精品解析：上海市普陀区上海音乐学院附属安师实验中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

2024学年第二学期期末考试 高一数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分． 1. 已知角的终边经过点，则=__________． 【答案】－ 【解析】 【详解】试题分析：由已知，，所以由余弦函数的定义得 2. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正切型函数周期公式求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 3. 若为锐角，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系求出余弦值，再结合诱导公式求值即可. 【详解】因为为锐角， 所以，则. 故答案为：. 4. 已知a为实数，设，，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行坐标公式计算求解. 【详解】因为，， 又因为，则， 则． 故答案为：. 5. 已知复数满足，是虚数单位，则____. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值. 详解】由可得，故. 故答案为：. 6. 若函数是上的偶函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据为偶函数先得到的可取值，然后根据的取值范围确定出的值. 【详解】因为是上的偶函数， 所以， 又因为，所以， 故答案为：. 7. 已知，，则________． 【答案】3 【解析】 【详解】试题分析：因为，所以 考点：两角和的正切公式 8. 已知,，则___________. 【答案】或##或 【解析】 【分析】利用正弦值结合的范围可得出的值. 【详解】因,，则或. 故答案为：或. 9. 函数，的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出时的范围，即可得该函数值域. 【详解】当时，，则. 故答案为：. 10. 已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 【答案】2 【解析】 【分析】由，得，再根据数量投影即可求解. 【详解】由，得， 又向量，夹角为， 所以在方向上的数量投影为. 故答案为：2. 11. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 【答案】3.2 【解析】 【分析】作于，设，根据两角差的正切公式，结合不等式求的最大值，并确定对应的即可. 【详解】如图：作于，设， 则，. 所以（当且仅当时取“”） 又，故（米）， 故答案为：3.2 12. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形面积求得，根据两不等式恒成立，判断，，再由，结合三角形和三角形面积公式，推出和，最后根据向量数量积的定义式即可求得. 【详解】因的面积为10，且，则有，解得， 由图知表示直线上一点到点的向量， 而则表示直线上一点到点 的距离， 由对任意恒成立可知，的长是点到直线上的点的最短距离， 故易得，此时,同理可得. 如图所示,因，由可得：， 由可得：， 由锐角可得是锐角，故是钝角， 于是， 于是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查不等式恒成立和向量数量积的计算，属于较难题. 处理恒成立问题，一般可考虑分类讨论法，参变分离法，结合图形几何意义判断法等方法；对于数量积运算，可考虑定义法，基向量表示法和向量坐标法来解决. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 设 ､为复数，则是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】若，，则成立且不成立， 而若，则成立， 故是的必要不充分条件. 故选：C. 14. 设复数分别对应于平面向量，则""是""的（ ）条件 A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据""与""互相推出的情况判断即可. 【详解】设，则， 若，取，则，所以， 所以不能推出； 若，则，所以， 所以，化简可得， 所以或， 所以或，所以成立，所以可以推出； 所以""是""的必要非充分条件. 故选：B. 15. 若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】取中点，将化为，进而即得. 【详解】 如图，取中点，则， 所以， 所以，又，故，即为等腰三角形， 故选：C． 16. 已知，直线与函数的交点分别为A，B，则线段长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先由题中条件，得到；进而得出，结合三角恒等变换，将该式化简整理， 利用三角函数的性质，即可得出结果. 【详解】因为，， 又直线与函数的交点分别为A，B， 所以 ， 又，所以， 因此线段长度的最大值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于由题中条件将线段的长度转化为，利用三角函数的性质即可求解. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知平面内给定三个向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算与向量相等的性质即可得解； （2）利用向量数量积的坐标运算即可得解. 【小问1详解】 因为向量，，， 可得， 故有，， 则，； 小问2详解】 因为，，， 所以， 解得， 故的取值范围是 18. 已知复数． （1）若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求m的取值范围； （2）已知，若是关于x的方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出对应点的坐标，根据第四象限点的特征列不等式组求解即可. （2）由复数相等求出，利用方程根的意义，结合复数相等求出，即可得解. 【小问1详解】 复数在复平面上对应点落在第四象限， 则，解得， 所以实数m的范围是. 【小问2详解】 由，得， 由，得，解得， 则，，依题意，是关于x的实系数方程的一个根， 则，即， 于是，解得，，所以. 19. 为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，如图所示．已知扇形的半径长为100米，是钝角，点P在弧上，点Q在半径OB上，且，设，的周长为C米． （1）当，求PQ长（单位：米）； （2）求C的最大值及C取到最大值时的值． 【答案】（1）（米）； （2）时取得最大值，且（米） 【解析】 【分析】（1）利用锐角三角函数求出，再由勾股定理计算可得. （2）利用锐角三角函数表示出，，再由两角和的正弦公式及正弦函数的性质计算可得. 【小问1详解】 依题意，，且，则， 又，于是，则， 所以（米）. 【小问2详解】 由，，，的周长为米， 得，， 因此 ，又，则当，即时取得最大值， 所以（米）. 20. 如图，四边形是边长为的菱形，、分别在线段、（不包含端点）上，且，，且. （1）用、表示； （2）求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量的线性运算化简可得出关于、的表达式； （2）利用平面向量数量积的运算性质可求出的值，结合的范围可得出的值； （3）设，所以，其中，可得出，利用平面向量数量积的运算性质和二次函数的基本性质可求出的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 所以， 解得， 因为，故. 【小问3详解】 因为， 所以 ， 因为四边形是菱形，故，所以， 设，因为，所以，其中， 所以， 因为，所以，则， 所以，故，即的取值范围是. 21. 已知函数，若对于任意实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. （1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； （2）设为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）是，理由见详解 （2） （3）不存在，理由见详解 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的平方和关系并根据二次函数的图象与性质得出的最大值和最小值，根据即可得出结论； （2）利用三角函数的辅助角公式即可求出函数的值域，进而对进行分类讨论即可得出所求的答案； （3）由（1）可得的最大值，结合可得出的最小值的取值范围，进而得出的取值范围，再利用反证法即可得出结论. 【小问1详解】 函数是上的“完美三角形函数”. 因为， 且，所以， 所以， 因为“”是“函数为上的“完美三角形函数””的充要条件，所以函数是上的“完美三角形函数”. 【小问2详解】 因为函数 且， 因为，所以，所以的最大值为1，最小值为. ①当时，， 由且得：. ②当时，，满足题意. ③当时，， 由且得：. 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为函数（为常数）， 所以，所以， 由得：， 所以，因为，所以. 假设存在满足题意的三个点， 所以，且， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以. 因为，所以 所以，这与矛盾， 故不存在点满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期末考试 高一数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分． 1. 已知角终边经过点，则=__________． 2. 函数的最小正周期为______． 3. 若为锐角，，则__________. 4. 已知a实数，设，，若，则______． 5. 已知复数满足，是虚数单位，则____. 6. 若函数是上的偶函数，则______． 7. 已知，，则________． 8. 已知,，则___________. 9. 函数，的值域为______． 10. 已知向量，的夹角为，，则在方向上的数量投影为______． 11. 如图，某体育公园广场放置着一块高为3米的大屏幕滚动播放各项体育赛事，大屏幕下端离地面高度3.5米，若小明同学的眼睛离地面高度1.5米，则为了获得最佳视野（最佳视野指看到大屏幕的上下夹角最大），小明应在距离大屏幕所在的平面_________米处观看?（精确到0.1米）. 12. 在锐角中，，它的面积为10，，，分别在、上，且满足，对任意，恒成立，则___________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑． 13. 设 ､为复数，则是（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 设复数分别对应于平面向量，则""是""的（ ）条件 A 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 15. 若O为所在平面内任一点，且满足，则的形状为（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 16. 已知，直线与函数的交点分别为A，B，则线段长度的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知平面内给定三个向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数取值范围． 18. 已知复数． （1）若复数z在复平面上对应点落在第四象限，求m的取值范围； （2）已知，若是关于x的方程的一个根，求的值． 19. 为打赢打好脱贫攻坚战，某地加大旅游业投入，准备将扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，如图所示．已知扇形的半径长为100米，是钝角，点P在弧上，点Q在半径OB上，且，设，的周长为C米． （1）当，求PQ的长（单位：米）； （2）求C的最大值及C取到最大值时的值． 20. 如图，四边形是边长为的菱形，、分别在线段、（不包含端点）上，且，，且. （1）用、表示； （2）求的值； （3）求的取值范围. 21. 已知函数，若对于任意实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. （1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； （2）设为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$