函数的图象与零点讲义-2026届高三数学一轮复习

（一）　函数的图象学案　　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　作函数的图象 例1 作出下列函数的图象: (1)y=; (2)y=|log2(x+1)|; (3)y=x2-2|x|-1. 考点二　函数图象的识别 例2 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为(　　) (2)已知函数f(x)=|ln|x||,则函数y=-f(-x+1)的图象是(　　) (3)函数f(x)=的大致图象可能是(　　) (4)已知函数f(x)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式可能为(　　) A.f(x)=- B.f(x)=- C.f(x)=- D.f(x)=- (5)若某函数在区间[-π,π]上的大致图象如图所示,则该函数的解析式可能是(　　) A.y=(x+2)sin 2x B.y= C.y= D.y= 考点三　函数图象的应用 角度1　图象法解方程或不等式 例3 已知定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示,则不等式x2f(x)>2f(x)的解集为(　　) A.(-,0)∪(,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(-,0)∪(,2) D.(-2,-)∪(0,)∪(2,+∞) 角度2　图象法求参数范围 例4 （1）设f(x)是定义在R上的函数,f(x)+x2是奇函数,f(x)-x是偶函数,函数g(x)=若对任意的x∈[0,m],g(x)≤3恒成立,则实数m的最大值为(　　) A. B. C. D. 例4 （2）设函数f(x)的定义域为D,如果存在正实数m,使得对任意x∈D,都有f(x+m)>f(x),则称f(x)为D上的“m型增函数”.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-a(a∈R).若f(x)为R上的“20型增函数”,则实数a的取值范围是　　　　.  （二）　函数与方程学案　　　　　　　　　　　　　　　 考点一　函数零点所在区间的判断 例1 (1)（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． (2)函数f(x)是函数的反函数,函数g(x)=f(x)+2x-6的零点为a,且a∈(n,n+1)(n∈N),则n=　 　　 考点二　函数零点个数的判断 例2(1)函数f(x)=在区间(0,1)内的零点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)函数f(x)=·cos x的零点个数为　　　　.  　.  (3)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(2-x)=f(x),当x∈[0,1]时,f(x)=,则方程f(x)=的实根的个数为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 考点三　函数零点的应用 角度1　根据零点个数求参数范围 例3(1)（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 例3(2)（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 例3(3)已知函数f(x)=(x2-4x+m)(-m-1)恰有3个零点,则整数m的取值个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 例3(4)已知函数f(x)=若方程f(x)=a有三个不同的实数根x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则的取值范围是　　　　.  例3(5)（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3(6)（2021·天津·高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例3(7)若关于x的不等式（其中），有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度2　根据零点个数或零点所在区间，求零点之间的关系 例4（1）实数a，b，c满足，则下列关系式中可能成立的是 . ①；②；③；④. 例4（2）若是方程的解，是方程的解，则等于（    ） A． B． C． D． 例4（3）设函数若关于的方程有四个不同的解且则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例4（4）函数在区间上的所有零点之和为（ ） A．0 B． C． D． 例4（5）已知函数，若,且 ，则的取值范围为（ ） A． B．C．D． 考点四 嵌套函数零点问题 角度1 内外自复合型 例5 (1)已知函数f(x)=则函数g(x)=f(f(x)-1)的零点个数为(　　) A.3 B.5 C.6 D.8 例5(2)函数f(x)=若函数g(x)=f(f(x))-a有三个不同的零点,则实数a的取值范围是　　　　.  例5（3）设，函数，当时，函数有 个零点；若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 例5（4）已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数m的取值范围为 ． 例5（5）（2013·四川）设函数（a∈R，e为自然对数的底数），若存在b∈[0，1]使 f（f（b））=b成立，则a的取值范围是（　　） A．[1，e] B．[1，1+e] C．[e，1+e] D．[0，1] 角度2 内外双函数复合型 例6（1）已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为 ． 例6（2）已知函数若恰有6个不同的实数解，则正实数的取值范围是 . （3）已知函数，有3个不同的零点，则实数a的取值范围是 . （4）（2005·上海·高考真题）设定义域为的函数，则关于的方程有个不同实数解的充要条件是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 （5）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． （三）函数的模型及其应用学案 例1（2020·山东·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ） A．1.2天 B．1.8天 C．2.5天 D．3.5天 例2（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 例3（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选题） 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 例4、酒驾严重危害交通安全.为了保障交通安全,交通法规定:机动车驾驶人每100 mL血液中酒精含量达到20 mg~79 mg为酒后驾车,80 mg及以上为醉酒驾车.若某机动车驾驶员饮酒后,其血液中酒精含量上升到了1.2 mg/mL.假设他停止饮酒后,其血液中酒精含量以每小时20%的速度减少,则到他能驾驶需要的时间至少为(精确到0.001.参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(　　) A.7.963小时 B.8.005小时 C.8.022小时 D.8.105小时 例5、某科技企业为抓住“一带一路”带来的发展机遇,开发生产一智能产品,该产品每年的固定成本是25万元,每生产x万件该产品,需另投入成本ω(x)万元,其中ω(x)=若该公司一年内生产该产品全部售完,每件的售价为70元,则该企业每年利润的最大值为(　　) A.720万元 B.800万元 C.875万元 D.900万元 学科网（北京）股份有限公司 $