第08讲 相似三角形的性质 （知识清单+6大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第08讲 相似三角形的性质 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 证明三角形的对应线段成比例 题型三 相似三角形——动点问题 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 相似三角形的综合问题 题型六 重心的有关性质 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点4．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点5．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 题型练习 【题型一】利用相似三角形的性质求解 【例1】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若，，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）小明同学拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了，则放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，若与的周长比为，则 ． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c是的三边长，且． (1)求的值； (2)若，相似比为，且的周长为，求的周长． 【题型二】证明三角形的对应线段成比例 【例2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 2．如图，，，那么与的相似比为 ．    3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【题型三】相似三角形——动点问题 【例3】（九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 【举一反三】 1．（九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（　　） A．或 B． C． D．或 2．（九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，是边长为等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作交于点R，连接，设运动的时间为，当t= s时． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【题型四】相似三角形的判定与性质综合 【例4】（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，，边与相交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形，已知，，平分，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，． （1）的长为 ． （2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为 ． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，，点在上，与相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的值． 【题型五】相似三角形的综合问题 【例5】（安徽马鞍山·二模）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在边BC上的点N处，点F落在边DC上的点M处，若点M恰好是边CD的中点，那么 的值是（     ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为（　　） A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 2．（安徽蚌埠·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 ． 3．（九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG，，连接GD，BE相交于点Q． （1）求证：△GAD∽△EAB； （2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论； （3）请连接DE，BG，若AB=6，AE=3，求DE2+BG2的值． 【题型六】重心的有关性质 【例6】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【举一反三】 1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）下列说法中正确的是（   ） ①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 2．如图，中，，如果F是的重心，那么 ． 3．阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．    (1)特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点，则的面积为______； (2)性质探究：如图（2），已知的重心为点，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图（3），在任意矩形中，点是的中点，连接交对角线于点，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由． 好题必刷 一、单选题 1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于(     ) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4 2．若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）： A． B． C． D． 3．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 4．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ） A． B．∠B=∠E C． D． 5．在△ABC中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是(    ) A．2 B． C．4 D．2 6．已知的三边长分别为，，，现要利用长为和的两根铁丝制作与相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段（允许有余料）作为另外两边，可以作成不同的三角形框架有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．如图，已知点、分别在边、上，，＝，那么等于（ ） A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:3 8．如图，一束光线从y轴的点A（0，2）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 9．如图，正方形的边长为，点O是对角线、的交点，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，、交于点G，中点为H．给出下列结论： ①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④；⑤H点经过的路程为其中正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①④⑤ 10．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（　　） A．△DEF是等边三角形 B．△ADF≌△BED≌△CFE C．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF 二、填空题 11．如图，，分别交的边于，于，且，则与的关系是 ． 12．如图，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，则△AED的面积与四边形DEBC的面积之比为 ． 13．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是 ． 14．如图所示，点，，在轴上，且，分别过点，，作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，，，分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，，连接，，，那么图中阴影部分的面积之和为 ．    三、解答题 15．如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上． (1)请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA； (2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA． 16．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 17．已知，在中，，，，点、分别在边、上，如果以点、、为顶点的三角形和以点、、为顶点的三角形相似且相似比为，求和的长． 18．我们在学习三角形相似时，往往是添加平行线构造相似三角形的基本图形．有一学生根据这一理论猜想三角形内角平分线有这样一个性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则.如果你认为这个猜想是正确的，请写出一个完整的推理过程． 19．如图，点D，E分别是和上的点，，，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）求的长． 20．如图，已知，，，求的度数． 21．如图，已知平行四边形ABCD，F是BC延长线上的一点，连接AF交CD于点E．若EF=3，AE=4，EC=2，求AB的长． 22．如图，四边形为平行四边形，E，F为边的两个三等分点，连接交于点G，若，求． 23．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图像经过点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图像于点E，求点E的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 相似三角形的性质 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 利用相似三角形的性质求解 题型二 证明三角形的对应线段成比例 题型三 相似三角形——动点问题 题型四 相似三角形的判定与性质综合 题型五 相似三角形的综合问题 题型六 重心的有关性质 知识清单 知识点1．相似三角形的性质 相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似． （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比． （3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点2．相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形是相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等． （2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可． 知识点3．相似三角形的应用 （1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度． （2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度． （3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度． 知识点4．作图-相似变换 （1）两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到． （2）相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图．如图所示： （3）如果题目有条件限制，可根据相似三角形的判定条件作为作图的依据．比较简单的是把原三角形的三边对应的缩小或放大一定的比例即可得到对应的相似图形． 知识点5．射影定理 （1）射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． （2）Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：①AD2＝BD•DC； ②AB2＝BD•BC；AC2＝CD•BC． 题型练习 【题型一】利用相似三角形的性质求解 【例1】（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若，，，则与的周长比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质， 根据题意可得相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比得出答案． 【详解】∵， ∴这两个三角形的相似比为， ∴与的周长比为． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）小明同学拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了，则放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的（    ） A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．9倍 【答案】C 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答． 【详解】解：∵拿一个放大镜将三角形的一条边由原图中的放大变成了， ∴放大后的图形与原图形是相似图形，其相似比为，故其面积比为， ∴放大后的三角形的面积是原图中三角形面积的4倍， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知，若与的周长比为，则 ． 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比，解答即可． 【详解】解：∵，且与的周长比为， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知a，b，c是的三边长，且． (1)求的值； (2)若，相似比为，且的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为 【知识点】比例的性质、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及比例的性质，熟记相关结论即可． （1）设，则，，，即可求解； （2）由题意得，即可求解； 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解： ∵，相似比为， ， 的周长为， ， 解得：， ∴的周长为 【题型二】证明三角形的对应线段成比例 【例2】（23-24九年级上·安徽滁州·期中）若两个相似三角形的对应中线之比为，则它们的对应高之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形的对应边成比例，对应边包括角平分线、中线、高以及边长和周长等，据此作答即可． 【详解】解：依题意，因为两个相似三角形的对应中线之比为， 所以它们的对应高之比为， 故选：A． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，中，点在线段上，且，则下列结论一定正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】先证明△BAD∽△BCA，则利用相似的性质得AB：BC=BD：AB，然后根据比例性质得到AB2=BC•BD． 【详解】∵∠BAD=∠C， 而∠ABD=∠CBA， ∴△BAD∽△BCA， ∴AB:BC=BD:AB， ∴AB2=BC⋅BD. 故选C. 【点睛】本题考查三角形中线段的比列关系，解题的关键是应用射影定理. 2．如图，，，那么与的相似比为 ．    【答案】/ 【知识点】证明三角形的对应线段成比例 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明，结合已知求出，即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为相似比， ∵， ∴，即相似比为， 故答案为：． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【知识点】相似三角形的判定综合、证明三角形的对应线段成比例 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 【题型三】相似三角形——动点问题 【例3】（九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，翻折，使点落在直角边上某一点处，折痕为，点、分别在边、上，若与相似，则的长为（）    A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】根据题意，可知分两种情况，然后根据题目中的条件，利用三角形相似，可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， ∴， 解得； 当时， 则， ∵，翻折，使点落在直角边上某一点处， 解得； 由上可得，的长为或， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、翻折变换，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，在钝角三角形ABC中，，动点D从点A出发沿以的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿以的速度向点A运动，当以为顶点的三角形与相似时，运动时间是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】如果以点A、D、E为顶点的三角形与相似，由于A与A对应，那么分两种情况：①D与B对应；②D与C对应．根据相似三角形的性质分别作答． 【详解】解：两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与相似， 则 ①当D与B对应时，有， ∴， ∴， ∴； ②当D与C对应时，有， ∴， ∴， ∴， ∴当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是1.5秒或2.4秒， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 2．（九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，是边长为等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿、方向匀速运动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作交于点R，连接，设运动的时间为，当t= s时． 【答案】 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】先证△CRQ为等边三角形，并用含t的式子表示图中的相关线段，由QR∥BA推得∠QPR=∠APR，从而△PRQ中再有一个角等于∠A，即等于60°，即可得△APR∽△PRQ． 根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵是边长为等边三角形， ∴ ∵，∴， ∴为等边三角形 ∵点P运动的速度是，点Q运动的速度是 ∴，，，C， ∵∴ 若要，则需满足 ∴， ∴，又∵ ∴∴ ∴，解得 【点睛】本题属于动点问题与相似三角形的综合问题，用含t的代数式表示相关线段，并找到等量关系是解题的关键，本题难度较大． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期中）如图所示，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【答案】经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似 【知识点】相似三角形——动点问题 【分析】此题考查了相似三角形的判定与勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 设经过秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：与． 【详解】解：设经过秒后，， 此时，． ∴， ∵， ， ， 设经过秒后，， ， ， ， 所以，经过2.4秒或者经过秒后两个三角形都相似． 【题型四】相似三角形的判定与性质综合 【例4】（24-25九年级上·安徽亳州·自主招生）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，，边与相交于点E，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质．由直角三角形的性质可得，，，，可证，由相似三角形的性质可求得，再证明，进一步计算即可求解． 【详解】解：，，， ，，，， ， ，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）五角星是我们中华人民共和国国旗的元素，如图是从一个五角星中分离出来的等腰三角形，已知，，平分，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 根据题意，得出，，证明，然后即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， 则， 解得：， ∵， ∴， ∴； 故选：C； 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）我们规定对角互补的四边形叫作“对补四边形”，如图，四边形是“对补四边形”，它的一组对边和的延长线交于点，已知，，． （1）的长为 ． （2）若的面积为，则“对补四边形”的面积为 ． 【答案】 9 12 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，理解并掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键． （1）根据“对补四边形”定义可知，进而证明，利用其性质即可求解； （2）根据相似三角形面积比与相似比的关系求的面积，再根据“对补四边形”的面积为即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是“对补四边形”， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 故答案为：9； （2）∵，且相似比为， ∴， 则， ∴“对补四边形”的面积为， 故答案为：12． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期中）如图，，点在上，与相交于点． (1)若，求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法及灵活应用相似三角形的性质是解决问题的关键． （1）由得出，再由得出，即可证明； （2）由得出与都是等腰直角三角形，再证明得出，通过等量代换得出，即可得出的值． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， 与都是等腰直角三角形， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ，， ，，， ， ， ， ． 【题型五】相似三角形的综合问题 【例5】（安徽马鞍山·二模）如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，过点E作EF⊥BC，垂足为点F，将△BEF绕着点E逆时针旋转，使点B落在边BC上的点N处，点F落在边DC上的点M处，若点M恰好是边CD的中点，那么 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的综合问题 【详解】分析：根据旋转的性质得到BE=EN，EM=EF，MN=BF，得到BF=FN=NM，推出四边形EFCD是矩形，根据矩形的性质得到EF=CD，由点M恰好是边DC的中点，得到设CN=x，解直角三角形即可得到结论． 详解：如图，将△BEF绕着点E逆时针旋转得到△EMN， ∴BE=EN，EM=EF，MN=BF， ∵EF⊥BC， ∴BF=FN， ∴BF=FN=NM， ∵EF⊥BC， ∴四边形EFCD是矩形， ∴EF=CD， ∵点M恰好是边DC的中点， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 设CN=x， ∴ ∴ ∴BF=FN=NM=2x， ∴BC=5x， ∴ 故选D. 点睛：考查旋转的性质，矩形的性质，题目难度较大，得出BF=FN=NM，是解题的关键. 【举一反三】 1．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，若EF：AF=2：5，则S△DEF：S四边形EFBC为（　　） A．2：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】C 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】由平行四边形的性质可证明△DEF∽△BAF，可求得△DEF和△AFE、△ABF的面积之间的关系，从而可求得△DEF和△BCD的面积之间的关系，可求得答案． 【详解】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∴， 设S△DEF=S，则=S，=S， ∴=S+S=S， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴S△ABD=S△DBC=S， ∴S四边形EFBC=S△BDC-S△DEF=S-S=S， ∴S△DEF：S四边形EFBC=4：31． 故选：C． 2．（安徽蚌埠·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．翻折∠C，使点C落在斜边上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）．若△CEF与△ABC相似，则AD的长为 ． 【答案】 或 【知识点】相似三角形的综合问题 【详解】分析：若△CEF与△ABC相似，分两种情况：①若若CE:CF=3:4，如图1所示，此时EF∥AB. CD为AB边上的高，②若CF:CE=3:4，如图2所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD，与∠CEF=∠B.从而得到，即D点为AB的中点． 详解：若△CEF与△ABC相似，分两种情况： 若CE:CF=3:4，如图1所示： ∵CE:CF=AC:BC， ∴EF∥AB. 由折叠性质可知，CD⊥EF， ∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高， 在Rt△ABC中,∵ ∴ ∴ ∴AD=AC⋅cosA= 若CF:CE=3:4，如图2所示： ∵△CEF∽△CBA， ∴∠CEF=∠B. 由折叠性质可知,   又∵ ∴∠A=∠ECD， ∴AD=CD. 同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD， ∴D点为AB的中点， ∴ 综上所述，AD的长为或 故答案为或 点睛：考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 3．（九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知矩形ABCD与矩形AEFG，，连接GD，BE相交于点Q． （1）求证：△GAD∽△EAB； （2）猜想GD与BE之间的位置关系，并证明你的结论； （3）请连接DE，BG，若AB=6，AE=3，求DE2+BG2的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）GD⊥BE，理由见解析；（3）125 【知识点】相似三角形的综合问题 【分析】（1）根据四边形ABCD与AEFG为矩形，可得到∠DAG=∠EAB，又因为，即可证得△GAD∽△EAB； （2）设QE与AG相交于点M，根据△GAD∽△EAB可得到∠AGD=∠AEB，又因为∠QMG=∠AME，得到∠GQE=∠GAE，进而证得GD⊥BE； （3）连接BD和EG，根据GD⊥BE，得到，，进而得到，根据勾股定理得到，再根据，求出AD、AG，即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD与AEFG为矩形， ∴∠DAB=∠EAG=90°， ∴∠DAG=∠EAB， ∵，即， ∴△GAD∽△EAB； （2）GD⊥BE，理由如下： 如图，设QE与AG相交于点M， ∵△GAD∽△EAB； ∴∠AGD=∠AEB， 又∵∠QMG=∠AME， ∴∠GQE=∠GAE， 又∵∠GAE=90°， ∴∠GQE=90°， ∴GD⊥BE； （3）如图，连接BD和EG， ∵GD⊥BE， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵AB=6，AE=3，， ∴AD=8，AG=4， ∴． 【点睛】本题考查三角形的相关性质及勾股定理及其逆定理，解题的关键是综合运用相关知识． 【题型六】重心的有关性质 【例6】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点O是的重心，如果，则点O到边的距离是（    ） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】B 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的重心，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接并延长交于点，作于点，连接并延长交于点，作交于，证明得，由点是的重心得，，代入比例式即可求解． 【详解】解∶连接并延长交于点，作于点，连接并延长交于点，作交于， 点是的重心，， ， ， ，，， ， ， 根据题意，在中，，， ， ， 点是的重心，， ， ， ， 所以点到边的距离是6． 故答案为∶B． 【举一反三】 1．（2023·安徽蚌埠·模拟预测）下列说法中正确的是（   ） ①等边三角形三条高的交点就是它的重心；②三角形的重心到一边的距离等于这边上中线长的三分之一；③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一；④三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一 A．①③④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据三角形重心的性质分别判断，利用相似三角形的判定和性质判断相应推论． 【详解】解：①等边三角形三条高的交点既是它的垂心，也是重心，故正确； ③三角形的重心到一边中点的距离等于这边上中线长的三分之一，故正确； 如图，O为重心，过点O和点A分别作的垂线，垂足为E，F， 则， 则， ∴， 即三角形的重心到一边的距离等于这边上高的三分之一，故②错误，④正确； 故选A． 【点睛】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 2．如图，中，，如果F是的重心，那么 ． 【答案】 【知识点】重心的有关性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了重心的性质，相似三角形的判定与性质等知识．熟练掌握中线，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由F是的重心，，可得分别为的中点，则，，即；如图，连接并延长，交于，则，可求，然后求解作答即可． 【详解】解：∵F是的重心，， ∴分别为的中点， ∴， ∴，即； 如图，连接并延长，交于，则， ∴，， ∴，即， ∴， 故答案为：． 3．阅读材料：三角形的三条中线必交于一点，这个交点称为三角形的重心．    (1)特例感知：如图（1），已知边长为2的等边的重心为点，则的面积为______； (2)性质探究：如图（2），已知的重心为点，对于任意形状的，是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由； (3)性质应用：如图（3），在任意矩形中，点是的中点，连接交对角线于点，的值是不是定值，如果是，请求出定值为多少，如果不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， (3)是，12 【知识点】重心的有关性质、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）连接，利用相似三角形证明，运用勾股定理求出的长，运用三角形面积公式求解即可； （2）根据（1）的证明可求解； （3）由得到，即可求得答案． 【详解】（1）解：连接，如图一，    点是的重心， ，是，边上的中线， ，为，边上的中点， 为的中位线， ，， ， ， ，，， ，， ，； 故答案为：； （2）由（1）同理可得，，是定值； （3）矩形，点是的中点， ， ， ， ， ， 定值为12． 【点睛】本题是一道相似形综合题目，主要考查的是三角形重心的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，解答此题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 好题必刷 一、单选题 1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则对应边上的高的比等于(     ) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质分析判断即可. 【详解】∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3， ∴△ABC和△A′B′C′对应边上的高的比为2：3. 故选A. 【点睛】熟知“相似三角形的性质：相似三角形对应边上的高之比等于相似比”是解答本题的关键. 2．若，且与的相似比为m，与的相似比为n，则（.）： A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可判定与的相似比为m，则与的相似比为其倒数，所以两者积为1. 【详解】解：∵与的相似比为m， ∴与的相似比为，即， ∴ 故答案为C. 【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质，熟练掌握，即可解题. 3．若△ABC∽△DEF，相似比为1：2，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】B 【详解】试题解析：根据题意得， 所以S△DEF=4×2=8． 故选B． 点睛：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 4．如果（其中顶点、、依次与顶点、、对应），那么下列等式中不一定成立的是（ ） A． B．∠B=∠E C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形对应角相等，对应边成比例解答即可． 【详解】△ABC∽△DEF，故： A．∠A＝∠D正确，故本选项错误； B．∠B=∠E正确，故本选项错误； C．AB＝DE不一定成立，故本选项正确； D．正确，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应角相等，对应边成比例，作出图形更形象直观． 5．在△ABC中，三条边的长分别为2、3、4，△A′B′C′的两边长分别为1、1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′的第三边长应该是(    ) A．2 B． C．4 D．2 【答案】A 【详解】根据相似三角形对应边成比例，得：△A′B′C′的三边比为2:3:4，由于两边长为1和1.5，即2:3，则第三边为， 故选A. 6．已知的三边长分别为，，，现要利用长为和的两根铁丝制作与相似的三角形框架，如果以其中一根铁丝为一边，从另一根铁丝上截取两段（允许有余料）作为另外两边，可以作成不同的三角形框架有（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】A 【分析】根据相似三角形的性质分别计算以长的铁丝为最长边，中边和最短边的值即可； 【详解】有三种不同的截法： ①以长的铁丝为最长边，设中边长为，短边长为， 则， 解得， 所以可从长的铁丝上分别截取、长的两段； ②以长的铁丝为中边，设最长边长为，短边长为，则，解得， 由于，不符合题意； ③以长的铁丝为最短边，设最长边长为，中边长为，则，解得，不合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，准确分析判断是解题的关键． 7．如图，已知点、分别在边、上，，＝，那么等于（ ） A．1:2 B．1:3 C．1:4 D．2:3 【答案】B 【分析】根据BD=2AD，求出AD：AB的值，在根据相似三角形的性质求得DE：BC，最后再根据面积之比即可求解． 【详解】解：∵BD=2AD， ∴AD：AB=1：3， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴DE：BC=1：3． ∵△DBE和△EBC的高相同，设这个高为h， ∴ 故选B． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，找准对应线段是解题的关键． 8．如图，一束光线从y轴的点A（0，2）出发，经过x轴上的点C反射后经过点B（6，6），则光线从点A到点B所经过的路程是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】A 【分析】过B点作x轴的垂线与X轴相交于点D，由已知条件可以得到△OAC∽△DBC，从而得到OA与BD、OC与CD、AC与BC的关系，然后求的A点到B点所经过的路程为AC+BC 【详解】过B点作x轴的垂线与x轴相交于点D，则BD⊥CD， ∵A点经过点C反射后经过B点， ∴∠OCA=∠DCB， 又∵BD⊥CD，AO⊥OC， ∴△OAC∽△DBC， ∴=， ∵OA=2，BD=6， = ∵OD=OC+CD=6 ∴OC=6×=1.5． 根据勾股定理得：AC==2.5， BC=2.5×3=7.5， AC+BC=2.5+7.5=10. 故选A． 【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质、三角形相似的性质以及勾股定理的应用． 9．如图，正方形的边长为，点O是对角线、的交点，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，、交于点G，中点为H．给出下列结论： ①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④；⑤H点经过的路程为其中正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】①由正方形证明OC=OD，∠ODF=∠OCE=45°，∠COM=∠DOF，可得结论；②由全等三角形得OE=OF，得∠OEG=∠FCG=45°，再利用对顶角相等，证得△OGE∽△FGC；③先证明S△COE=S△DOF，可得S四边形CEOF=S△OCD=S正方形ABCD；④证明△OEG∽△OCE，得OG•OC=OE2，再证明BE2+DF2=EF2，由EF＞OE，可得结论；⑤由CH=OH，则点H在OC的垂直平分线上，可得点H的轨迹是PQ，通过证明△CPQ∽△CDB，可求PQ=2，即可得结论． 【详解】解：①∵四边形ABCD是正方形， ∴OC=OD，AC⊥BD，∠ODF=∠OCE=45°， ∵∠MON=90°， ∴∠COM=∠DOF， ∴△COE≌△DOF（ASA）， 故①正确； ②∵△COE≌△DOF， ∴OE=OF， ∵∠MON=90°， ∴∠OEG=45°=∠FCG， ∵∠OGE=∠FGC， ∴△OGE∽△FGC， 故②正确； ③∵△COE≌△DOF， ∴S△COE=S△DOF， ∴S四边形CEOF=S△OCD=S正方形ABCD，故③正确； ④∵△COE≌△DOF， ∴OE=OF， 又∵∠EOF=90°， ∴△EOF是等腰直角三角形， ∴∠OEG=45°=∠OCE， ∵∠EOG=∠COE， ∴△OEG∽△OCE， ∴OE：OC=OG：OE， ∴OG•OC=OE2， ∵CE=DF，BC=CD， ∴BE=CF， 又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2， ∴BE2+DF2=EF2， ∵EF2＞OE2， ∴BE2+DF2＞OG•OC，故④错误； ⑤如图，连接OH，CH，作OC的垂直平分线交BC于Q，交CD于点P， ∵△EOF是等腰直角三角形，点H是EF的中点， ∴OH=EF， ∵∠BCD=90°，点H是EF的中点， ∴CH=EF， ∴CH=OH， ∴点H在OC的垂直平分线上， ∴点H的轨迹是PQ， ∵正方形ABCD的边长为2， ∴BD=4， ∵PQ⊥AC，BD⊥AC， ∴PQ∥BD， ∴△CPQ∽△CDB， ∴， ∴PQ=BD=2， ∴H点经过的路程为2，故⑤错误， 故选：C． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的综合运用．灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 10．如图，已知D、E、F分别是等边△ABC的边AB、BC、AC上的点，且DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB，则下列结论不成立的是（　　） A．△DEF是等边三角形 B．△ADF≌△BED≌△CFE C．DE=AB D．S△ABC=3S△DEF 【答案】C 【分析】求出∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°，求出∠DEF=∠DFE=∠EDF=60°，推出DF=DE=EF，即可得出等边三角形DEF，根据全等三角形性质推出三个三角形全等即可．求出AB=3BE，DE=BE，即可判断选项C．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可判断选项D． 【详解】∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC=BC，∠B=∠C=∠A=60°， ∵DE⊥BC、EF⊥AC、FD⊥AB， ∴∠DEB=∠EFC=∠FDA=90°， ∴∠BDE=∠FEC=∠AFD=30°， ∴∠DEF=∠DFE=∠EDF=180°﹣90°﹣30°=60°， ∴DF=DE=EF， ∴△DEF是等边三角形， 在△ADF、△BED、△CFE中 ∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴AD=BE=CF， ∵∠DEB=90°，∠BDE=30°， ∴BD=2BE，DE=BE， ∴AB=3BE， 即DE=AB， 即DE=AB错误； ∵△ABC和△DEF是等边三角形， ∴△ABC∽△DEF， ∴S△ABC：S△DEF=（AB）2：（DE）2=（DE）2：DE2=3， 即只有选项C错误；选项A、B、D正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握判定定理和性质是关键. 二、填空题 11．如图，，分别交的边于，于，且，则与的关系是 ． 【答案】相似 【分析】由图可知两个三角形大小不一，一定不是全等，而题干中化成比例的形式为，告诉了两组对边成比例，则可以考虑三角形相似，则需要找这两边的夹角相等，运用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定定理去判断. 【详解】∵AE•AC=AD•AB，∴，又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB．（两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似） 故答案为相似． 【点睛】本题解题关键是把化成的形式，找准两组对边对应成比例，且公共夹角∠A. 12．如图，△ABC中，DE∥BC，AE：EB=2：3，则△AED的面积与四边形DEBC的面积之比为 ． 【答案】4：21 【分析】由已知条件得到AE：AB=2：5，根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到， 即可得到结论． 【详解】解：∵AE：EB=2：3， ∴AE：AB=2：5， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴△AED的面积与四边形DEBC的面积之比=4：21， 故答案为4：21． 13．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是 ． 【答案】36°/36度 【分析】根据黄金分割的定义得到AD2＝BD•AB，而AD＝AC＝BC，则BC2＝BD•AB，根据相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，则∠A＝∠BCD，设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，根据三角形外角性质得∠ADC＝∠BCD+∠B＝2x，所以∠ACD＝∠ADC＝2x，然后根据三角形内角和定理得到x+2x+x+x＝180°，再解方程即可． 【详解】解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点， ∴AD2＝BD•AB， ∵AD＝AC＝BC， ∴BC2＝BD•AB， 即BC：BD＝AB：BC， 而∠ABC＝∠CBD， ∴△BCD∽△BAC， ∴∠A＝∠BCD， 设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x， ∴∠ADC＝∠BCD+∠B＝2x， 而AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝2x， ∴x+2x+x+x＝180°，解得x＝36°． 故答案为：36°． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是根据黄金分割点得出比例式，证明三角形相似． 14．如图所示，点，，在轴上，且，分别过点，，作轴的平行线，与反比例函数的图象分别交于点，，，分别过点，，作轴的平行线，分别于轴交于点，，，连接，，，那么图中阴影部分的面积之和为 ．    【答案】． 【分析】根据三角形的面积和反比例函数的比例系数的关系可得，然后证出，设图中阴影部分的面积从左向右依次为，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出，然后求和即可． 【详解】解：根据题意可知    ∵轴 ∴ 设图中阴影部分的面积从左向右依次为 则， ∴ 同理 ∴图中阴影部分的面积分别是 ∴图中阴影部分的面积之和=． 故答案为：． 【点睛】此题考查的是三角形的面积和相似三角形的判定及性质，掌握三角形的面积和反比例函数的比例系数的关系和相似三角形的判定及性质是解决此题的关键． 三、解答题 15．如图，A、B、C三点均在边长为1的小正方形网格的格点上． (1)请在BC上标出点D，连接AD，使得△ABD∽△CBA； (2)试证明上述结论：△ABD∽△CBA． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的定义作图即可． （2）借助勾股定理求出AB的长度，根据相似三角形的判定定理证明． 【详解】（1）如图，点D是所求作的点， （2）证明：，BC＝5，BD＝1， ，， ， ∵∠DBA＝∠ABC， ∴△ABD∽△CBA． 【点睛】本题考查相似三角形的判定、勾股定理，解决本题的关键是熟悉相似三角形的判定定理． 16．如图，两个四边形相似，求未知边x、y的长度及角α的大小． 【答案】x=24，y=28，α=75° 【分析】已知题意，想到根据相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例，从而正确解答此题． 【详解】∵两个四边形相似， ∴20：5=x：6=y：7， 解得：x=24，y=28， ∵四边形内角和等于360°， ∴α= =75°， ∴x=24，y=28，α=75°． 【点睛】本题考查相似多边形的性质．相似多边形的对应角相等，相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方，认真计算是解答本题的关键． 17．已知，在中，，，，点、分别在边、上，如果以点、、为顶点的三角形和以点、、为顶点的三角形相似且相似比为，求和的长． 【答案】，或，． 【分析】利用相似三角形的性质分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论，分别列出比例式即可求得AD、AE的长． 【详解】解：分两种情况讨论： 若∽，则有，即， ∴，； 若∽，则有，即， ∴，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是分两种情况讨论． 18．我们在学习三角形相似时，往往是添加平行线构造相似三角形的基本图形．有一学生根据这一理论猜想三角形内角平分线有这样一个性质：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，则.如果你认为这个猜想是正确的，请写出一个完整的推理过程． 【答案】正确，理由见试题解析． 【分析】先过点B作BE∥AC交AD延长线于点E，由于BE∥AC，利用平行线分线段成比例定理的推论、平行线的性质，可得△BDE∽△CDA，∠E=∠DAC，再利用相似三角形的性质可有，而利用AD时角平分线又知∠E=∠DAC=∠BAD，于是BE=AB，等量代换即可证． 【详解】解：过点B作BE∥AC交AD延长线于点E， ∵BE∥AC， ∴∠DBE=∠C，∠E=∠CAD， ∴△BDE∽△CDA， ∴， 又∵AD是角平分线， ∴∠E=∠DAC=∠BAD， ∴BE=AB， ∴． 考点：相似三角形的判定与性质． 19．如图，点D，E分别是和上的点，，，． （1）求的度数； （2）求的度数； （3）求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）根据相似三角形的对应角相等即可得到答案； （2）由三角形的内角和进行计算即可； （3）根据相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）在△ADE中， ； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，三角形的内角和等知识，熟练掌握相似三角形的对应角相等，对应边成比例是解题的关键． 20．如图，已知，，，求的度数． 【答案】． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB=70°，根据相似三角形的性质得出=，∠BAD=∠CAE，求出=，∠BAC=∠DAE，推出△BAC∽△DAE，根据相似三角形的性质得出∠AED=∠ACB即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出△BAC∽△DAE． 21．如图，已知平行四边形ABCD，F是BC延长线上的一点，连接AF交CD于点E．若EF=3，AE=4，EC=2，求AB的长． 【答案】 【分析】通过平行四边形ABCD的性质，可推导出，从而利用相似三角形相似比完成求解． 【详解】∵EF=3，AE=4 ∴AF=EF+AE=7 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴EC∥AB ∴且 ∴ ∴= ∵EC=2 ∴= ∴AB=． 【点睛】本题考查了相似三角形和平行四边形的知识；求解的关键是熟练掌握相似三角形和平行四边形的性质完成求解． 22．如图，四边形为平行四边形，E，F为边的两个三等分点，连接交于点G，若，求． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F为边的两个三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图像经过点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图像于点E，求点E的坐标． 【答案】(1)； (2)（，）； 【分析】（1）过点B作BF⊥y轴，垂足为F，设点A为（0，m），根据菱形的性质和勾股定理求出，然后求出点C的坐标，即可求出解析式； （2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，先证明△ODG∽△OCH，求出，，然后得到点D的纵坐标，再求出点E的坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图： ∵四边形是菱形， 设点A为（0，m）， ∴， ∵点B为， ∴，， 在直角△ABF中，由勾股定理，则 ，即， 解得：， ∴， ∴点C的坐标为， 把点C代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图， ∵， ∴， ∵DG∥CH， ∴△ODG∽△OCH， ∴， ∵点C的坐标为， ∴，， ∴， ∴，， ∴点D的纵坐标为， ∵轴， ∴点E的纵坐标为， ∴，解得， ∴点E的坐标为（，）； 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握题意，正确的作出辅助线，从而进行解题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$