22导数与概率的综合专练-2026届高三数学一轮复习

22.导数与概率综合压轴 随着概率与统计的地位越来越重要，未来不排除导数与概率综合去命制压轴题目，作为最后一节，我们赏析一下概率与导数压轴题. 一．基本原理：似然估计与概率最值 1.已知函数：输入有两个：表示某一个具体的数据；表示模型的参数，如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点，其出现概率是多少.如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的模型参数，出现这个样本点的概率是多少. 极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值. 换句话说，极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”. 2. 二项分布的两类最值 （1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加；当时， ，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大. （2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题， 这可以用导数求函数最值与最值点. 分析： 当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值. 3．超几何分布的概率最值 将从件产品中取出件产品的可能组合全体作为样本点，总数为.其中，次品出现次的可能为.令，则所求概率为 即.令则当时，；当时，，即当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数. 所以当时，达到最大值. 二．典例分析 例1 .（24届杭州市高三二模T19）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．（公众号：凌晨讲数学） 注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值． （2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计． 具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 解（1）因为，所以的值为或． （ⅰ）表格如下 0 1 2 3 （ⅱ）由题知． 当或1时，参数的概率最大；当或3时，参数的概率最大． 所以 （2）对对数似然函数进行求导，，因此似然方程为 ，解上面的方程，得， 因此，用最大似然估计的参数与频率估计概率的是一致的，故用频率估计概率是合理的． 例2.（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．（公众号：凌晨讲数学） 解析：（2）设，因为，故，若，则，故. ，因为，，故有两个不同零点，且， 且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故，故为的一个最小正实根，若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，综上，若，则.若，则，故.此时，，故有两个不同零点，且，且时，；时，；故在，上为增函数，在上为减函数，而，故，又，故在存在一个零点，且.所以为的一个最小正实根，此时，故当时，. （3） 意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 例3.（24届湖北省部分学校联考）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取） （1）若，，求； （2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. 解析：（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有种情况. 要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况： ①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况. ②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有种情况.故所求概率为. （2）记事件表示最大的麦穗被摘到，事件表示最大的麦穗在麦穗中排在第颗. 因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以.以给定所在位置的序号作为条件，.当时，最大的麦穗在前颗麦穗之中，不会被摘到，此时.当时，最大的麦穗被摘到，当且仅当前颗麦穗中的最大的一颗在前颗麦穗中时，此时.由全概率公式知.令函数，，令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以.所以当，时取得最大值，最大值为，此时，即的最大值为，此时的值为. 例4.（2011全国卷） （1）设函数，证明：时，； （2）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为．证明：. 解析：（1），当时，，所以为增函数，又， 因此时， . （2）依题，又， 所以由（1）知：当时，，因此 在上式中，令，则，即，所以 三．习题演练 1．为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（    ） A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的 B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的 C． D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为 【详解】极大似然是一种估计方法，A错误；设鲤鱼和草鱼的比例为，则出现80条鲤鱼，20条草鱼的概率为， 设 ， 时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 故当时，最大，故B正确； 根据题意，（其中或1，）， 所以，可知C正确； 令，解得，且时，时，故在上递增，在上递减，故达到极大值时，参数的极大似然估计值为，故D正确. 故选：BCD 2．设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值. (1)若随机变量的分布列为 1 2 3 其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值. (2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值. (3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为. 【详解】（1）依题意得：， 所以.当时，，单调递增； 当时，，单调递减；所以时，取得最大值，所以的极大似然估计值为. （2）依题意得：，所以. 令，得，令，得， 又，所以… 所以或200时，取得最大值，所以的极大似然估计值为或200. （3）依题意得： 所以 令，， 则，令，得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取到最大值. 即时，取得最大值，即取得最大值. 所以参数的极大似然估计值为. 3．函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：； (3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：． 【详解】（1）定义域为，， 对于方程，， 当，即时，，，在上单增， 当，即或时，方程有两不等根， ，，而，， 所以当时，，在上恒成立，在上单增； 当时，，或时，，时，， 所以在和上单增，在上单减， 综上，当时，在上单增； 当时，在和上单增， 在上单减； （2） ， 所以要证，即证，即证， 也即证（*）成立．设，函数，由（1）知在上单增，且，所以时，，所以（*）成立，原不等式得证； （3）由题可得，因为，，…，，所以，又由（2）知，，取，有，即，即，所以． 4．某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24． (1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率． (2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p． （i）试用含m的代数式表示p； （ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值． 【详解】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：，，，故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率． （2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率． （ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率， 所以，， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为． 由，且，得． 当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.导数与概率综合压轴 随着概率与统计的地位越来越重要，未来不排除导数与概率综合去命制压轴题目，作为最后一节，我们赏析一下概率与导数压轴题. 一．基本原理：似然估计与概率最值 1.已知函数：输入有两个：表示某一个具体的数据；表示模型的参数，如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点，其出现概率是多少.如果是已知确定的，是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的模型参数，出现这个样本点的概率是多少. 极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能（最大概率）导致这些样本结果出现的模型参数值. 换句话说，极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已定，参数未知”. 2. 二项分布的两类最值 （1）当给定时，可得到函数，这个是数列的最值问题. . 分析：当时，，随值的增加而增加；当时， ，随值的增加而减少.如果为正整数，当时，，此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值. 注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量等于期望时，概率最大. （2）当给定时，可得到函数，这个是函数的最值问题， 这可以用导数求函数最值与最值点. 分析： 当时，由于当时，，单调递增，当时，，单调递减，故当时，取得最大值，.又当，当时，，从而无最小值. 3．超几何分布的概率最值 将从件产品中取出件产品的可能组合全体作为样本点，总数为.其中，次品出现次的可能为.令，则所求概率为 即.令则当时，；当时，，即当时，是关于的增函数；当时，是关于的减函数. 所以当时，达到最大值. 二．典例分析 例1 .（24届杭州市高三二模T19）在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为． （1）若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则． 注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率） （ⅰ）完成下表； 0 1 2 3 （ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为请写出的值． （2）把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计． 具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性． 例2.（2021新高考2卷）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 例3.（24届湖北省部分学校联考）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到颗麦穗（假设颗麦穗的大小均不相同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最大的麦橞，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第颗开始，只要发现比他前面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设，该学生摘到那颗最大的麦穗的概率为.（取） （1）若，，求； （2）若取无穷大，从理论的角度，求的最大值及取最大值时的值. 例4. （1）设函数，证明：时，； （2）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为．证明：. 三．习题演练 1．为了估计一批产品的不合格品率，现从这批产品中随机抽取一个样本容量为的样本，定义，于是，，，记（其中或1，），称表示为参数的似然函数．极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A，B，C，…，若在一次试验中，结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大. 极大似然估计是一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知”，通过若干次试验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大．根据以上原理，下面说法正确的是（    ） A．有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球．今随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中抽出的 B．一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的 C． D．达到极大值时，参数的极大似然估计值为 2．设随机变量的概率密度函数为（当为离散型随机变量时，为的概率），其中为未知参数，极大似然法是求未知参数的一种方法.在次随机试验中，随机变量的观测值分别为，，…，，定义为似然函数.若时，取得最大值，则称为参数的极大似然估计值. (1)若随机变量的分布列为 1 2 3 其中.在3次随机试验中，的观测值分别为1，2，1，求的极大似然估计值. (2)某鱼池中有鱼尾，从中捞取50尾，做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾，观测到做记号的有5尾，求的极大似然估计值. (3)随机变量的概率密度函数为，.若，，…，是的一组观测值，证明：参数的极大似然估计值为. 3．函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数有两个极值点，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：； (3)盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p，求证：． 4．某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24． (1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率． (2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p． （i）试用含m的代数式表示p； （ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$