第08讲 圆心角 （知识清单+4大题型+好题必刷） 【暑假预习】2025-2026学年九年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第08讲 圆心角 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 题型二 求圆弧的度数 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求证 知识清单 知识点1．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型练习 【题型一】圆心角概念辨析及简单运算 【例1】（九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【举一反三】 1．（九年级上·浙江·专题练习）下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 3．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【题型二】求圆弧的度数 【例2】（九年级·浙江·专题练习）下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【举一反三】 1．（九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 2．（浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为 °． 3．（九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB． 求证：． 【题型三】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的中，他们提出了如下猜想：小滨：若，则．小江：若，则．请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【题型四】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例4】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个圆； B．平分弦的直径平分弦所对的弧； C．相等的弦所对的圆心角相等； D．相等的弧所对的圆心角相等 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 好题必刷 一、单选题 1．图中是圆心角的是（　　） A．  B．  C．   D．   2．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（   ） A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC． B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD． C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC． D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD． 3．下列说法正确中的是（      ） A．顶点在圆周上的角称为圆周角 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径 D．圆周角等于圆心角的一半 4．如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（ ） A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．不能确定 5．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 6．如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．圆心到这两条弦的距离相等 D．以上答案都不对 7．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（　　） A．60° B．50° C．30° D．10° 8．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 9．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 10．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（　　）①CE＝OE②∠C＝50°  ③＝④AD＝2OE A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 12．如图为的弦，，则 ，O点到距离= ． 13．如图，已知为的直径，为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍，则圆心角 ．    14．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是 度． 15．下列四种说法：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．其中正确的是 ．（填序号） 16．如图，是的弦，是的中点，交于点．    （1）若，则 ； （2）若，则 ． 三、解答题 17．如图，点，，，在在中，若，求证：．    18．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 19．如图，是的直径，，，求的度数．    20．如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G． (1)求证：； (2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数． 21．如图，在⊙O中，A、B、C、D为圆上四点，且OC、OD交AB于E、F，AE＝FB，则： （1）OE与OF有什么关系？为什么？ （2）弧AC与弧DB相等吗？为什么？ 22．如图，在中，与相等，，垂足分别为D，E，且，那么是什么三角形？为什么？ 23．如图，已知、是的两条直径，是的弦，且，求证：． 24．下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：一个以O为顶点的角，使它等于． 作法： ①在射线上任取一点C，以O为圆心，为半径作，与射线交于点D； ②连接，以点C为圆心，为半径作，与交于点P； ③作射线，则即为所求． 根据上述作法，请回答： （1）在右图中利用尺规补全图形；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）补全下面的推理过程：连接，在中 ∵________（填线段的名称） ∴（_______________）（填推理的依据） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆心角 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 圆心角概念辨析及简单运算 题型二 求圆弧的度数 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系求解 题型四 利用弧、弦、圆心角的关系求证 知识清单 知识点1．圆心角、弧、弦的关系 （1）定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． （2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧． （3）正确理解和使用圆心角、弧、弦三者的关系 三者关系可理解为：在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．这源于圆的旋转不变性，即：圆绕其圆心旋转任意角度，所得图形与原图形完全重合． （4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，选择其有关部分． 题型练习 【题型一】圆心角概念辨析及简单运算 【例1】（九年级上·全国·专题练习）下列说法正确的是（　　） A．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角 B．圆心角α的取值范围是 C．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角 D．圆心角就是在圆心的角 【答案】C 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案． 【详解】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角， ∴A、D错误，C正确； ∵圆心角α的取值范围是， ∴B错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义． 【举一反三】 1．（九年级上·浙江·专题练习）下面图形中的角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； B．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．是圆心角，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角的定义，注意：顶点在圆心上，并且两边和圆相交的角，叫圆心角． 2．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）在中，弦，圆心角，则的半径为 ． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定和性质、圆心角概念辨析及简单运算 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，圆心角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到答案． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：． 3．如图，圆心角． (1)判断和的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【知识点】圆心角概念辨析及简单运算 【分析】（1）根据条件和，即可求解； （2）根据第（1）问的结论和即可求解． 【详解】（1）解：； ∵，，， ∴ （2）解：∵，，，， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了简单几何问题，灵活运用所学知识是关键． 【题型二】求圆弧的度数 【例2】（九年级·浙江·专题练习）下列命题：①同圆中等弧对等弦；②垂直于弦的直径平分这条弦；③平分弦的直径垂直于这条弦；④相等的圆心角所对的弧相等．其中是真命题的是（    ） A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】 求圆弧的度数、垂径定理的推论 【分析】根据垂径定理、圆心角定理逐个判断即可． 【详解】同圆中等弧对等弦，则命题①是真命题 垂直于弦的直径平分这条弦，则命题②是真命题 平分弦（非直径）的直径垂直于这条弦，则命题③是假命题 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，则命题④是假命题 综上，是真命题的有①② 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、圆心角定理，熟记圆中的相关定理是解题关键． 【举一反三】 1．（九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知正五边形ABCDE内接于⊙O，则劣弧AB的度数是（　　） A．45° B．60° C．72° D．90° 【答案】C 【知识点】 求圆弧的度数 【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：求解． 【详解】解：∵五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形， ∴五边形ABCDE的中心角∠AOB的度数为72°， ∴劣弧AB的度数是72°， 故选：C． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式：是解题的关键． 2．（浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，分别交、于点E、F，则弧的度数为 °． 【答案】70 【知识点】 求圆弧的度数 【分析】连接OF，求出∠C和∠CFO度数，求出∠COF，即可求出弧CF度数． 【详解】 解：如图，连接OF， ∵∠A＝70°，∠B＝55°， ∴∠C＝180°−∠A−∠B＝55°， ∵OC＝OF， ∴∠CFO＝∠C＝55°， ∴∠COF＝180°−∠C−∠CFO ＝70°， ∴弧CF的度数是70°． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系，掌握弧的度数等于它所对的圆心角的度数是解题的关键． 3．（九年级上·浙江杭州·期中）如图，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB． 求证：． 【答案】见解析 【知识点】 求圆弧的度数、等边三角形的判定和性质 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据垂线平分线的定义与性质得出，然后根据等边三角形的判定与性质得出，从而可得，最后根据圆心角定理即可得证． 【详解】如图，连接OE、CE ∵ ∴ 又∵D是OC中点 ∴DE是OC的垂直平分线 ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了圆心角定理、等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识点，根据圆心角定理，将所要证问题转化为证明相应的圆心角之间的等量关系是解题关键． 【题型三】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【例3】（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是的直径，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧对等角是解题的关键．根据得到，利用平角的定义求出，再利用即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，是的一条弦，直径，垂足为，下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系逐一判断即可，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 【详解】解：、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴， ∴，故不符合题意； 、∵直径， ∴与不一定相等，符合题意； 故选：． 2．（九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江在研究与圆有关的问题时发现：“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等．”进一步思考后，两位同学提出了这样的想法：这四对量中，如果有一对量存在倍数关系，其余三对量是否也会相应的存在倍数关系？因此，在如图所示的中，他们提出了如下猜想：小滨：若，则．小江：若，则．请判断小滨、小江所提的猜想是否正确，并说明理由． 【答案】小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系．根据垂径定理，圆心角、弦、弧之间的关系以及三角形三边关系进行解答即可． 【详解】解：小滨的猜想是正确的，小江的猜想是错误的；理由： 小滨：如图1，作的平分线， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，即； 小江：如图2，取的中点E，连接并延长交于点D， 由垂径定理可知，， ∴， ∵，即，而， ∴， ∴， ∴． 【题型四】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【例4】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）下列命题中是真命题的是（    ） A．三点确定一个圆； B．平分弦的直径平分弦所对的弧； C．相等的弦所对的圆心角相等； D．相等的弧所对的圆心角相等 【答案】D 【知识点】垂径定理的推论、圆的基本概念辨析、判断命题真假、利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，弧、弦、圆心角的关系即可判断． 【详解】解：、三点确定一个圆，是假命题，应该是不在同一直线上三点确定一个圆； 、平分弦的直径平分弦所对的弧，是假命题，条件是此弦非直径； 、在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角对应相等，故此命题是假命题 、相等的弧所对的圆心角相等，真命题． 故选：． 【点睛】本题考查命题与定理、确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，C是以为直径的半圆O上一点，连接，，分别以，为直径向外作半圆，，的中点分别为D，E，连接，，若要求出的长，只需知道（    ）    A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】C 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、利用弧、弦、圆心角的关系求证、线段垂直平分线的判定 【分析】记交于，连接交于，连接、、，根据垂直平分线的判定，弧、弦之间的关系，证明垂直平分，垂直平分，推出和是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，证明点C、D、E在同一直线上，证明是等腰直角三角形，推出，即可选择答案． 【详解】解：如图，记交于，连接交于，连接、、，    ∵C是以为直径的半圆O上一点， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，也在垂直平分线上， ∵，的中点分别为D，E， ∴，， ∴，， ∴点D在的垂直平分线上，点E在垂直平分线上， ∴垂直平分，垂直平分， ∴点和点分别是和的中点，即点和点分别是以，为直径向外所作半圆的圆心， ∴，， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴，即点C、D、E在同一直线上， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴若要求出的长，只需知道的长即可， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、弦之间的关系，垂直平分线的判定，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握知识点推理证明是解题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，是同圆的两段弧，且，则弦与之间的数量关系为 ．（填“>”，“=”，“<”） 【答案】< 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了圆弧与弦的关系，三角形三边的关系．熟练掌握同圆中等弧对等弦，三角形任意两边的和大于第三边，是解决问题的关键． 画图，取的中点E，连接，，根据，，得到，得到，根据，即得． 【详解】如图，取的中点E，连接，， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：<． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图所示，已知，求证：． 【答案】见解析 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求证 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系，由得到，则，从而可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 好题必刷 一、单选题 1．图中是圆心角的是（　　） A．  B．  C．   D．   【答案】B 【分析】圆心角是过弧AB两端的半径构成的角． 【详解】解：A为圆周角，不符合题意； B是圆心角，符合题意； C不是圆心角，不符合题意； D不是圆心角，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查圆心角的定义．熟记相关定义即可． 2．如图，将命题“在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（   ） A．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AD＝BC． B．已知：在⊙O中，＝．求证：∠AOB＝∠COD，AB＝CD． C．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AD＝BC． D．已知：在⊙O中，＝，∠AOB＝∠COD．求证：AB＝CD． 【答案】B 【分析】由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个；再根据选项中给出的弧，正确的找到弧所对的圆心角和弦，即可选出答案． 【详解】A．所对的圆心角应为∠AOD，所对的圆心角应为∠BOC，相等的圆心角应为，故A选项错误； B．所对的圆心角为∠AOB、所对的弦为AB，所对的圆心角为∠COD、所对的弦为CD，故B选项正确； C．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故C选项错误； D．由题意可知，已知条件只有一个弧相等，而求证的结论有两个，故D选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查弧、弦、圆心角的关系，准确的找出弧所对的圆心角和弧所对的弦是解题的关键． 3．下列说法正确中的是（      ） A．顶点在圆周上的角称为圆周角 B．相等的圆周角所对的弧相等 C．若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径 D．圆周角等于圆心角的一半 【答案】C 【详解】试题分析：根据圆周角的定义及圆周角定理依次分析各项即可. Ａ．顶点在圆周上的角且角两边均与圆相交的角称为圆周角，Ｂ．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，Ｄ．在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半，故错误； Ｃ．若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这一边必为此三角形外接圆的直径，正确. 考点：圆周角的定义，圆周角定理 点评：概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较单一，因而在中考中不太常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般. 4．如图，已知AD＝BC，则AB与CD的关系为（ ） A．AB＞CD B．AB＝CD C．AB＜CD D．不能确定 【答案】B 【分析】由题知AD=BC，根据圆心角、弧、弦的关系，得出=. 再给=.两边加上，即可得到AB与CD的关系. 【详解】∵AD＝BC， ∴=. ∴+=+, 即=. ∴AB=CD. 故选:B. 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，解题关键熟练掌握圆心角、弧、弦的关系定理； 5．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（    ） A．38° B．52° C．76° D．104° 【答案】C 【分析】根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数． 【详解】∵OM=ON， ∴∠M=∠N=52°， ∴∠MON=180°-2×52°=76°． 故选C． 【点睛】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 6．如果两条弦相等，那么（ ） A．这两条弦所对的弧相等 B．这两条弦所对的圆心角相等 C．圆心到这两条弦的距离相等 D．以上答案都不对 【答案】D 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系（在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离相等）判断即可． 【详解】在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离（弦心距）相等， 即选项A、B、C都不对． 故选D． 【点睛】本题考查的知识点圆心角、弧、弦之间的关系的应用，解题关键是注意在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它所对的弧相等，所对的圆心角相等，圆心到两条弦的距离（弦心距）相等． 7．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（　　） A．60° B．50° C．30° D．10° 【答案】D 【分析】根据CO=AO，∠COA＝60°，可得为等边三角形，所以可得,再根据三角形的外角等于剩余两个内角之和,即可求得∠ACD. 【详解】解：∵OA＝OC，∠COA＝60°， ∴△ACO为等边三角形， ∴∠CAD＝60°， 又∵∠CDO＝70°， ∴∠ACD＝∠CDO﹣∠CAD＝10°． 故选D． 【点睛】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的任意一个外角等于剩余两个内角之和. 8．如图，扇形中，，半径是的中点，，交于点，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接OC，延长CD交OB于点E，如图，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出CE与DE的长，从而可得答案． 【详解】解：连接OC，延长CD交OB于点E，如图， ∵，是的中点， ∴∠COE=45°， ∵，， ∴CE⊥OB， ∴∠OCE=∠COE=45°， ∴CE=OE=， ∴BE=OB－OE=， ∵OA=OB，， ∴∠ABO=45°， ∴∠BDE=∠ABO=45°， ∴EB=ED=， ∴CD=CE－DE=． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆心角和弧的关系、等腰直角三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质是解此题的关键． 9．如图，半径为5的中，弦，所对的圆心角分别是，．已知，，则弦的弦心距等于（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的=关系，垂径定理和三角形中位线性质． 作于，作直径，连接，先利用等角的补角相等得到，再利用圆心角、弧、弦的关系得到，由，根据垂径定理得，可证为△的中位线，然后根据三角形中位线性质得到． 【详解】解：作于，作直径，连接，如图， ， 而， ， ， ， ， ， 而， 为△的中位线， ． 故选：D． 10．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（　　）①CE＝OE②∠C＝50°  ③＝④AD＝2OE A．①④ B．②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可． 【详解】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E， ∴CE＝DE，，， ∴∠BOC＝2∠A＝40°，， 即，故③正确； ∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°， ∴∠C＝50°，故②正确； ∵∠C≠∠BOC， ∴CE≠OE，故①错误； 作OP∥CD，交AD于P， ∵AB⊥CD， ∴AE＜AD，∠AOP＝90°， ∴OA＜PA，OE＜PD， ∴PA+PD＞OA+OE ∵OE＜OA， ∴AD＞2OE，故④错误； 故选：B． 【点睛】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质. 二、填空题 11．如图，在中，劣弧的度数为，则圆心角 . 【答案】 【分析】的度数即为所对圆心角的度数； 【详解】解：的度数即为所对圆心角的度数； ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系；正确理解圆心角的定义是解题的关键． 12．如图为的弦，，则 ，O点到距离= ． 【答案】 1 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系即可求解． 【详解】解：是的弦， ， ， 在中，， ， 如图，过点O作OC⊥AB，垂足为C， 又∵∠AOB=90°，OC=AC， ∴OC=AB=1， 即：O点到距离为1， 故答案为：；1． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，本题的解题关键是用勾股定理计算出OA的长，也考查了等腰直角三角形的性质． 13．如图，已知为的直径，为半圆周上的一点，且所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍，则圆心角 ．    【答案】60 【分析】根据弧和圆心角的关系得到，再根据平角定义求解即可． 【详解】解：∵所对圆心角的度数是所对圆心角度数的2倍， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， 故答案为：60． 【点睛】本题考查弧和圆心角的关系，得到是解答的关键． 14．如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是 度． 【答案】20 【分析】先根据旋转的性质得,则根据圆心角、弧、弦的关系得到∠DOC=∠AOB=20°，然后根据圆心角的度数等于它所对弧的度数即可得解. 【详解】解： ∵将旋转n°得到, ∴ ∴∠DOC=∠AOB=20°， ∴的度数为20度． 故答案为20． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了旋转的性质． 15．下列四种说法：①顶点在圆心的角是圆心角；②两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角相等；④在等圆中，圆心角不等，所对的弦也不等．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】① 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对每一项进行分析即可求出正确答案． 【详解】①顶点在圆心的角是圆心角；故本选项正确； ②在同圆或等圆中，两个圆心角相等，它们所对的弦也相等；故本选项错误； ③两条弧的长度相等，则这两条弧所对的圆心角不一定相等；故本选项错误； ④在等圆中80°的圆心角和280°的圆心角所对的弦相等圆心角不等，所对的弦可以相等．故本选项错误； 其中正确的是：① 故答案为①． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立． 16．如图，是的弦，是的中点，交于点．    （1）若，则 ； （2）若，则 ． 【答案】 60 4 【分析】（1）根据是的中点可得，易知； （2）根据垂径定理可得． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∴； ∵是的中点，过圆心，， ∴． 故答案为：①60，②4． 【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系以及垂径定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． 三、解答题 17．如图，点，，，在在中，若，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了弧与弦之间的关系，根据同圆中，等弧所对的弦相等，反之亦然，先证明，进而证明，则． 【详解】解： ， ， ， ． 18．已知：如图所示，A，B，C，D是⊙上的点，且，，求的度数． 【答案】． 【分析】由题意易知，然后根据弧与圆心角的关系可直接进行求解． 【详解】解：∵A，B，C，D是上的点，， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等是解题的关键． 19．如图，是的直径，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据圆的性质进行计算即可得． 【详解】解：在中，AB是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的性质，解题的关键是掌握同弧所对的圆心角相等． 20．如图所示，以的顶点A为圆心，为半径作圆，分别交，于点E，F，延长交于G． (1)求证：； (2)若劣弧所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，弧与圆心角的关系等知识点的应用，关键是求出． （1）要证明，则要证明，由等边对等角以及平行四边形性质即可证明； （2）根据劣弧所对圆心角的度数为，得到，于是得到，根据平行四边形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，连接，   为圆心， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ； （2）∵劣弧所对圆心角的度数为， ， ， 四边形为平行四边形， ， ． 21．如图，在⊙O中，A、B、C、D为圆上四点，且OC、OD交AB于E、F，AE＝FB，则： （1）OE与OF有什么关系？为什么？ （2）弧AC与弧DB相等吗？为什么？ 【答案】（1）OE=OF，见解析；（2）相等，理由见解析. 【分析】（1）根据OA=OB，得到∠OAB=∠OBA, AE=BF，即可证明△AOE≌△BOF，得到OE=OF. （2）根据△AOE≌△BOF，得到∠AOE=∠BOF，根据圆心角与弧的关系即可得到=. 【详解】（1）OE=OF, 证明：∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA, 又AE=BF， ∴△AOE≌△BOF ∴OE=OF. （2）=. 证明：∵△AOE≌△BOF ∴∠AOE=∠BOF ∴=. 【点睛】本题考查圆的性质，全等三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键. 22．如图，在中，与相等，，垂足分别为D，E，且，那么是什么三角形？为什么？ 【答案】为等边三角形，理由见解析． 【分析】根据圆心角、弧、弦的关系由得到AB＝BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE＝AC，CD＝BC，∠ODC＝∠OEC＝90°，利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD＝CE，于是有BC＝AC，则AB＝AC＝CB，即可得到△ABC为等边三角形． 【详解】解：△ABC为等边三角形．理由如下： 连接OC， ∵， ∴AB＝BC， ∵OD⊥BC，OE⊥AC， ∴CE＝AC，CD＝BC，∠ODC＝∠OEC＝90°， ∵在Rt△ODC和Rt△OEC中， ， ∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL）， ∴CD＝CE， ∴BC＝AC， ∴AB＝AC＝CB， ∴△ABC为等边三角形． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定． 23．如图，已知、是的两条直径，是的弦，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据，可证得，再根据平行线的性质，即可证得，最后根据圆心角与弧的关系即可证得． 【详解】证明：如图：连接， ， ， ， ，， ， ∴． 【点睛】本题考查了等边对等角，平行线的性质，圆心角与弧的关系，作出辅助线是解决本题的关键． 24．下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：如图，． 求作：一个以O为顶点的角，使它等于． 作法： ①在射线上任取一点C，以O为圆心，为半径作，与射线交于点D； ②连接，以点C为圆心，为半径作，与交于点P； ③作射线，则即为所求． 根据上述作法，请回答： （1）在右图中利用尺规补全图形；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）补全下面的推理过程：连接，在中 ∵________（填线段的名称） ∴（_______________）（填推理的依据） 【答案】（1）见解析；（2）CD；在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等． 【分析】（1）根据题意作图即可； （2）根据圆的对称性回答即可． 【详解】解：（1）如图，即为所求． （2）如图，连接，在中， ∵CD， ∴（在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等）， 故答案为：CD；在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等． 【点睛】本题考查了圆的对称性，熟练掌握圆的对称性定理是解决本题的关键，在同圆或等圆中，两条弦，两条弧或者两个圆心角这三组量中有一组量相等，那么所对的另外两组量也分别相等. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$