15 培优选练（一） 二次函数与几何小综合-【全效学习】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（沪科版）

培优选练（一） 二次函数与几何小 综合 数学九年级全一册 [HK版] 1 【思想方法】 二次函数与几何综合的问题常有以下几种类型：通过建立 函数表达式研究图形的性质或进行图形的计算;研究图形的动态变化情况;根据 几何图形给出的条件确定二次函数表达式.在这些问题中,建立二次函数表达式 是最关键的问题. 1.[2023滁州模拟] 如图，已知抛物线 与坐标轴分别交于点 ， ，，是线段 上方抛物线上的一个动点. 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 2 （1）求抛物线的表达式； 解： 抛物线过点， ， 设抛物线表达式为 . 将点代入，得 ， 解得 . 抛物线的表达式为 . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 3 （2）当点运动到什么位置时， 的面积最大？ 第1题答图 解：直线的表达式为 . 如答图，过点作轴交于点 . 设点的坐标为 ，则 ， . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 4 . 当点运动到时， 的面积最大. 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 5 2.[2023梧州模拟] 如图，已知抛物线 经过点 和 . （1）求抛物线的表达式； 解：把和代入 , 得解得 抛物线的表达式为 . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 6 （2）点与点均在抛物线上（其中 ），且这两点关于抛物线的 对称轴对称，求的值及点 的坐标； 解： ， 抛物线的对称轴为直线 . 把代入 ， 得 , 解得（舍去）， . 点的坐标为 . 点是点关于直线 的对称点， 点的坐标为 . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 7 （3）在满足（2）的情况下，在抛物线的对称轴上存在点，使得 的周 长最小，请求点 的坐标. 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 8 第2题答图 解：如答图，连接，分别交直线于点，交轴于点 . 点和点 关于抛物线的对称轴对称， ， ， 此时最小，则 的周长最小. 设直线的函数表达式为 . 把和代入,得 解得 直线的函数表达式为 . 当时， ， . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 3.[2023滁州模拟] 如图，抛物线与 轴负半轴交于，两点，与轴交于点 . （1）求抛物线的表达式. 解：， 在抛物线上， 解得 抛物线的表达式为 . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 10 （2）若是直线上方抛物线上一点，过点作交直线于点 .设 点的横坐标为 . ①若点与点重合，求点 的坐标； 第3题答图 解：过点作轴于点，并延长交直线于点 ，过 点作于点 ，如答图. 设 . 设直线的表达式为 . ，在直线 上， 解得 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 11 直线的表达式为 . ， . ， . 点与点 重合， ， ， ， . 解得， （不符合题意，舍去）. ， . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 12 ②请用含的代数式表示出线段的长，并求出线段 的最大值. 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 13 第4题答图 解：设与轴交于点 ，如答图. ， ， . ， ， ， ， ， . ， 当时，有最大值为 . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 4.[2023崇左模拟] 规定：不相交的两个函数图象在竖直方向 上的最短距离称为这两个函数的“亲近距离”.若抛物线 经过， 两点. （1）求抛物线的表达式. 解：把，分别代入 ，得 解得 抛物线的表达式为 . 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 15 （2）求抛物线与 轴的“亲近距离”. 解： ， 抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线与 轴的“亲近距离”为2. 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 16 （3）在探究问题：如图，求抛物线与直线 的“亲近 距离”的过程中，有人提出：过抛物线的顶点向轴作垂线与直线 相 交，则该问题的“亲近距离”一定是抛物线顶点与交点之间的距离.你同意他的 看法吗？请说明理由. 解：不同意他的看法.理由如下： 点为抛物线任意一点，过点作轴交直线 于 点 ，如答图. 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 17 设，则 ， ， 当时，有最小值为 . 抛物线与直线的“亲近距离”为 . 而抛物线的顶点坐标为，交点坐标为 ，顶点与交点的距离为2， 不同意他的看法. 培优选练（一） 二次函数与几何小综合 18 19 $$