19 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律-【全效学习】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（沪科版）

教材回归（十一） 切线的辅助线问 题有规律 数学九年级全一册 [HK版] 1 一、切线的性质：已知切线，连半径，得垂直 教材母题 （教材P69练习第14题） 已知：如图，为的直径，点在上，和过点 的切线互相垂 直，垂足为.求证：平分 . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 2 教材母题答图 证明：连接 ，如答图. 是 的切线， ， ， ， . ， ， ， 平分 . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 3 变形1 如图，四边形内接于，是 的直径， . （1）求证： ； 证明： ， ， . 又 四边形内接于 ， ， . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 4 （2）过点作的切线，交的延长线于点.若， ， 求 的长. 变形1答图 解：如答图，连接交于点 . 是 的切线， ， . 又 ， ，， . 是 的直径， 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 5 ， ， 四边形 为矩形， . ， ， ， ， ， . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 6 变形2 [2023宁波] 如图，在中， ，为 边上一点，以 为直径的半圆与相切于点，连接，，.是 边 上的动点，当为等腰三角形时，求 的长． 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 7 变形2答图① 解：如答图①，连接 . 以为直径的半圆与相切于点 ， ， ， . 设 ， 则 在中, ， 即，解得 . ， ，， . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 8 ， ， . ， ， ， ， . 为等腰三角形， 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 如答图②,当时， ; 当 时， ， 点与点 重合， 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 变形2答图② ; 不存在 的情况. 综上所述，的长为 或6． 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 11 二、切线的判定 教材母题 （教材P37练习第6题） 已知：如图，是的直径，点在的延长线上，,点 在 圆上， ，求证：是 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 12 教材母题答图 证明：连接, ，如答图. ， ， ， . ， 是等边三角形， . ，即中线 ， ， . 是 的半径， 是 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 13 【思想方法】 证明某直线为圆的切线时，（1）如果能确定该直线与已知 圆有公共点，即可作出经过该点的半径，证明直线垂直于该半径，即“连半径， 证垂直”；（2）如果不能确定该直线与已知圆有公共点，则过圆心作直线的垂 线，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，即“作垂直，证半径”. 1.有共点、作半径、证垂直 变形1 如图，在中，，以为直径的 交于点，于点.求证：是 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 14 变形1答图 证明：连接 ，如答图. ， . ， ， ， . ， . 是 的半径， 是 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 15 变形2 如图，在中， ，点， ， 分别是边，，上的点，以 为直径的半圆 经过点，，且平分 . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 16 （1）求证：是半圆 的切线； 变形2答图 证明：连接 ，如答图. 平分 ， . ， ， ， . ， . 是圆 的半径， 是半圆 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 （2）若 ，，求 的长. 解： ， ， ， ， . ， ， ， . 是半圆 的直径， 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 18 ， ， ， ， . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 变形3 [2024芜湖模拟] 如图，四边形是 的内接四边形，连接，，且经过点 ， ，过点的直线与 的延长线交于 点，且 . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 20 （1）求证：是 的切线; 变形3答图 证明： 四边形是的内接四边形， 经 过点 ， 为的直径， ， ， ， ， 为 的中点. 连接 ，如答图, 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 则 . ， ， ， ， ，即 . 又为 半径， 是 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 （2）若，，求 的长. 变形3答图 解：由（1）知： ， . 为 的直径， ， ， . 过点作于点 ，如答图, 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 23 则四边形 为矩形， . ， ， ， 在 中， . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 2.无共点、作垂直、证半径 变形4 如图，在矩形中，，，边上有一点 ，且 ，连接，，以为直径作.求证：是 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 25 变形4答图 证明：如答图，过点作于点，于点 . ， 四边形 为矩形. ， ， ， . ，为 的中点， . ， ， 即为 的半径. 是 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 26 变形5 如图，在梯形中，， 于点 的平分线交于点，以点为圆心， 为半径 的圆经过点，交于另一点 . （1）求证：与 相切； 变形5答图① 证明：过点作的垂线，垂足为点 ，如答图①. ， ， . 又是的平分线，且 ， ，即是 的半径. 是 的切线. 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 27 （2）若，，求 的值. 变形5答图② 解：连接 ，如答图②. ， . 在中，， ， ， ， . 教材回归（十一） 切线的辅助线问题有规律 28 29 $$