第15讲共点力的平衡 讲义 -2025年高中物理初升高暑假衔接

第15讲 共点力的平衡 知识点目录 【知识点1】多力平衡问题 2 【知识点2】轻绳、轻杆模型 7 基础知识 一、共点力平衡的条件及三力平衡问题 1．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态． 2．平衡条件：合外力等于0，即F合＝0或. 3．推论 (1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向． (2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向． (3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等大、反向． 二、物体在三个力或多个力作用下的平衡问题的解法 1．力的合成法——一般用于受力个数为三个时 (1)确定要合成的两个力； (2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力； (3)根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)； (4)根据三角函数或勾股定理解三角形． 2．正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时 (1)建立直角坐标系； (2)正交分解各力； (3)沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解． 三、利用正交分解法分析多力平衡问题 1．将各个力分解到x轴和y轴上，根据共点力的平衡条件列式(Fx＝0，Fy＝0)求解． 2．对x、y轴方向的选择原则是：使尽可能多的力落在x、y轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力． 3．此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法。 知识点1 知识点 【知识点1】多力平衡问题 1．平衡状态 (1)物体处于静止或匀速直线运动的状态． (2)对“平衡状态”的理解 不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝＝0. 注意：速度为零时，a不一定为零，例如汽车刚启动瞬间或竖直上抛运动的最高点． 2．共点力平衡的条件 (1)共点力平衡的条件是合力为0. (2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足Fx合＝0，且Fy合＝0. ①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线． ②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线． ③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向、共线． (3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0. 典型例题 例1： 【例1】（2025•三模拟）如图所示，光滑定滑轮用一小段细线固定在天花板上的点，两物体甲、乙用一段轻绳连接后并跨过定滑轮，物体乙放在水平面上，系统平衡时，与竖直方向的夹角为，拴接物体乙的轻绳与竖直方向的夹角为，滑轮的质量可忽略不计，现使物体乙沿水平面向右移动少许，系统再次平衡时　　 A．始终为的2倍 B．细线的作用力增大 C．物体乙对水平面的压力减小 D．水平面对物体乙的作用力减小 【答案】 【分析】对滑轮受力分析，根据平行四边形法则分析；对甲受力分析，判断绳子的拉力；对乙受力分析，根据水平和竖直方向共点力平衡条件分析。 【解答】解：、对滑轮受力分析如图1 由于甲对绳子的拉力与乙对绳子的拉力是同一个绳子，所以两侧的拉力相等，则绳子的拉力方向一定在甲、乙对绳子拉力方向夹角的角平分线上，所以一定存在，故正确； 、物体乙沿水平面向右移动少许后甲、乙对绳子拉力方向的夹角增大，根据平行四边形定则可知，这两个力的合力一定减小，由于滑轮受力平衡，则绳子的拉力大小一定与甲、乙对绳子拉力的合力大小相等，方向相反，所以绳子的拉力大小一定减小，故错误； 、物体乙右移动后受力仍然平衡，受力如图2 根据受力平衡可得沿竖直方向 则其中，保持不变，与水平方向夹角在减小，则乙受到的支持力增大，根据牛顿第三定律可知物体乙对水平面的压力增大，故错误； 、根据受力平衡可得沿水平方向 与水平方向夹角在减小，则地面对乙的摩擦力增大，水平面对物体乙的作用力是地面对乙的支持力与摩擦力的矢量和，由于两个分力相互垂直，所以它们的合力一定增大，故错误。 故选：。 【例2】（2025•三台县模拟）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，点两侧绳与竖直方向的夹角分别为和。若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对点进行受力分析，依据平衡条件，结合力的平行四边形定则，根据作图法进行求解。 【解答】解：甲、乙两物体质量相等，则设它们的质量为，对点进行受力分析，下面绳子的拉力，右边绳子的拉力，左边绳子的拉力，如下图所示： 因整体处于静止状态，故受力平衡，通过矢量的合成法则可知左侧绳子拉力的方向恰好与甲、乙拉绳子的合力的方向相反，结合几何关系则有 因， 解得， 故错误，正确； 故选：。 【例3】（2025•历下区校级模拟）如图所示，半球靠在竖直的墙面上。在竖直向上的力作用下，、两物体均保持静止，则半球受到的作用力个数为　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】先对整体受力分析，看是否与墙壁间有作用力，再对物体受力分析即可。 【解答】解：以、整体为研究对象，受到重力和向上的力作用，二力平衡，墙对没有作用力。以为研究对象受力分析，可知受到重力、对的静摩擦力和对的弹力三个力的作用。 故正确，错误。 故选：。 【例4】（2024秋•东莞市期末）如图所示，起重机用四根等长钢索将一块重1.2吨的水平钢板吊起，匀速上升。已知每根钢索与竖直方向的夹角为，，，重力加速度取。则每根钢索受到的拉力为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对物体受力分析，结合平衡条件分析求解。 【解答】解：设每个钢索受到的拉力为，根据平衡条件可得 解得 故错误，正确。 故选：。 【例5】（2025•贵港三模）如图为明宣德青花缠枝花卉纹莲子碗，内壁看作光滑半球形，为碗内最低点。从点到碗口的点为四分之一圆弧，且、恰好把圆弧三等分。假设用筷子使一颗豆子（可看作质点）分别静止在点和点时，筷子对豆子施加的作用力最小值分别为和，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合题意，对豆子受力分析，由共点力的平衡条件及矢量三角形法则画图，根据几何知识分别列式，即可分析判断正误。 【解答】解：由题知，豆子受到竖直向下的重力，垂直切面指向的弹力，以及筷子对豆子的作用力，根据共点力的平衡条件及矢量三角形法则可知，当与垂直时，最小，设与竖直方向的夹角为，可得下图： 由图可知： ， 由题知，为碗内最低点，从点到碗口的点为四分之一圆弧，且、恰好把圆弧三等分，则由几何关系可得： ， 则： ， 由此可知： ， ， 联立可得： ， 故正确，错误； 故选：。 知识点2 知识点 【知识点2】轻绳、轻杆模型 1．“动杆”和“定杆”问题 分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点 “动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外 “定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 典型例题 【例6】（2025•河南模拟）如图所示，不可伸长的细钢丝绳两端分别固定在竖直杆、上的、两点，点比点低。脚穿粗糙杂技靴的演员在走钢丝表演时，可以在与两杆、等距的位置或细绳的中点保持平衡状态，钢丝绳质量可忽略不计，则演员　　 A．在与、两杆等距位置时，左右两侧绳子拉力大小相等 B．在与、两杆等距位置时，左侧绳子拉力小于右侧绳子拉力 C．在与、两杆等距位置时，左侧绳子拉力大于右侧绳子拉力 D．在细绳的中点时，左侧绳子拉力大于右侧绳子拉力 【答案】 【分析】演员全过程处于平衡状态，可利用共点力平衡条件，作出演员的受力分析图，结合图像根据几何关系进行求解。 【解答】解：设节点到的水平距离为，节点到的水平距离为，到节点的高度为，到节点的高度为，端绳子和水平方向的夹角为，端绳子和水平方向的夹角为，对绳子节点进行受力分析，如图所示 ．在与、两杆等距位置时，根据，， 由于，所以可得， 根据平衡条件有 由于，所以可知 即，左侧绳子拉力小于右侧绳子拉力，故错误，正确； ．在细绳的中点时，设、到节点绳子长度为，根据几何关系有根据， 由于，所以可得， 根据平衡条件可得 由于，所以可知 即，左侧绳子拉力小于右侧绳子拉力，故错误。 故选：。 【例7】（2024秋•唐县校级期末）如图所示，不可伸长的轻绳绕过轻小光滑动滑轮（质量不计），一端系于竖直墙壁上的点，另一端连接套在粗糙竖直杆上的滑环，滑轮通过轻绳悬挂一重物，系统处于静止状态。若将竖直杆沿水平地面缓慢向左平移一小段距离，滑环高度始终不变，则该过程中　　 A．重物距地面的高度变大 B．轻绳的弹力变大 C．杆对滑环的弹力变小 D．杆对滑环的摩擦力变小 【答案】 【分析】根据几何关系分析高度变化，对滑轮和滑环隔离分析，对滑环和重物整体分析，结合受力平衡，逐一判断每个选项。 【解答】解：．将竖直杆沿水平地面缓慢向左平移一小段距离，滑环高度始终不变，则滑轮两侧细绳与竖直方向的夹角减小，可知重物距地面的高度变小，故错误； ．根据 当减小时，轻绳的弹力变小，故错误； ．对滑环分析，杆对滑环的弹力 因和均减小，则杆对滑环的弹力变小，故正确； ．若杆对滑环的摩擦力为，则 左边细绳对点拉力的竖直分量也为，则对滑环和重物整体分析可知，竖直方向 可知杆对滑环的摩擦力不变，故错误。 故选：。 【例8】（多选）（2024秋•顺义区校级期中）如图甲所示，水平轻杆一端固定在竖直墙上，另一端处固定一个光滑轻质定滑轮，一端固定的轻绳跨过定滑轮拴接一个质量为的重物，。如图乙所示，水平轻杆一端用光滑铰链固定在竖直墙上，另一端通过轻绳固定，，在轻杆的端用轻绳悬挂一个与重物质量相等的重物。重力加速度为，下列说法正确的是　　 A．轻杆产生的弹力方向沿杆向外 B．轻杆产生的弹力方向沿杆向外 C．轻杆对滑轮的作用力大小为 D．轻绳上的拉力大小为 【答案】 【分析】对甲、乙两个图分别受力分析，再根据受力平衡求出杆的弹力和绳的拉力。 【解答】解：、轻绳上拉力大小相等，结合题图甲可知，固定杆产生的弹力方向不沿杆，故错误； 、轻杆为活动杆，轻杆产生的弹力方向沿杆向外，故正确； 、对题图甲，以滑轮为研究对象，受力分析如图1所示。 由平衡条件可知，轻杆对滑轮的作用力与绳对滑轮的合力等大反向，由几何关系可知，轻杆对滑轮的作用力大小为，故错误； 、对题图乙，以点为研究对象，受力分析如图2所示。 由平衡条件得 解得轻绳上的拉力大小为，故正确。 故选：。 【例9】（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图所示为一小型起重机，物体用不可伸长的轻质细绳绕过光滑轻质滑轮、，连接处的固定电动机。滑轮的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动，电动机可改变总绳长，使绳始终保持绷直，且滑轮的竖直高度不会低于滑轮。则下列说法正确的是　　 A．当物体静止时，滑轮所受绳的压力一定，与滑轮的高度无关 B．当物体静止时，滑轮所受绳的压力一定等于的重力 C．当只将滑轮向上移动时，的轴所受压力变小 D．当只将滑轮向右匀速移动时，电动机也匀速收绳 【答案】 【分析】、物体静止时，滑轮受力平衡，可对滑轮受力分析，判断当滑轮移动时滑轮两侧绳子夹角的变化，利用力的合成与分解方法计算滑轮的轴所受压力； 、当物体静止时，此时滑轮受力平衡，可利用力的合成与分解方法判断此时滑轮所受绳的压力与重力的关系； 、只将滑轮向上移动时，滑轮轴两侧绳子与轴之间的夹角变大，利用力的合成方法判断轴两侧绳子拉力合力的变化，进而判断滑轮的轴所受压力的变化； 、可利用运动的合成与分解方法将滑轮的速度分解，利用角度的变化判断电动机放绳速度情况。 【解答】解：、当物体静止时，滑轮的轴所受压力为两侧绳子拉力的合力，绳子两侧拉力的大小相等，等于物体的重力，设滑轮处两侧绳子夹角为，当滑轮竖直移动时，角变化，其变化范围为，根据力的合成法则可知滑轮的轴所受压力不恒定，与滑轮的高度有关系，故错误； 、当物体静止时，滑轮的轴所受压力为两侧绳子拉力的合力，绳子两侧拉力的大小相等，等于物体的重力，两侧绳子夹角为锐角，竖直方向分力的方向一致，根据力的合成法则可知，滑轮所受绳的压力一定大于的重力，故错误； 、当只将滑轮向上移动时，变大，两侧拉力竖直方向分力方向相反，绳子两侧拉力的合力变小，则滑轮的轴所受压力变小，故正确； 、将滑轮的速度沿方向与垂直方向分解，电动机收绳的速度为， 当只将滑轮向右匀速移动时，变小，电动机收绳速度逐渐减小，则电动机减速收绳，故错误。 故选：。 【例10】（多选）（2023秋•南昌县校级期中）如图所示，硬杆一端通过铰链固定在墙上的点，另一端装有滑轮，重物用绳拴住通过滑轮固定于墙上的点，使重物处于平衡态，若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从点沿墙稍向上移动一点距离，再使之平衡时，则　　 A．绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大 B．杆与竖直墙壁的夹角增大 C．绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变 D．绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力减小 【答案】 【分析】由于杆一直平衡，故绳子对杆的压力一定沿着杆的方向，而同一根绳子的张力处处相等，根据平行四边形定则分析即可． 【解答】解：由于杆一直平衡，对两根细线的拉力的合力一定在杆的方向上；又由于同一根绳子的张力处处相等，故两根细线的拉力一定相等且等于物体的重力，保持不变；根据平行四边形定则，合力一定在角平分线上。将绳的固定端从点稍向上移时，两拉力的夹角增大，则知绳与杆的夹角增大才能重新平衡，故杆与竖直墙壁的夹角增大。故正确。 绳的拉力不变，夹角增大，则两个拉力的合力不断减小，滑轮受到的绳的压力不断减小，则滑轮对绳的作用力也减小。故正确，错误。 故选：。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15讲 共点力的平衡 知识点目录 【知识点1】多力平衡问题 2 【知识点2】轻绳、轻杆模型 4 基础知识 一、共点力平衡的条件及三力平衡问题 1．平衡状态：物体处于静止或匀速直线运动的状态． 2．平衡条件：合外力等于0，即F合＝0或. 3．推论 (1)二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向． (2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向． (3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意(n－1)个力的合力必定与第n个力等大、反向． 二、物体在三个力或多个力作用下的平衡问题的解法 1．力的合成法——一般用于受力个数为三个时 (1)确定要合成的两个力； (2)根据平行四边形定则作出这两个力的合力； (3)根据平衡条件确定两个力的合力与第三力的关系(等大反向)； (4)根据三角函数或勾股定理解三角形． 2．正交分解法——一般用于受力个数为三个或三个以上时 (1)建立直角坐标系； (2)正交分解各力； (3)沿坐标轴方向根据平衡条件列式求解． 三、利用正交分解法分析多力平衡问题 1．将各个力分解到x轴和y轴上，根据共点力的平衡条件列式(Fx＝0，Fy＝0)求解． 2．对x、y轴方向的选择原则是：使尽可能多的力落在x、y轴上，需要分解的力尽可能少，被分解的力尽可能是已知力． 3．此方法多用于三个或三个以上共点力作用下的物体平衡，三个以上共点力平衡一般要采用正交分解法。 知识点1 知识点 【知识点1】多力平衡问题 1．平衡状态 (1)物体处于静止或匀速直线运动的状态． (2)对“平衡状态”的理解 不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝＝0. 注意：速度为零时，a不一定为零，例如汽车刚启动瞬间或竖直上抛运动的最高点． 2．共点力平衡的条件 (1)共点力平衡的条件是合力为0. (2)表示为：F合＝0；或将各力分解到x轴和y轴上，满足Fx合＝0，且Fy合＝0. ①二力平衡：若物体在两个力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向、共线． ②三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线． ③多力平衡：若物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意一个力与其余所有力的合力等大、反向、共线． (3)当物体受三个力平衡，将表示这三个力的有向线段依次首尾相连，则会构成一个矢量三角形，表示合力为0. 典型例题 例1： 【例1】（2025•三模拟）如图所示，光滑定滑轮用一小段细线固定在天花板上的点，两物体甲、乙用一段轻绳连接后并跨过定滑轮，物体乙放在水平面上，系统平衡时，与竖直方向的夹角为，拴接物体乙的轻绳与竖直方向的夹角为，滑轮的质量可忽略不计，现使物体乙沿水平面向右移动少许，系统再次平衡时　　 A．始终为的2倍 B．细线的作用力增大 C．物体乙对水平面的压力减小 D．水平面对物体乙的作用力减小 【例2】（2025•三台县模拟）如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体质量相等。系统平衡时，点两侧绳与竖直方向的夹角分别为和。若，则等于　　 A． B． C． D． 【例3】（2025•历下区校级模拟）如图所示，半球靠在竖直的墙面上。在竖直向上的力作用下，、两物体均保持静止，则半球受到的作用力个数为　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例4】（2024秋•东莞市期末）如图所示，起重机用四根等长钢索将一块重1.2吨的水平钢板吊起，匀速上升。已知每根钢索与竖直方向的夹角为，，，重力加速度取。则每根钢索受到的拉力为　　 A． B． C． D． 【例5】（2025•贵港三模）如图为明宣德青花缠枝花卉纹莲子碗，内壁看作光滑半球形，为碗内最低点。从点到碗口的点为四分之一圆弧，且、恰好把圆弧三等分。假设用筷子使一颗豆子（可看作质点）分别静止在点和点时，筷子对豆子施加的作用力最小值分别为和，则等于　　 A． B． C． D． 知识点2 知识点 【知识点2】轻绳、轻杆模型 1．“动杆”和“定杆”问题 分类 模型结构(举例) 模型解读 模型特点 “动杆”模型 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆向内或向外 “定杆”模型 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 典型例题 【例6】（2025•河南模拟）如图所示，不可伸长的细钢丝绳两端分别固定在竖直杆、上的、两点，点比点低。脚穿粗糙杂技靴的演员在走钢丝表演时，可以在与两杆、等距的位置或细绳的中点保持平衡状态，钢丝绳质量可忽略不计，则演员　　 A．在与、两杆等距位置时，左右两侧绳子拉力大小相等 B．在与、两杆等距位置时，左侧绳子拉力小于右侧绳子拉力 C．在与、两杆等距位置时，左侧绳子拉力大于右侧绳子拉力 D．在细绳的中点时，左侧绳子拉力大于右侧绳子拉力 【例7】（2024秋•唐县校级期末）如图所示，不可伸长的轻绳绕过轻小光滑动滑轮（质量不计），一端系于竖直墙壁上的点，另一端连接套在粗糙竖直杆上的滑环，滑轮通过轻绳悬挂一重物，系统处于静止状态。若将竖直杆沿水平地面缓慢向左平移一小段距离，滑环高度始终不变，则该过程中　　 A．重物距地面的高度变大 B．轻绳的弹力变大 C．杆对滑环的弹力变小 D．杆对滑环的摩擦力变小 【例8】（多选）（2024秋•顺义区校级期中）如图甲所示，水平轻杆一端固定在竖直墙上，另一端处固定一个光滑轻质定滑轮，一端固定的轻绳跨过定滑轮拴接一个质量为的重物，。如图乙所示，水平轻杆一端用光滑铰链固定在竖直墙上，另一端通过轻绳固定，，在轻杆的端用轻绳悬挂一个与重物质量相等的重物。重力加速度为，下列说法正确的是　　 A．轻杆产生的弹力方向沿杆向外 B．轻杆产生的弹力方向沿杆向外 C．轻杆对滑轮的作用力大小为 D．轻绳上的拉力大小为 【例9】（2023秋•沙坪坝区校级月考）如图所示为一小型起重机，物体用不可伸长的轻质细绳绕过光滑轻质滑轮、，连接处的固定电动机。滑轮的轴固定在水平伸缩杆上并可以水平移动，滑轮固定在竖直伸缩杆上并可以竖直移动，电动机可改变总绳长，使绳始终保持绷直，且滑轮的竖直高度不会低于滑轮。则下列说法正确的是　　 A．当物体静止时，滑轮所受绳的压力一定，与滑轮的高度无关 B．当物体静止时，滑轮所受绳的压力一定等于的重力 C．当只将滑轮向上移动时，的轴所受压力变小 D．当只将滑轮向右匀速移动时，电动机也匀速收绳 【例10】（多选）（2023秋•南昌县校级期中）如图所示，硬杆一端通过铰链固定在墙上的点，另一端装有滑轮，重物用绳拴住通过滑轮固定于墙上的点，使重物处于平衡态，若杆、滑轮及绳的质量和摩擦均不计，将绳的固定端从点沿墙稍向上移动一点距离，再使之平衡时，则　　 A．绳的拉力减小，滑轮对绳的作用力增大 B．杆与竖直墙壁的夹角增大 C．绳的拉力、滑轮对绳的作用力都不变 D．绳的拉力不变，滑轮对绳的作用力减小 学科网（北京）股份有限公司 $$