图象交点个数与零点转化讲义-2026届高三数学一轮复习

10.图像交点与零点转化 一．基本原理 函数的零点 （1）概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点. （2）函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 上述转化关系是处理零点问题的核心，即数形结合思想，我们可将方程问题转化为函数图像，也可将函数图像的交点转化为方程问题进一步通过函数思想解决，很多考题围绕这这个转化展开，下面详细分析. 二．典例分析 类型1.方程（零点）问题转化为图像问题解决 例1．设是定义在R上的偶函数，且时，当时，，若在区间内关于的方程且有且只有4个不同的根，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 解析：∵是偶函数，∴，又，∴对于任意的，都有，所以，所以函数是一个周期函数，且，又因为当时，，且函数是定义在R上的偶函数，若在区间内关于的方程恰有4个不同的实数解，则函数与在区间上有四个不同的交点，作函数和的图象，如图所示，需，又，则对于函数，由题意可得，当时的函数值小于1，即，由此解得，所以的范围是. 故选：D. 例2．已知函数满足，且时，，若时，方程有两个不同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 解析：因为，所以函数的图象关于直线对称.当时，，则当时，的图象如图所示， 直线为过定点的一条直线.当直线与当时的函数的图象相切时，直线与在的图象有两个公共点.当时，函数，，设切点为，切线的斜率， 则切线方程为，把点代入得，所以； 当直线过点时，，所以的取值范围为，故选：C. 例3．已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，为偶函数，若在上恰好有4个不同的实数根，则_______. 解析：由为偶函数，则，故，又是定义在上的奇函数，则，所以，故，即有， 综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，由在上单调递减，结合上述分析知：在上递增，上递减，上递增，所以在的大致草图如下： 要使在上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点， 所以，必有两对交点分别关于对称，则.故答案为：24 例4．函数的所有零点之和为___________． 解析：由，令，，显然与的图象都关于直线对称，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，    观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9.故答案为：9 例5．已知函数有两个不同的零点，则常数的取值范是_______ . 解析：由函数有两个不同的零点，可知与的图象有两个不同的交点，故作出如下图象， 当与的图象相切时，，即，由图可知，故相切时，因此结合图象可知，当时，与的图象有两个不同的交点，即当时，函数有两个不同的零点. 故答案为：. 类型2.图像交点转化为方程问题解决 例6．已知当时，函数的图像与函数的图像有且只有两个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由题设可知，当时，与有两个交点，等价于有两个根，令，则，所以当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，故，当，，，故；当时，，，故，如图；所以当时，直线与的图像有两个交点， 即函数的图像与函数的图像有且只有两个交点.故选：A. 例7．已知当时，函数的图象与函数的图象有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解析：由题设，当时，，令，则，所以当时，，则单调递增；当时，，则单调递减.又，，所以当时，直线与的图象有两个交点， 即函数的图象与函数的图象有且只有两个交点.故选：A. 例8．已知函数，若存在，使，则n的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 解析：，得，所以，当和时，，单调递增，当时，，单调递减，因为和时，，时，，且，，所以，作出函数的图像，如图所示， 当时，令， 所以，若存在，使等价于存在，使 所以，只需考虑函数与直线的交点个数问题，所以，由图可知，函数与直线的交点个数最多为个，所以，n的最大值为.故选：D 三．习题演练 1．已知定义为R的奇函数满足：，若方程在上恰有三个根，则实数k的取值范围是（） A． B． C． D． 【详解】方程在上恰有三个根，即直线与函数的图象有三个交点．由是R上的奇函数，则．当时，，则，当时，；当时，，所以在上递减，在上递增．结合奇函数的对称性和“周期现象”得在上的图象如下： 由于直线过定点．如图连接A，两点作直线， 过点A作的切线，设切点．其中，，则斜率，切线过点． 则，即，则， 当直线绕点在与之间旋转时，直线与函数在上的图象有三个交点，故．故选：D． 2．若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【详解】令，，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 当时，，当趋向正无穷时，趋向正无穷，故作出的大致图象，如图所示． 由题知函数恰有2个零点，即函数的图象与直线的图象恰有2个交点，易知点为与直线的公共点，又曲线在点处的切线方程为，所以当，直线与与曲线有2个交点；当时，直线与曲线有2个交点．综上所述，实数的取值范围为．故选：C． 3．已知函数满足函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， ，因为函数恰有5个零点， 所以的图象恰有5个交点，画出的图象，由图象可得， 因为与，与的图象关于轴对称， 且与交于原点，要恰有5个零点，则与，与的图象必有两个交点， 当与的图象相切时，设切点，此时切线的斜率为，可得，得，所以切点，即，交点，所以要使函数恰有5个零点，则.故选：A. 4．已知函数与函数的图象交点分别为：，…，，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意化简，，因为函数是奇函数，所以函数关于点对称.因为函数是奇函数，所以函数关于点对称.又，所以在上单调递减，由题得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，由图象可知，与的图象有四个交点，且都关于点对称， 所以，所以所求和为故选：D 5．已知函数，令，若函数恰好有4个零点，则实数的值为____________. 【详解】有4个零点，转化为与有4个交点， 当时，，，解得：，当和时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 如图画出函数的图象，当直线与相切时，此时有4个交点， 设切点，则，解得，， 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$