精品解析：上海市川沙中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

上海市川沙中学2024学年第二学期高一数学期末考试试卷 命题人：沈晓凯 审题人：顾志刚 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（3*12=36） 1. 已知，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】运用两角和的余弦公式展开并代入的值即可. 【详解】. 故答案为：. 2. 底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为__________.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面展开图为矩形，结合数据得到矩形的长和宽，即可计算圆柱的侧面积. 【详解】圆柱侧面展开图为矩形，长为圆柱底面圆周长，宽为圆柱的高. 故圆柱的侧面积为. 故答案为：. 3. “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是_________命题（填“真”或“假”）. 【答案】假 【解析】 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系即可得到结果. 【详解】因为直线平面，直线在平面上，则可得直线直线或直线与直线异面. 故答案为：假 4. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的______心. 【答案】外 【解析】 【分析】由线面垂直得到线线垂直，进而由求出，得到答案. 【详解】因为，，所以， 故， 因为，所以， 故是的外心. 故答案为：外 5. 在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于__________（用，，表示）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用空间向量的线性运算求解. 【详解】连接，， 故答案为： 6. 若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的定义式，利用投影向量的计算，可得答案. 【详解】由题意可得，， 则在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为：. 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】找到在平面上的投影可得即为直线与平面所成的角，结合所给条件计算即可得解. 【详解】由平面，平面，故， 由底面是边长为a的正方形，故， 又，、平面，故平面， 故直线在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成的角， 又，，故， 即直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 8. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于，连，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，在直角三角形中可求得结果. 【详解】连接，交于，连， 如图所示： 因为，且在底面内的射影是， 所以由三垂线定理可得， 所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角， 设正方体的棱长为1，则，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了三垂线定理，考查了求二面角，关键是作出二面角的平面角，属于基础题. 9. 在直三棱柱中，若 ，则异面直线与所成的角等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】如图以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系,利用空间向量求解即可. 【详解】解：因为三棱柱为直三棱柱，且， 所以以点为坐标原点，分别以为 轴建立空间直角坐标系, 设，则 ， 所以， 所以 ， 因为异面直线所成的角在， 所以异面直线与所成的角等于， 故答案为： 【点睛】此题考查异面直线所成的角，利用了空间向量进行求解，属于基础题. 10. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先建立方程，再用表示，接着用表示，最后判断当时取最小值并求点的坐标. 【详解】因为点在直线上运动，， 所以，则，则，则，， 所以， 时，取最小值，此时， 故答案为： 11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据鳖臑的性质结合线面垂直的判定定理与性质得线线垂直，设的中点为，从而可得点为四面体外接球的球心，结合球的几何性质确定球心到平面的距离得截面圆的半径，即可得所求. 【详解】设的中点为，连接， 因为鳖臑的四个面都是直角三角形， 且，故． 因为，，，故． 又，，故． 又，平面， 所以平面， 又平面，所以． 又，，平面， 平面， 又平面，所以， 和都是以平面为斜边的直角三角形． 由于为的中点，则点为四面体外接球的球心， 外接球的半径，且点到平面的距离为， 的外接圆半径， 平面截四面体的外接球的截面的面积为． 故答案为：． 12. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，且，根据题意得到，求出答案. 【详解】时，则，故， 时，， 对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得， 故，解得. 故答案为： 二、单选题（3*4=12） 13. 已知空间三点，，，若向量，则实数（ ） A. 37 B. 36 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据可求得值． 【详解】解：因为已知空间三点，，， 所以，， 由于， ， 解得． 故选：B． 14. 如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易知当球半径最大时，截面大圆为等边三角形的内切圆，根据正三角形三心合一，可知内心即为重心，故内切圆的半径为高的，再计算即可. 【详解】当球是圆锥的内切球时球半径最大， 此时截面大圆为等边三角形的内切圆， 根据正三角形三心合一，可知内心即为重心， 所以圆半径为正三角形高的，即． 故选：B． 15. 在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 【答案】A 【解析】 【分析】由题意根据平面具有延展性可知二面角的大小实质为面与平面所成的二面角判断①；将平面沿直线翻折到平面内，过点做，，此时，的值最小，判断②. 【详解】 对于①，平面即为平面，平面与平面所成的二面角为定值，故二面角为定值，①正确; 对于②，将平面沿直线翻折到平面内，平面图如下， 过点做，，此时，的值最小. 由题可知， 则， 故，又故的最小值为，故②正确. 故选：A. 16. 已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意,建立平面直角坐标系.令， .为中点.由即可求得点的轨迹方程.将变形,结合及平面向量基本定理可知三点共线.由圆切线的性质可知的最小值即为到直线的距离最小值,且当与圆相切时,有最大值.利用圆的切线性质及平行线段，比例关系，求得的最大值. 【详解】根据题意,设, 则 由代入可得 即点的轨迹方程为 又因为,变形可得,即,且 所以由平面向量基本定理可知三点共线,如下图所示: 以的最小值即为到直线的距离最小值 根据圆的切线性质可知,当与圆相切时,有最大， 此时，，，所以， ，即此时. 即的最大值为 故选:B 【点睛】本题考查了平面向量的坐标应用,平面向量基本定理的应用, 圆的轨迹方程问题,圆的切线性质及点到直线距离公式的应用,综合性强,属于难题. 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 如图，圆锥的顶点为P，底面半径与相互垂直，点M是母线的中点，已知． （1）求该圆锥的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求母线，利用圆锥的表面积公式即可求解； （2）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 由题意有，又点M是母线的中点， 所以，所以母线， 底面半径为， 所以圆锥的表面积为 【小问2详解】 以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 由，所以， 所以， 所以， 设异面直线与所成角为， 所以， 所以， 18. 已知平面非零向量，的夹角是. （1）若，，求； （2）若，，求t的值，并求与共线的单位向量的坐标. 【答案】（1）；（2），，或. 【解析】 【分析】（1）对进行平方，利用数量积公式可求得； （2）根据向量坐标运算的夹角公式可求得t，设单位向量的坐标根据模长和共线可得答案. 【详解】（1）向量，的夹角是，由得， 解得，舍去，所以. （2），，由向量，的夹角是 得，解得，舍去， 因为， 设单位向量，所以，又与共线， 所以，求得，或， 所以，或. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算，考查了向量的坐标运算及单位向量. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，四棱锥体积为1． （1）求点A到平面的距离； （2）求平面绕直线旋转一周所得的几何体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意利用体积公式可计算出，再借助等体积法有即可得解； （2）所得几何体为以为母线、为底面半径的圆锥挖去一个以为母线、为底面半径的圆锥，借助圆锥体积公式计算即可得. 【小问1详解】 由平面，平面，故， 且为四棱锥的高， 则，解得， ，则， ， 由底面是直角梯形，，故， 又，，故， 则，故， 有，故， 设点A到平面的距离为， 则，解得， 即点A到平面的距离为； 【小问2详解】 由平面，平面， 则平面绕直线旋转一周所得的几何体为以为母线、 为底面半径的圆锥挖去一个以为母线、为底面半径的圆锥， 故所得的几何体的体积. 20. 已知梯形中，为上的一点且，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接，F为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）当时，求直线和平面所成角的大小． 【答案】（1） 如图所示： 取PE的中点G，连接， 因为F为棱的中点，则， 因为在梯形中，，所以， 又，所以， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2） 在梯形中，因为， 所以将沿翻折后，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3） 【解析】 【分析】（1）取PE的中点G，证明是平行四边形，得到，再利用线面平行的判定定理证明； （2）由，得到，再利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明； （3）由（2）得到为二面角的平面角，过点F作，由面面垂直的性质定理可得平面，从而是直线和平面所成的角，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知， 所以为二面角的平面角， 过点F作，因为平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面， 所以是直线和平面所成的角， 因为，所以， 在中，， 由（1）知四边形是平行四边形， 所以， 在中，， 则， 所以直线和平面所成的角为. 21. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 （1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围； （2）已知点满足条件：，，若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围； （3）当向量时，“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把化为形式得“相伴向量”，求出模后可得其范围； （2）写出“相伴函数”，根据辅助角公式得最大值及最大值点，由的范围得的范围，再得出的范围后可得的取值范围； （3）由定义得并化简（化为一个角的一个三角函数形式），解方程得或，求得两根，然后作出函数，的图象，由图象可得且有两根的的范围． 【小问1详解】 ， ∴函数的相伴向量， ， ∴时，；时，. ∴的取值范围为[1，3] 【小问2详解】 的相伴函数 其中，. 当，，即，时，取得最大值， ∴， ∵，∴， ∴，∴. ∴. 【小问3详解】 ， 当时，， 由，得：， ∴或， 由，即，而，解得或， 即∴在上有两个根， 方程在上存在4个不相等的实数根， 当且仅当且在上有两个不等实根， 在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图， 方程在上有两个不等实根， 当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点， 观察图像知：或， 解得或， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市川沙中学2024学年第二学期高一数学期末考试试卷 命题人：沈晓凯 审题人：顾志刚 考生注意： 1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分． 2．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚填写班级、姓名、准考证号． 3．考试时间：90分钟． 一、填空题（3*12=36） 1. 已知，则__________． 2. 底面半径为2，高为2的圆柱的侧面积为__________.（结果保留） 3. “若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是_________命题（填“真”或“假”）. 4. 过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，，若，则点是的______心. 5. 在平行六面体中，E，F分别是棱，的中点，记，，，则等于__________（用，，表示）． 6. 若向量，则在方向上的投影向量的坐标为__________ 7. 如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为__________． 8. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____． 9. 在直三棱柱中，若 ，则异面直线与所成的角等于_________. 10. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是___________． 11. 《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．四面体是一个鳖臑，已知是直角三角形，，，，，则平面截该鳖臑的外接球所得截面面积为________． 12. 设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数m的取值范围为__________． 二、单选题（3*4=12） 13. 已知空间三点，，，若向量，则实数（ ） A. 37 B. 36 C. D. 14. 如图，已知圆锥的轴截面是等边三角形，底面圆的半径为2，现把该圆锥打磨成一个球，则该球半径的最大值为（ ） A. B. C. D. 15. 在单位正方体中，点P在线段上，点Q线段上．①二面角的大小为定值；②长度的最小值为．对于以上两个命题，下列判断正确的是（ ） A. ①正确，②正确 B. ①正确，②错误 C. ①错误，②正确 D. ①错误，②错误 16. 已知平面向量，满足且，若对每一个确定的向量，记的最小值为，则当变化时，的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 三、解答题（8+8+10+12+14） 17. 如图，圆锥的顶点为P，底面半径与相互垂直，点M是母线的中点，已知． （1）求该圆锥的表面积； （2）求异面直线与所成角的大小． 18. 已知平面非零向量，的夹角是. （1）若，，求； （2）若，，求t的值，并求与共线的单位向量的坐标. 19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，平面，四棱锥体积为1． （1）求点A到平面的距离； （2）求平面绕直线旋转一周所得的几何体的体积． 20. 已知梯形中，为上的一点且，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接，F为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）当时，求直线和平面所成角的大小． 21. 已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为 （1）已知，，若函数为集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围； （2）已知点满足条件：，，若向量的“相伴函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围； （3）当向量时，“相伴函数”为，若，方程存在4个不相等的实数根，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $