精品解析：上海市控江中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2027届上海市控江中学高一年级第二学期期末考试 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共12题，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若，则_______. 2. 函数的最小正周期是___________． 3. 在等比数列中，，，则______． 4. 若复数（i虚数单位），则______. 5. 已知等差数列的公差为1，前10项和为5，则_______. 6. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，……”，意思是：有一个人要走378里路，第1天健步行走，从第2天起因为脚痛，每天走路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.由此可得，该人第6天走了________里路. 8. 设复数满足，则（i为虚数单位）的最大值为_______. 9. 函数，的严格减区间为________. 10. 已知常数，函数为偶函数，则______. 11. 已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 12. 在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上的点A以及在圆上的点B，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 二、选择题（本大题共4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 14. 把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（ ）. A. B. C. D. 15. 已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）. A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 16. 已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点，，，满足，，，中的任意3点不共线，，，.对于命题：①存在，，，，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行；②在，，，这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是（ ）. A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知常数，关于方程在复数集中有两个虚根. （1）若，求的取值范围； （2）若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 18. 在中，，. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 19. 某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年的收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第（为正整数）年苹果的收获量为，梨的收获量为（单位：吨），可知，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 20. 在平面直角坐标系中，，，，以为直径在x轴上方作半圆Ω.P，Q为Ω的上的动点，M为x轴上的动点. （1）求的单位向量的坐标； （2）若M的坐标为.设与的夹角为，.用表示，并求的最大值； （3）若M的坐标为，且四边形为平行四边形，N为线段上靠近M的三等分点，求的最大值. 21. 对于函数，若数列使得数列是公比为的等比数列，则称数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为. （1）设无穷数列的通项公式为，判断数列是否为函数的“关联数列”，并说明理由； （2）已知，有穷数列共有3项，满足，，.若数列是函数“关联数列”，且“关联常数”为3，求，的值； （3）设定义域为函数同时满足：①函数是以1为周期的周期函数；②对任意，恒有.问：是否存在公差大于0的无穷等差数列，使得数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为2?若存在，求的公差；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2027届上海市控江中学高一年级第二学期期末考试 数学试卷 （考试时间120分钟，满分150分） 一、填空题（本大题共12题，第1—6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1. 若，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模的坐标运算公式运算即可. 【详解】，. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】的最小正周期是， 故答案为： 3. 在等比数列中，，，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据条件求出公比，即可求得答案. 【详解】在等比数列中，，， 则公比 ，所以， 故答案为：4 4. 若复数（i为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】本题可先对复数进行化简，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】∵， ∴. 故答案为：. 5. 已知等差数列的公差为1，前10项和为5，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列前项和公式求解. 【详解】由题意，解得， 故答案为： 6. 已知坐标平面上的三点，，，则在方向上的数量投影为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据在方向上的数量投影的公式计算即可. 【详解】已知坐标平面上的三点，，， 所以，， 所以在方向上的数量投影为 . 故答案为： 7. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，……”，意思是：有一个人要走378里路，第1天健步行走，从第2天起因为脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.由此可得，该人第6天走了________里路. 【答案】6 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列前项和公式列式求解. 【详解】依题意，此人每天走的路程构成以为公比的等比数列，前6项和， 则，解得，所以（里）. 故答案为：6 8. 设复数满足，则（i为虚数单位）的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，表示点到的距离，结合几何意义求得结果； 【详解】设，因为即， 所以的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 所以， 其表示上述圆上的点到的距离， 所以其最大值为圆心到距离加半径， 所以最大值为； 故答案为：. 9. 函数，的严格减区间为________. 【答案】 【解析】 【分析】由倍角公式可化简函数，然后由正弦函数单调性可得答案. 【详解】，因， 则，注意到在上单调递减， 则，则严格递减区间为：. 故答案为： 10. 已知常数，函数为偶函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义，结合和差角的余弦公式及二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】函数的定义域为R，由函数为偶函数， 得，恒成立， 整理得，而不恒为0，则， 所以. 故答案为： 11. 已知数列满足，且对任意正整数，恒有，则所有可能值的个数为_____. 【答案】4951 【解析】 【分析】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1，最大时，利用累加可求得最大值为14851，又，所以，而在区间中被3整除余1的有4951个即可求解. 【详解】由题意，每个步骤有两种选择：0或，所以的最小为1， 最大时，则， 累加得，即最大值为14851， 又， 我们用数学归纳法证明：在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数（空集的元素和设为零，）. 证明：当时， ，此时有 四个子集，空集、， 它们的元素和为，故所有子集的和可以取到的所有整数， 设当时，在集合中，所有子集的和可以取到的所有整数， 则当时，集合， 此时中的每个整数为与某子集的元素的和的和， 又时，， 故所有子集的元素和为 由数学归纳法可知原命题成立. 由已证命题可得集合的所有子集的和可以取到的所有整数， 所以，而在区间中被3整除余1有4951个， 故答案为：4951. 12. 在同一平面上，已知两圆，的圆心均为，半径分别为1，2，常数.若在圆上的点A以及在圆上的点B，对该平面上的任意一个单位向量，恒有，则的最小值为___________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据数量积的定义可知当与同向或反向时， 能取得最大值，由此可得出答案. 【详解】设与夹角为，与夹角为，则. 因为，所以 . 因为，， 所以当，即与同向或反向时，. 因为恒有，所以， 所以的最小值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，第13—14题每题4分，第15—16题每题5分，共18分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 如图，在长方体中，、分别为矩形、矩形对角线的交点，则平面与平面的交线为（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】可根据两个平面交线的定义，找出同时属于两个平面的直线即可得出结果. 【详解】点是长方体的顶点，显然平面 且平面， 所以平面平面； 是矩形的对角线交点，则平面，平面， 所以平面平面， 所以平面平面. 故选：C 14. 把函数的图象向右平移个单位得到曲线，再把曲线上的所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到曲线，则曲线相应的函数解析式可以是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数，利用三角函数图象变换求出解析式. 【详解】依题意，曲线，曲线. 故选：D 15. 已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为.对于任意满足的正整数，记为中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（ ）. A 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次函数的性质可得，逐项分别判断即可. 【详解】，又， 所以， 对于A，若且，则即可，故A是可能，不符合题意， 对于B，若，则可知，则，故B不可能，符合题意， 对于C，若且，则即可，故C是可能的，不符合题意， 对于D，若且，则即可，故D是可能的，不符合题意. 故选：B. 16. 已知为原点，坐标平面上两两不同的4个点，，，满足，，，中的任意3点不共线，，，.对于命题：①存在，，，，使得4个向量，，，中的任意2个都不平行；②在，，，这4个数中，一定存在相等的2个数，下列判断正确的是（ ）. A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于命题①可设 ，可证明 和  总和垂直，进一步可得 和  平行，可得结论；对于命题②可举反例来说明命题②是假命题即可. 【详解】对于命题①，设 ， 则有：，，. 设 ，由条件可推导： ，， ，， 可得，得 ，即  与   垂直， 现在考虑向量：，因此  与   垂直， 同理： 也与   垂直， 在二维平面中，所有与  垂直的向量都互相平行，因此， 和  总是平行， 不可能存在任意两个向量都不平行的情况，故命题①为假. 对于命题②，取特值：，， ，， ，， ，， 验证：，， ， ， 所以； ，模， ， ， 所以； 总和 . 任意三点不共线,而模长全部不同. 此例满足所有条件，但模长互异，故命题②为假. 故选：B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20—21题每题18分，共78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. 已知常数，关于的方程在复数集中有两个虚根. （1）若，求的取值范围； （2）若其中一个虚根为（i为虚数单位），求，的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据实系数一元二次方程有虚根，判别式小于0求解； （2）根据实系数一元二次方程，可利用韦达定理可构造方程组求得，得解. 【小问1详解】 时，关于的方程在复数集中有两个虚根， 所以，解得， 即的取值范围为. 【小问2详解】 是关于的实系数方程的一个根， 是另一个根， ，解得. 18. 在中，，. （1）若，求的长； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，再利用余弦定理，即可求得的值； （2）利用同角三角函数关系求出，再应用两角和正弦求出，最后三角形面积公式计算求解. 【小问1详解】 由余弦定理得    ， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 因为，所以， 所以， 由正弦定理得，所以， 所以， 所以的面积为 19. 某果园有两种水果种植方案.方案一：第1年种植苹果，预计收获量为6吨，以后每年收获量比上一年增加0.6吨；方案二：第1年种植梨，预计收获量为8吨，以后每年的收获量在上一年的基础上增加4%.果农小张在第1年初分别采用两种方案开始种植苹果和梨，设第（为正整数）年苹果的收获量为，梨的收获量为（单位：吨），可知，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列最大项的值（精确到0.1）以及相应项的序数，并说明其实际意义. 【答案】（1）； （2）；；答案见解析. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列等比数列通项公式计算求解； （2）根据已知通项公式作差得出最大值是即可求解. 【小问1详解】 因为为以6为首项，以为公差的等差数列，所以； 因为为以8为首项，以为公比的等比数列，所以； 【小问2详解】 ， 当，即时，； 当，即时，； 所以当时，取得最大值，所以数列最大项的值为， 相应项的序数是，实际意义是第18年苹果的收获量比梨的收获量多的最大； 20. 在平面直角坐标系中，，，，以为直径在x轴上方作半圆Ω.P，Q为Ω的上的动点，M为x轴上的动点. （1）求的单位向量的坐标； （2）若M的坐标为.设与的夹角为，.用表示，并求的最大值； （3）若M的坐标为，且四边形为平行四边形，N为线段上靠近M的三等分点，求的最大值. 【答案】（1）； （2）；； （3） 【解析】 【分析】（1）先得出的坐标，再计算单位向量即可； （2）先设，再结合三角恒等变换及正弦函数的值域计算得出最大值即可； （3）应用数量积公式结合三角恒等变换结合三角函数值域计算求解. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以的单位向量的坐标. 【小问2详解】 设与的夹角为，设， 又因为，所以， 所以，所以， 所以 ， 所以当时，的最大值为； 【小问3详解】 设，因为，则 中点为，N为线段上靠近M的三等分点，则， ， ， ， 当且仅当时，取得最大值. 21. 对于函数，若数列使得数列是公比为的等比数列，则称数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为. （1）设无穷数列的通项公式为，判断数列是否为函数的“关联数列”，并说明理由； （2）已知，有穷数列共有3项，满足，，.若数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为3，求，的值； （3）设定义域为的函数同时满足：①函数是以1为周期的周期函数；②对任意，恒有.问：是否存在公差大于0的无穷等差数列，使得数列是函数的“关联数列”，且“关联常数”为2?若存在，求的公差；若不存在，说明理由. 【答案】（1）不是，理由见详解 （2） （3）不存在 【解析】 【分析】（1）根据定义，通过验证前4项可否定； （2）有题知，然后代入可求，再根据确定角即可； （3）根据题意可得，又，故是线性，而是指数型，不可能恒相等，接着可判断不存在. 【小问1详解】 不是，理由如下: 由，函数，令， 则， 故，所以不是函数的“关联数列”. 【小问2详解】 根据题意， 即，整理得， ，整理得， 所以，解得或或， ，，， 所以. 【小问3详解】 函数是以1为周期的周期函数，， ，即， 又数列是公差大于0的无穷等差数列，且数列是函数的“关联数列”，“关联常数”为2， 所以可设数列首项为，公差为，则， ，且是关于的一次函数，单调递增， 又， ， 即是线性增长，而是指数增长，矛盾， 所以不存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$