第02讲 运动学图像 追及相遇问题（含多过程问题）（复习讲义）（安徽专用）2026年高考物理一轮复习讲练测

第02讲 运动学图像 追及相遇问题（含多过程问题） 目录 01考情解码· 命题预警 3 02体系构建 ·思维可视 4 03 核心突破 靶向攻坚 5 考点一 运动图像的理解与应用 5 知识点1 运动图像的理解与应用 考向1 x－t图像与v－t图像 6 考向2 v-t图像为曲线模型 考向3 x-t图像为曲线模型 考点二 非常规运动学图像 考向1 a－t图像 6 考向2 ­t图像 考向3 x­v2图像 考向4 a­x图像 考点三 常见的多过程运动模型 9 知识点 常见的多过程运动模型 9 考向1 “0-v-0”模型 10 考向2 等时去返模型 考向3刹车模型中的反应时间问题 考向4 超车模型中的限速问题 12 考点四 追及相遇问题 14 知识点 追及相遇问题 14 考向1 变速物体追匀速物体 考向2 变速物体追变速物体 考向3 体育赛事中的追及问题 考向4 图像法在追及相遇问题中的应用 15 04 真题溯源 ·考向感知 46 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 运动的图像 选择题 非选择题 安徽卷T6，4分 安徽卷T4，4分 多过程问题 选择题 非选择题 追及相遇问题 选择题 非选择题 考情分析： 1．高考对这部分内容的考查，单独考查的机率不大，通常会与牛顿运动中的图像问题、板块问题和受重力的带电体在电场中的直线运动相结合，偶尔以选择题的形式出现，通常情况下难度不大，会以实际生产生活实例作为试题背景考查基础知识。 2．从命题思路上看，试题情景为 生活实践类：安全行车（如刹车反应时间、超车限速问题等），体育运动(如足球、接力赛、骑行等)； 学习探究类：非常规律运动图像及运动图像在追及相遇问题中的应用。 复习目标： 目标一：掌握x-t图像与v-t图像的物理意义及其区别。 目标二：掌握多过程问题和追及相遇问题的分析方法与解题技巧。 目标三.：熟悉运动图像在多过程问题和追及相遇问题中的应用，掌握其处理技巧，并能熟练解决实际生活中的情景化问题。 考点一 运动图像的理解与应用 知识点一 运动图像的理解与应用 1．对基本运动图像(x­t图像和v­t图像)的理解 位移—时间图像 (x­t图像) 速度—时间图像 (v­t图像) 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 平行于时间轴的直线表示静止；倾斜直线表示匀速直线运动 平行于时间轴的直线表示匀速直线运动；倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 图线上某点切线的斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向 图线上某点切线的斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示相应时间内位移的大小(面积在时间轴的上、下表示位移方向的正、负)；总位移等于各段位移的矢量和；总路程等于各段路程的代数和，即时间轴上、下各面积的代数和 特殊点 拐点表示速度发生变化，交点表示相遇 拐点表示加速度发生变化，交点表示速度相等 2.v-t图像中为曲线模型 t O v t0 匀加速 变加速 v1 v2 t O v t0 变加速 匀加速 v2 v1 t O v t0 匀减速 变减速 v1 v2 t O v t0 变减速 匀减速 v2 v1 <(v1+v2)/2 >(v1+v2)/2 >(v1+v2)/2 <(v1+v2)/2 加速度增大 加速度减小 加速度增大 加速度减小 曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动 3. x-t图像中的曲线问题 t O x t2 瞬时速度 x2 平均速度 t1 x1 (1)一般曲线 ①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动； ②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度； ③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。 （2）抛物线 t O x 1 2 3 匀加速直线运动 x3 x1 x2 t O x 1 2 3 4 匀减速直线运动 x0 ①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速； ②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2； ③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。 得分速记 1.x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹； 2.x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇； 3.v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变； 4.v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移。图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和。 考向1 x－t图像与v－t图像 例1 （2025·山西·一模）两质点甲和乙，从同一位置同时沿同一方向在水平面内做直线运动，甲的位移与时间图像（图像）和乙的速度与时间图像（图像）分别如图甲，乙所示，在时间内，下列说法正确的是（　　） A．6s时，甲离出发点最远 B．6s时，乙回到出发点 C．内，甲与乙的平均速度相同 D．内，甲与乙的平均速度相同 思维建模 处理图像问题方法 【变式训练1·变考法】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）一物体的运动图像如图所示，横、纵轴截距分别为n和m，在图像所示的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．若为（位移-时间）图像，则表示物体的平均速度 B．若为（位移-时间）图像，则mn表示物体的平均速度 C．若为（速度-时间）图像，则mn表示物体的位移 D．若为（速度-时间）图像，则表示物体的平均速度 【变式训练2】（2025·安徽芜湖·二模）在足够长的斜面上，使A、B两个相同小物块分别从不同位置沿斜面方向同时出发，选择沿斜面向上为正方向，它们运动的图像如图所示。在时，A、B两物块恰好在斜面上某一位置相遇，据图可知下列说法正确的是（　　） A．该斜面是光滑斜面 B．时，A、B两物块相距最远 C．A、B两物块在斜面上出发时相距50m D．时，A、B两物块相对于出发点的位移大小相等 考向2 v-t图像为曲线模型 例2（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两小车在相邻轨道上做直线运动、它们的速度-时间图像如图所示。已知甲的图线为抛物线，则下列判断正确的是（　　）    A．t=2s时两车一定不相遇 B．t=2s时甲的加速度大于乙的加速度 C．0-4s内甲的平均速度大于2.5m/s D．0-2s内甲的位移大于乙的位移 【变式训练1】（2025·贵州黔南·三模）2025年2月6日“幸福源泉中国年”大型焰火无人机音乐晚会如期而至。无人机在开始升空的一段时间内的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．时间内，无人机的运动方向发生改变 B．时间内，无人机的加速度逐渐增大 C．时间内，无人机的平均速度大小为 D．时间内，无人机处于失重状态 【变式训练2·变考法】（多选）（2025·河北·模拟预测）小华同学用DIS传感器设备研究某物块沿一直线的运动规律时，得到了物块的图像，如图所示，在内对应图像恰好是一个半圆。取3.14，则下列说法正确的是（　　） A．物块在内发生的位移为 B．物块在内发生的位移为 C．时的速度大小为 D．时的速度大小为 特别提醒： 图像与轴所围成的面积表示物体发生的位移，注意坐标轴表示物理量的单位。 考向3 x-t图像为曲线模型 例3（2025·安徽·一模）2024年11月，江淮前沿技术协同创新中心与启元实验室联合组建的具身智能团队在中关村仿生机器人大赛决赛中夺得冠军。沿同一条直线运动的机器人甲、乙的位置x随时间t变化的图像（均为抛物线）如图所示，已知倾斜虚线的斜率为k，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙同地但不同时出发 B．甲、乙两次相遇时，甲的速度均大于乙的速度 C．t0~3t0时间内，甲、乙的平均速度均为k D．t0~3t0时间内，甲、乙均做加速运动 【变式训练1】（2025·福建厦门·三模）小厦同学参加折返跑比赛，从静止开始由起点出发跑到距起点30米处的折返点，再跑回起点，则该同学运动过程中位移x与时间t的关系图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2·变载体】（2025·山西临汾·三模）甲、乙两辆汽车沿同一平直公路做直线运动，其运动的图像如图所示。其中甲的图像是一条倾斜直线，乙的图像是一段抛物线，且在时刻乙图像的切线与甲的图像平行。图中的坐标均为已知量，下列说法正确的是（    ） A．乙的初速度为 B．乙的初速度为 C．乙的加速度为 D．时刻，甲、乙间的距离为 考点二 非常规运动学图像 知识点 非常规运动学图像 四类图象 （1）a－t图象 由vt＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示． （2）－t图象 由s＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示． （3）v2－s图象 由vt2－v02＝2as可知vt2＝v02＋2as，图象斜率为2a. （4）s－v图象 s与v的关系式：2as＝v2－v02，图象表达式：s＝v2－v02 得分速记 有些特殊图像，比如v2－x图像、－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量。 考向1 a-t图像 例1（2025·安徽·一模）甲、乙两车同时从同一地点沿同一直线由静止开始运动，且两车处于不同的车道，如图为二者在时间内的加速度随时间变化的图像，图中和均为已知量。对于该过程，下列说法正确的是（　　） A．甲车平均速度等于乙车平均速度 B．两车在时刻仍然并排行驶 C．在时刻，甲车的速度大小为 D．在时刻，甲、乙两车速度相等 【逻辑思维与科学建模】【变式训练1】（2025·河南·三模）小龙虾属于甲壳动物，其运动方式多样。在水中快速移动时，主要依靠尾部的快速弯曲产生推进力，这种动作类似于“尾部弹跳”。时刻，小龙虾受到威胁，通过尾部（腹肢）的快速拍打由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t的变化规律如图所示。在下列时刻中，小龙虾的速度达到最大值的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2·变载体】（2025·重庆·三模）某同学把手机固定在身上蹦极，蹦极开始的瞬间打开手机中的加速度传感器。运动过程中，加速度传感器记录了该同学的加速度a随时间t变化的部分关系图像如图所示。忽略空气阻力，则该同学处在最低点的时刻是（　　） A． B． C． D． 特别提醒： a-t图像与t轴所围成的面积表示物体速度变化量，时间轴上方向面积表示速度变化量的方向为正，时间轴下方面积表示速度变化量的方向为负。 考向2 ­t图像 例2（2025·江西·一模）一辆汽车刹车过程中可看成匀减速直线运动，刹车t时间内的位移为x，其刹车过程的图像如图所示（图中横轴截距b和纵轴截距c均已知），则整个刹车过程的（　　） A．平均速度大小为 B．平均速度大小为c C．加速度大小为 D．加速度大小为 解题技巧 先找出图像的原函数即，再将此公式变形为，由此可知，图像的纵截距表示初速度，斜率为加速度的一半。 【变式训练1·变考法】（2025·湖南郴州·三模）国产新能源汽车近年来取得了显著进步。在某次安全测试中，某款新能源汽车在平直公路上行驶，突然发现前方有障碍物，智能系统识别后紧急恒力制动。从制动开始计时，该汽车的位移和时间平方的比值与之间的关系图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．1s末汽车的速度为10m/s B．2s内汽车的平均速度为14m/s C．第2s内汽车的位移为24m D．经过3s汽车的位移为25m 【变式训练2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某中学物理兴趣小组研究某物体做匀变速直线运动的图像，是平均速度，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．物体的初速度大小为b，加速度大小为 B．阴影部分的面积表示物体在时间内通过的位移 C．物体在时刻回到出发点 D．物体在时刻速度方向发生改变 考向3 x­v2图像 例3 （2025·河北保定·模拟预测）（多选）一公交车（可视为质点）在时刻从静止开始在平直的公路上做匀加速直线运动，其速度的平方与位移变化关系如图所示，关于公交车的运动，下列说法正确的是（　　） A．公交车做匀加速直线运动的加速度大小为 B．公交车在时的速度大小为 C．公交车在内的平均速度大小为 D．公交车在内所用的时间为 解题技巧 先找出图像的原函数即，再将此公式变形为，由此可知，图像的纵截距为，斜率为。 【变式训练1·变考法】（2025·湖北·模拟预测）如图所示为某汽车在提速过程中速度随位移变化的图像，若该过程中，汽车可视为做匀变速直线运动，其加速度大小为a。从汽车位于x=0位置到速度大小变为108km/h的过程中，汽车行驶的时间和位移大小分别为t、x。从汽车位于x=0位置开始计时，3s内汽车的平均速度大小为，则关于a、t、x、的说法正确的是（　　） A．a=10m/s² B．t=4s C．x=90m D．=10m/s 【变式训练2·变载体】（2025·河南·二模）人工智能的应用越来越广泛，萝卜快跑无人驾驶出租车已经在很多城市开始运营，汽车自动控制反应时间（从发现障碍物到开始制动的时间）小于人的反应时间。如图1、2所示分别是在遇到障碍物时驾驶员操作下的v-t图像和自动控制下的图像，数据图中已标出，下列说法正确的是（    ） A．驾驶员操作下从发现障碍物到停止的位移大小是45m B．驾驶员操作下从发现障碍物到停止的平均速度大小是 C．自动控制下从发现障碍物到停止的时间是3.3s D．自动控制下从发现障碍物到停止的平均速度大小是 考向4 a­x图像 例4（2025·四川达州·模拟预测）如图甲所示，小球在一竖直的轻弹簧正上方由静止开始自由下落，直到压缩弹簧到最低点，其运动的a－x图像如图乙所示，小球在最低点时的加速度大小为。已知小球的质量为m，重力加速度为g，小球在运动过程中的空气阻力忽略不计。弹簧始终在弹性限度内，则 A．弹簧的劲度系数为 B．小球运动过程中的最大速度为 C．等于2g D． 解题技巧 先找出图像的原函数即，再将此公式变形为，由此可知，图像与坐标轴所围面积表示速度平方的变化量的一半。 【变式训练1·变考法】（2025·辽宁·一模）（多选）2024是我国新能源汽车销量持续爆发的一年，火爆的销量离不开车企的严谨务实的前期测试。某国产新能源汽车上市之前在一直线跑道上进行“单踏板模式”性能测试，测试过程分为三个阶段。阶段Ⅰ：驾驶员踩下电门至某一位置，汽车由静止启动，其加速度的倒数与速度v的关系如图所示，当汽车加速至时进入阶段Ⅱ。阶段Ⅱ：驾驶员通过适当调节电门，使汽车做匀加速直线运动，以加速度加速至时进入阶段Ⅲ。阶段Ⅲ：驾驶员松开电门，汽车的能量回收制动系统启动，汽车开始减速直至停下，该减速过程中汽车的加速度与速度v满足关系式（其中）。则下列说法正确的是（　　） A．阶段Ⅱ汽车运动的时间为10s B．阶段Ⅱ汽车运动的位移大小为125m C．阶段Ⅰ经历的时间为20s D．阶段Ⅲ汽车的位移大小为30m 【逻辑思维与科学建模】【变式训练2】（2025·河北·模拟预测）一物体沿直线运动，如图是它运动的图像，v表示物体运动的速度，x表示物体运动的位移，关于该物体的运动，下列说法正确的是（　　） A．该物体在做减速直线运动 B．该物体在做匀加速直线运动 C．该物体运动位移为所用的时间为 D．在运动过程中，该物体的加速度逐渐减小 考点三 多过程问题 知识点 多过程问题 问题特点 一个物体的运动包含几个阶段，各阶段的运动性质不同，满足不同的运动规律，交接处的速度是连接各阶段运动的纽带。 得分速记 考向1 “0—v—0”运动模型 t O v t2 t1 a2 a1 v0 1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式： ①速度公式 推导可得： ②速度位移公式 推导可得： ③平均速度位移公式 推导可得： 2.位移三个公式：；； 例1 （2025·西藏拉萨·二模）小明家客厅内的电动窗帘总长6m，当启动电动窗帘开关，窗帘对开用时6s。假设移动过程窗帘先做匀加速运动，后做匀减速运动，且加速度大小相等，则窗帘运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【生产生活与学科知识结合】【变式训练1】（2025·广东揭阳·二模）如图甲，若某人手持长为1.8m的横杆匀速走向感应门，当人与感应门正中央水平距离为1.5m时，两扇门从静止开始同时向两边平移，每扇门移动的图像如图乙。若横杆始终平行于地面且与运动方向垂直，要使横杆顺利通过感应门，则人的最大速度为（    ） A．0.375m/s B．0.5m/s C．0.75m/s D．1.0m/s 【变式训练2】（2025·河南·模拟预测）某电梯从静止开始从1楼到2楼，先做匀加速直线运动，加速度大小为3m/s2，接着做匀减速运动，加速度大小为6m/s2，到达2楼时恰好停止运动. 若1、2两楼层的高度差为4m，则下列说法正确的是（   ） A．电梯从1楼到2楼所用时间为1.5s，最大速度为4m/s B．电梯从1楼到2楼所用时间为1.5s，最大速度为6m/s C．电梯从1楼到2楼所用时间为2.0s，最大速度为4m/s D．电梯从1楼到2楼所用时间为2.0s，最大速度为6m/s 考向2 去返模型 t O v t2 t1 a2 a1 v1 v2 （1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。 （2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式； 平均速度位移公式 （3）三个比例式：① ；② ； ③ 例2如图甲所示，一个质量的物块以初速度从斜面底端冲上一足够长斜面，经开始沿斜面返回，时刻回到斜面底端。物块运动的图像如图乙所示，斜面倾角（，，重力加速度g取）。则可确定（　　） A．物块上滑时的加速度大小为 B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.45 C．物块沿斜面向上滑行的最大距离为5.0m D．物块回到斜面底端的时刻为2.0s 【变式训练1·变载体】（多选）如图所示，小物块从倾角的固定斜面底端A点，以的速度沿斜面上滑，经过时间t后小物块的速度大小为4m/s，此时小物块到A点间的距离为x，一段时间后小物块又回到A点。已知物块与斜面间的动摩擦因数，物块可视为质点，取重力加速度，则下列说法可能正确的是（　　） A．、 B．、 C．斜面长度至少为5m D．斜面长度至少为9m 【变式训练2·变考法】滑块以一定的初速度从底端冲上足够长的光滑斜面，滑行到最高点的时间为t，位移为L；现在距底端处放一挡板（如图中用虚线表示），滑块仍以相同初速度从底端出发，已知滑块与挡板相碰后速度瞬间减为0，碰撞时间可以忽略不计，已知滑块在光滑斜面上运动加速度恒定不变，则滑块在斜面上运动时（　　） A．滑块在光滑斜面上运动加速度为 B．滑块从底端出发的相同初速度为 C．滑块与挡板相碰后滑行到底端的时间为 D．滑块与挡板相碰时，滑块受到的弹力沿斜面向上 考向3 刹车模型中的反应时间问题 例3 （2025·贵州贵阳·二模）在高速公路行驶时，司机发现前方障碍物后立即刹车。已知汽车以的速度匀速行驶，司机的反应时间为0.5s，刹车后汽车做匀减速直线运动，加速度大小为。下列说法正确的是（    ） A．汽车在反应时间内行驶的距离为15m B．刹车后汽车经过2.5s停止 C．若障碍物距离汽车45m，则会发生碰撞 【变式训练1·变考法】（多选）酒后驾驶会导致许多安全隐患。酒后驾驶员的反应时间变长，“反应时间”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间，表中“反应距离”是指“反应时间”内汽车行驶的距离；“制动距离”是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离。假设汽车以不同速度行驶时制动的加速度大小都相等。分析表中数据可知，下列选项中正确的是（　　） 速度/ 反应距离 制动距离 正常 酒后 正常 酒后 15 7.5 15.0 22.5 30.0 A．若汽车的初速度增加一倍，制动距离也增加一倍 B．驾驶员酒后反应时间比正常情况下多 C．驾驶员采取制动措施后汽车刹车的加速度大小为 D．若驾驶员酒后以的速度行驶时发现前方处有险情，则不能安全停车 【变式训练2】（2025·江西·一模）一辆汽车正在平直的公路上以20 m/s的速度匀速行驶，某时刻，司机发现前方有险情，经短暂的反应后立即刹车，刹车过程汽车做匀减速运动，减速运动的时间为反应时间的4倍，从看到险情到汽车停下，汽车行驶的距离为30 m，刹车过程看成匀减速直线运动，则刹车过程的加速度大小为（    ） A．5 m/s2 B．7 m/s2 C．10 m/s2 D．12 m/s2 考向4 超车模型中的限速问题 例4如图所示为某地的转盘路，汽车要想直行，到转盘路时，需要先做半径为R=25m的圆周运动，运动半个圆周后再直行。若汽车甲到达转盘路时，汽车乙恰好通过转盘路进入直行车道，以匀速行驶。已知汽车通过转盘路过程的速度不能超过，通过后在直行车道上的速度不能超过，加速度不能超过则汽车甲追上汽车乙所用的最短时间约为（假设直行车道足够长，且没有通过红绿灯，另外不考虑汽车的变加速恒功率过程）（　　） A．15.7s B．17.6s C．19.5s D．21.4s 【变式训练1·变考法】（2025·河北石家庄·一模）超车是指后车并道到前车的后侧方，越过前车后，并道，回原车道的过程。如图所示，甲车车长，以车速、加速度正在加速行驶，乙车车长，以车速匀速运动，此时两车相距，内侧车道上乙车前方处，丙车正以车速匀速运动。已知该路段限速，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度。 (1)求甲车与乙车间距为时所用的最短时间； (2)甲、乙两车间距为时，甲车开始借道超车，当甲、乙两车车头平齐时，求甲车与丙车的距离； (3)若甲车司机感到超车有撞到丙车的危险，当甲、乙两车车头平齐时开始紧急刹车，最终没有出现危险，求甲车刹车的加速度大小。 【变式训练2·变载体】强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以和的速度在限速的路面上匀速行驶，其中甲车车身长、货车车身长，某时刻货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求： (1)甲车加速到最大速度所走的位移大小； (2)甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间（结果保留2位小数）； 考点四 追及相遇问题 知识点 追及相遇问题 1.分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。 (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。 2.临界法 寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。 3.函数法 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。 4.图像法 (1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。 (2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。 5.特别提醒 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 考向1 变速物体追匀速物体 例1 （2025·河南·三模）（多选）汽车沿水平车道以的速度向前做匀减速直线运动，其刹车的加速度大小，此时发现在相邻车道前方相距处有以的速度同向运动的汽车B匀速行驶，从此刻开始计时，经多长时间两车并排（即相遇）（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】（2025·湖北·二模）（多选）A、B两质点做直线运动的位置—时间（x-t）的图像如图所示，已知A的x-t图像为开口向下的抛物线，t＝8 s时图像处于顶点，B的x-t图像为直线。关于两质点0~10 s内的运动，下列说法正确的是（　　） A．相等时间内质点A的速度变化相同 B．在0~10 s内两质点的平均速度相同 C．t＝10 s时两质点相遇，相遇时A的速度大于B的速度 D．t＝10 s时两质点相遇，相遇时A的速度小于B的速度 【变式训练2】（2025·辽宁·三模）某辆汽车以6m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速，又以4m/s2的加速度匀加速到30m/s并开启定速巡航模式（开启后汽车会自动保持30m/s的速度匀速行驶，驾驶员无需再踩油门，若驾驶员踩刹车制动，则定速巡航会自动关闭）。（车辆均可视为质点） (1)求汽车加速阶段行驶的距离。 (2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭，于是立即报警，在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40m处。此时一辆警车以10m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上，然后进行拦截，要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇，然后对失控车进行紧急逼停，求警车加速度的大小。 考向2 变速物体追变速物体 例1（2025·山东日照·二模）（多选）甲、乙两辆汽车在同一条平直公路上沿同一方向行驶。当甲车在乙车后方60m处时，甲车以10m/s的初速度做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2；乙车以20m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为1m/s2。当甲车追上乙车后，两车保持各自的速度做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．甲车追上乙车所需要的时间为16s B．甲车追上乙车时，乙车的速度大小为8m/s C．甲车追上乙车前，两车之间的最大距离为30m D．甲车追上乙车后，两车之间的距离随时间变化的关系为 【变式训练1】（2025·湖北·模拟预测）某次实验中，甲、乙小车上安装有蓝牙设备，该设备的有效通讯距离为d＝10m。甲车在前、乙车在后沿一条直线同向运动，初始距离为。甲车由静止开始做加速度的匀加速直线运动，乙车同时开始做初速度为，加速度为的匀加速直线运动，甲、乙两车大小可忽略。求： (1)甲、乙两车间的最小距离Δx； (2)甲、乙两车维持蓝牙通讯的时长Δt。 解题技巧 分析矢量时一定要注意考虑矢量的大小和方向，如本题中已知初速度大小2m/s，末速度为10m/s，则需要考虑初、末速度的方向相同还是相反。 【变式训练2·变载体】（2025·河南郑州·模拟预测）（多选）为了测试某种遥控玩具小汽车的性能，生产厂家用两辆完全相同的小车a、b进行测试。 t=0时刻让两玩具小车并排同向行驶，其中小车a做匀加速直线运动，其x-t图像如图甲所示，小车b的图像如图乙所示，则（　　） A．t=0时刻a车的速度大小为1m／s B．两车速度相等时相距4m C．两车在途中相遇时，b车的速度大小为2m／s D．b车停止运动时，a车在其前方12m处 考向3 体育运动中的追及问题 例1一场马拉松比赛正在热火朝天的举行，途中经过一段足够长的平直公路，如图所示，运动员正好排成等间距的长队以的速度匀速直线运动，相邻两运动员的间距为5m，在运动员后面有一辆跟拍的摩托车，想追上队伍进行一些细节拍摄，跟拍的摩托车以的速度在另一条平行车道上同向行驶。当跟拍的摩托车与队伍中最后一个人沿运动方向上的距离为9.5m时，摩托车开始以加速度刹车做匀减速运动至停止，则关于摩托车与队伍交汇相遇的时间和最远能追上前边第几个人，下列结果均正确的是（　　 A．，9 B．，8 C．，8 D．，9 【体育运动与学科知识结合】【变式训练1】“边路传中，中路抢点打门”是足球比赛中常见的进攻战术，而这种战术需要球员间有良好的配合。在某次训练中的初始位置如图所示，运动员甲正在沿着边线从点向点以的速度匀速带球，带至点后立即将球以的速度平行底线向点踢出（忽略运动员踢球的时间），之后足球以的加速度开始做匀减速运动。运动员乙则一直在点观察着甲的运动情况，合适的时机出现后，乙开始向点先以的加速度从静止开始匀加速运动，当达到后开始做匀速直线运动，最终和足球同时到达点，乙在点完成射门。已知：。忽略球员反应时间，求： (1)运动员乙从到的运动时间； (2)运动员乙需要在甲运动员运动到距离点多远时出发？ 【变式训练2·变载体】如图所示，甲、乙两名运动员在训练接力赛跑。甲、乙两名运动员（均视为质点）的起跑过程均可视为初速度为0，加速度大小的匀加速直线运动，经加速后都能达到并保持的最大速度跑完全程。接力区前端为第一个400m的终点和第二个400m的起点，已知接力区的长度，乙在接力区前端听到奔跑的甲发出的口令时立即起跑（不计乙的反应时间），在甲、乙相遇时完成交接棒（不计交接棒的时间），交接棒必须在接力区内完成，假设交接棒动作不影响两运动员的速度。 (1)求乙通过接力区的最短时间； (2)若甲在距离接力区前端处对乙发出起跑口令，求从发出起跑口令到甲、乙交接棒所用的时间； (3)若接力区的长度只有，为使他们取得最好的成绩，求甲对乙发出起跑口令时到接力区前端的距离及从甲开始起跑到乙跑至终点所用的时间。 考向4 图像法在追及相遇问题中的应用 1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算． (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解． 2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷． 3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析． 例4 （2025·湖南娄底·二模）某实验小组利用甲、乙两小车的传感器来比较它们的运动情况，如图为测绘出它们在同一平直赛道上运动时的图像，时刻，乙车在甲车前方位置处，时刻，甲车位移为，则下列描述正确的是（　　） A．若它们在第一次相遇，则 B．若它们在第一次相遇，则 C．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 D．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 【变式训练1】（2025·山东青岛·模拟预测）（多选）图甲为a、b两名运动员4×100m接力赛交接棒的情景。某次比赛时在直道接力区域完成交接棒过程中，a、b两运动员运动的v-t图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．a为接棒运动员，b为交棒运动员 B．0-t1时间内，a和b二者间距离越来越大 C．由图乙可知，两运动员在t1时刻完成交接棒 D．交接棒时的速度越大，因交接棒对比赛成绩的影响越小 【变式训练2·变载体】随意变线加塞，是非常不文明的驾驶习惯，也极其不安全。下图演示了甲车变线加塞的过程，甲车加速后至少需要车尾超出乙车车头后（即图中实线位置），才能开始并线。从开始并线到完成并线，恰好需要时间。此时甲车若要安全并线插到乙车前方，且不影响乙车行驶，并线刚完成时的车距不得小于5m（甲车车尾到乙车车头的距离），而并道后又必须立即减速，以避免与前车追尾，甲车匀减速的加速度不超过10m/s2。假设汽车在变线并道过程中，沿前进方向的运动可认为不受影响，横向移动的速度可忽略。已知甲车车身长度d=4m，初始时，甲车车头与乙车车头并排行驶，且甲车、乙车以及前车此时均以v0=20m/s的速度做匀速直线运动，请计算： (1)若甲车从此时开始做匀加速运动，并要求在4s内完成并线（不能影响乙车行驶），则甲车的加速度至少应为多大? (2)按（1）中加速度完成并线后，若甲车立即做加速度大小为1.5m/s2的匀减速直线运动，则初始时乙车与前车的车距L至少为多少? (3)若甲车以5m/s2匀加速的同时，乙车以3m/s2的加速度减速直至停止，要使三车均不会发生碰撞，则初始时乙车与前车的车距L′至少为多少? 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 运动学图像 追及相遇问题（含多过程问题） 目录 01考情解码· 命题预警 3 02体系构建 ·思维可视 4 03 核心突破 靶向攻坚 5 考点一 运动图像的理解与应用 5 知识点1 运动图像的理解与应用 考向1 x－t图像与v－t图像 6 考向2 v-t图像为曲线模型 考向3 x-t图像为曲线模型 考点二 非常规运动学图像 考向1 a－t图像 6 考向2 ­t图像 考向3 x­v2图像 考向4 a­x图像 考点三 常见的多过程运动模型 9 知识点 常见的多过程运动模型 9 考向1 “0-v-0”模型 10 考向2 等时去返模型 考向3刹车模型中的反应时间问题 考向4 超车模型中的限速问题 12 考点四 追及相遇问题 14 知识点 追及相遇问题 14 考向1 变速物体追匀速物体 考向2 变速物体追变速物体 考向3 体育赛事中的追及问题 考向4 图像法在追及相遇问题中的应用 15 04 真题溯源 ·考向感知 46 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 运动的图像 选择题 非选择题 安徽卷T6，4分 安徽卷T4，4分 多过程问题 选择题 非选择题 追及相遇问题 选择题 非选择题 考情分析： 1．高考对这部分内容的考查，单独考查的机率不大，通常会与牛顿运动中的图像问题、板块问题和受重力的带电体在电场中的直线运动相结合，偶尔以选择题的形式出现，通常情况下难度不大，会以实际生产生活实例作为试题背景考查基础知识。 2．从命题思路上看，试题情景为 生活实践类：安全行车（如刹车反应时间、超车限速问题等），体育运动(如足球、接力赛、骑行等)； 学习探究类：非常规律运动图像及运动图像在追及相遇问题中的应用。 复习目标： 目标一：掌握x-t图像与v-t图像的物理意义及其区别。 目标二：掌握多过程问题和追及相遇问题的分析方法与解题技巧。 目标三.：熟悉运动图像在多过程问题和追及相遇问题中的应用，掌握其处理技巧，并能熟练解决实际生活中的情景化问题。 考点一 运动图像的理解与应用 知识点一 运动图像的理解与应用 1．对基本运动图像(x­t图像和v­t图像)的理解 位移—时间图像 (x­t图像) 速度—时间图像 (v­t图像) 轴 横轴为时间t，纵轴为位移x 横轴为时间t，纵轴为速度v 线 平行于时间轴的直线表示静止；倾斜直线表示匀速直线运动 平行于时间轴的直线表示匀速直线运动；倾斜直线表示匀变速直线运动 斜率 图线上某点切线的斜率的绝对值表示速度的大小，斜率的正负表示速度的方向 图线上某点切线的斜率的绝对值表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向 面积 无实际意义 图线和时间轴围成的面积表示相应时间内位移的大小(面积在时间轴的上、下表示位移方向的正、负)；总位移等于各段位移的矢量和；总路程等于各段路程的代数和，即时间轴上、下各面积的代数和 特殊点 拐点表示速度发生变化，交点表示相遇 拐点表示加速度发生变化，交点表示速度相等 2.v-t图像中为曲线模型 t O v t0 匀加速 变加速 v1 v2 t O v t0 变加速 匀加速 v2 v1 t O v t0 匀减速 变减速 v1 v2 t O v t0 变减速 匀减速 v2 v1 <(v1+v2)/2 >(v1+v2)/2 >(v1+v2)/2 <(v1+v2)/2 加速度增大 加速度减小 加速度增大 加速度减小 曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变加速直线运动 3. x-t图像中的曲线问题 t O x t2 瞬时速度 x2 平均速度 t1 x1 (1)一般曲线 ①曲线不表示物体做曲线运动，而是表示物体做变速直线运动； ②一段割线的斜率等于平均速度，某点切线斜率等于瞬时速度； ③注意路程和位移区别。0~t1，路程等于位移大小(x1)；0~t2，路程(2x1-x2)大于位移大小(x2)。 （2）抛物线 t O x 1 2 3 匀加速直线运动 x3 x1 x2 t O x 1 2 3 4 匀减速直线运动 x0 ①开口向上的抛物线表示物体做匀加速直线运动，开口向下表示匀减速； ②加速度用逐差法计算：(x3-x2)-(x2-x1)=aT2； ③中间时刻速度等于该段时间内的平均速度，例如2s末的速度等于1s~3s内的平均速度，v2=(x3-x1)/2T。 得分速记 1.x－t图像、v－t图像都只能描述直线运动，且不表示物体运动的轨迹； 2.x－t图像的斜率表示物体运动的速度，可根据斜率判断速度变化情况，两图线交点表示相遇； 3.v－t图像的斜率大小表示加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向，在拐点处加速度方向改变，速度方向不变； 4.v－t图像中图线与t轴所围成的图形的面积表示该段时间内的位移。图线在t轴上方，表示位移为正；图线在t轴下方，表示位移为负，物体在该段时间内的总位移为上、下面积的代数和。 考向1 x－t图像与v－t图像 例1 （2025·山西·一模）两质点甲和乙，从同一位置同时沿同一方向在水平面内做直线运动，甲的位移与时间图像（图像）和乙的速度与时间图像（图像）分别如图甲，乙所示，在时间内，下列说法正确的是（　　） A．6s时，甲离出发点最远 B．6s时，乙回到出发点 C．内，甲与乙的平均速度相同 D．内，甲与乙的平均速度相同 【答案】C 【详解】A．由图知，6s时甲回到了出发点，故A错误； B．由图围成的面积知，6s时乙的位移 故B错误； C．内，甲的平均速度 乙的平均速度 故C正确； D．内，甲的平均速度 乙的平均速度 故D错误。 故选C。 思维建模 处理图像问题方法 【变式训练1·变考法】（24-25高三上·辽宁丹东·期末）一物体的运动图像如图所示，横、纵轴截距分别为n和m，在图像所示的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．若为（位移-时间）图像，则表示物体的平均速度 B．若为（位移-时间）图像，则mn表示物体的平均速度 C．若为（速度-时间）图像，则mn表示物体的位移 D．若为（速度-时间）图像，则表示物体的平均速度 【答案】A 【详解】AB．若为图像，根据可知，表示物体的平均速度，故A正确，B错误； CD．若为图像，根据可知，表示物体的加速度，图像与坐标轴的面积代表位移，则，故CD错误。 故选A。 【变式训练2】（2025·安徽芜湖·二模）在足够长的斜面上，使A、B两个相同小物块分别从不同位置沿斜面方向同时出发，选择沿斜面向上为正方向，它们运动的图像如图所示。在时，A、B两物块恰好在斜面上某一位置相遇，据图可知下列说法正确的是（　　） A．该斜面是光滑斜面 B．时，A、B两物块相距最远 C．A、B两物块在斜面上出发时相距50m D．时，A、B两物块相对于出发点的位移大小相等 【答案】C 【详解】A．开始时A沿斜面上滑，其加速度 方向沿斜面向下；2s末开始沿斜面下滑，加速度大小 因则斜面是不光滑的，选项A错误； B．由题意可知，4s末两物块相遇，则开始运动时A沿斜面向上运动，B在A的上方沿斜面向下运动，前2s内两者距离逐渐减小；时，A的速度为零，将要向下运动，B的速度为-15m/s，向下运动，且向下运动的加速度相等，可知此后A、B两物块的距离继续逐渐减小，2s时刻相距不是最远，选项B错误； C．由题意可知，4s末两物块相遇，则开始运动时A沿斜面向上运动，B在A的上方沿斜面向下运动，2s时A开始向下运动，则A、B两物块在斜面上出发时相距 选项C正确； D．时，A、B两物块相对于出发点的位移大小分别为， 选项D错误。 故选C。 考向2 v-t图像为曲线模型 例2（2025·陕西西安·模拟预测）甲、乙两小车在相邻轨道上做直线运动、它们的速度-时间图像如图所示。已知甲的图线为抛物线，则下列判断正确的是（　　）    A．t=2s时两车一定不相遇 B．t=2s时甲的加速度大于乙的加速度 C．0-4s内甲的平均速度大于2.5m/s D．0-2s内甲的位移大于乙的位移 【答案】C 【详解】A．由于t=0时两车的位置未知，所以t=2s时两车可能相遇，故A错误； B．根据“速度-时间图像切线的斜率大小表示加速度的大小”可知，t=2s时甲的加速度大小为 乙的加速度大小为 故B错误； C．0∼4s内乙做匀减速直线运动，其平均速度大小为 根据“速度-时间图线与横轴所围的面积表示位移大小”可知，0~4s内甲的位移大于乙的位移，由知0∼4s内甲的平均速度大于2.5m/s，故C正确； D．0~2s内甲的位移小于乙的位移，故D错误。 故选C。 【变式训练1】（2025·贵州黔南·三模）2025年2月6日“幸福源泉中国年”大型焰火无人机音乐晚会如期而至。无人机在开始升空的一段时间内的图像如图所示，下列说法正确的是（　　） A．时间内，无人机的运动方向发生改变 B．时间内，无人机的加速度逐渐增大 C．时间内，无人机的平均速度大小为 D．时间内，无人机处于失重状态 【答案】B 【详解】A．时间内，无人机的速度为始终为正，运动方向未改变，故A错误； B．图像的切线的斜率越来越大，加速度越来越大，故B正确； C．分析图像可知，时间内，图像与时间轴包围的面积表示位移 根据平均速度 故无人机的平均速度，故C错误； D．切线的斜率为正，加速度向上，无人机处于超重状态，故D错误。 故选B。 【变式训练2·变考法】（多选）（2025·河北·模拟预测）小华同学用DIS传感器设备研究某物块沿一直线的运动规律时，得到了物块的图像，如图所示，在内对应图像恰好是一个半圆。取3.14，则下列说法正确的是（　　） A．物块在内发生的位移为 B．物块在内发生的位移为 C．时的速度大小为 D．时的速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．物体在内的位移是图像与轴所围成的面积，但在计算时应考虑图中半径在表示速度和表示时间方面对应的单位不同，数值也不一样，从图形的角度考虑位移 结合图像的物理意义可知 联立解得 故A错误，B正确； CD．时对应的纵坐标值为速度大小，如图所示 由图像得 速度为 故C正确，D错误。 故选BC。 特别提醒： 图像与轴所围成的面积表示物体发生的位移，注意坐标轴表示物理量的单位。 考向3 x-t图像为曲线模型 例3（2025·安徽·一模）2024年11月，江淮前沿技术协同创新中心与启元实验室联合组建的具身智能团队在中关村仿生机器人大赛决赛中夺得冠军。沿同一条直线运动的机器人甲、乙的位置x随时间t变化的图像（均为抛物线）如图所示，已知倾斜虚线的斜率为k，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙同地但不同时出发 B．甲、乙两次相遇时，甲的速度均大于乙的速度 C．t0~3t0时间内，甲、乙的平均速度均为k D．t0~3t0时间内，甲、乙均做加速运动 【答案】C 【详解】A．由图像可知，甲、乙既不同地也不同时出发，A错误； B．根据图像切线的斜率表示速度的大小可知，第一次相遇时甲切线的斜率小于乙切线的斜率，即甲的速度小于乙的速度，第二次相遇时，甲切线的斜率大于乙切线的斜率，即甲的速度大于乙的速度，B错误； C． t0~3t0时间内，甲、乙的位移相等，时间相等平均速度均为k，C正确； D．根据图像切线的斜率表示速度的大小可知， t0~3t0时间内，甲做加速运动，乙做减速运动，D错误。 故选C。 【变式训练1】（2025·福建厦门·三模）小厦同学参加折返跑比赛，从静止开始由起点出发跑到距起点30米处的折返点，再跑回起点，则该同学运动过程中位移x与时间t的关系图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】B．折返跑比赛的初始位移为零，末位移也为零，故B错误； D．一个时刻不可能对应两个位移，故D错误； AC．从静止开始运动，则t=0时刻速度为零，即t=0时刻图像切线与时间轴平行，故A错误，C正确。 故选C。 【变式训练2·变载体】（2025·山西临汾·三模）甲、乙两辆汽车沿同一平直公路做直线运动，其运动的图像如图所示。其中甲的图像是一条倾斜直线，乙的图像是一段抛物线，且在时刻乙图像的切线与甲的图像平行。图中的坐标均为已知量，下列说法正确的是（    ） A．乙的初速度为 B．乙的初速度为 C．乙的加速度为 D．时刻，甲、乙间的距离为 【答案】D 【详解】ABC．图像的斜率等于速度，甲做匀速运动的速度 乙先做匀减速运动，设加速度大小为a，在时刻甲乙共速，则对乙 在时刻乙的速度减为零，则 解得， 选项ABC错误； D．时刻，乙回到出发点，甲的位移 甲、乙间的距离为 选项D正确。 故选D。 考点二 非常规运动学图像 知识点 非常规运动学图像 四类图象 （1）a－t图象 由vt＝v0＋at可知图象与横轴所围面积表示速度变化量Δv，如图甲所示． （2）－t图象 由s＝v0t＋at2可得＝v0＋at，图象的斜率为a，如图乙所示． （3）v2－s图象 由vt2－v02＝2as可知vt2＝v02＋2as，图象斜率为2a. （4）s－v图象 s与v的关系式：2as＝v2－v02，图象表达式：s＝v2－v02 得分速记 有些特殊图像，比如v2－x图像、－t图像、a－t图像、x－t2图像等，先确定纵坐标与横坐标的函数关系，转化为常见形式，再从图像的斜率、截距、面积等找突破口，从而求解相关物理量。 考向1 a-t图像 例1（2025·安徽·一模）甲、乙两车同时从同一地点沿同一直线由静止开始运动，且两车处于不同的车道，如图为二者在时间内的加速度随时间变化的图像，图中和均为已知量。对于该过程，下列说法正确的是（　　） A．甲车平均速度等于乙车平均速度 B．两车在时刻仍然并排行驶 C．在时刻，甲车的速度大小为 D．在时刻，甲、乙两车速度相等 【答案】D 【详解】CD．通过题中的a-t图像画出甲、乙两车运动的v-t图像，如图所示 在0~，围成的面积为速度增量，两面积相等，且均为，故两车在时刻速度相等，D正确，C错误； AB．通过图像分析可得，在时刻乙车位移大于甲车，故乙车在前，且由平均速度可知，甲车平均速度小于乙车平均速度，AB错误。 故选D。 【逻辑思维与科学建模】【变式训练1】（2025·河南·三模）小龙虾属于甲壳动物，其运动方式多样。在水中快速移动时，主要依靠尾部的快速弯曲产生推进力，这种动作类似于“尾部弹跳”。时刻，小龙虾受到威胁，通过尾部（腹肢）的快速拍打由静止开始做直线运动，其加速度a随时间t的变化规律如图所示。在下列时刻中，小龙虾的速度达到最大值的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题图可知，在内，小龙虾做加速度先增大后减小的加速运动，在内，小龙虾做加速度先增大后减小的减速运动，故在时刻，小龙虾的速度达到最大值。 故选B。 【变式训练2·变载体】（2025·重庆·三模）某同学把手机固定在身上蹦极，蹦极开始的瞬间打开手机中的加速度传感器。运动过程中，加速度传感器记录了该同学的加速度a随时间t变化的部分关系图像如图所示。忽略空气阻力，则该同学处在最低点的时刻是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由a-t图像可知，内，该同学向下加速运动，速度逐渐增大；时刻，速度达到最大值；内，继续向下运动，速度逐渐减小；时刻，速度减为零；内，反向加速，向上运动。因此，时刻该同学处于最低点。 故选B。 特别提醒： a-t图像与t轴所围成的面积表示物体速度变化量，时间轴上方向面积表示速度变化量的方向为正，时间轴下方面积表示速度变化量的方向为负。 考向2 ­t图像 例2（2025·江西·一模）一辆汽车刹车过程中可看成匀减速直线运动，刹车t时间内的位移为x，其刹车过程的图像如图所示（图中横轴截距b和纵轴截距c均已知），则整个刹车过程的（　　） A．平均速度大小为 B．平均速度大小为c C．加速度大小为 D．加速度大小为 【答案】A 【详解】AB．根据位移时间关系可得 变形可得 则初速度大小 整个刹车过程的平均速度 故A正确，B错误； CD．结合图线可得 解得 故CD错误。 故选A。 解题技巧 先找出图像的原函数即，再将此公式变形为，由此可知，图像的纵截距表示初速度，斜率为加速度的一半。 【变式训练1·变考法】（2025·湖南郴州·三模）国产新能源汽车近年来取得了显著进步。在某次安全测试中，某款新能源汽车在平直公路上行驶，突然发现前方有障碍物，智能系统识别后紧急恒力制动。从制动开始计时，该汽车的位移和时间平方的比值与之间的关系图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．1s末汽车的速度为10m/s B．2s内汽车的平均速度为14m/s C．第2s内汽车的位移为24m D．经过3s汽车的位移为25m 【答案】D 【详解】ABC．根据题意，由运动学公式 整理可得 结合图像可得， 即 故1s末汽车的速度为 2s末汽车的速度为 2s内汽车的平均速度为 第2s内汽车的位移为 选项ABC错误； D．汽车停下来的时间 经过3s汽车的位移为 选项D正确。 故选D。 【变式训练2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）某中学物理兴趣小组研究某物体做匀变速直线运动的图像，是平均速度，如图所示，下列说法正确的是（　　） A．物体的初速度大小为b，加速度大小为 B．阴影部分的面积表示物体在时间内通过的位移 C．物体在时刻回到出发点 D．物体在时刻速度方向发生改变 【答案】C 【详解】A．物体做匀变速运动，根据运动学公式有 整理得 可知图像的斜率为 纵截距为 所以物体的加速度大小为，故A错误； B．初速度为b，根据速度时间关系式 代入数据得在时的速度为0，则为时间内的平均速度，所以时间内物体的位移为 故B错误； CD．物体的加速度大小为 初速度为b，则有 将代入得 即物体在时刻回到出发点，由此可知在t0时刻之前速度方向已发生改变，故C正确，D错误。 故选C。 考向3 x­v2图像 例3 （2025·河北保定·模拟预测）（多选）一公交车（可视为质点）在时刻从静止开始在平直的公路上做匀加速直线运动，其速度的平方与位移变化关系如图所示，关于公交车的运动，下列说法正确的是（　　） A．公交车做匀加速直线运动的加速度大小为 B．公交车在时的速度大小为 C．公交车在内的平均速度大小为 D．公交车在内所用的时间为 【答案】AC 【详解】A．根据运动学公式 整理可得 结合图像可得， 解得 故A正确； B．由运动学公式可得，公交车在时的速度大小为 故B错误； CD．由图可知，位移为时，汽车的速度为，公交车在内的平均速度大小为 公交车在内所用的时间为 故C正确，D错误。 故选AC。 解题技巧 先找出图像的原函数即，再将此公式变形为，由此可知，图像的纵截距为，斜率为。 【变式训练1·变考法】（2025·湖北·模拟预测）如图所示为某汽车在提速过程中速度随位移变化的图像，若该过程中，汽车可视为做匀变速直线运动，其加速度大小为a。从汽车位于x=0位置到速度大小变为108km/h的过程中，汽车行驶的时间和位移大小分别为t、x。从汽车位于x=0位置开始计时，3s内汽车的平均速度大小为，则关于a、t、x、的说法正确的是（　　） A．a=10m/s² B．t=4s C．x=90m D．=10m/s 【答案】B 【详解】A．由运动学公式可得 由图像与纵轴的交点坐标可知 由图像与横轴的交点坐标可知 解得 故A错误； B．由于 根据公式解得 故B正确； C．根据公式代入数据可得 故C错误； D．根据公式得3s末的速度 则平均速度 故D错误。 故选B。 【变式训练2·变载体】（2025·河南·二模）人工智能的应用越来越广泛，萝卜快跑无人驾驶出租车已经在很多城市开始运营，汽车自动控制反应时间（从发现障碍物到开始制动的时间）小于人的反应时间。如图1、2所示分别是在遇到障碍物时驾驶员操作下的v-t图像和自动控制下的图像，数据图中已标出，下列说法正确的是（    ） A．驾驶员操作下从发现障碍物到停止的位移大小是45m B．驾驶员操作下从发现障碍物到停止的平均速度大小是 C．自动控制下从发现障碍物到停止的时间是3.3s D．自动控制下从发现障碍物到停止的平均速度大小是 【答案】C 【详解】A．根据v-t图像与时间轴所围的面积表示位移可知，驾驶员操作下从发现障碍物到停止的位移大小是m=60m 故A错误； B．驾驶员操作下从发现障碍物到停止的时间为=3.5s，位移为=60m，则此过程的平均速度大小是 故B错误； C．在自动控制下的图像中，根据 可得汽车匀减速运动的加速度为 由图可知，汽车的初速度v0=30m/s，则反应时间s=0.3s 匀减速运动的时间s 自动控制下从发现障碍物到停止的时间是s 故C正确； D．自动控制下从发现障碍物到停止的位移x=54m，所用时间t=3.3s，则平均速度大小是 故D错误。 故选C。 考向4 a­x图像 例4（2025·四川达州·模拟预测）如图甲所示，小球在一竖直的轻弹簧正上方由静止开始自由下落，直到压缩弹簧到最低点，其运动的a－x图像如图乙所示，小球在最低点时的加速度大小为。已知小球的质量为m，重力加速度为g，小球在运动过程中的空气阻力忽略不计。弹簧始终在弹性限度内，则 A．弹簧的劲度系数为 B．小球运动过程中的最大速度为 C．等于2g D． 【答案】B 【详解】A．由图乙可知，小球下落时接触弹簧，下落时加速度为0，有 解得 故A错误； B．由速度位移公式可知，a－x图线围成的面积表示，当位移为时，小球速度达到最大值，有 故B正确； CD．由图乙可知，当小球下落时加速度大小为，速度减为零，a－x图线x轴上方围成的面积与x轴下方围成的面积相等，即 且 联立解得， 故CD错误。 故选B。 解题技巧 先找出图像的原函数即，再将此公式变形为，由此可知，图像与坐标轴所围面积表示速度平方的变化量的一半。 【变式训练1·变考法】（2025·辽宁·一模）（多选）2024是我国新能源汽车销量持续爆发的一年，火爆的销量离不开车企的严谨务实的前期测试。某国产新能源汽车上市之前在一直线跑道上进行“单踏板模式”性能测试，测试过程分为三个阶段。阶段Ⅰ：驾驶员踩下电门至某一位置，汽车由静止启动，其加速度的倒数与速度v的关系如图所示，当汽车加速至时进入阶段Ⅱ。阶段Ⅱ：驾驶员通过适当调节电门，使汽车做匀加速直线运动，以加速度加速至时进入阶段Ⅲ。阶段Ⅲ：驾驶员松开电门，汽车的能量回收制动系统启动，汽车开始减速直至停下，该减速过程中汽车的加速度与速度v满足关系式（其中）。则下列说法正确的是（　　） A．阶段Ⅱ汽车运动的时间为10s B．阶段Ⅱ汽车运动的位移大小为125m C．阶段Ⅰ经历的时间为20s D．阶段Ⅲ汽车的位移大小为30m 【答案】BCD 【详解】AB．由题意可计算阶段Ⅱ汽车运动的时间为 位移为 故A错误，B正确； C．根据图像可知，关系式 根据加速度的定义式 整理可得 故图线与坐标轴所围面积为加速时间，则阶段Ⅰ经历的时间为 故C正确； D．阶段Ⅲ汽车的加速度 因此其图像与坐标轴围成的面积是图像与坐标轴围成的面积的k倍，故速度改变量的大小是位移大小的k倍，则有 解得 故D正确。 故选BCD。 【逻辑思维与科学建模】【变式训练2】（2025·河北·模拟预测）一物体沿直线运动，如图是它运动的图像，v表示物体运动的速度，x表示物体运动的位移，关于该物体的运动，下列说法正确的是（　　） A．该物体在做减速直线运动 B．该物体在做匀加速直线运动 C．该物体运动位移为所用的时间为 D．在运动过程中，该物体的加速度逐渐减小 【答案】C 【详解】A．图像斜率 根据图像有 整理得 可知随着x增大，即速度在增大，物体做加速运动，故A错误； BCD．根据微元法，在图像中选取一微元，则该段图像与横轴围成的面积为 可知图像与横轴围成的面积表示运动时间，则物体运动到处的时间为 由图像可知，增大相同的位移，图像与横轴围成的面积逐渐减小，即所用的时间在减小，根据 由于逐渐增大，可知增大相同的位移，速度的变化量变大，由可知加速度增大，故C正确，BD错误。 故选C。 考点三 多过程问题 知识点 多过程问题 问题特点 一个物体的运动包含几个阶段，各阶段的运动性质不同，满足不同的运动规律，交接处的速度是连接各阶段运动的纽带。 得分速记 考向1 “0—v—0”运动模型 t O v t2 t1 a2 a1 v0 1.特点：初速度为零，末速度为v，两段初末速度相同，平均速度相同。三个比例式： ①速度公式 推导可得： ②速度位移公式 推导可得： ③平均速度位移公式 推导可得： 2.位移三个公式：；； 例1 （2025·西藏拉萨·二模）小明家客厅内的电动窗帘总长6m，当启动电动窗帘开关，窗帘对开用时6s。假设移动过程窗帘先做匀加速运动，后做匀减速运动，且加速度大小相等，则窗帘运动的加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知客厅长6m，窗帘对开，则单扇窗帘移动的距离 匀减速阶段可看成反向的匀加速运动，且匀加、匀减两段时间相同为 解得 B项符合题意。 故选B。 【生产生活与学科知识结合】【变式训练1】（2025·广东揭阳·二模）如图甲，若某人手持长为1.8m的横杆匀速走向感应门，当人与感应门正中央水平距离为1.5m时，两扇门从静止开始同时向两边平移，每扇门移动的图像如图乙。若横杆始终平行于地面且与运动方向垂直，要使横杆顺利通过感应门，则人的最大速度为（    ） A．0.375m/s B．0.5m/s C．0.75m/s D．1.0m/s 【答案】C 【详解】由乙图可知，感应门先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动，由乙图可知，在内每扇感应门的加速位移为 故两扇感应门在内的距离为 此时人若刚好到达门口，则人可以通过，则对应的时间最短为2s，可知人的最大速度为 故选C。 【变式训练2】（2025·河南·模拟预测）某电梯从静止开始从1楼到2楼，先做匀加速直线运动，加速度大小为3m/s2，接着做匀减速运动，加速度大小为6m/s2，到达2楼时恰好停止运动. 若1、2两楼层的高度差为4m，则下列说法正确的是（   ） A．电梯从1楼到2楼所用时间为1.5s，最大速度为4m/s B．电梯从1楼到2楼所用时间为1.5s，最大速度为6m/s C．电梯从1楼到2楼所用时间为2.0s，最大速度为4m/s D．电梯从1楼到2楼所用时间为2.0s，最大速度为6m/s 【答案】C 【详解】设电梯的最大速度为v，则有， 解得v=4m/s， 故选C。 考向2 去返模型 t O v t2 t1 a2 a1 v1 v2 （1）特点：初（或末）速度为零，两段运动位移大小相等为x。 （2）位移三个公式：位移公式；速度位移公式； 平均速度位移公式 （3）三个比例式：① ；② ； ③ 例2如图甲所示，一个质量的物块以初速度从斜面底端冲上一足够长斜面，经开始沿斜面返回，时刻回到斜面底端。物块运动的图像如图乙所示，斜面倾角（，，重力加速度g取）。则可确定（　　） A．物块上滑时的加速度大小为 B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.45 C．物块沿斜面向上滑行的最大距离为5.0m D．物块回到斜面底端的时刻为2.0s 【答案】C 【详解】A．由图像可知物块上滑时的加速度大小为 故A错误； B．物块上滑过程，根据牛顿第二定律可得 解得物块与斜面间的动摩擦因数为 故B错误； C．根据图像与横轴围成的面积等于位移，可知物块沿斜面向上滑行的最大距离为 故C正确； D．物块沿斜面向下滑行的加速度大小为 物体从最高点返回斜面底端所用时间为，则有 解得 故物块回到斜面底端的时刻为 故D错误。 故选C。 【变式训练1·变载体】（多选）如图所示，小物块从倾角的固定斜面底端A点，以的速度沿斜面上滑，经过时间t后小物块的速度大小为4m/s，此时小物块到A点间的距离为x，一段时间后小物块又回到A点。已知物块与斜面间的动摩擦因数，物块可视为质点，取重力加速度，则下列说法可能正确的是（　　） A．、 B．、 C．斜面长度至少为5m D．斜面长度至少为9m 【答案】AD 【详解】ACD．物块上滑时有 解得 小物块沿斜面上滑的距离 上滑的时间 则斜面长度至少为9m； 根据运动学公式有， 则在上滑速度为4m/s时，代入可得、，故AD正确，C错误； B．小物块上滑至最高点时，由于 则物块将沿斜面下滑，有 解得 根据运动学公式有， 则在下滑速度为4m/s时，代入可得、 此时 故B错误。 故选AD。 【变式训练2·变考法】滑块以一定的初速度从底端冲上足够长的光滑斜面，滑行到最高点的时间为t，位移为L；现在距底端处放一挡板（如图中用虚线表示），滑块仍以相同初速度从底端出发，已知滑块与挡板相碰后速度瞬间减为0，碰撞时间可以忽略不计，已知滑块在光滑斜面上运动加速度恒定不变，则滑块在斜面上运动时（　　） A．滑块在光滑斜面上运动加速度为 B．滑块从底端出发的相同初速度为 C．滑块与挡板相碰后滑行到底端的时间为 D．滑块与挡板相碰时，滑块受到的弹力沿斜面向上 【答案】C 【详解】A．将滑块第一次沿斜面向上做匀减速直线运动逆向看做初速度为0的匀加速直线运动，由运动学公式得 解得物块在斜面上运动的加速度大小为 A错误； B．由运动学知识得物块出发的初速度大小为 B错误； C．滑块与挡板相碰后做匀加速直线运动，由运动学公式得 代入数据解得滑块与挡板相碰后滑行到底端的时间为 C正确； D．滑块与挡板相碰时挡板给滑块的弹力沿斜面向下，则滑块受到的弹力不是沿斜面向上，D错误。 故选C。 考向3 刹车模型中的反应时间问题 例3 （2025·贵州贵阳·二模）在高速公路行驶时，司机发现前方障碍物后立即刹车。已知汽车以的速度匀速行驶，司机的反应时间为0.5s，刹车后汽车做匀减速直线运动，加速度大小为。下列说法正确的是（    ） A．汽车在反应时间内行驶的距离为15m B．刹车后汽车经过2.5s停止 C．若障碍物距离汽车45m，则会发生碰撞 D．汽车从发现障碍物到停止的总位移为50m 【答案】C 【详解】A．在反应时间内，汽车做匀速运动，行驶距离为 故A错误； B．停止时，末速度为0，则车停下来用时 故B错误； CD．刹车后行驶的距离 停止的总位移为 若障碍物距离汽车45m，则会发生碰撞，故C正确，D错误。 故选C。 【变式训练1·变考法】（多选）酒后驾驶会导致许多安全隐患。酒后驾驶员的反应时间变长，“反应时间”是指驾驶员从发现情况到采取制动的时间，表中“反应距离”是指“反应时间”内汽车行驶的距离；“制动距离”是指驾驶员从发现情况到汽车停止行驶的距离。假设汽车以不同速度行驶时制动的加速度大小都相等。分析表中数据可知，下列选项中正确的是（　　） 速度/ 反应距离 制动距离 正常 酒后 正常 酒后 15 7.5 15.0 22.5 30.0 A．若汽车的初速度增加一倍，制动距离也增加一倍 B．驾驶员酒后反应时间比正常情况下多 C．驾驶员采取制动措施后汽车刹车的加速度大小为 D．若驾驶员酒后以的速度行驶时发现前方处有险情，则不能安全停车 【答案】BCD 【详解】A．设汽车初速度为，反应时间为，设制动加速度大小为，由匀变速运动公式，有此时制动距离为 当汽车初速度为时，有 所以有 故A错误； B．驾驶员酒后反应时间为 正常情况下反应时间为 所以驾驶员酒后反应时间比正常情况下多，故B正确； C．由表可得刹车距离为 根据匀变速运动公式有 故C正确； D．若驾驶员酒后以25m/s的速度行驶时，则制动距离 发现前方处有险情，则不能安全停车，故D正确。 故选BCD。 【变式训练2】（2025·江西·一模）一辆汽车正在平直的公路上以20 m/s的速度匀速行驶，某时刻，司机发现前方有险情，经短暂的反应后立即刹车，刹车过程汽车做匀减速运动，减速运动的时间为反应时间的4倍，从看到险情到汽车停下，汽车行驶的距离为30 m，刹车过程看成匀减速直线运动，则刹车过程的加速度大小为（    ） A．5 m/s2 B．7 m/s2 C．10 m/s2 D．12 m/s2 【答案】C 【详解】设反应时间为t，则刹车时间为4t，根据题意 代入数据解得t＝0.5 s 则汽车刹车的加速度大小为 故选C。 考向4 超车模型中的限速问题 例4如图所示为某地的转盘路，汽车要想直行，到转盘路时，需要先做半径为R=25m的圆周运动，运动半个圆周后再直行。若汽车甲到达转盘路时，汽车乙恰好通过转盘路进入直行车道，以匀速行驶。已知汽车通过转盘路过程的速度不能超过，通过后在直行车道上的速度不能超过，加速度不能超过则汽车甲追上汽车乙所用的最短时间约为（假设直行车道足够长，且没有通过红绿灯，另外不考虑汽车的变加速恒功率过程）（　　） A．15.7s B．17.6s C．19.5s D．21.4s 【答案】B 【详解】汽车甲到达转盘路时速度为，通过转盘的时间为 直线加速时间 假设甲匀速后追上乙，则路程关系 解得 有解，假设成立。则总时间为 故选B。 【变式训练1·变考法】（2025·河北石家庄·一模）超车是指后车并道到前车的后侧方，越过前车后，并道，回原车道的过程。如图所示，甲车车长，以车速、加速度正在加速行驶，乙车车长，以车速匀速运动，此时两车相距，内侧车道上乙车前方处，丙车正以车速匀速运动。已知该路段限速，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度。 (1)求甲车与乙车间距为时所用的最短时间； (2)甲、乙两车间距为时，甲车开始借道超车，当甲、乙两车车头平齐时，求甲车与丙车的距离； (3)若甲车司机感到超车有撞到丙车的危险，当甲、乙两车车头平齐时开始紧急刹车，最终没有出现危险，求甲车刹车的加速度大小。 【答案】(1)8s； (2)10m；(3)5m/s2 【详解】（1）甲车加速为最大速度25m/s的时间 甲车与乙车间距为时由位移关系 解得 甲车与乙车间距为时所用的最短时间 （2）从甲车与乙车间距为时到甲、乙两车车头平齐时需要的时间 此时甲车与丙车的距离 （3）当甲车和丙车共速时恰不相撞则速度关系 位移关系 解得a1=5m/s2 【变式训练2·变载体】强行超车是道路交通安全的极大隐患之一，如图是汽车超车过程的示意图，汽车甲和货车分别以和的速度在限速的路面上匀速行驶，其中甲车车身长、货车车身长，某时刻货车在甲车前处，若此时甲车司机开始迅速加速从货车左侧超车，加速度大小为，假定货车速度保持不变，不计车辆变道和转向的时间及车辆的宽度，求： (1)甲车加速到最大速度所走的位移大小； (2)甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间（结果保留2位小数）； 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）汽车甲、货车的初速度与限速数据分别为，， 甲车加速到最大速度过程，根据速度与位移的关系式有   解得 （2）甲车加速到最大速度过程，根据速度公式有 解得 此时间内货车的位移 由于 表明甲在加速过程没有完成超车，之后匀速过程有，   若恰好超车，则有 甲车在不超速的前提下完成超车的最短时间 解得 考点四 追及相遇问题 知识点 追及相遇问题 1.分析思路 可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”。 (1)一个临界条件：速度相等。它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也是分析判断问题的切入点。 (2)两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过画草图找出两物体的时间关系和位移关系是解题的突破口。 2.临界法 寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，若追不上则在两物体速度相等时有最小距离。 3.函数法 设两物体在t时刻相遇，然后根据位移关系列出关于t的方程f(t)＝0，若方程f(t)＝0无正实数解，则说明这两个物体不可能相遇；若方程f(t)＝0存在正实数解，说明这两个物体能相遇。 4.图像法 (1)若用位移—时间图像求解，分别作出两个物体的位移—时间图像，如果两个物体的位移—时间图像相交，则说明两物体相遇。 (2)若用速度—时间图像求解，则注意比较速度图线与时间轴包围的面积。 5.特别提醒 若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运动。 考向1 变速物体追匀速物体 例1 （2025·河南·三模）（多选）汽车沿水平车道以的速度向前做匀减速直线运动，其刹车的加速度大小，此时发现在相邻车道前方相距处有以的速度同向运动的汽车B匀速行驶，从此刻开始计时，经多长时间两车并排（即相遇）（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】两车相遇时满足 解得或者 时A车、B车第一次相遇，此时A车速度为 A车刹车时间为 故车停时车还未追上。第一次相遇后车运动位移为 则B车经秒追上。故下个时刻是 故选AD。 【变式训练1】（2025·湖北·二模）（多选）A、B两质点做直线运动的位置—时间（x-t）的图像如图所示，已知A的x-t图像为开口向下的抛物线，t＝8 s时图像处于顶点，B的x-t图像为直线。关于两质点0~10 s内的运动，下列说法正确的是（　　） A．相等时间内质点A的速度变化相同 B．在0~10 s内两质点的平均速度相同 C．t＝10 s时两质点相遇，相遇时A的速度大于B的速度 D．t＝10 s时两质点相遇，相遇时A的速度小于B的速度 【答案】ABD 【详解】A．已知A的x-t图像为开口向下的抛物线，结合图像可知A质点做匀减速直线运动，即加速度a不变，根据 可知相等时间内质点A的速度变化相同，故A正确； B．图像可知在0~10 s内两质点的位移均为30m，根据平均速度 可知在0~10 s内两质点的平均速度相同，故B正确； CD．由于A质点做匀减速直线运动，根据x-t图像的切线斜率表示速度，可知A质点在末的速度为零，则有 且在内A质点的位移为x=30m，则有 联立解得 可知t＝10 s时A的速度 图像可知B的速度 故相遇时A的速度小于B的速度，故C错误，D正确。 故选ABD。 【变式训练2】（2025·辽宁·三模）某辆汽车以6m/s的初速度从匝道进入某一条笔直的高速，又以4m/s2的加速度匀加速到30m/s并开启定速巡航模式（开启后汽车会自动保持30m/s的速度匀速行驶，驾驶员无需再踩油门，若驾驶员踩刹车制动，则定速巡航会自动关闭）。（车辆均可视为质点） (1)求汽车加速阶段行驶的距离。 (2)驾驶员在行驶一段时间后发现定速巡航系统无法关闭，于是立即报警，在紧张行驶一段时间后到达距离下一个匝道40m处。此时一辆警车以10m/s的速度从此匝道汇入高速后与失控车保持在同一条车道上，然后进行拦截，要求警车汇入高速后匀加速到与失控车共速时两车刚好相遇，然后对失控车进行紧急逼停，求警车加速度的大小。 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）已知，， 汽车做匀加速直线运动 解得汽车加速阶段行驶的距离 （2）已知， 设警车的加速度大小为a1，加速到与汽车共速所用时间为t，由运动学公式 在0~t时间内，警车的位移 失控车的位移 由位移关系 联立解得， 考向2 变速物体追变速物体 例1（2025·山东日照·二模）（多选）甲、乙两辆汽车在同一条平直公路上沿同一方向行驶。当甲车在乙车后方60m处时，甲车以10m/s的初速度做匀加速直线运动，加速度大小为1.5m/s2；乙车以20m/s的初速度做匀减速直线运动，加速度大小为1m/s2。当甲车追上乙车后，两车保持各自的速度做匀速直线运动。下列说法正确的是（　　） A．甲车追上乙车所需要的时间为16s B．甲车追上乙车时，乙车的速度大小为8m/s C．甲车追上乙车前，两车之间的最大距离为30m D．甲车追上乙车后，两车之间的距离随时间变化的关系为 【答案】BD 【详解】AB．乙减速至停止过程中所用时间为 假设甲车追上乙车时，乙车还未停止，则 解得 所以，假设成立。此时乙车的速度大小为 故A错误，B正确； C．当两车共速时，两车距离最大，根据 解得， 两车之间的最大距离为 故C错误； D．甲车追上乙车时，甲车的速度大小为 乙车的速度大小为 此后两车之间的距离随时间变化的关系为 故D正确。 故选BD。 【变式训练1】（2025·湖北·模拟预测）某次实验中，甲、乙小车上安装有蓝牙设备，该设备的有效通讯距离为d＝10m。甲车在前、乙车在后沿一条直线同向运动，初始距离为。甲车由静止开始做加速度的匀加速直线运动，乙车同时开始做初速度为，加速度为的匀加速直线运动，甲、乙两车大小可忽略。求： (1)甲、乙两车间的最小距离Δx； (2)甲、乙两车维持蓝牙通讯的时长Δt。 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）设经过时间，甲乙两车达到共速，此时两车之间的距离最小，则有 解得， 则此过程中，甲车的位移 乙车的位移 故两车之间的最小距离 （2）由于，，乙车没有追上甲车，二者之间的通讯仅中断一次，则有 解得 （为负值的解舍去） 解题技巧 分析矢量时一定要注意考虑矢量的大小和方向，如本题中已知初速度大小2m/s，末速度为10m/s，则需要考虑初、末速度的方向相同还是相反。 【变式训练2·变载体】（2025·河南郑州·模拟预测）（多选）为了测试某种遥控玩具小汽车的性能，生产厂家用两辆完全相同的小车a、b进行测试。 t=0时刻让两玩具小车并排同向行驶，其中小车a做匀加速直线运动，其x-t图像如图甲所示，小车b的图像如图乙所示，则（　　） A．t=0时刻a车的速度大小为1m／s B．两车速度相等时相距4m C．两车在途中相遇时，b车的速度大小为2m／s D．b车停止运动时，a车在其前方12m处 【答案】BCD 【详解】A．由于a车做匀加速直线运动，设t=0时刻a车的速度为，加速度大小为，结合图甲，有， m 解得 A 错误； B．由 可知 并结合图乙可知， b车的初速度 加速度 设经过时间两车速度相等，故有 联立解得s 则a车的位移大小为 同理可得b车的位移大小为 此时两车的距离为 B正确； C．设两车相遇所用的时间为，则有 解得 此时b 车的速度大小为 C正确； D．设b车停止运动所需要的时间为，则有 解得 则此时a车的位移大小为 b车的位移大小为 故当b车停止运动时，a车在其前方12m处，D正确。 故选BCD。 考向3 体育运动中的追及问题 例1一场马拉松比赛正在热火朝天的举行，途中经过一段足够长的平直公路，如图所示，运动员正好排成等间距的长队以的速度匀速直线运动，相邻两运动员的间距为5m，在运动员后面有一辆跟拍的摩托车，想追上队伍进行一些细节拍摄，跟拍的摩托车以的速度在另一条平行车道上同向行驶。当跟拍的摩托车与队伍中最后一个人沿运动方向上的距离为9.5m时，摩托车开始以加速度刹车做匀减速运动至停止，则关于摩托车与队伍交汇相遇的时间和最远能追上前边第几个人，下列结果均正确的是（　　 A．，9 B．，8 C．，8 D．，9 【答案】D 【详解】摩托车与队伍交汇相遇，其实就是追上最后一个人，然后再从队尾离开，也就是两次遇到最后一个人的时间间隔。跟拍摩托车与最后一个人相遇时有 解得 （舍去） 则当摩托车停车时运动的距离 最后一人运动的距离 此时两者相距 则再经 相遇，故第二次是在38.125s时相遇，两次相遇的时间间隔为 当跟拍摩托车的速度和队伍速度相等时有 解得 此时跟拍摩托车前进的位移 队伍前进的位移 跟拍摩托车与最后一个人相距 追上的人数为 则追上9个人。结合上述可知，摩托车与队伍交汇相遇的时间为，最远能追上前边9个人。 故选D。 【体育运动与学科知识结合】【变式训练1】“边路传中，中路抢点打门”是足球比赛中常见的进攻战术，而这种战术需要球员间有良好的配合。在某次训练中的初始位置如图所示，运动员甲正在沿着边线从点向点以的速度匀速带球，带至点后立即将球以的速度平行底线向点踢出（忽略运动员踢球的时间），之后足球以的加速度开始做匀减速运动。运动员乙则一直在点观察着甲的运动情况，合适的时机出现后，乙开始向点先以的加速度从静止开始匀加速运动，当达到后开始做匀速直线运动，最终和足球同时到达点，乙在点完成射门。已知：。忽略球员反应时间，求： (1)运动员乙从到的运动时间； (2)运动员乙需要在甲运动员运动到距离点多远时出发？ 【答案】(1)4s；(2)24m 【详解】（1）乙从D跑至C过程中，加速段时间 匀速段有 代入数据解得 故乙从D到C运动时间为 （2）甲带球至B点时间 球从B运动到C的时间     解得 则乙启动比甲晚的时间为 乙启动时，甲距离A点 【变式训练2·变载体】如图所示，甲、乙两名运动员在训练接力赛跑。甲、乙两名运动员（均视为质点）的起跑过程均可视为初速度为0，加速度大小的匀加速直线运动，经加速后都能达到并保持的最大速度跑完全程。接力区前端为第一个400m的终点和第二个400m的起点，已知接力区的长度，乙在接力区前端听到奔跑的甲发出的口令时立即起跑（不计乙的反应时间），在甲、乙相遇时完成交接棒（不计交接棒的时间），交接棒必须在接力区内完成，假设交接棒动作不影响两运动员的速度。 (1)求乙通过接力区的最短时间； (2)若甲在距离接力区前端处对乙发出起跑口令，求从发出起跑口令到甲、乙交接棒所用的时间； (3)若接力区的长度只有，为使他们取得最好的成绩，求甲对乙发出起跑口令时到接力区前端的距离及从甲开始起跑到乙跑至终点所用的时间。 【答案】(1)4.25s；(2)4s；(3)15m；102.125s 【详解】（1）乙起跑后先做匀加速直线运动，有 ， 解得 ， 然后乙以最大速度跑完剩余距离，则有 乙通过接力区的最短时间 （2）假设甲追上乙时，乙并未匀速运动，有 解得 假设成立。 （3）由于，甲、乙不可能在乙达到最大速度时完成交接棒，为取得最好的成绩，应乙跑至接力区末端时完成交接棒，有 解得 乙起跑时与甲的距离 这种情况下，接力棒有两段时间在做匀加速直线运动，加速运动的位移 接力棒加速运动的时间 剩余时间内接力棒随运动员在做匀速直线运动，有 从甲开始起跑到乙跑至终点的时间 考向4 图像法在追及相遇问题中的应用 1．x－t图像、v－t图像中的追及相遇问题： (1)利用图像中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算． (2)有时将运动图像还原成物体的实际运动情况更便于理解． 2．利用v－t图像分析追及相遇问题：在有些追及相遇情景中可根据两个物体的运动状态作出v－t图像，再通过图像分析计算得出结果，这样更直观、简捷． 3．若为x－t图像，注意交点的意义，图像相交即代表两物体相遇；若为a－t图像，可转化为v－t图像进行分析． 例4 （2025·湖南娄底·二模）某实验小组利用甲、乙两小车的传感器来比较它们的运动情况，如图为测绘出它们在同一平直赛道上运动时的图像，时刻，乙车在甲车前方位置处，时刻，甲车位移为，则下列描述正确的是（　　） A．若它们在第一次相遇，则 B．若它们在第一次相遇，则 C．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 D．若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为 【答案】D 【详解】AB．若它们在第一次相遇，甲车位移为，则乙的位移为，则，所以，故AB错误； CD．甲车停止运动的时刻为，根据图像的对称性，可知，若它们在第一次相遇，则下次相遇时刻为，但是若它们在第一次相遇，如果对称，应该在时刻相遇，但到时刻，甲车停止，两边不对称，因此第二次相遇不在时刻，故错误，D正确。 故选D。 【变式训练1】（2025·山东青岛·模拟预测）（多选）图甲为a、b两名运动员4×100m接力赛交接棒的情景。某次比赛时在直道接力区域完成交接棒过程中，a、b两运动员运动的v-t图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．a为接棒运动员，b为交棒运动员 B．0-t1时间内，a和b二者间距离越来越大 C．由图乙可知，两运动员在t1时刻完成交接棒 D．交接棒时的速度越大，因交接棒对比赛成绩的影响越小 【答案】CD 【详解】AC．由图乙可知，交接棒过程中，接棒运动员在前，从静止开始向前加速运动，交棒运动员在后，开始时交棒运动员速度大于接棒运动员速度，二者之间的距离越来越小，当二者速度相等时，二者距离达到最小，即t1时刻完成交接棒动作。交接棒完成后，接棒运动员继续加速直到达到最大速度，交棒运动员继续减速直到停下，综上分析，a为交棒运动员，b为接棒运动员，故A错误，C正确； B．根据上述可知，0~t1过程中，b在前，a在后，二者距离越来越小，故B错误； D．交接棒时的速度越大，移动相同位移所需时间越短，因交接棒而损失的时间越少，对比赛成绩的影响越小，故D正确。 故选CD。 【变式训练2·变载体】随意变线加塞，是非常不文明的驾驶习惯，也极其不安全。下图演示了甲车变线加塞的过程，甲车加速后至少需要车尾超出乙车车头后（即图中实线位置），才能开始并线。从开始并线到完成并线，恰好需要时间。此时甲车若要安全并线插到乙车前方，且不影响乙车行驶，并线刚完成时的车距不得小于5m（甲车车尾到乙车车头的距离），而并道后又必须立即减速，以避免与前车追尾，甲车匀减速的加速度不超过10m/s2。假设汽车在变线并道过程中，沿前进方向的运动可认为不受影响，横向移动的速度可忽略。已知甲车车身长度d=4m，初始时，甲车车头与乙车车头并排行驶，且甲车、乙车以及前车此时均以v0=20m/s的速度做匀速直线运动，请计算： (1)若甲车从此时开始做匀加速运动，并要求在4s内完成并线（不能影响乙车行驶），则甲车的加速度至少应为多大? (2)按（1）中加速度完成并线后，若甲车立即做加速度大小为1.5m/s2的匀减速直线运动，则初始时乙车与前车的车距L至少为多少? (3)若甲车以5m/s2匀加速的同时，乙车以3m/s2的加速度减速直至停止，要使三车均不会发生碰撞，则初始时乙车与前车的车距L′至少为多少? 【答案】(1)；(2)15.75m；(3)15m 【详解】（1）由题知，甲车在内比乙车位移最少多，在内比乙车位移最少多，才能完成并线，以乙车为参考系，甲车做初速度为0的匀加速直线运动，故需满足 解得 综上，若甲车要在内完成并线，则甲车匀加速的加速度至少为 （2）按（1）中加速度完成并线后，此时，甲车前端与乙车前端间的距离为 并线完成后，以前车为参考系，甲车以做匀减速，甲车的相对初速度为 当相对速度减为0时，甲车与前车恰好相撞，则相对位移为 此时甲车前端刚好与前车后端挨着，乙车车头到前车车尾之间距离 （3）若甲车以匀加速的同时，乙车以的加速度减速，当甲经过时间刚好超过乙车一个车位，则有 解得 甲需再经过完成并线，并线完成时，甲车的速度为： 为避免与前车相撞，甲车若立即以做匀减速运动。画出三车的v-t图像 根据图像可知，甲车会比乙车先停下来，由图像面积可求出甲车运动总位移为 乙车运动总位移为 因此，这种情况下，甲车与乙车不会发生碰撞。 而若要甲车与前车也不发生碰撞，只要二者共速时不发生碰撞即可。设甲车减速时间后与前车共速，则 所以，甲从匀加速到此时，甲车比前车多行驶的位移可通过图像面积求出 则要保证三车均不会发生碰撞，初始时乙车与前车的车距至少为 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$