精品解析：上海市曹杨第二中学2024-2025学年高二下学期期终考试数学试题

上海市曹杨二中2024学年度第二学期 高二年级期终考试数学试卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 样本数据12，16，21，25，37的第40百分位数为______. 2. 设函数在处可导，且，则______. 3. 已知，圆的面积为，则______. 4. 已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______. 5. 已知向量，的夹角为，，，则______. 6. 若，，则______. 7. 已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 8. 已知，则______. 9. 甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 10. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是______. 11. 已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 12. 已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是______. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 14. 若向量 、、满足，且，则、、中最大的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 15. 在正方体中，已知为中点，为正方体表面上一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是30°，则这样的点的个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 16. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭函数”.给出以下两个命题：①若是“封闭函数”，则对任意，，是“封闭函数”；②存在，，，，使得是“封闭函数”，但不是“封闭函数”.则下列说法正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②均错误 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17 直角梯形中，，，平面，. （1）求证：； （2）已知三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小. 18. 已知，. （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）已知中，角、、所对边分别为、、.若，，，的面积为，求边的长. 19. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 20. 已知椭圆：的左、右焦点为、. （1）已知为的上顶点，求的周长； （2）已知直线交于，两点，若，求直线的方程； （3）已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 设函数定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记. （1）设，，求，； （2）已知，设，.若对任意，均有，求的取值范围； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在.证明：“在区间上严格增”是“对任意两个不同、，与至少有一个成立”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 上海市曹杨二中2024学年度第二学期 高二年级期终考试数学试卷 考生注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚. 2.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.请考生用黑色水笔或钢笔将答案直接写在答题卷上. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 样本数据12，16，21，25，37的第40百分位数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据可得第40百分位数. 【详解】因为， 故第40百分位数为第二个数与第三个数平均数即， 故答案为：. 2. 设函数在处可导，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据导数的定义可知：. 故答案为：3. 3. 已知，圆的面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解. 【详解】已知圆的方程为 ， 可得， 此为标准形式，圆心为 ，半径平方为 ， 由 得：， 解方程：. 故答案为：. 4. 已知平面经过圆锥的轴，且截圆锥所得截面为直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面为等腰直角三角形，求出，由圆锥侧面积公式得解． 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为r， 已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形， 所以，即， 又因为圆锥的母线长为， 所以该圆锥的侧面积为． 故答案为：． 5. 已知向量，的夹角为，，，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义先求出的值，将，，代入计算即可. 【详解】因为向量，的夹角为，，， 所以， 所以 . 故答案为：1 6. 若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角差的正切公式求解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 故答案为： 7. 已知抛物线的焦点为双曲线的一个焦点，若过点，则的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点坐标和双曲线上的点可构造方程组求得结果. 【详解】的焦点，； 又双曲线过点，； 由得：或（舍），的标准方程为：. 故答案为：. 8. 已知，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合通项公式即可求解系数. 【详解】， 的通项公式为：， 令，得，所以. 故答案为： 9. 甲、乙两选手进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，采取五局三胜制.则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了三局的概率为______. 【答案】##0.375 【解析】 【分析】根据题意，设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件，根据条件概率公式分别求解和的值，进而计算可得答案． 【详解】设甲获胜为事件，比赛进行三局为事件， ，， 所以所求概率为. 故答案为： 10. 已知，若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】求导后，将问题转化为在上有两个不同零点的问题，根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果. 【详解】函数的定义域为，， 函数既有极大值又有极小值， 在上有两个不同零点， ，解得：，即的取值范围为. 故答案为：. 11. 已知，设曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定曲线的切线的变化规律，再根据曲线的切线关于的对称直线不能与轴垂直，可求的取值范围. 【详解】因为，所以，在上单调递增. 当时，函数在处的切线与轴垂直. 所以要使曲线与函数的图象关于直线对称.若曲线仍然是某函数的图象，则需. 由，又，所以. 所以. 故答案为： 12. 已知，若存在直线与曲线和曲线都相切，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先分别设出直线与两曲线的切点坐标，写出切线方程；再根据直线与两曲线都相切，列出方程组，整理得出；最后构造函，利用导数判断函数的单调性，求出最值，得出函数的值域，从而求出的取值范围. 【详解】设直线与曲线相切于点. 由可得：， 则直线的斜率为：， 直线的方程为：，即. 设直线与曲线相切于点. 由可得：， 则直线的斜率为：， 直线的方程为：，即. 因为存在直线与曲线和曲线都相切， 所以，整理得：. 令， 则， 令，解得：或；令，解得：或； 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 又因为，， 当时，， 所以函数的值域为， 所以的取值范围是. 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 下列散点图中，线性相关系数最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】观察选项A的散点图，这些点紧密地聚集在一条直线附近.其线性相关系数接近于；  选项B的散点图中，线性负相关程度不及A，比较分散，即线性相关系数要比选项A的大.  选项C的散点图里，散点呈现出一定的上升趋势，变量和之间具有强的线性相关关系，其线性相关系数为正数.  选项D的散点图中，散点比较分散，线性相关程度比选项A要弱，线性相关系数的比选项A的大. 综合比较四个选项，选项A，线性负相关程度最强，所以线性相关系数最小.  故选：A. 14. 若向量 、、满足，且，则、、中最大的是（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的运算律得到，同理得到、，再作差判断即可； 【详解】解：由，可得，两边平方， 即． 同理可得、， ， 所以， 所以， 所以， 所以，即 则、、中最大的值是． 故选：A． 15. 在正方体中，已知为中点，为正方体表面上的一个动点，若直线与平面、平面所成的角都是30°，则这样的点的个数为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由题可证平面，平面，把与平夹角问题转化为直线与直线和的夹角为，再根据，可知在间有2条，在间不存在，利用过点一条直线与正方体有2个交点即可得出答案. 【详解】设中点为，则平面，连接， 在正方体中，，平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以，同理可证， 又平面，所以平面， 因为直线与平面、平面所成的角都是30°， 所以直线与直线和的夹角为， 不妨设正方体边上为2，则，， 即， 所以， 即符合题意直线有2条，则与正方体表面交点有4个. 故选：C. 16. 已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭函数”.给出以下两个命题：①若是“封闭函数”，则对任意，，是“封闭函数”；②存在，，，，使得是“封闭函数”，但不是“封闭函数”.则下列说法正确的是（ ） A. ①②均正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①②均错误 【答案】B 【解析】 【分析】根据封闭函数的定义结合累加法可判断两者的正误. 【详解】对于①，因为是“封闭函数”， 所以，总有， 故，则， 故， 累加有即， 故对任意，，是“封闭函数”， 故①正确； 对于②，因为是“封闭函数”， 故，则有， 故当时，则有，其中， 故，， ， 累加得， 而，， ， 累加得， 故，即是“封闭函数， 故②错误， 故选：B. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 直角梯形中，，，平面，. （1）求证：； （2）已知三棱锥的体积为，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直得到先证明线线垂直，然后应用线面垂直的判定在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直即可. （2）先根据等体积法求出的值，再作出线面角，最后求出线面角的正切值，再求出该线面角即可. 【小问1详解】 在梯形中， 由，，，得， 所以，所以， 又因为平面，且平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面 又平面， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，解得， 又因为平面且平面，所以， 因为，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面， 故是在平面上的投影， 所以即为直线与平面所成的角的平面角， 在中，解得， 所以，所以 所以直线与平面所成角大小为 18. 已知，. （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）已知中，角、、所对的边分别为、、.若，，，的面积为，求边的长. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用给定周期求出； （2）由（1）及已知求出，再利用三角形面积公式及余弦定理求解. 【小问1详解】 依题意，， 由函数的最小正周期为，得， 所以； 【小问2详解】 由（1）及，得， 由，得， 在中，，则， 解得，即， 由，的面积为，得， 解得， 由余弦定理得 . 19. 为了研究高三学生每天整理数学错题的情况，某校数学建模兴趣小组的同学在本校高三年级学生中采用随机抽样的方法抽取了40名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计得部分数据如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 不是每天都整理数学错题人数 15 20 合计 40 （1）完成上述样本数据的列联表，并计算：每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率； （2）是否有的把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”？ 附：； 0.10 0.01 0.001 2.706 6635 10.828 （3）从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取3名学生做进一步访谈，设恰好抽取到数学成绩总评优秀的人数为，求的分布列和期望. 【答案】（1）列联表见解析，0.35； （2）有； （3）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，求出经验概率. （2）求出的观测值，与临界值比对得解. （3）求出的可能值及对应概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 完善列联表，如下： 数学成绩总评优秀人数 数学成绩总评非优秀人数 合计 每天都整理数学错题人数 14 6 20 不是每天都整理数学错题人数 5 15 20 合计 19 21 40 每天都整理数学错题且数学成绩总评优秀的经验概率为. 【小问2详解】 由（1）得， 所以有把握认为“数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关”. 【小问3详解】 不是每天都整理数学错题的学生有20人，其中数学成绩总评优秀人数为5， 的所有可能值为0，1，2，3， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 期望. 20. 已知椭圆：的左、右焦点为、. （1）已知为的上顶点，求的周长； （2）已知直线交于，两点，若，求直线的方程； （3）已知，，直线：与有两个不同的交点，.设为轴上一点，是否存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）或； （3）存在. 此时，. 【解析】 【分析】（1）先根据椭圆的方程写出点，，的坐标；再根据两点间距离公式得出，，，从而可求出的周长. （2）先根据得出 ，，三点共线；再设出直线方程为，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，结合即可求出，从而得出直线的方程. （3）联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理得出，，进而得出，及线段的中点坐标；再求出线段的垂直平分线方程，得出点的坐标；最后根据，列出关于的方程求解即可做出结论. 【小问1详解】 由椭圆方程可得：，， 则. 所以有，，. 由两点间距离公式可得：，，， 所以的周长为. 【小问2详解】 设点，. 由可得： ，，三点共线且，即， 当直线过点，且斜率为时，则，点，不满足； 所以直线过点，且斜率不为， 设直线方程为. 联立方程组，整理得：， 则，由韦达定理可得，结合可得：或， 则直线的方程为或， 即或. 【小问3详解】 设点，. 联立直线与椭圆的方程，整理得：， 则，解得， 由韦达定理可得， 则， ； 线段的中点坐标为. 所以线段的垂直平分线方程为：， 令，得. 设为轴上一点，假设存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形 则，. 又因为，， 所以 即，整理得：， 因为,所以. 综上，存在，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，此时，. 21. 设函数的定义域为.给定闭区间，若存在，使得对于任意，①均有，则记；②均有，则记. （1）设，，求，； （2）已知，设，.若对任意，均有，求的取值范围； （3）已知，，且对任意闭区间，与均存在.证明：“在区间上严格增”是“对任意两个不同的、，与至少有一个成立”的充要条件. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）按照，的定义利用求导求解即可； （2）由题意可得是在处的切线，分分别求解即可； （3）按照，的定义，及充要条件的定义证明即可. 【小问1详解】 因为，，求导得， 所以在上为单调递增函数， 所以当时，， 因此 【小问2详解】 因为，所以， 令可得，又，故， 当时，；当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 表示过点，斜率为的直线， 当时，函数，在上都单调递增， 所以， 等价于对任意的，不等式恒成立， 整理得， 当时，，成立， 当时，， 所以， 当时，此时， ，所以，不符合题意舍去； 当时，此时，， 因为函数的导函数， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以，故 所以，故时，不满足条件，舍去， 所以， 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 ①证明充分性: 若为上的单调增函数， 则任取， 由题意可得， ， 因为，所以或， 因为为上的单调增函数， 所以或， 所以或成立. ②证明必要性: 首先证明：对任意，都有， 否则存在，使得或， 若存，，则存在，使得， 记，，， 则 设 则或， 对应有或，均与题目条件矛盾， 当存在，使得时，同理可推出矛盾. 因此假设不成立，即对任意，都有.(*) 下面证明：为上的单调增函数. 否则，则存在、，满足，且. 由(*)可知， 此时在区间上，存在，使得. 重复前述命题的证明过程，可以推出矛盾. 因此假设不成立，即为上的单调增函数. 即证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$