专题2.2 函数的单调性与最值讲义+巩固训练-2026届高三数学一轮复习

专题2.2 函数的单调性与最值 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 4．若函数(为常数)在区间上是增函数，则实数的范围是（    ）. A． B． C． D． 5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 6．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 7．已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 10．对于函数定义域中任意的，，当时，总有①；②都成立，则满足条件的函数可以是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．已知函数在区间上单调递减，则函数在区间上一定（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 12．下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 13．已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数在区间上是增函数 B．当时，函数在区间上是减函数 C．若函数有最大值2，则 D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 三、填空题 14．已知函数，①若对任意，且都有，则实数的取值范围为 ；②若在上的值域为，则实数的取值范围为 . 15．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 16．（2025·山东临沂·三模）已知函数的定义域为，，，且，写出满足以下两个条件①②的函数 .条件①：，条件②：. 四、解答题 17．已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 18．设是定义在上的函数，且，当时，． (1)判断的单调性，并证明； (2)若，解不等式． 19．已知函数是定义在上的函数，对任意，满足条件，且当时，. （1）求证：是上的递增函数； （2）解不等式，（且）. 五、能力提升 20．(多选)已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 21．（24-25高三上�山西大同�期末）已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 22．（23-24高一上�山东聊城�期末）已知函数的定义域为，对任意，，都有，当时，，且，则（    ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若，则不等式的解集为 23．已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 24．(多选)若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则存在区间M使为“弱增函数” B．若，则存在区间M使为“弱增函数” C．若，则为R上的“弱增函数” D．若在区间上是“弱增函数”，则 25．（24-25高三上�贵州六盘水�阶段练习）已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．(多选)（2025�宁夏内蒙古�模拟预测）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 27．定义在上的函数，满足，且当时，. （1）求的值. （2）求证：. （3）求证：在上是增函数. （4）若，解不等式. （5）比较与的大小. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2 函数的单调性与最值 题型1 判断函数的单调性（区间） 5 题型2 求函数的单调区间 5 题型3 已知函数单调性求参数 6 题型4 分段函数的单调性 7 题型5 利用函数单调性比较函数值大小 7 题型6 求函数的最值及值域 8 题型7 利用函数的单调性解函数值不等式 9 高考真题演练 10 知识点一 函数的单调性 1.单调函数 增函数 减函数 定义 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 (2)如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 图像 描述 自左到右看图象是上升的 自左到右看图象是下降的 函数单调性的等价变形：设 (1)若有,则在区间上单调递增； (2)若有,则在区间上单调递减. 2.函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫作的单调区间. 注：①单调区间不能用并集符号连接，而应该用“和”或“，”连接. ②书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定.习惯上，若函数在区间端点有意义，则写成闭区间，当然写成开区间也是正确的，若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区间. 知识点二 函数单调性的判断与证明 1.定义法:根据函数单调性的定义判断函数单调性的步骤如下： 第一步：取值，在指定区间内，且(或； 第二步：作差变形，将进行化简变形，变形的目的是便于判断. 的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化； 第三步：定号，对变形后的差进行判断，确定的符号，若不能直接确定差的符号，通常情况下还需分类讨论或再细分区间，直到可以确定差的符号为止； 第四步：判断，判断函数是符合增函数的定义还是减函数的定义，从而得出结论. 反映在图像上，若是区间上的增(减)函数，则图像在上的部分从左到右是上升(下降)的，反之亦成立. 2.图像法 利用已学过的基本初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数、含绝对值函数等 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在上单调递增； 时，在上单调递减. 反比例函数 时，单调递减区间是和; 时，单调递增区间是和. 二次函数 时，单调递减区间是，单调递增区间是； 时，单调递减区间是，单调递增区间是. 3.性质法 (1)函数与函数的单调性相反. (2)函数与函数(为常数)的单调性相同. (3)当时，函数与函数的单调性相同； 当时，函数与函数的单调性相反. (4)若，则函数与函数的单调性相同. (5)当的值恒为正或恒为负时，函数和函数的单调性相反. (6)若，且在公共区间上都是增(减)函数，则在此区间上是增(减)函数； 若，且在公共区间上都是增(减)函数，则在此区间上是减(增)函数. (7)在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 4.复合函数的单调性判断法“同增异减” 增↗ 减↘ 增↗ 减↘ 增↗ 减↘ 增↗ 减↘ 减↘ 增↗ 知识点三 函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为。如果存在实数满足： 条件 (1)，都有； (2)，使得. (1)，都有； (2，使得. 结论 称是函数的最大值 称是函数的最小值 几何意义 函数的最大值对应函数图像最高点的纵坐标 函数的最小值对应函数图像最低点的纵坐标 拓展1 分段函数的单调性 (1)若分段函数在上单调递增，则函数满足两个条件： ①在上单调递增，在上单调递增; ② (2)若分段函数在上单调递减，则函数满足两个条件： ①在上单调递减，在上单调递减; ② 拓展2 对勾函数的图像及应用 对勾函数又称作双勾函数、勾函数、耐克函数.对勾函数的图像如图，由图可得对勾函数的有关性质如下： (1)定义域: (2)值域: (3)单调性：在区间上为增函数，在区间上为减函数. 类对勾函数的图像： (1)如图(1). (2)如图(2). (3)如图(3). 题型1 判断函数的单调性（区间） 1．下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，.判断并证明函数在区间上的单调性； 题型2 求函数的单调区间 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 8．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 9．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 10．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 11．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（2025高三�全国�专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．若对任意，则在I上单调递增 B．函数的递减区间是 C．函数的单调递增区间为 D．在R上是增函数 题型3 已知函数单调性求参数 13．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 14．设函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 15．（2024�全国�模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（多选）下列命题不正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．若在区间上单调递增，则的取值范围是 C．若在区间上单调递减，则的取值范围是 D．若是上的增函数，则的取值范围是 题型4 分段函数的单调性 19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x），满足对任意实数x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　  　） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（，3] D．（1，3] 20．已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（2024高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型5 利用函数单调性比较函数值大小 22．已知函数，记，，，则（    ） A． B． C． D． 23．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 24．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 25．已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 26．定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型6 求函数的最值及值域 27．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 28．函数，x∈[3，+∞）的值域是（    ） A． B． C． D． 29．的值域为（   ） A． B． C． D． 30．函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 ． 31．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 32．已知函数 ，则 的最小值为 ． 33．对于任意实数a，b，定义设函数，，函数，则函数 ，函数的最大值是 . 34．已知的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型7 利用函数的单调性解函数值不等式 35．已知函数，若f(a－2)>3，则a的取值范围是 ． 36．已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 37．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．定义在上的减函数满足条件：对，，总有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 39．（2025�福建泉州�模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 40．已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 1．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 2．（2019·北京·高考真题）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A． B．y= C． D． 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 7．（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 9．（2024�北京�高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 10．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2022�北京�高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 函数的单调性与最值 一、单选题 1．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性 【分析】根据幂函数和指数函数的单调性和奇偶性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对A：，定义域为，且，故其为奇函数，不满足题意； 对B：，定义域为，且，故其为偶函数，又在上单调递增，满足题意； 对C：，定义域为，是非奇非偶函数，不满足题意； 对D：，当时，是单调减函数，不满足题意； 故选：B. 2．若函数在区间上为单调减函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴方程，得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想在区间上为单调减函数，则. 故选：D 3．已知函数，则在区间上的最大值为（    ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】C 【知识点】利用函数单调性求最值或值域 【解析】先判断出函数在单调递减，即可求出最大值. 【详解】在单调递减， . 故选：C. 4．若函数(为常数)在区间上是增函数，则实数的范围是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】化简函数，得到函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，结合题意，即可求解. 【详解】由题意，函数， 可函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为函数(为常数)在区间上是增函数，所以 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 5．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求函数的单调区间 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 6．设函数在上为增函数，则下列结论正确的是（    ） A．在上为增函数 B．在上为减函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】D 【知识点】复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用特殊函数排除A、B、C，即可得答案. 【详解】由题设，满足要求，则为常数函数且定义域不是R，排除B， 、在R上不是单调函数，且后一个函数定义域不为R，排除A、C， 若函数在上为增函数，则在上为减函数，D对. 故选：D 7．已知函数，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较函数值的大小关系 【分析】利用对数函数的单调性比较大小，易得为增函数，利用对数函数的单调性比较，，大小即可 【详解】函数的定义域为，且是增函数， 因为，所以，即． 故选：D． 8．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据题意结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】因为函数是定义在R上的增函数， 可得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 9．已知函数的定义域为R，对任意，且，都有，则下列说法正确的是（    ） A．是增函数 B．是减函数 C．是增函数 D．是减函数 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】对题中条件进行变化，构造新函数，根据增、减函数的定义即可. 【详解】不妨令， ， 令，， 又，∴是增函数． 故选:A. 10．对于函数定义域中任意的，，当时，总有①；②都成立，则满足条件的函数可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、求含cosx的函数的单调性 【分析】根据函数在上是增函数，且是上凸函数判断. 【详解】由当时，总有， 得函数在上是增函数， 由， 得函数是上凸函数， 在上是增函数是增函数，是下凸函数，故A错误； 在上是增函数是增函数，是上凸函数，故B正确； 在上是增函数，是下凸函数；故C错误； 在上是减函数，故D错误. 故选：B 二、多选题 11．已知函数在区间上单调递减，则函数在区间上一定（    ） A．有最大值 B．有最小值 C．是增函数 D．是减函数 【答案】BD 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值 【分析】根据二次函数的性质，结合对勾函数的性质进行求解即可. 【详解】二次函数的对称轴为：， 因为函数在区间上单调递减， 所以，，该函数在上单调递减，而， 所以当时，函数单调递减，且有最小值，即， 故选：BD 【点睛】关键点睛：掌握对勾函数的单调性是解题的关键. 12．下列说法正确的是（    ） A．定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数 B．定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数 C．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 D．定义在R上的函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在R上是增函数 【答案】BC 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】对于A，举例分析判断，对于B，根据减函数的定义分析判断，对于C，根据增函数的定义分析判断，对于D，举例判断. 【详解】解：对A：如，满足，但不是R上的增函数，所以A错误； 对B：若函数在R上为减函数，则对于任意且，则定成立， 则若，函数在R上不是减函数，故B正确； 对C：若定义在R上的函数在区间上时增函数，在上也是增函数， 则满足对于任意且，则定成立，则函数在R上是增函数，故C正确； 对D：设函数是定义在R上的函数，且在区间上是增函数，在区间上也是增函数， 而但，不符合增函数的定义，所以在R上不是增函数，故D错误； 故选：BC． 13．已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当时，函数在区间上是增函数 B．当时，函数在区间上是减函数 C．若函数有最大值2，则 D．若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 【答案】BCD 【知识点】判断指数型复合函数的单调性 【分析】利用复合函数的单调性逐一判断各选项即可. 【详解】对于AB选项：当时，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的性质可得，函数在上单调递减，故A错误，B正确； 对于C选项：若有最大值2，显然不成立， 则函数有最小值， 所以，解得，故C正确； 对于D选项：若函数在上是增函数，则在是减函数， 当时，显然成立， 当时，由二次函数的性质可得，解得， 所以的取值范围为，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 14．已知函数，①若对任意，且都有，则实数的取值范围为 ；②若在上的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数的最值求参数、根据分段函数的单调性求参数 【分析】由已知可得在单调递减，利用二次函数的对称轴的位置可得的取值范围； 分、 利用单调性可得实数的取值范围. 【详解】若对任意，且都有， 则在单调递减，则，即，所以实数的取值范围； 当时，若在上的值域为，， 解得或（舍去），又，所以； 当时，因为在单调递减， 则在上的最大值为，不合题意，所以实数的取值范围为. 故答案为：①；②. 15．（2025·山东烟台·三模）已知函数，若，则实数t的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数性质判断函数单调性，根据定义域及单调性，列出不等式，求出范围 【详解】已知，其中和均为单调递增函数，且定义域为， 所以在上单调递增，且， 可得，可得，解得， 故答案为：. 16．（2025·山东临沂·三模）已知函数的定义域为，，，且，写出满足以下两个条件①②的函数 .条件①：，条件②：. 【答案】（答案不唯一） 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、判断指数函数的单调性 【分析】根据题设构造单调递增的指数函数即可. 【详解】设，则为上的增函数，此时必成立， 而， 故满足性质①②， 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 17．已知函数，且. (1)求. (2)用定义证明函数在上是增函数. (3)求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)最大值为，最小值为 【知识点】已知函数值求自变量或参数、定义法判断或证明函数的单调性、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）由题意列式计算，即可求得答案； （2）根据函数单调性的定义，即可证明结论； （3）根据函数的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知函数，且， 故，则 （2）证明：由（1）知， 任取且， 则， 因为且，可得，则， 所以，即， 所以函数在上为单调递增函数. （3）函数在上为单调递增函数， 所以， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为. 18．设是定义在上的函数，且，当时，． (1)判断的单调性，并证明； (2)若，解不等式． 【答案】(1)为上的减函数，证明见解析； (2) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据函数单调性的定义，任取，结合题目条件得到，即可证明； （2）利用赋值法，令，得到，令，，得到，从而将原不等式转化为，结合题目条件得到，再利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）设，则，因为当时， 所以， 即时，， 所以为上的减函数； （2）令，得，所以， 令，，得，所以， 则， 即， 由于， 则， 因为为上的减函数， 所以，解得：或， 故解集为． 19．已知函数是定义在上的函数，对任意，满足条件，且当时，. （1）求证：是上的递增函数； （2）解不等式，（且）. 【答案】（1）证明见解析；（2），解集；，解集.. 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用单调性的定义，取易得，结合题设有，即可证结论. （2）由递推关系可得，再求、，最后由单调性有，进而讨论参数a结合对数函数的性质求x的范围. 【详解】（1）任取，则，而， ∴，即， ∴是上的递增函数； （2）由题设，原不等式转化为， 又时，，即， 而，又，即， ∴，由（1）知：， ∴，解得或， 当时，或；当时，或； ∴，解集；，解集. 【点睛】关键点点睛：第二问，利用题设递推关系得到的形式，结合第一问的单调性解不等式即可. 能力提升 20．(多选)已知函数的图象关于轴对称，且对于，当时，恒成立，若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】函数基本性质的综合应用、定义法判断或证明函数的单调性、基本不等式求和的最小值、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据条件可得，函数为偶函数，在上单调递减.根据单调性与奇偶性的关系可得，函数在上单调递增，进而可推出恒成立.对是否为0进行讨论，利用基本不等式即可求得实数的范围. 【详解】由已知可得，函数为偶函数， 又对于，当时，恒成立， 即，若，都有成立， 则在上单调递减， 又函数为偶函数，则在上单调递增. 又对任意的恒成立，则可得. 当时，不等式为显然成立； 当时，原不等式可化为恒成立，只需要式子的最小值满足即可. 因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以，，解得. 综上所述，实数的范围是. 故选：ABC. 21．（24-25高三上�山西大同�期末）已知实数，且满足不等式，若，则下列关系式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数函数的单调性、复合函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先根据对数函数的单调性得出，再构造函数结合函数单调性求解即可. 【详解】因为，又函数单调递增，所以，即， 对于不等式，移项整理得， 构造函数，由于单调递减，所以，即， 故选:C. 22．(多选)已知函数的定义域为，对任意，，都有，当时，，且，则（    ） A．，都有 B．当时， C．是减函数 D．若，则不等式的解集为 【答案】BCD. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的值域、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，即可求出；根据题意，当时，，所以，再结合即可得到，进而得可判断A、B；利用单调性定义结合题意证明即可判断C；由，结合题意可得，再借助函数单调性解不等式即可判断D. 【详解】对于AB，令，则，又，所以， 当时，，所以， 又， 所以，即，A错误，B正确， 对于C，设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，，， 所以，即，所以在上单调递减，C正确， 对于D，因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以，解得， 所以不等式的解集为，D正确. 故选：BCD. 23．已知函数的定义域为，对定义域内任意，都有，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据题意可判断函数 的奇偶性和单调性，即可根据以及单调性，奇偶性进行求解. 【详解】由于对定义域内任意，都有， 取 则， 取 则， 则， 所以是偶函数， 令，则由时，得， 所以在上单调递增， 由于，当时，原不等式可化为：，即， 当时，原不等式可化为：，即， ， 当时，由是偶函数可得或， 故原不等式的解集是：, 故选：A 24．(多选)若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是（    ） A．若，则存在区间M使为“弱增函数” B．若，则存在区间M使为“弱增函数” C．若，则为R上的“弱增函数” D．若在区间上是“弱增函数”，则 【答案】BD 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对勾函数求最值、根据解析式直接判断函数的单调性、函数新定义 【分析】利用题干函数定义结合二次函数，幂函数，对勾函数性质逐项判断即可得到答案 【详解】对于A，在上为增函数，在上是增函数， 故不存在区间M使为“弱增函数”，故A错误； 对于B，由对勾函数的性质可知：在上为增函数， 在上为减函数， 故存在区间使为“弱增函数”，故B正确； 对于C，因为，易得在R上单调递增，， 易得在上是增函数，在上为减函数， 故不是R上的“弱增函数”，故C错误； 对于D，若在区间上是“弱增函数”， 则在上为增函数，所以，解得， 又在上为减函数， 易知时为增函数；故， 又由对勾函数的单调性可知，，则， 综上．故D正确， 故选：BD． 25．已知定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且．满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、对数的运算性质的应用、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据对数运算法则将不等式变形进行构造函数，再由函数单调性定义可得在上单调递减，原不等式等价于，利用单调性即可解得结果. 【详解】将不等式化简可得； 令，可得， 即对任意的，，都有， 所以函数在上单调递减， 则等价于， 即，可得， 又，所以， 所以等价于， 因此可得，解得, 可得x的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将不等式变形通过构造函数并利用所给函数值以及函数单调性解不等式即可得出结果. 26．(多选)（2025�宁夏内蒙古�模拟预测）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【答案】ACD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义 【分析】对A、B：借助导数求导后即可得；对C：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数将双曲正切函数化简后，结合指数函数性质即可得；对D：借助双曲正弦函数与双曲余弦函数，分别将等式左右两边化简即可得. 【详解】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 27．定义在上的函数，满足，且当时，. （1）求的值. （2）求证：. （3）求证：在上是增函数. （4）若，解不等式. （5）比较与的大小. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析；（4）；（5）. 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、比较函数值的大小关系 【分析】（1）令，代入可求解； （2）由代入已知条件变形可得； （3）由单调性定义证明； （4）根据已知把不等式变为，再由单调性求解； （5）由，然后比较与的大小即可． 【详解】（1）令，由条件得. （2）， 即. （3）任取，，且，则. 由（2）得.，即. ∴在上是增函数. （4）∵，∴， . 又在上为增函数，∴ 解得. 故不等式的解集为. （5）∵， ， ∵， ∴（当且仅当时取等号）. 又在上是增函数， ∴. ∴. 【点睛】本题考查抽象函数的性质，考查函数单调性的应用．解题关键是充分利用抽象函数的定义，对问题进行转化． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2函数的单调性与最值 题型1判断函数的单调性（区间） 5 题型2 求函数的单调区间 9 题型3 已知函数单调性求参数 13 题型4 分段函数的单调性 16 题型5 利用函数单调性比较函数值大小 18 题型6 求函数的最值及值域 21 题型7 利用函数的单调性解函数值不等式 25 高考真题演练 29 知识点一 函数的单调性 1.单调函数 增函数 减函数 定义 如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数。 (2)如果，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数。 图像 描述 自左到右看图象是上升的 自左到右看图象是下降的 函数单调性的等价变形：设 (1)若有,则在区间上单调递增； (2)若有,则在区间上单调递减. 2.函数的单调性与单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫作的单调区间. 注：①单调区间不能用并集符号连接，而应该用“和”或“，”连接. ②书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定.习惯上，若函数在区间端点有意义，则写成闭区间，当然写成开区间也是正确的，若函数在区间端点没有意义，则必须写成开区间. 知识点二 函数单调性的判断与证明 1.定义法:根据函数单调性的定义判断函数单调性的步骤如下： 第一步：取值，在指定区间内，且(或； 第二步：作差变形，将进行化简变形，变形的目的是便于判断. 的符号，主要的变形方法有因式分解、配方、有理化； 第三步：定号，对变形后的差进行判断，确定的符号，若不能直接确定差的符号，通常情况下还需分类讨论或再细分区间，直到可以确定差的符号为止； 第四步：判断，判断函数是符合增函数的定义还是减函数的定义，从而得出结论. 反映在图像上，若是区间上的增(减)函数，则图像在上的部分从左到右是上升(下降)的，反之亦成立. 2.图像法 利用已学过的基本初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数、含绝对值函数等 常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数 时，在上单调递增； 时，在上单调递减. 反比例函数 时，单调递减区间是和; 时，单调递增区间是和. 二次函数 时，单调递减区间是，单调递增区间是； 时，单调递减区间是，单调递增区间是. 3.性质法 (1)函数与函数的单调性相反. (2)函数与函数(为常数)的单调性相同. (3)当时，函数与函数的单调性相同； 当时，函数与函数的单调性相反. (4)若，则函数与函数的单调性相同. (5)当的值恒为正或恒为负时，函数和函数的单调性相反. (6)若，且在公共区间上都是增(减)函数，则在此区间上是增(减)函数； 若，且在公共区间上都是增(减)函数，则在此区间上是减(增)函数. (7)在公共区间内，增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数. 4.复合函数的单调性判断法“同增异减” 增↗ 减↘ 增↗ 减↘ 增↗ 减↘ 增↗ 减↘ 减↘ 增↗ 知识点三 函数的最值 前提 一般地，设函数的定义域为。如果存在实数满足： 条件 (1)，都有； (2)，使得. (1)，都有； (2，使得. 结论 称是函数的最大值 称是函数的最小值 几何意义 函数的最大值对应函数图像最高点的纵坐标 函数的最小值对应函数图像最低点的纵坐标 拓展1 分段函数的单调性 (1)若分段函数在上单调递增，则函数满足两个条件： ①在上单调递增，在上单调递增; ② (2)若分段函数在上单调递减，则函数满足两个条件： ①在上单调递减，在上单调递减; ② 拓展2 对勾函数的图像及应用 对勾函数又称作双勾函数、勾函数、耐克函数.对勾函数的图像如图，由图可得对勾函数的有关性质如下： (1)定义域: (2)值域: (3)单调性：在区间上为增函数，在区间上为减函数. 类对勾函数的图像： (1)如图(1). (2)如图(2). (3)如图(3). 题型1判断函数的单调性（区间） 1．下列函数中，满足“对任意，当时，都有”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性、判断指数函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】分析可知函数在上为减函数，然后逐项判断各选项中的函数在区间上的单调性，从而得解. 【详解】对任意，当时，都有， 则函数在上为减函数， 对于A，在上为增函数，故A错误； 对于B，在上为减函数，故B正确； 对于C，在上不单调，故C错误； 对于D，在上为增函数，故D错误. 故选：B. 2．（2025·广东揭阳·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由奇偶性判断方法去分析即可判断A；由指数函数图象性质即可判断B；由得函数定义域，再计算即可判断C；由正弦函数性质即可判断D； 【详解】对于A，易知的定义域为，关于原点对称， 又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故A错误； 对于B，函数是非奇非偶函数，故B错误； 对于C，，因为， 所以的定义域为关于原点对称， 又， 所以是奇函数， 又在上单调递增，为增函数， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，函数在上不为增函数，故D错误. 故选：C. 3．下列函数在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分段函数的单调性、用导数判断或证明已知函数的单调性、画出具体函数图象、具体函数的定义域 【分析】AC选项，求导得到函数的单调性；B选项，画出函数图象，得到答案；D选项，求出函数定义域，不满足要求. 【详解】A选项，定义域为R，且，故在上单调递减，A错误； B选项，， 画出函数图象如下： 故在上不单调，B错误； C选项，定义域为R， 在R上恒成立， 故在上单调递增，C正确； D选项，令，解得或， 故定义域为， 故在无意义，D错误. 故选：C 4．（2025·湖北·模拟预测）下列函数在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】对A，根据解析式判断单调性得解；对B，C，D，求导，利用判断导数正负得解. 【详解】对于A，的定义域为，在上单调递增，在上单调递增，不满足在上单调递增，故A错误. 对于B，在上单调递减，不满足在上单调递增，故B错误. 对于C，，满足在上单调递增，故C正确. 对于D，在上单调递减，在上单调递增，不满足在上单调递增，故D错误. 故选：C. 5．（2025·北京海淀·三模）下列函数中，在上时单调递增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】由幂函数的单调性可判断AC；对求导可判断B；由正弦函数的性质可判断D. 【详解】对于A，因为，在上单调递增，故A正确； 对于B，， 当时，， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，的定义域为， ，所以为偶函数， 因为，所以由幂函数的性质知在上单调递增， 由偶函数的性质可得：在上单调递减，故C错误； 对于D，当时，, 由的单调性知，在不具备严格的单调性， 所以在上不具备严格的单调性，故D错误. 故选：A. 6．已知函数，.判断并证明函数在区间上的单调性； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【知识点】函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据函数的单调性的判断方法即可判断证明； 【详解】在上单调递增，理由如下： 任取，且， 则， ，， ，且，， ， ，， 在上单调递增. 题型2 求函数的单调区间 7．函数的单调递增区间是（    ） A． B．和 C． D．和 【答案】D 【知识点】画出具体函数图象、求函数的单调区间 【分析】作出的图象，结合图象可得单调区间. 【详解】因为， 作出的图象，如图所示， 由图象可知：函数的单调递增区间是和. 故选：D. 8．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求函数的单调区间 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 9．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、求函数的单调区间、复合函数的单调性 【分析】现根据解析式有意义的条件求的定义域，然后在定义域内，利用复合函数的单调性法则求得结果. 【详解】要使函数有意义，则， 即，解得或， 函数定义域为. 令，则，在上单调递减， 对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是. 故选：D. 10．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】根据复合函数的单调性结合对数函数的单调性即可得解，注意函数的定义域. 【详解】解：由，得， 所以函数定义域为， 令， 则函数在上递减，在上递增， 又因外函数为增函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：B. 11．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数求解单调区间即可. 【详解】令， ，，，， 则在上单调递减，在上单调递增. 故选：A 12．（多选）（2025高三�全国�专题练习）下列说法中，正确的是（   ） A．若对任意，则在I上单调递增 B．函数的递减区间是 C．函数的单调递增区间为 D．在R上是增函数 【答案】ABD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断指数型复合函数的单调性、函数图象的应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由函数单调性的定义判断A；作出函数的图象可判断B；由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可判断C；利用导数求解单调性可判断D． 【详解】对于A，若对任意，显然， 当时，则有；当时，则有； 由函数单调性的定义可知在I上是单调递增，故A正确． 对于B，作出函数的图象，如图所示， 由图象可知：函数的递减区间是，故B正确； 对于C，函数，在上单调递增，在上单调递减； 又函数在上单调递增， ∴由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得，的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，，则， 所以是R上的增函数，故D正确． 故选：ABD. 题型3 已知函数单调性求参数 13．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】具体函数的定义域、根据函数的单调性求参数值、复合函数的单调性 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可. 【详解】由，可得或， 即函数的定义域为， 又因为在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， . 故选：D. 14．设函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、对数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据给定的函数，求出其单调递增区间，再结合集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，则，解得， 所以a的取值范围为. 故选：D. 15．（2024�全国�模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据函数的单调性求参数值 【分析】先分析的单调性，再列不等式即可求解. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数在区间上不单调，所以， 故选：B． 16．（2025·江西·二模）若函数 在区间上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据指数复合函数单调性计算求参即可. 【详解】根据函数 在区间上单调递增，且单调递增， 可得在区间上单调递增，所以. 故选:D. 17．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复合函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据函数的单调性求参数值 【分析】利用对数函数的单调性、定义域与指数函数的单调性及二次函数的性质计算即可得. 【详解】由题意可知函数在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性知，若函数在区间上单调递减， 则，解得. 故选：C. 18．（多选）下列命题不正确的是（    ） A．函数的单调递减区间是 B．若在区间上单调递增，则的取值范围是 C．若在区间上单调递减，则的取值范围是 D．若是上的增函数，则的取值范围是 【答案】ACD 【知识点】求函数的单调区间、根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由对数（型）的单调性求参数 【分析】结合对勾函数的单调性以及单调区间的写法判断A；采用分离常数法可判断B；根据复合函数的单调性的判断方法判断C；根据分段函数的单调性列出相应不等式组求解参数范围可判断D. 【详解】A：函数为对勾函数，该函数递减区间是和， 单调区间之间不能用并集符号，因此A错误； B：， 则函数在递增时只需即，因此B正确； C：在区间上单调递减， 则，即，因此C错误； D：是R上的增函数， 则当时，， 由于，此时不满足在R上为增函数； 当即时，此时表示开口向上的抛物线， 在时不可能单调递增，此时不满足题意， 当即时，需满足，则，此时满足题意， D错误. 故选：ACD 题型4 分段函数的单调性 19．已知a＞0，且a≠1，函数f（x），满足对任意实数x1≠x2，都有0成立，则a的取值范围是（　  　） A．（0，1） B．（1，+∞） C．（，3] D．（1，3] 【答案】D 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、一次函数的图像和性质、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据已知条件判断出的单调性，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】由于，所以在上递增.所以，解得. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的单调性，考查指数函数、一次函数的单调性，属于基础题. 20．已知函数，且在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由对数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】根据函数为减函数，结合对数函数、二次函数的单调性及端点值的大小列不等式组，求解即可. 【详解】由，且在上单调递减， 得，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 21．（2024高三·全国·专题练习）若函数在上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数的单调性求参数值、对数型复合函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】先分别求两段函数单调递增得出参数范围，再根据分段函数解析式的特点得出分界点的不等关系，解出不等式组即可判断参数范围. 【详解】二次函数的图象开口向下， 对称轴为直线，所以，即得, 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 所以当时，,此时函数单调递增，又单调递增， 则，单调递增； 所以解得， 故的取值范围为． 故选：A. 题型5 利用函数单调性比较函数值大小 22．已知函数，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性、比较函数值的大小关系、比较对数式的大小、比较指数幂的大小 【分析】首先判断函数的单调性，再比较指对数的大小，利用单调性可得答案. 【详解】因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， 所以， 所以. 故选：B． 23．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】对函数求导，根据导函数可得为R上的增函数，利用单调性比较大小即可. 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 24．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简，再结合函数的单调性，即可求解. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即. 故选：D 25．已知函数，其中，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较函数值的大小关系、由幂函数的单调性比较大小、对数型复合函数的单调性、比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数、幂函数、对数函数的单调性可得的大小，再判断出的单调性可得答案. 【详解】因为， 所以， ， 因为是上的单调递减函数， 是上的单调递增函数， 所以是上的单调递减函数， 所以. 故选：B. 26．定义在上的奇函数满足时，成立，若，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较指数幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】令，利用导数可求得在上单调递减，根据为偶函数可知其在上单调递增，再利用指数和对数函数单调性，可得到，即可求解. 【详解】令，当时，， 所以在上单调递减，又是奇函数， 则，所以为上的偶函数， 则在上单调递增，又， 所以，即， 故选：B. 题型6 求函数的最值及值域 27．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值 【分析】根据二次函数的性质即可求解. 【详解】令． 又因为，所以， 即函数的值域是． 故选：A． 28．函数，x∈[3，+∞）的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用函数的单调性即可求解. 【详解】由题意得，， 显然函数在上为减函数， 所以，当时，函数取得最大值，且最大值为，当接近时，接近， 所以的值域为. 故选：D. 29． 的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、利用函数单调性求最值或值域 【详解】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为． 故选：A. 30．函数 在 上的最大值和最小值的乘积为 【答案】/ 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、对勾函数求最值 【分析】令，化简，令，利用对勾函数的性质求解最值即可. 【详解】令，，∵，∴， ∴， 令， 由对勾函数的性质可知，函数在上为减函数，在上为增函数， ∵， ∴ ∴函数 在 上的最大值和最小值分别为， ∴函数 在 上的最大值和最小值的乘积为． 故答案为：． 31．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本不等式求和的最小值、求指数函数在区间内的值域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可； 【详解】令，则，则原函数可化为， 因为，所以，当且仅当即时取等号， 所以当时，；当时，， 所以函数的值域为； 故选：C. 32．已知函数 ，则 的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由导数求函数的最值（不含参）、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】去掉绝对值转化为分段函数，分别求每段的最小值即可得解. 【详解】, 当时，为减函数，所以， 当时，，， 所以在上单调递增，所以， 当时，单调递增，所以， 综上， 的最小值为. 故答案为： 33．对于任意实数a，b，定义设函数，，函数，则函数 ，函数的最大值是 . 【答案】 1 【知识点】分段函数的值域或最值、对数的运算、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】先根据已知条件确定出的解析式，然后根据的单调性求解出的最大值. 【详解】令，所以是上的增函数，且， 所以由题意得， 当时，是增函数； 当时，是减函数. 故函数在时，取得最大值. 故答案为：；1. 【点睛】方法点睛：本题考查取最小值函数以及分段函数的单调性分析和最值求解，难度一般.涉及到取最大值函数或者取最小值函数的问题，亦可以通过函数图象进行分析求解. 34．已知的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的值域或最值、根据函数的单调性求参数值 【分析】分别讨论，，时，由分段函数的定义域，可求出其值域范围，根据集合的子集解不等式即可求解. 【详解】当时，由指数函数的单调性得到取值范围为，此时不成立，故舍去； 当时，，若时，， 若时 ，，当且仅当时，等号成立； 此时 当时，若时，单调递减，所以， 若时 ，，当且仅当时，等号成立； 即解之可得， 综上可知. 故选：D 题型7 利用函数的单调性解函数值不等式 35．已知函数，若f(a－2)>3，则a的取值范围是 ． 【答案】(0，1) 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用函数的单调性解不等式. 【详解】解：因为在R上递减，在(－2，＋∞)上递增， 所以在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3， 由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)， ∴， 解得0<a<1. 故答案为：(0，1) 36．已知函数，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性解不等式、解不含参数的一元二次不等式、判断指数型复合函数的单调性 【分析】 首先判断函数的单调性，再根据函数的单调性转化不等式，再求解不等式. 【详解】函数单调递增，函数单调递减，所以函数单调递增， 所以， 即，，得， 解得： 所以不等式的解集为. 故选：C 37．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】先求解函数的单调性，接着根据已知条件结合函数定义域和单调性即可求解. 【详解】因为当时，是单调递增函数，此时， 当时，是单调递增函数，此时，    所以是定义在上的单调递增函数， 所以若即， 则，， 故选：D. 38．定义在上的减函数满足条件：对，，总有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】利用函数的单调性，结合对数函数的单调性进行求解即可. 【详解】在中，令，得， 所以有， 因为函数是定义在上的减函数， 所以有， 故选：D 39．（2025�福建泉州�模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当，即，又可得， 当时，在上单调递增， 由，可得，解得， 当，即时， 由，可得，所以， 解得， 当，即， 由，得，所以， 因为，所以不等式无解， 综上所述：不等式的解集为. 故选：C. 40．已知函数的定义域为，图象恒过点，对任意，都有则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用不等式，转化为，构造函数，判断单调性即可将所求不等式转化为，由单调性解不等式即可. 【详解】由对任意，都有，可得， 令，则， 所以函数在上是增函数. 不等式，又， 则不等式转化为， 故，即，所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：D. 1．（2021·全国甲卷·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 2．（2019·北京·高考真题）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是 A． B．y= C． D． 【答案】A 【知识点】函数的单调性 【分析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】函数， 在区间 上单调递减， 函数 在区间上单调递增，故选A. 【点睛】本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的考查，蕴含数形结合思想，属于容易题. 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、对数型复合函数的单调性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4．（2020·山东·高考真题）已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性 【分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【详解】对于任意两个不相等的实数，，总有成立， 等价于对于任意两个不相等的实数，总有. 所以函数一定是增函数. 故选：C 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性求参数值、判断指数型复合函数的单调性、已知二次函数单调区间求参数值或范围 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6．（2019·全国III卷·高考真题）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数的单调性、比较指数幂的大小 【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小． 【详解】是R的偶函数，． ， 又在(0，+∞)单调递减， ∴， ，故选C． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 7．（2017·天津·高考真题）已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的应用、研究对数函数的单调性 【详解】由题意：， 且：， 据此：， 结合函数的单调性有：， 即. 本题选择C选项. 【考点】 指数、对数、函数的单调性 【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 8．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较指数幂的大小、比较函数值的大小关系 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 9．（2024�北京�高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 10．（2024·广东江苏·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、根据分段函数的单调性求参数 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 11．（2022�北京�高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【知识点】分段函数的性质及应用、根据分段函数的单调性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 2 学科网（北京）股份有限公司 $$