA，则四边形ABCD即为所求； （2）如图所示，延长AC，BD交于点E，连接AD，BC交于点F，连接EF并延长交⊙O于G，H，连接AH，HB，BG，GA，则四边形AHBG即为所求． 【点睛】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明、尺规作图——正多边形、画圆(尺规作图) 【分析】（1）结合菱形的判定，以点D为圆心，的长为半径画弧，交为点E，再分别以点E、点A为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点F，连接、、即可； （2）作线段的垂直平分线，交于点O，以点O为圆心，的长为半径画圆，即可得，以点O为圆心，的长为半径画弧，在的上方交于点E，再作，作直线，分别交于点、，即可求解． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求， （2）解：如图，点、即为所求， 【点睛】本题考查作图−复杂作图、菱形的判定、矩形的性质、垂直平分线的性质，理解题意、灵活运用相关知识是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是(        ). A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2 【答案】C 【分析】由四边形ABCD是圆内接四边形，根据圆的内接四边形的对角互补，可得∠A+∠C=∠B+∠D=180°，继而求得答案． 【详解】∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°. ∴圆内接四边形ABCD的四个内角之比可能是：4:3:1:2. 故选C. 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的性质. 2．如图是一个正八边形，则它（　　）    A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 【答案】C 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：正八边形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．熟练掌握定义是解答本题的关键． 3．边长为的正六边形的边心距等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接OA、OB，根据正六边形的性质求出∠AOB，得出等边三角形OAB，求出OA、AM的长，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接OA、OB、OC、OD、OE、OF， ∵正六边形ABCDEF， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠AOF， ∴∠AOB=×360°=60°，OA=OB， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=a， ∵OM⊥AB， ∴AM=BM=a， 在△OAM中，由勾股定理得：OM==a． 故选A． 【点睛】本题主要考查对正多边形与圆，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出OA、AM的长是解此题的关键． 4．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质是正确解答的前提． 根据正六边形的性质，正三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：如图， ∵半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为， ∴， ∴， ∴的内接正多边形是六边形， ， ， ∴是正三角形， ， ∴正六边形的边长为2， 故选：B． 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】如解图，连接OB，OC，∵⊙O的周长等于6π，∴⊙O的半径，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC＝3，即正六边形的边长为3． 6．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（ ） A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 【答案】D 【分析】正三角形的内心和外心重合，根据等腰三角形的三线合一，则正三角形的外接圆半径和内切圆的半径可以放在30°的直角三角形中，根据30°所对的直角边是斜边的一半，得R=2r． 【详解】正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为R=2r． 故选D． 【点睛】熟记正三角形的外接圆半径是内切圆半径的2倍． 7．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ） A． B． C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，以及圆内接正三角形及正六边形的性质，根据题意画出图形，求出正六边形的边长，再由正多边形及直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：圆内接正六边形的周长为24， 圆内接正六边形的边长为4， 圆的半径为4， 如图，    连接，过作于， 则，， ； 该圆的内接正三角形的周长为， 故选：A． 8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（　　）米 A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，圆形餐桌的直径为2米，高为1米．铺在桌面上的正方形桌布的四角恰好刚刚接触地面，说明正方形对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1=4米，所以正方形边长是2米． 【详解】解：正方形桌布对角线长度为圆形桌面的直径加上两个高，即2+1+1=4（米）， 设正方形边长是x米，则 x2+x2=42， 解得：x=2， 所以正方形桌布的边长是2米． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形和圆的有关知识，以及勾股定理，此题解答关键是求出正方形桌布的对角线的长度，进而求出边长． 9．如图所示，小明从半径为的圆形纸片中剪下圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】40%圆周一个扇形就是告诉扇形的圆心角是144°，这样就知道了圆锥的底面周长，也就已知了底面半径，圆锥的母线长，圆锥的高，底面半径正好构成直角三角形，利用勾股定理就可求得． 【详解】∵扇形的圆心角是360°×40%=144°，∴弧长l= 设底面半径是r，则有＝2πr，则r=2， 圆锥的高h=． 故选C． 【点睛】此题是以圆和圆锥之间的相互联系为背景，设置了一个应用性数学问题，主要考查了圆的周长、弧长、勾股定理等基础知识和学生的空间观念，要求考生具有较强的画图分析能力和图形转换能力． 10．如图， 已知正方形ABCD中， 连结AC， 在AC上截取AE=AD， 作的外接圆交AB于点F， 连结DF交AC于点M， 连结EF．下列选项正确的是（    ） ①DG=AF；②AM=EC；③∠EFB=∠AFD；④ A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①如图（见解析），先根据正方形的性质可得，再根据圆周角定理可得DF为外接圆的直径，从而可得，然后根据矩形的判定与性质即可得；②先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得；③先根据圆内接四边形的性质可得，从而可得，再根据圆周角定理可得，由此即可得；④先根据圆周角定理可得，从而可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据正方形的性质可得，由此即可得． 【详解】四边形ABCD是正方形， ， 为外接圆的直径， ， 四边形ADGF是矩形， ，则结论①正确； ， ， ， 由圆周角定理得：， ， ， 在和中，， ， ，则结论②正确； 由圆内接四边形的性质得：， ， ， 由圆周角定理得：， ，则结论③正确； 由圆周角定理得：， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， 四边形ABCD是正方形， ， ， 又， ，则结论④错误； 综上，结论正确的是①②③， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握各定理与性质，并正确找出全等三角形是解题关键． 二、填空题 11．正n边形的中心角为72°，则 ． 【答案】5 【分析】根据正多边形的中心角之和为360°计算即可． 【详解】根据题意有：， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角之和为360°是解答本题的关键． 12．若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】根据正多边形的中心角的度数，进行计算即可． 【详解】解：由题意得：，解得：； ∴正多边形的边数为：； 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形的中心角．熟练掌握中心角的度数，是解题的关键． 13．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是判断出是等腰三角形，属于中考常考题型．求出，利用等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：在正六边形中，， ， ， 故答案为：． 14．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了正多边形和圆，根据内角和定理求出，再根据正六边形的轴对称性可知平分，即可求出答案． 【详解】解：由正六边形可得， ∵正六边形是轴对称性图形， ∴平分，即． 故答案为： 15．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为 ． 【答案】πa2 【详解】边长是a,则利用特殊三角形知内切圆半径是,πa2 16．如图，已知边长为的正方形ABCD内有一边长为的内接正方形EFGH，则△EBF的内切圆半径是 . 【答案】 【分析】首先利用正方形的性质得出△AEH≌△BFE（AAS），再利用直角三角形内切圆半径求法得出即可． 【详解】∵边长为m的正方形ABCD内有一边长为n的内接正方形EFGH， ∴∠AEH+∠FEB=90°,∠AEH+∠AHE=90°， ∴∠AHE=∠BEF， 在△AEH和△BFE中， ∠A=∠B,∠AHE=∠FEB,EH=EF， ∴△AEH≌△BFE(AAS)， ∴AE=BF， ∴BE+BF=AB=m， 故△EBF的内切圆半径是. 故答案为 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆与内心，熟练掌握两者的性质是解题的关键. 17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC= ．    【答案】50°． 【详解】解：∵∠A=70°，∴∠C=180°﹣∠A=110°， ∴∠BOD=2∠A=140°，∵∠OBC=60°， ∴∠ODC=360°﹣110°﹣140°﹣60°=50°， 故答案为50°． 考点：圆内接四边形的性质． 18．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，他从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形……割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1，来近似估计⊙O的面积S，设正十二边形边长为1，则S1= ； ． 【答案】 6+3 【分析】连接OA1、OA2，过A1作A1H⊥OA2于H，设A1H=x，在Rt△A1A2H中，可得x2+（2x-x）2=12，解出x的值，即可求出S、S1，从而得到答案． 【详解】解：连接OA1、OA2，过A1作A1H⊥OA2于H，如图： ∵圆的内接正十二边形的中心角为=30°， ∴∠A1OH=30°， ∴A1H=OA1， 设A1H=x，则OA1=2x=OA2，OH=A1H， ∴A2H=2x-x， 在Rt△A1A2H中，A2H2+A1H2=A1A22， ∴x2+（2x-x）2=12， 解得x=（负值已舍去）， ∴A1H=，OA1=， ∴S=π×（）2=（2+）π， S1=12×××=6+3， ∴， 故答案为：6+3，． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正确地求出正十二边形的面积是解题的关键． 三、解答题 19．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 【答案】半径至少为a． 【分析】画出正方形外接圆，连接AC，求出正方形外接圆半径即可． 【详解】解：如图所示，连接AC， ∵∠D＝90°， ∴AC为直径， 在 Rt△ACD中，AC＝＝a， ∴半径至少为a． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的计算，解题关键是画出图形，准确进行计算． 20．如图，正六边形内接于，求的度数． 【答案】 【分析】由正六边形与圆的性质可得：再求解从而可得答案. 【详解】解： 正六边形内接于， 是直径， 【点睛】本题考查的是正多边形与圆的知识，掌握“正多边形的中心角的计算，直径所对的圆周角是直角”是解题的关键. 21．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 【详解】解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 22．如图所示，是圆的直径，,D为圆上一点，延长到，使，求的度数. 【答案】. 【分析】根据AB为⊙O的直径，得出∠ADB=90°，再根据，得出∠ADC=∠BDC=45°，AC=BC，再证明△EAC≌△DBC，即可得出∠E=∠BDC=45°， 【详解】解：（1）连 ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∵ ∴∠ADC=∠BDC=45°，AC=BC， ∵四边形为内接四边形; ∴ 在△EAC和△DBC中， ∴△EAC≌△DBC（SAS）， ∴∠E=∠BDC=45°； 【点睛】此题考查了圆的综合，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、圆周角定理、圆内接四边形，关键是证出△EAC≌△DBC． 23．分别求出半径为的圆内接正三角形的边长和边心距． 【答案】， 【分析】作出几何图形，在由外接圆半径、边心距和边长的一半组成的三角形中，已知外接圆半径和特殊角，可求得边心距，进而边长的一半，可解． 【详解】解：如图， △ABC是⊙O的内接等边三角形，OB＝6cm，OD⊥BC． 等边三角形的内心和外心重合，所以OB平分∠ABC，则∠OBD＝30°； ∵OD⊥BC， ∴BD＝DC， 又∵OB＝6， ∴OD＝3，BD＝3cm， ∴BC＝6cm． ∴边长6cm，边心距． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质，注意：等边三角形的外接圆和内切圆是同心圆，圆心到顶点的距离等于外接圆半径，边心距等于内切圆半径． 24．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE． （1）求∠AED的度数； （2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【答案】（1）∠AED=120°；（2）12. 【分析】（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°； （2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得； 【详解】解：（1）如图，连接BD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠BAD=60°， ∵AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ABD=180°， ∴∠AED=120°； （2）连接OA， ∵∠ABD=60°， ∴∠AOD=2∠ABD=120°， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， ∴． 25．完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 【答案】填表见解析． 【分析】首先根据题意画出图形，然后利用勾股定理等知识进行逐一求解即可． 【详解】解：如图（1）所示：中心角，内角∠A=60° ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴周长为：，面积为； 如图（2）所示：中心角， 内角∠A=90° 由题意可得△BOC和△OBE都是等腰直角三角形， ∵边心距为1 ∴， ∴边长为2，半径为 ， ∴周长为8，面积为4； 如图（3）所示：内角为120°，中心角， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠AOM=30°，AM=BM， ∴AO=2AM ∵边心距为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴半径为2，边长为2， ∴周长为12，面积， 故答案为： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 26．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．    (1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF． (2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接AE，AD，AC，根据正六边形的性质得到EF＝ED＝CD＝BC，求得，于是得到∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB，即可得到结论； （2）如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE，设⊙O的半径为r，推出△ODE是等边三角形，得到DE＝OD＝r，∠OED＝60°，根据勾股定理得到OGr，根据三角形和圆的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图，连接AE，AD，AC， ∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形， ∴EF＝ED＝CD＝BC， ∴， ∴∠FAE＝∠EAD＝∠DAC＝∠CAB， ∴过顶点A的三条对角线四等分∠BAF； （2）解：如图，过O作OG⊥DE于G，连接OE， 设⊙O的半径为r， ∵∠DOE60°，OD＝OE＝r， ∴△ODE是等边三角形， ∴DE＝OD＝r，∠OED＝60°， ∴∠EOG＝30°， ∴EGr， ∴OGr， ∴正六边形ABCDEF的面积＝6rrr2， ∵⊙O的面积＝πr2， ∴． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 正多边形与圆 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 正多边形和圆的综合 题型二 求正多边形的中心角 题型三 已知正多边形的中心角求边数 题型四 尺规作图——正多边形 知识清单 知识点1．正多边形和圆 （1）正多边形与圆的关系 把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． （2）正多边形的有关概念 ①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心． ②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径． ③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． ④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 题型练习 【题型一】正多边形和圆的综合 【例1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）半径为2的圆的内接正六边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，在正边形中，的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为 ． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）正六边形的边长为4，求对角线的长和正六边形的面积． 【题型二】求正多边形的中心角 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·阶段练习）一个正边形绕其中心旋转后能与自身重合，则可取的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）正五边形的一个中心角等于 度． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【题型三】已知正多边形的中心角求边数 【例3】（2023九年级上·江苏·专题练习）如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．（2024·江苏泰州·一模）如果一个正多边形的中心角等于，那么这个正多边形的对称轴共有 条． 3． 【阅读理解】如图1，为等边的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与三角形的边分别交于点．设等边的面积为S，通过证明可得，则． 【类比探究】如图2，为正方形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正方形的边分别交于点．若正方形的面积为S，请用含S的式子表示四边形的面积（写出具体探究过程）． 【拓展应用】如图3，为正六边形的中心角，将绕点O逆时针旋转一个角度，的两边与正六边形的边分别交于点．若四边形面积为，请直接写出正六边形的面积． 【题型四】尺规作图——正多边形 【例4】 如图，为直径，作的内接正六边形，甲、乙两人的作法分别如下： 甲：1．作的中垂线，交圆于两点；2．作的中垂线，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 乙：1．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；2．以为圆心，长为半径作弧，交圆于两点；3．顺次连接六个点，六边形即为所求； 对于甲、乙两人的作法，可判断（  ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都不对 D．两人都对 【举一反三】 1．如图，、、是上顺次三点，若、、分别是内接正三角形、正方形、正边形的一边，则 ． 2．仅用无刻度的直尺，按要求画图(保留画图痕迹，不写作法) (1)如图①，画出的一个内接矩形. (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形. 3．（2024·江苏无锡·一模）尺规作图： (1)请在图①中以矩形的边为边作菱形，使得点E在上； (2)请在图②中以矩形的边为直径作，并在上确定点P，使得的面积与矩形的面积相等. 好题必刷 一、单选题 1．圆的内接四边形ABCD的四个内角之比∠A：∠B：∠C：∠D的可能的值是(        ). A．1：2：3：4 B．4：2：3：1 C．4：3：1：2 D．4：1：3：2 2．如图是一个正八边形，则它（　　）    A．只是轴对称图形 B．只是中心对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 3．边长为的正六边形的边心距等于（  ） A． B． C． D． 4．半径为2的圆的一个内接正多边形的内角为，则这个内接正多边形的边长为（   ） A．1 B．2 C． D． 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长等于6π，则正六边形的边长为（   ） A． B． C．3 D． 6．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为（ ） A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 7．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（ ） A． B． C．12 D．6 8．一个圆形餐桌直径为2米，高1米，铺在上面的一个正方形桌布的四个角恰好刚刚接触地面，则这块桌布的每边长度为（　　）米 A． B．4 C． D． 9．如图所示，小明从半径为的圆形纸片中剪下圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(  ) A． B． C． D． 10．如图， 已知正方形ABCD中， 连结AC， 在AC上截取AE=AD， 作的外接圆交AB于点F， 连结DF交AC于点M， 连结EF．下列选项正确的是（    ） ①DG=AF；②AM=EC；③∠EFB=∠AFD；④ A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．正n边形的中心角为72°，则 ． 12．若正多边形的中心角为，则该正多边形的边数为 ． 13．如图，正六边形内接于，连接BD．则的度数是 ． 14．如图，正六边形内接于，连接，则 ． 15．已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为 ． 16．如图，已知边长为的正方形ABCD内有一边长为的内接正方形EFGH，则△EBF的内切圆半径是 . 17．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=70°，∠OBC=60°，则∠ODC= ．    18．刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，他从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形……割的越细，圆的内接正多边形就越接近圆．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1，来近似估计⊙O的面积S，设正十二边形边长为1，则S1= ； ． 三、解答题 19．要用圆形铁片截出边长为a的正方形铁片，选用的圆形铁片的半径至少是多少？ 20．如图，正六边形内接于，求的度数． 21．正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 22．如图所示，是圆的直径，,D为圆上一点，延长到，使，求的度数. 23．分别求出半径为的圆内接正三角形的边长和边心距． 24．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE． （1）求∠AED的度数； （2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 25．完成下表中有关正多边形的计算： 正多边形边数 内角 中心角 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 26．如图，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形．    (1)求证：在六边形ABCDEF中，过顶点A的三条对角线四等分∠BAF． (2)设⊙O的面积为S1，六边形ABCDEF的面积为S2，求的值（结果保留π）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$