精品解析：江苏省常州市五校2024-2025学年高二下学期联合调研数学试卷

2024-2025学年江苏省常州市五校高二（下）联合调研数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数定义域为， 又， 令，解得， 函数的单调减区间是， 故选：A 2. 若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布对称性可得答案. 【详解】，得：. 故选：C． 4. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率分布列的性质求出a的值，由求得结果． 【详解】根据题意可得， 所以. 故选：A. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算可得，从而知为偶函数，再由，得解． 【详解】解：函数的定义域为， ，所以为偶函数，排除选项D， 因为，所以选项C正确，AB错误． 故选：C. 6. 在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由空间向量线性和基本定理运算可解. 【详解】由F为BE 的中点，得 又 所以，由 得 即所以 故选：D 7. 已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度，设它向左移动的概率为，向右移动的概率为，已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，则2秒后该质点在处的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，设“质点2秒后所在位置对应的实数为非负数”，“2秒后该质点在处”，求出和，由条件概率公式计算可得答案． 【详解】根据题意，质点2秒内移动了2次，设向右移动的次数为， 设“质点2秒后所在位置对应的实数为非负数”，“2秒后该质点在处”， 若质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，则， 则， 若2秒后该质点在处，即，其概率， 故2秒后该质点在处的概率 故选：B 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. e D. 【答案】A 【解析】 【分析】将转化为函数和的零点相同，然后利用，构造函数求最值即可. 【详解】， 因为，且函数和都是增函数， 故若恒成立，则函数和的零点相同， 即. 故，设则 故在，，单调递增； 在，，单调递减. 故 故最大值为. 故选：A 【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题 1.分离参数法 第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的最值； 第三步：根据要求得所求范围． 2.函数思想法 第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题； 第二步：利用导数求该函数的极值； 第三步：构建不等式求解． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四棱柱中，，，为底面的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由向量加减法的几何意义判断AB,利用数量积和夹角模长公式判断CD可得答案. 【详解】对于选项A，，正确； 对于选项B，，错误； 对于选项C，，错误； 对于选项D，易得为正三角形， 故，正确； 故选：AD． 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，，则 B. 若，，，则 C. 若，则 D. 若分布，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据方差的性质判断A选项；利用贝叶斯公式判断B选项；根据超几何分布判断C选项；根据两点分布的期望与方差判断D选项． 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：因为，所以， 所以，故B正确； 对于C：若，则，故C正确； 对于D：若分布，，则，故D错误． 故选：BC. 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】得到函数是奇函数，即可判断A；构造函数，判断其奇偶性，即可判断B；由两个对称性得到周期性即可判断C；先求出，并归纳出，由，归纳出，再利用周期性判断D. 【详解】对于A：因为为偶函数，即， 所以，即， 所以其导函数为奇函数， 将代入，得，得，故A正确； 对于B：因为为偶函数， 所以为奇函数，函数图象关于对称，且， 所以的图象关于点对称，故B正确； 对于C：因为为偶函数，可得， 即， 因为为奇函数，可得， 即，得， 所以，即， 则， 可知的周期为4，故C错误； 对于D：因为为偶函数，可得关于对称， 由且关于对称，知， 又的周期为4，可得和， 合并后，可得. 选项C中有等式，即， 则有成立， 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】以A为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 因此， 所以异面直线AC与PB所成角的余弦值为. 故答案为： 13. 已知，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用全概率公式直接列式求解. 【详解】依题意，， 因此，所以. 故答案为：0.2 14. 已知函数为自然对数的底数，的零点分别为，，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用同构化得出，的关系：，则，然后引入函数，由导数求得函数范围即可． 【详解】由已知， 即， 又， 即， 令， 则， 又函数是R上的增函数， 所以，即， 因此， 所以， 令， 则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以时，， 又因为当时，；当时，；当时，， 所以的值域为 即的取值范围为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量=(1,-3,2),=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2+|; (2)在直线AB上,是否存在一点E,使得⊥ ?(O为原点) 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算相应公式计算即可． （2）假设存在点E，则+t，再根据⊥b,建立方程可求出t=． 【详解】(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5), 故|2a+b|==5. (2)+t=(-3,-1,4)+t(1,-1,-2)=(-3+t,-1-t,4-2t), 若⊥b,则·b=0,所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,解得t=,因此存在点E,使得⊥b,此时点E的坐标为E. 【点睛】本题主要考查向量的数量积的坐标表示，向量的模及向量垂直等，属于中档题． 16. 已知函数． （1）过原点作曲线的切线，求该切线的方程； （2）设，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据斜率可求解，即可根据点斜式求解直线方程， （2）求导，根据导函数的正负即可求解. 【小问1详解】 设切点为，由得， 所以所求切线的斜率为，即， 所以，即，故切点为， 所以所求切线的斜率为，切线方程为，即， 故所求切线的方程为． 小问2详解】 由条件知，． 所以， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以． 17. 某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. （1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； （2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 【答案】（1）分布列见解析，数学期望为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. （2）利用全概率公式来求得正确答案. 【小问1详解】 的可能取值为0,1,2， ， 所以随机变量的分布列为 0 1 2 其数学期望为. 【小问2详解】 用表示事件“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 用表示事件“第一次抽选2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是”， 两两互斥，， 由(1)知， 由全概率公式得， ， 所以在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是的概率为. 18. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为线段上一点（与点不重合）． （1）证明：； （2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？ （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积证垂直. （2）借助空间向量的数量积表示出线面角的正弦，利用基本（均值）不等式求何时正弦取得最大值即可. （3）利用空间向量求点到面的距离. 【小问1详解】 因为是边长为2的等边三角形，为的中点，所以 又平面平面，平面平面，平面, 所以平面. 又四边形为矩形，取中点，连接，则、、两两垂直. 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则：，，，，设（）. 那么，，. 因为，所以. 【小问2详解】 设平面的法向量为，则 ， 令，可得. 设直线与平面所成的角为， 则（当且仅当时取“”）. 所以：当时，直线与平面所成的角最大. 【小问3详解】 在（2）的情况下，，平面的法向量， 所以点到平面的距离为：. 19. 已知函数 ，． （1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题可知恒成立，参变分离后，求函数最值即可； （2）（i）根据条件可知有两个不同的正跟，列出方程组解出即可； （ii）根据（i）条件，不等式可以转化为，变形后，设，构造新函数，利用导数即可证明. 【小问1详解】 由题知， 在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，所以， 经检验，符合题意. 故. 【小问2详解】 (i)由题设且， 若，则在上恒成立， 即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意； 故，又有两个极值点， 则是的两个不同正根， 所以， 可得， 即实数的取值范围是. (ii)由（i）且，，不妨设， 则 ， 要证， 需证， 即， 只需证， 即，令， 则证， 由（1）可知当时，在上递增， 又，故， 即， 综上，. 【点睛】易错点点睛：(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题． (2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省常州市五校高二（下）联合调研数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的单调减区间是（ ） A. B. C. D. 2. 若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 相交但不垂直 D. 无法确定 3. 设随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 4. 若随机变量的分布列如表，则的值为（ ） 1 2 3 4 A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 在四面体中，点E满足F为BE的中点，且则实数λ=（ ） A B. C. D. 7. 已知数轴上有一质点，从原点开始每隔1秒向左或向右移动一个单位长度，设它向左移动的概率为，向右移动的概率为，已知质点2秒后所在位置对应的实数为非负数，则2秒后该质点在处的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. C. e D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在四棱柱中，，，为底面的中心，则（ ） A. B. C D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若随机变量，满足，，则 B. 若，，，则 C 若，则 D. 若分布，，则 11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 函数图象关于点对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为______. 13. 已知，，，则______. 14. 已知函数为自然对数的底数，的零点分别为，，则的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量=(1,-3,2),=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2). (1)求|2+|; (2)在直线AB上,否存在一点E,使得⊥ ?(O为原点) 16. 已知函数． （1）过原点作曲线的切线，求该切线的方程； （2）设，求的最小值． 17. 某校由5名教师组成校本课程讲师团，其中2人有校本课程开设经验，3人没有校本课程开设经验.先从这5名教师中随机抽选2名教师开设校本课程，该期校本课程结束后，再从这5名教师中随机抽选2名教师开设下一期校本课程. （1）在第一次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数记为X，求X的分布列和数学期望； （2）求“在第二次抽选的2名教师中，有校本课程开设经验的教师人数是1”的概率. 18. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面平面是边长为2的等边三角形，，点为的中点，点为线段上一点（与点不重合）． （1）证明：； （2）当为何值时，直线与平面所成的角最大？ （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 19. 已知函数 ，． （1）若函数在定义域上单调递增，求的取值范围； （2）若函数有两个极值点． （i）求的取值范围； （ii）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $