15.3互斥事件和独立事件（第二课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（苏教版2019必修第二册）

15.3互斥事件和独立事件 （第二课时） 新知探究 互斥事件 对立事件 复习导入 概率的基本性质： 性质1：对任意的事件，都有 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件,那么，. 性质5（概率的单调性）：如果，那么 性质6：设是一个随机事件中的两个事件，我们有 . 新知探究 俗话说：“三个臭皮匠顶个诸葛亮”，我们如何理解这句话？ 思考1：诸葛亮解出题的概率是,臭皮匠老大解出题的概率是,臭皮匠老二解出题的概率是,臭皮匠老三解出题的概率是。在此条件下，三个臭皮匠能顶个诸葛亮吗？ 新知探究 我们知道，积事件就是事件与事件同时发生. 因此，积事件发生的概率一定与事件，发生的概率有关. 那么，这种关系会是怎样的呢？ 问题1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚硬币正面朝上”，“第二枚硬币反面朝上”.事件发生与否会影响事件发生的概率吗？ 互相不受影响 相互独立 追问：分别计算看看它们之间有什么关系？ , 新知探究 问题2：一个袋子中装有标号分别是 个球，除标号外没有其他差异.采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球.设“第一次摸到球的标号小于”，“第二次摸到球的标号小于”.事件发生与否会影响事件发生的概率吗？ 互相不受影响 相互独立 追问：分别计算看看它们之间有什么关系？ 事件与相互独立. 新知探究 相互独立事件：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立. 注：①互斥事件：两个事件不能同时发生. ②相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响. 问题3：据此，思考题中，三个臭皮匠能顶一个诸葛亮吗？ 新知探究 辨析1 ：判断下列事件是否为相互独立事件. (1)甲组名男生，名女生；乙组名男生，名女生，现从甲、乙两组各选名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出名男生”与“从乙组中选出名女生”. (2)容器内盛有个白乒乓球和个黄乒乓球，“从个球中任意取出个，取出的是白球”与“从剩下的个球中任意取出个，取出的还是白球”. 【答案】：（1）是；（2）不是 辨析2 ：掷一枚正方体骰子一次，设事件“出现偶数点”，事件“出现3点或6点”，则事件的关系是（ ） .互斥但不相互独立 .相互独立但不互斥 .互斥且相互独立 .既不相互独立也不互斥 新知探究 问题4：必然事件与任意事件是否相互独立？ 不可能事件与任意事件是否相互独立？ 必然事件一定发生，不受任何事件是否发生的影响 不可能事件一定不会发生，不受任何事件是否发生的影响 当然，它们也不影响其他事件的发生. 必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立 新知探究 问题5：若事件与相互独立, 则与也相互独立吗？ A B 因为，而且与互斥，所以 所以. 由事件的独立性定义，与相互独立. 若事件与相互独立, 则以下三对事件也相互独立: 与 与 与 练习巩固 例1 ：一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球 （1）“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件， “从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件； （2）“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件， “从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件， 试分别判断（1）（2）中的是否为相互独立事件。 练习巩固 例1 ：一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球 （1）“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件， “从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件； 解：解法一：（1)记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3，则可分别表示为 , 若发生，则发生的概率为, 若不发生，则发生的概率为， 可见，事件的发生与否不影响事件发生的概率，因此相互独立。 练习巩固 例1 ：一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球 （2）“从口袋内无放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件， “从口袋内无放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件， 解：（2)记红、黄、蓝色球的号码分别为1，2，3，则可分别表示为 , 若发生，则发生的概率为, 若不发生，则发生的概率为， 可见，事件的发生与否影响事件发生的概率，因此不独立。 练习巩固 例1 ：一只不透明的口袋内装有大小相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球 （1）“从口袋内有放回地抽取2个球，第一次抽到红球”记为事件， “从口袋内有放回地抽取2个球，第二次抽到黄球”记为事件； 解：解法二：（1)，， 又因为，所以，从而， 因此，相互独立。 （2）因为，，，从而， 因此，不是相互独立事件。 练习巩固 练习1 ：判断下列各队事件是不是相互独立事件. (1)一个布袋里有大小完全相同的个白球，个红球，“从中任意取个球是白球”与“取出的球不放回，再从中任意取个球是红球”. (2)掷一枚骰子一次，事件：“出现偶数点”；事件：“出现点或点”. 解：(1)不放回地取球，前者发生影响后者发生的概率，所以二者不是相互独立事件. (2)样本空间为，事件，事件，事件， 所以，，，即. 所以事件与相互独立，但不是互斥事件. 练习巩固 例2 ：甲坛子里装有1个白球、1个黑球，共2个球；乙坛子里装有2个白球、1个黑球，共3个球。从甲、乙两个坛子里分别摸出1个球，结果都是白球的概率是多少？ 解：记甲坛子里的1个白球、1个黑球分别为，；乙坛子里的2个白球、1个黑球分别为，，.“从甲、乙两个坛子里分别摸出1个球。甲坛子里摸出的是白球”记为事件A，“从甲、乙两个坛子里分别摸出1个球。乙坛子里摸出的是白球”记为事件，则, , 从而 所以， 练习巩固 例3 ：一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B。试判断是否为相互独立事件。 解：解法1： , 若发生，则发生的概率为；若不发生，则发生的概率为； 可见，事件的发生与否不影响事件发生的概率，因此相互独立。 练习巩固 例3 ：一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件A，“从中抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件B。试判断是否为相互独立事件。 解：解法2： , , 所以，，， 即， 因此，相互独立。 练习巩固 练习2：甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶率为，乙的中靶率为，求下列事件的概率：(1)两人都中靶； (2)恰好有一人中靶； (3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，所以与相互独立，与，与都相互独立. 由已知可得，. (1)“两人都中靶”，由事件独立性的定义，得 (2)“恰好有一人中靶”，且与互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，得 练习巩固 练习2 ：(3)两人都脱靶； (4)至少有一人中靶. 解：设“甲中靶”，“乙中靶”，则“甲脱靶”，“乙脱靶”.由于两个人射击的结果互不影响，所以与相互独立，与，与都相互独立. 由已知可得，. (3)事件“两人都脱靶”，所以 (4)法1：事件“至少有一人中靶”，且与两两互斥，所以 法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件“至少有一人中靶”的概率为 练习巩固 变式2 -1：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两队活动中猜对3个成语的概率. 解：设分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件.根据独立性假定，得 练习巩固 变式2 -1：甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.求“星队”在两队活动中猜对3个成语的概率. 设“两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与 互斥，与，与分别相互独立，所以 因此，“星队”在两队活动中猜对3个成语的概率是 练习巩固 变式2-2：红队队员甲、乙、丙与蓝队队员进行围棋比赛，甲对，乙对，丙对各一盘.已知甲胜、乙胜、丙胜的概率分别为，假设各盘比赛结果相互独立，求红队至少两名队员获胜的概率. 解：记甲胜、乙胜、丙胜分别为事件，则甲不胜、乙不胜、丙不胜分别为事件.根据各盘比赛结果相互独立，可得红队至少两名队员获胜的概率为 练习巩固 变式2-3：在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求： (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率； (2)至少有一个气象台预报准确的概率. 解：记“甲气象台独立预报天气准确”为事件，“乙气象台独立预报天气准确”事件 (1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率为 (2)至少有一个气象台预报准确的概率为 练习巩固 变式2-4：甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两个人都译出密码的概率；(2)两个人都译不出密码的概率； (3)恰有1个人译出密码的概率. 解：记“甲独立地译出密码”为事件，“乙独立地译出密码”为事件，则为相互独立事件，且 (1)两个人都译出密码的概率为 (2)两个人都译不出密码的概率为 (3)恰有1个人译出密码的概率为 练习巩固 变式2-5：甲乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)至多有1个人译出密码的概率；(2)至少有1个人译出密码的概率. 解：(1)“至多有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都译出密码”，所以至多有1个人译出密码的概率为 (2)“至少有1个人译出密码”的对立事件为“两个人都未译出密码”，所以至少有1个人译出密码的概率为 小结 相互独立事件：对任意两个事件与，如果成立，则称事件与相互独立，简称为独立. 注：①互斥事件：两个事件不能同时发生. ②相互独立事件：两个事件的发生彼此互不影响. 事件与相互独立. 相互独立的性质： 必然事件与任意事件相互独立，不可能事件与任意事件相互独立. 若事件与相互独立, 则以下三对事件也相互独立: 与 与 与 $$