精品解析：四川省成都市青羊区树德实验学校2024-2025学年七年级下学期期末数学模拟试卷

2024−2025学年四川省成都市青羊区树德实验学校 七年级（下）期末数学模拟试卷 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A B. C D. 3. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 同角的补角相等 C. 同位角相等 D. 两直线相交，对顶角相等 5. 下列乘法公式运用正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是( ) A. B. C. D. 8. 在实验课上，小亮在用同一块木板测得小车从不同高度下滑时，支撑物的高度（h）与小车下滑的时间（t）的关系如下表： 支撑物高度h（） 10 20 30 40 50 … 小车下滑的时间t（s） 4.01 3.56 … 以下结论错误的是（ ） A. 当时，t约为秒 B 估计当时，t一定小于秒 C. 支撑物的高度h越大，小车下滑的时间t越小 D. 高度每增加了，时间就会减少秒 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 若是一个完全平方式，则_______________________． 10. 一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 11. 已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 12. 如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则______ 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ___________． 三、解答题（共48分） 14. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中 15. 如图，已知：，，． （1）求证： （2）若，求的长． 16. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 （1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； （2）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； （3）某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 17. 如图，在边长为单位1正方形网格中有，点A，B，C均在格点上． （1）在图中作出关于直线l对称的(和A对应，和B对应，和C对应）； （2）求的面积； （3）在直线l上作点P，使的值最小． 18. 如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． （1）当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为      ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； （2）如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知，则_______ 20. 已知，则的值是______． 21. 从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 22. 如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为_______． 23. 如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则______ 二、解答题（共30分） 24. 【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 25. 甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度与登山时间之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： （1）图中t=___________． （2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍， ①则甲登山的上升速度是___________； ②请求出甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式； ③当甲、乙两人距地面高度差为时，请直接写出满足条件的x值． 26. 在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于的对称点为点E，连接． （1）如图1；点D在线段上，且，求的度数； （2）直线与直线交于点F，过D作交直线于点G，直线交直线于点H． ①如图2，点D在线段上，求证： ②点D在线段的延长线上，试猜想线段之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024−2025学年四川省成都市青羊区树德实验学校 七年级（下）期末数学模拟试卷 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查同底数的幂乘除法法则，幂的乘方法则，正确记忆并熟练运用是本意关键．同底数的幂相乘，底数不变指数相加；同底数的幂相除，底数不变指数相减；幂的乘方运算，底数不变指数相．根据幂的运算法则，对各项分析判断后利用排除法即可求解． 详解】解：A．，故A错误． B．，故B错误． C．，故C正确． D．，故D错误． 故选：C． 3. 清代袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000839米，则数据0.00000839用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方法解答即可． 【详解】解：； 故选：B． 4. 下列说法中错误的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 同角的补角相等 C. 同位角相等 D. 两直线相交，对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直线的性质，对顶角相等，补角，同位角的认识，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、两点确定一条直线，故该选项不符合题意； B、同角的补角相等，故该选项不符合题意； C、两直线平行，同位角相等，故该选项符合题意； D、两直线相交，对顶角相等，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 下列乘法公式运用正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式，利用乘法公式计算即可得到答案． 【详解】解：A、，本选项错误； B、，本选项错误， C、，本选项错误； D、，本选项正确； 故选：D． 6. 为测量校园内的旗杆的高度，嘉嘉设计的方案是：如图，在距旗杆底端A水平距离为的处，使用测角仪测得，由于角不方便计算，淇淇提出了一种解决问题的方案：在的延长线上取一点，将一根木棒竖直立在地面上的点处，，此时测得，故淇淇得出结论，进而推得，则下列选项中淇淇证明全等用到的依据可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．由全等三角形的判定定理或均可证得图中两个三角形全等，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴淇淇证明全等用到的依据可能是， 故选：B． 7. 如图，有一块含有角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果，那么的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据∠ABC=60°，∠2=36°，即可得到∠EBC=24°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=24°． 【详解】如图， ∵∠ABC=60°，∠2=36°， ∴∠EBC=24°， ∵BE∥CD， ∴∠1=∠EBC=24°， 故选C． 【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角. 8. 在实验课上，小亮在用同一块木板测得小车从不同高度下滑时，支撑物的高度（h）与小车下滑的时间（t）的关系如下表： 支撑物的高度h（） 10 20 30 40 50 … 小车下滑的时间t（s） 4.01 3.56 … 以下结论错误的是（ ） A. 当时，t约为秒 B. 估计当时，t一定小于秒 C. 支撑物的高度h越大，小车下滑的时间t越小 D. 高度每增加了，时间就会减少秒 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用表格表示变量间的关系，依据表格反映的规律回答问题是解题的关键． 根据表格的数据，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、由表格可知：当时，约秒，故选项正确，不符合题意； B、由表格可知：随高度增加，下滑时间越来越短，且当时，，所以估计当时，一定小于秒，故选项正确，不符合题意； C、由表格可知：当由10逐渐增大到50时，的值由逐渐减小到，因此随高度增加，下滑时间越来越短，故选项正确，不符合题意； D、由表格可知：时间的减少是不均匀的，故选项错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每题4分，共20分） 9. 若是一个完全平方式，则_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方式得出，再求出答案即可． 【详解】解：多项式是一个完全平方式， ， 解得：， 故答案是：． 【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有：和． 10. 一个不透明口袋中装有8个白球和若干个黑球，这些球除颜色外其余均相同，在不允许将球倒出来的前提下，为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：从口袋中随机摸出1个球记下颜色后放回摇匀，不断重复上述过程多次，发现摸到黑球的频率稳定在0.6，根据上述数据，可估计口袋中大约有___________个黑球． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，利用概率求数量，根据摸到黑球的频率稳定在0.6，得到摸到黑球的概率为0.6，设黑球有个，根据黑球的数量等于总量乘以概率，列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵摸到黑球的频率稳定在0.6， ∴摸到黑球的概率为0.6， 设黑球有个，则：， 解得：； 故答案为：12． 11. 已知的三边长为a、b、c，其中，则边长c的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 12. 如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查图形翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解：沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 13. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点O；③作射线，交于点D．若的长为3，，则的面积为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图， 过点作于点，根据作图可得为的角平分线，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：过点作于点， 根据作图可知为的角平分线， ∵ ∴， ∵， ∴， 故答案为：。 三、解答题（共48分） 14. 计算： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，零指数幂，负整数指数幂，积的乘方和单项式的乘除法计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再计算加减法即可得到答案； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案； （3）先根据乘法公式和多项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 15. 如图，已知：，，． （1）求证： （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先由平行线的性质得到，再证明，据此可利用证明； （2）由全等三角形的性质可得，再求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 16. 科学家实验发现，声音在不同气温下传播的速度不同，声音在空气中的传播速度随气温的变化而有规律的变化．石室联中科学社团通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存在如下的关系： 气温 0 1 2 3 4 5 声音在空气中的传播速度 331 331.6 332.2 332.8 333.4 334 （1）在这个变化过程中，______是自变量，______是因变量； （2）声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为______； （3）某日的气温为，小乐看到烟花燃放后才听到声响，那么小乐与燃放烟花所在地大约相距多远？ 【答案】（1）气温，声音在空气中的传播速度 （2） （3）小乐与燃放烟花所在地大约相距远 【解析】 【分析】本题主要考查变量的表示方法，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案； （2）根据表格中的数据求出关系式； （3）根据求出的关系式得到声音在空气中的传播速度，从而求出小乐与燃放烟花所在地的距离． 【小问1详解】 解：由题意得，在这个变化过程中，气温是自变量，声音在空气中传播速度是因变量， 故答案为：气温，声音在空气中的传播速度； 【小问2详解】 由题意得，气温每上升声音在空气中的传播速度增大， ∴声音在空气中的传播速度与气温的关系式可以表示为， 故答案为：； 【小问3详解】 ， 答：小乐与燃放烟花所在地大约相距远． 17. 如图，在边长为单位1的正方形网格中有，点A，B，C均在格点上． （1）在图中作出关于直线l对称的(和A对应，和B对应，和C对应）； （2）求的面积； （3）在直线l上作点P，使的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）3 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，轴对称最短路径问题，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可得到答案； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交直线l于P，则点P即为所求． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：如图所示，点P即为所求； 18. 如图，已知，、分别在、上，点在、之间，连接、． （1）当，平分，平分时： ①如图，若，则的度数为______，则的度数为      ； ②如图，在的下方有一点，平分，平分，求的度数； （2）如图，在的上方有一点，若平分．线段的延长线平分，则当时，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）①；；②； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①如图，分别过点G、P作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可；②如图，过点Q作，根据平行线的性质、角平分线的定义求解即可； （2）如图，过点O作，则，设，可得，进而说明，根据平行线的性质求得，进而根据，得到． 【小问1详解】 解：①如图，分别过点G、P作， ， ， ∴ ， ， 同理可得: ， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分； ， ∴． ②如图，过点Q作， ∵平分平分， ，， 设， ∵，， ∴， ， ∵， ， ， ， ， 由（1）可知， ∴． 【小问2详解】 解：如图，在的上方有一点O，平分，线段的延长线平分， 设H为线段的延长线上一点，则，， 设，,， 如图，过点O作，则， ，， ， ， 由（1）可知：， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴． 一、填空题（每题4分，共20分） 19. 已知，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20. 已知，则的值是______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值．设，，则，，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：设，，则，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13． 21. 从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是______． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 22. 如图，在纸片中，，，且，P为上一点，将纸片沿剪开，并将、分别沿、向外翻折至、，连接，则面积的最小值为_______． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由将、分别沿、向外翻折至、可得：，由易得，面积，当取最小值时面积的最小即可求解． 【详解】解：∵、分别沿、向外翻折至、， ∴，，， ∵ ∴， ∴面积， 当取最小值时的面积最小， 在中，当为边的高，即垂直时，最小， 此时，，， ， 解得：， 面积的最小值为：． 故答案为：18． 23. 如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至点M，使，证明，推出，，由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合，推出，可得． 【详解】解：如图，延长至点M，使， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是边上的高， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 二、解答题（共30分） 24. 【定义理解】对于两个正数a，，定义一种新的运算，记作，即：如果，那么例如： 【问题初探】 根据你对定义的理解，请填空：_____；_____；_____ 【归纳猜想】 先观察，与的结果之间的关系．再观察的三个数4，16，64之间的关系．试着归纳：_____ 【初步应用】 如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】问题初探：2；4；6；归纳猜想：；初步应用：96 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，新定义，完全平方公在几何图形中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据新运算的法则计算即可求解； （2）根据（1）的运算结果，归纳得； （3）根据（2）所求可得，再根据列式求解即可． 【详解】解：问题初探：∵， ∴；；； 归纳猜想：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴； 初步应用：∵，，， ∴， ∵， ∴ ． 25. 甲、乙两人相约一同登山，甲、乙两人距地面的高度与登山时间之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息解答下列问题： （1）图中t=___________． （2）若乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍， ①则甲登山的上升速度是___________； ②请求出甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式； ③当甲、乙两人距地面高度差为时，请直接写出满足条件的x值． 【答案】（1）2 （2）①10；②；③当的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50 【解析】 【分析】（1）根据题意和函数图象可以求得的值； （2）①根据乙提速后，乙登山的上升速度是甲登山的上升速度3倍，可以求得甲的速度； ②根据题意和函数图象中的数据可以求得甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式； ③根据函数图象可以求得段乙的函数解析式，从而可以求得的值． 【小问1详解】 在段，乙每分钟走的路程为米分， 则， 故答案为：2； 【小问2详解】 ①乙提速后的速度为：米分， 甲的速度为：， 故答案：10； ②甲登山用的时间为：（分钟）， 设甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式， ，得， 即甲登山过程中，距地面的高度与登山时间之间的函数关系式是： ； ③设乙在段对应的函数解析式为， ，得， ， ， 解得，或， 当时，， 解得， 综上所述，当的值是4，9，15，甲乙两人距地面高度差为50． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用函数的思想解答． 26. 在等边三角形中，D为射线上一点，连接，点B关于的对称点为点E，连接． （1）如图1；点D在线段上，且，求的度数； （2）直线与直线交于点F，过D作交直线于点G，直线交直线于点H． ①如图2，点D在线段上，求证： ②点D在线段的延长线上，试猜想线段之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）由轴对称的性质可得，由等边三角形的性质得到，则可证明，据此求出，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得答案； （2）①证明是等边三角形．则可证明．由轴对称的性质得到，，，则，设，则．则．可证明．再证明，得到，则，据此可证明； ②同理可证明，得到，，再证明是等边三角形．得到．则． 【小问1详解】 解：由轴对称的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①是等边三角形， ，． ∵， ，． ． 是等边三角形． ， ∴， ． 点B关于直线的对称点为E， ，，， ， 设，则． ． ， ∴， ． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ． ②，证明如下： 是等边三角形， ，． ∵， ，． ． 是等边三角形． ， ∴， ． 点B关于直线的对称点为E， ，，， ， 设，则． ． ， ∴， ． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ． ，． 在中，， ∴， ∴是等边三角形． ． ． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$