已知极值点个数求参数及应用讲义-2026届高三数学一轮复习

13.已知极值求参数 一.基本原理 已知函数有极值点,求参数的值或范围,一般有两种情况: (1)由可以解出参数的值,这类题较为简单,只需由求出参数的值,再代回去研究的单调性,确认在处取得极值即可. (2)由不能解出参数的值,这类题一般需要对参数进行分类讨论,研究函数的单调性,当的表达式较为复杂时,可能需要分离参数,或者用到二阶导数,甚至三阶导数. 综上所述,相关问题就是一个讨论导函数变号零点的问题,所以又是一个方程问题,下面我们通过例子来分析具体解法. 二.典例分析 例1.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 解析:对原函数求导得,,因为函数有两个极值点,所以有两个不等实根,即有两个不等实根,亦即有两个不等实根.令,则可知在上单调递增,在上单调递减,所以,又因为当时,,当时,, 所以,解得,即的范围是.故选:B 例2.已知函数有两个极值点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析:,因为在上有两个不同的零点, 即有两个不同的正根,即有两个不同的正根,即与有两个不同的交点.因为,当时,,当时,, 所以函数在为增函数,在为减函数,当时,,且当时,,在同一坐标系中作出 与的图象,如图所示: 由图象得,故选:B. 例3.已知函数存在唯一的极值点,则实数的取值范围为( ) 解析:,,则 ,函数存在唯一的极值点,由,可知函数在上有一个变号零点,在没有变号零点,即在没有变号零点,令,, 则,当时,,则函数单调递增; 当时,,则函数单调递减;则,则,故实数的取值范围为.故选:B. 例4.已知函数 (1)若,求曲线在处的切线方程; (2)若在上有两个极值点,求实数的取值范围. 解析:, ,在处的切线方程为,即; (2)在上有两个极值点等价于在上有两个不同的实数根,即在上有两个不同的实数根,令,, 令,解得,当时,,单调递减;当时,,单调递增;又,,, 当时,方程在上有两个不同的实数根,实数的取值范围为. 例5.若函数(且)既有极大值又有极小值,则的取值范围为_. 解析:由题,令,则,所以有两个不相等的实数根.令,则,若,则时,在单调递减,则时,在单调递增,,所以,故, 若,则时,在单调递增,则时,在单调递减,, 所以,故或, 所以且.故答案为:且. 例6.若函数恰有两个极值点,则k的取值范围是_. 解析:函数的定义域为,, 令,解得或,若函数有2个极值点,则函数与图象在上恰有1个横坐标不为1的交点,而, 令,令或,故在和上单调递减,在上单调递增,又,如图所示, 由图可得.故答案为: 例7.设函数恰有两个极值点,则实数t的取值范围为_. 解析:因为,所以,因为有两个极值点,所以恰有两个正根,即为一个根,则有唯一正根,且,即有唯一正根,且,设,则的图象与图象有一个交点,,所以时,,所以在为增函数,又,因为,所以,所以只需且,即可满足题意,所以实数t的取值范围为.故答案为: 三.习题演练 1.已知函数在其定义域内既有极大值也有极小值,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 解析:因为,所以. 因为函数在其定义域内既有极大值也有极小值,所以只需方程在有两个不相等实根. 即,令,则.在递增,在递减.∴, 故选D. 2.已知函数有且只有一个极值点,则实数构成的集合是( ) A.且 B. C.或 D. 解析:由题意,求得函数的导数,令,即. 则.设,得. 当时,得;当时,得或, 所以函数在区间和上单调递减,在区间上单调递增. 因为函数有且只有一个极值点, 所以直线与函数的图象有一个交点,所以或. 当时恒成立,所以无极值,所以.故选D. 3.已知函数 有两个极值点,且,则实数的取值范围为_ . 【详解】原题等价于 是导函数 的两个零点, , 即是方程 的两个不相等的实数根,显然不符合方程0, 所以和是方程 的两个根, 即函数 的图像与直线有两个不同的交点, 由于 ,所以当或时, ;当时, ,故的减区间为和,增区间为,当趋于时, 趋于0,且,当且x趋于0时,趋于,当时,x趋于0时,趋于, 在处, 取得极小值 ;当时,x趋于时, 趋于 , 作出的大致图像如下图所示, 由图可知, ,且,因为,取,并令,则 , 单调递增, ,解得 ,此时 ,即 ,故答案为:. 4.若关于的函数在上存在极小值(为自然对数的底数),则实数的取值范围为_. 【详解】因为,所以, 令,则, 所以当或时,当时, 所以在,上单调递减,在上单调递增,又,, 当即时与轴有且只有一个交点,不妨设交点横坐标为, 则当时,即,当时,即, 即在上单调递增,在上单调递减,此时函数在处取得极大值,无极小值,不符合题意; 当即时与轴有且只有一个交点,不妨设交点横坐标为, 则当时,即,当时,即, 即在上单调递增,在上单调递减, 此时函数在处取得极大值,无极小值,不符合题意; 当时当时即,当时即, 所以在上单调递增,在上单调递减, 此时函数在处取得极大值,无极小值,不符合题意; 当时当时即,当时即, 所以在上单调递增,在上单调递减, 此时函数在处取得极大值,无极小值,不符合题意; 当,即时的图象如下所示: 即与轴有个交点,不妨依次设为、、,则当或时,即,当或时,即,所以在处取得极小值,符合题意,综上可得实数的取值范围为.故答案为: 学科网(北京)股份有限公司 $$