精品解析：江苏省苏州市第五中学校2025届高三下学期4月月考数学试题

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集为空集，即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：A 2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，根据投影向量的概念求出向量在向量方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由题意知向量，，则， 故向量在上的投影向量为， 故向量在向量方向上的投影向量的模为. 故选：C 3. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. C. 13 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式以及等差数列的性质可求得的值. 【详解】因为公差不为零的等差数列的前项和为，且， 因为， 整理可得，故，所以，. 故选：C. 4. 已知一组数据的上四分位数是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据上四分位数的定义将条件转化为中第二大的数是，再求解. 【详解】在五个数中，上四分位数为第二大的数，故中第二大的数是，所以. 故选：C. 5. 若，则（ ） A. 180 B. C. D. 90 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知将二项式变形可得，求得含的项即可得出结果. 【详解】易知， 其中展开式中含项为， 因此. 故选：A 6. 已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义，可以得到该圆的半径为，再利用弦长公式，结合已知即可解出，最后根据该圆的半径计算面积即可. 【详解】由于在上，故，即，所以. 根据抛物线的定义，就是点到直线的距离， 从而该圆的半径为. 由于圆心到轴距离为，故该圆被轴截得的弦长为. 从而据已知有， 故，解得. 所以该圆的半径为，故面积为. 故选：C. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，事件与事件不独立 C. 当时， D. 当时，事件与事件不独立 【答案】D 【解析】 【分析】分和的情况分别考虑四个选项. 【详解】当时，表示一正一反，故，故A正确； 此时，， ，故B正确； 当时，表示并非每次都是正面朝上， 故，故C正确； 此时，， ，所以，故D错误. 故选：D. 8. 在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据条件，结合正、余弦定理，得到角的关系，再用角的三角函数表示的面积，换元，利用导数的分析面积最大值，对应的角的三角函数值，再利用角的关系，求. 【详解】因为， 又由余弦定理：，所以， 所以. 由正弦定理得：， 所以或（舍去），故. 因为，所以. 由正弦定理：. 所以. 因为，所以. 设，. 则， 由， 由， 所以在上单调递增，在上递减， 所以当时，有最大值. 即当时，的面积最大. 此时 . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题用到了三倍角公式，因为有些教材不讲这个公式，所以该公式的记忆或推导在该题中就格外重要. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知（，，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的部分图象求得，，值，可得函数解析式，进而根据正弦函数的图象和性质即可逐一判断得解. 【详解】对于AB，根据函数的部分图象知，， ，，故AB正确， 对于C，由五点法画图知，，解得， 由于，所以， . 令，则， 时，，时，， 当时，，当时，，当时，， 故在内有2个极值点，分别为，，故C错误， 对于D，，可得：， 故当此时取最大值，故D正确. 故选：ABD. 10. 定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 单调递增 【答案】BCD 【解析】 【分析】A和B项，令后进行分类讨论即可得出结论；C项，令即可得出的表达式，进而得出奇偶性；D项，由C项得出表达式，即可得出单调性. 【详解】由题意， 在中， A和B项，当时，， 解得：或， 当时，则， 由于具有任意性，故不成立， ∴，A错误，B正确； C项，当时，， ∵， ∴奇函数，且，C正确； D项，由C项可知，故为增函数，D正确. 故选：BCD. 11. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据焦点三角形面积的相关结论即可判断A；结合椭圆性质可判断B；结合椭圆定义可求线段和差的最值，判断CD. 【详解】A选项：由椭圆方程，所以，，所以， 所以面积为，故A错误； B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个， 设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理， 知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形， 其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确； C选项：由于， 所以当最小即时，取得最大值，故C正确； D选项：因为， 又， 的最大、最小值分别为和， 当点位于的延长线上时取最大值， 当位置的延长线上时取最小值，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，由条件得，所求式消元后化成，结合点的轨迹图形特征，求得的范围，结合函数单调性即得的最小值. 【详解】设，由两边平方整理得：， 即而， 作出复数对应的点的轨迹的图形如图. 易得，因在定义域内为增函数， 故， 即当且仅当时，取最小值. 故答案为:. 13. 已知正方体的棱长为3，则以A为球心，为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体体对角线和面对角线的长度判断球面与正方体的交点位置，由球的截面性质求出截面圆的半径，利用弧长公式求解可得. 【详解】正方体的体对角线长为，面对角线长为， 因为， 以为球心的球与面ABCD，面，面都没有交点， 记球面与上底面交于M，N两点，则， 因为为锐角， 所以，同理，所以 所以，同理在面和面内轨迹长都是， 所以，球面与正方体表面交线的长度之和为． 故答案为： 14. 数列满足，，其中为函数的极值点，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由为函数极值点,推理得到，利用此式和题设条件，将分别用表示，化简消元即得. 【详解】为函数的极值点，， 则（*）， 因则由可得， 将（*）代入得，，因在R上递增，故有 则而，两边取自然对数可得， 于是， 又由，两边取自然对数可得，， 故. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：本题主要考查函数极值点与数列知识的融汇运用,属于难题.解题思路为，利用极值点得到关于的等式，再由数列递推公式，推理得到的表达式，运用函数单调性，指数对数式互化即可不断消元解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 （1）求B； （2）若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。 （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。 【小问1详解】 因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， 【小问2详解】 因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 16. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， （1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF； （2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取DF的中点K，可证明四边形KGBC为平行四边形，即可证明平面； （2）以A为坐标原点建立空间直角坐标系，设，求出平面DCF的法向量为，应用公式即可求点B到平面DCF的距离. 【小问1详解】 取DF的中点K，连接GK、KC，因为G为AF中点，所以，， 因为，，所以，，所以四边形KGBC为平行四边形， 所以，因为平面DCF，平面DCF，故平面DCF； 【小问2详解】 因为平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，，所以FA，AD，AB两两垂直， 以A为坐标原点，AF，AB，AD所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 直线BF与平面ABCD所成的角为，有，设， ， 则，，，，所以，，， 设平面DCF的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以，所以，即， 因为，所以点B到平面DCF的距离 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）利用导数几何意义求出切线的斜率，再结合切点坐标，利用点斜式方程写出切线方程即可. （2）利用导数研究的最值，由最小值为0，进一步利用导数研究方程的根即可. 【小问1详解】 当时，. 求导得，则在处切线斜率为，切点为. 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 由，且，知的最小值为0， 的定义域为，且， 当时，，所以在上单调递增， 又，与不符； 当时，由，得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，所以， 设，则， 由，可得，由，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以有唯一解，且． 综上，. 18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，满足，且到的渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）已知P，Q是轴上异于原点的两点，满足，直线分别交于点，直线的交点为． ①直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由； ②记和的面积分别为．若，求直线MN方程. 【答案】（1） （2）①直线过定点；②或． 【解析】 【分析】（1）利用给定条件建立方程，求解参数，得到双曲线方程即可. （2）①法一依据条件表示出直线方程，进而得到定点，法二利用斜率关系得到定点，法三先求解出直线上的两个点，表示斜率，进而写出方程，得到定点. ②利用面积关系建立方程，求解参数，得到直线MN方程即可. 【小问1详解】 由条件得，即； 渐近线方程为，则， 又，所以． 所以的方程为． 【小问2详解】 ①设． 联立得， 所以，且， 法1：由条件易得，即， 又，所以， 因此，即， 整理得， 所以， 整理得，解得或2． 当时，直线MN过点，与题意不符，所以， 因此直线过定点． 法2：设，则， 所以， 由求得； 由求得 所以， 则MN方程：， 整理得：即，所以直线MN经过点． ②由①得． 联立与，解得 于是 解得或1， 所以直线的方程为或． 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理利用给定的面积关系，然后建立方程并整理求解，最后得到所要求的参数，进而得到直线方程即可． 19. 维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中． （1）若，，且点，，写出所有的点的坐标； （2）任取维空间中的不同两点． （i）若，求的概率； （ii）记随机变量，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】（1）根据新定义，列出方程，求解即可； （2）（i）根据新定义、组合、古典概型求解即可； （ii）根据概率、组合数的性质，结合导数化简，求出，再作差比较法判断单调性，利用单调性确定取值范围即可. 【小问1详解】 由定义可知，。 即，且， 所以解得满足方程的B点坐标为： 【小问2详解】 （i）（固定点P）：设点, 因为， 因为或1，或1， 所以中有两项等于0，两项等于1， 所以满足条件的所有可能情况有， 因为两不同点所有可能情况共有种， 所以的概率. （ii）设随机变量,其中 因为， 所以， 因为， 两边同时求导，得， 上式两边同乘,求导得 ， 令，得， 所以， 因为， 所以单调递减，因为， 所以.则的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，则在上的投影向量的模为（ ） A. B. 1 C. 0 D. 3. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，且，则（ ） A B. C. 13 D. 4. 已知一组数据的上四分位数是，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ） A. 180 B. C. D. 90 6. 已知抛物线的焦点为，点在上．若以为圆心，为半径的圆被轴截得的弦长为，则该圆的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”，“次中至多有一次正面朝上”，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，事件与事件不独立 C. 当时， D. 当时，事件与事件不独立 8. 在三角形中，角，，的对边分别为，，且满足，，则面积取最大值时，（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 已知（，，）部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的最小正周期为 C. 在内有3个极值点 D. 在区间上的最大值为 10. 定义在上的函数满足，则（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 单调递增 11. 已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（ ） A. 若，则的面积为 B. 使为直角三角形的点有6个 C. 的最大值为 D. 若，则的最大、最小值分别为和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数满足，则的最小值为______. 13. 已知正方体的棱长为3，则以A为球心，为半径的球面与该正方体表面交线的长度之和为______． 14. 数列满足，，其中为函数极值点，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 （1）求B； （2）若的面积为，，求中线BD的长． 16. 如图，四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，， （1）已知G为AF的中点，求证：平面DCF； （2）若直线BF与平面ABCD所成的角为，二面角的余弦值为，求点B到平面DCF的距离． 17. 已知函数，. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，求的值. 18. 已知双曲线的左、右顶点分别为，右焦点为，满足，且到的渐近线的距离为． （1）求双曲线的方程； （2）已知P，Q是轴上异于原点的两点，满足，直线分别交于点，直线的交点为． ①直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由； ②记和的面积分别为．若，求直线MN方程. 19. 维空间中点的坐标可以表示为，其中为该点的第个坐标．定义维空间中任意两点，之间的平均离差二乘距离．设维空间点集或1，其中． （1）若，，且点，，写出所有点的坐标； （2）任取维空间中的不同两点． （i）若，求概率； （ii）记随机变量，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $