精品解析：上海市浦东新区上海南汇中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

上海南汇中学2024学年第二学期期末考试 高二数学 满分：100分 完成时间90分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 已知随机事件满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接根据条件概率公式计算得到答案. 【详解】. 故答案为：. 2. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ . 【答案】 【解析】 【分析】由并集的定义及数轴表示可得解. 【详解】在数轴上表示出集合和集合,要使，只有. 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题. 3. 已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性得到，再利用奇函数和偶函数的定义逐个检验即可. 【详解】因为是幂函数且在区间上单调递增，所以， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是偶函数，符合题意， 当时，，定义域为，与题意不符，故排除， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是奇函数，不符合题意，故排除. 故答案：. 4. 双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】 由双曲线方程得出，同时判断出焦点所在的轴．可得出渐近线方程． 【详解】由已知，双曲线的焦点在轴， ∴渐近线方程为． 故答案为：． 5. 方程的解集为_________. 【答案】 【解析】 【分析】先确定的范围，再利用对数的运算性质对方程合理变形，结合对数函数单调性转化为，求解出但不在范围内，最后得到原方程解集为即可. 【详解】由题意得，解得，，解得， 因为， 所以， 则， 由对数函数性质得 上单调递增， 可得，解得，不在范围内，故原方程的解集为. 故答案为： 6. 设定义在R上的函数的导函数为，若，则__________________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的定义直接求解即可. 【详解】由导数的定义得， 因为，所以. 故答案为：. 7. 设，方程的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式等号的成立条件可求解. 【详解】因为， 又， 当且仅当时，等号成立， 解得， 所以方程的解集是， 故答案为：. 8. 已知随机变量，是正实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性可得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值即可. 【详解】由题意得随机变量， 且由正态分布性质得， 因为，所以， 由正态分布性质得，而， 则， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 9. 由表格数据得到的线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是_______ x 3 4 5 6 y 2.5 4 4.5 【答案】## 【解析】 【分析】先计算出样本的中心点坐标，将其代入中可求得m的值，再结合离差的定义求解即可. 【详解】因为，，且线性回归方程恒过， 所以，解得， 将代入回归方程得， 所以此回归方程在样本点处的离差是. 故答案为： 10. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 11. 我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是____ 【答案】 【解析】 【分析】由题知图形为正方形，再往内外膨胀1个单位可得到图形，再计算面积即可. 【详解】图形的方程是，这是在轴上截距的绝对值都为4的封闭图形， 则图形为正方形，边长为， 点集，其图形是正方形往内外膨胀1个单位，可得到图形如下： 则其面积. 故答案为：. 12. 有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】设取出的5个数为，则可推得，，即可得出.进而只需要分析出事件以及表示的含义，并求出概率，即可得出答案. 【详解】设从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内； 从中取出数为，则也在这个集合内. 设， 则， 所以，，， 所以，，，. 又表示，共有种可能； 表示中有4个选择1和1个选择2，共有种可能， 且所有的取法种数为， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据数据的取法规则，得出概率具有对称性. 二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分） 13. 设，则“”是“且”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】举反例判断充分性，利用不等式的性质判断必要性即可. 【详解】对于充分性：当，时，满足， 不满足且，故充分性不成立， 对于必要性，当且时，满足，故必要性成立， 则“”是“且”的必要非充分条件，故B正确. 故选：B 14. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（ ） 光照时长 1 2 3 8 10 种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2 A. 相关系数r的绝对值变小 B. 相关变量具有负相关关系 C. 拟合误差变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象，较其他的点偏离回归直线最大，去掉后，回归效果更好，结合相关系数、正负相关性、残差平方和以及相关性逐项分析判断. 【详解】观察图象知：较其他的点偏离回归直线最大，因此去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，线性相关性越强， 因此去掉后，相关系数的绝对值变大，A错误； 对于B，由表格数据可知越大，越大，所以相关变量具有正相关关系，B错误； 对于C，因为残差平方和越大，拟合效果越差，因此去掉后，残差平方和变小，拟合误差变小，C错误； 对于D，由选项A知，去掉后，相关系数的绝对值变大， 因此解释变量与响应变量相关性变强，D正确. 故选：D 15. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则， 且Y的可能取值为0，1，2， 则， 可得， ， 所以，. 故选：B. 16. 设有一组圆，下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点；其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程找出圆心坐标，发现满足条件的所有圆的圆心在一条直线上，所以这条直线与所有的圆都相交，②正确；根据图象可知这些圆互相内含，不存在一条定直线与所有的圆均相切，不存在一条定直线与所有的圆均不相交，所以①③错；利用反证法，假设经过原点，将代入圆的方程，因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，假设错误，则圆不经过原点，④正确． 【详解】解：根据题意得：圆心，圆心在直线上，故存在直线与所有圆都相交，选项②正确； 考虑两圆的位置关系， 圆：圆心，半径为， 圆：圆心，，即，半径为， 两圆的圆心距， 两圆的半径之差， 任取或2时，，含于之中，选项①错误； 若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误； 将带入圆的方程，则有，即， 因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确． 则正确命题是②④． 故选：． 【点睛】本题考查圆的方程，要求学生会将直线的参数方程化为普通方程，会利用反证法进行证明，会利用数形结合解决实际问题． 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 已知全集，集合，集合. （1）当时，求； （2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）分析可知，是的真子集，根据集合的包含关系可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 且， 则或，故或. 【小问2详解】 因为是的充分不必要条件，则是的真子集，且，， 故，即实数的取值范围是. 18. 已知函数，函数． （1）函数的图像恒过定点，若函数的图像恰好过点，求实数的值. （2）若时，设函数在时的值域分别为，求时实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质可得定点，代入函数即可得解； （2）根据单调性分别求出函数值域，再根据得，即可得解. 【小问1详解】 函数的图像恒过定点， 所以，则； 【小问2详解】 时，为上增函数， 则时，， ∵为上减函数， ∴当时，， ∵，∴， ∴解得， 实数k的取值范围是． 19. 某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． （1）设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； （2）求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）使用古典概型方法求解分布列，再用数学期望的定义求出期望； （2）利用（1）的结果，并使用全概率公式求解. 【小问1详解】 的可能取值是0、1、2， ，，， 故的分布列是 数学期望. 【小问2详解】 设事件、、分别表示“10月份的友谊赛中恰有0、1、2名新社员参加比赛”． 事件表示“11月参加比赛的社员中恰有1个没有参加友谊赛经验”． 由（1），可知，，． 发生时，5名社员中有2名没有比赛经验，故． 发生时，5名社员中有1名没有比赛经验，故． 发生时，7名社员中有0名没有比赛经验，故． 由全概率公式，得 ． 20. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为焦点的抛物线的标准方程； （2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； （3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出双曲线右焦点为，从而得抛物线方程； （2）利用两点间距离公式，结合双曲线上点的坐标范围求解； （3）由题意直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，联立方程组，由可得的值，从而得的值. 【小问1详解】 由双曲线，可得， 则右焦点为，所以以为焦点的抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，则有， =，由， 当时，. 【小问3详解】 由题意，直线法向量为，可得直线的斜率为1， 设与直线平行的直线方程为， 联立方程组，整理得， 令，解得， 当时，直线与的距离为； 当时，直线与的距离为， 所以的值或． 21. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 【答案】（1）极小值为0，无极大值. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）把代入函数中，并求出，根据的正负得到的单调性，进而求出的极值. （2）等价于与的图象有两个交点，求导得到函数的单调性和极值，画出的大致图象，数形结合求解即可. （3）求出，并得函数在上单调递减，在上单调递增，可得则，，要证，只需证，只需证，即证，令，对求导证明即可. 【小问1详解】 当时，，定义域为，求导可得， 令，得， 当时，，函数在区间上单调递减， 当时，，函数在区间上单调递增， 所以在处取到极小值为0，无极大值. 【小问2详解】 方程， 当时，显然方程不成立， 所以，则， 方程有两个不等实根，即与的图象有2个交点， ， 当或时，， 在区间和上单调递减， 并且时，，当时，， 当时，，在区间上单调递增， 时，当时，取得最小值，， 作出函数的图象，如图所示： 因此与有2个交点时，， 故的取值范围为. 【小问3详解】 证明：，由，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 由题意，且，则，. 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证， 又，所以只需证， 即证， 令， 即， ， 由均值不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以函数在上单调递增. 由，可得，即， 所以， 又函数在上单调递减， 所以，即得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海南汇中学2024学年第二学期期末考试 高二数学 满分：100分 完成时间90分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分36分，每题3分） 1. 已知随机事件满足，则__________. 2. 已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ . 3. 已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则_____. 4. 双曲线的渐近线方程是__________. 5. 方程的解集为_________. 6. 设定义在R上的函数的导函数为，若，则__________________． 7. 设，方程的解集是__________． 8. 已知随机变量，是正实数，满足，则的最小值为___________. 9. 由表格数据得到线性回归方程为，则此回归方程在样本点处的离差是_______ x 3 4 5 6 y 25 4 4.5 10. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________. 11. 我们把点到图形上任意一点距离的最小值称为点到图形的距离，记作.若图形的方程是，则点集所表示的图形的面积是____ 12. 有5个集合：，从每个集合中等可能地各取1个数，记5个数之和为，则_____________． 二、选择题（本大题共4题，满分12分，每题3分） 13. 设，则“”是“且”的（ ） A 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 某兴趣小组研究光照时长和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，如下表所示．若去掉最后一组数据后，下列说法正确的是（ ） 光照时长 1 2 3 8 10 种子发芽数量y（颗） 4 6 5 11 2 A. 相关系数r的绝对值变小 B. 相关变量具有负相关关系 C. 拟合误差变大 D. 解释变量与响应变量的相关性变强 15. 盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 设有一组圆，下列四个命题：①存在一条定直线与所有的圆均相切；②存在一条定直线与所有的圆均相交；③存在一条定直线与所有的圆均不相交；④所有的圆均不经过原点；其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（本大题共有5题，满分52分） 17 已知全集，集合，集合. （1）当时，求； （2）设命题，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 18. 已知函数，函数． （1）函数的图像恒过定点，若函数的图像恰好过点，求实数的值. （2）若时，设函数在时值域分别为，求时实数的取值范围． 19. 某校桥牌社每个月要和兄弟学校的桥牌社进行一次友谊赛，为此要从5名社员中随机选择3名参加友谊赛．新学年友谊赛从10月份开始，此时5名社员中有2名新社员没有参加过此前的友谊赛． （1）设10月份参加比赛的新社员的人数为，求的分布与期望； （2）求11月份参加比赛的社员中，恰有1个没有友谊赛经验的概率． 20. 已知双曲线，其右顶点为，右焦点为. （1）求以为焦点的抛物线的标准方程； （2）已知点，设点是双曲线上任一点，求的最小值； （3）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点到直线的距离均为，求的值. 21. 已知，，是自然对数的底数. （1）当时，求函数的极值； （2）若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； （3）当时，若满足，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$