08 教材回归（一） 求二次函数的表达式-【全效学习】2024-2025学年九年级上册数学同步课件（沪科版）

教材回归（一） 求二次函数的表达式 数学九年级全一册 [HK版] 1 教材母题 （教材P23练习第1题） 已知一个二次函数的图象经过,, 三点,求这个二次函数 的表达式. 解：设所求二次函数的表达式为 . 由题意,得解得 二次函数的表达式为 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 2 【思想方法】（1）当已知抛物线上三点求二次函数的表达式时,一般采用 一般式 ; （2）当已知抛物线的顶点坐标（或对称轴或最大、最小值）求该抛物线 的表达式时,一般采用顶点式 ; （3）当已知抛物线与 轴的交点坐标求二次函数的表达式时,一般采用两 根式,其中,为抛物线与 轴的交点的横坐标. 教材回归（一） 求二次函数的表达式 3 变形1 抛物线的顶点为,且过点 ,求该抛物线的表达式. 解：设抛物线的表达式为 . 将代入表达式,得 , 解得 , 抛物线的表达式为 , 即 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 4 变形2 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图象与轴、轴的交点分别为 和 . （1）求此二次函数的表达式; 解： 抛物线与轴、 轴的交点分别为 和 , 解得 （2）结合函数图象,直接写出当时, 的取值范围. 解：当时,的取值范围是或 . 二次函数的表达式为 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 5 变形3 [2023黑龙江] 如图，抛物线与 轴 交于，两点,交轴于点 . （1）求抛物线的表达式； 解：将， 两点，代入抛物线 ,得 解得 抛物线的表达式为 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 6 （2）抛物线上是否存在一点，使得 ?若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由. 变形3答图 解：存在. ，， . 抛物线与轴交于点 ， 令，则 ， 点的坐标为， ， ， . 作轴交于点 ，如答图. 教材回归（一） 求二次函数的表达式 7 设直线的表达式为,代入，，得 解得 直线的表达式为 . 设 ， 则点的纵坐标为 ， 设 ， 则有 , 解得 ， , 教材回归（一） 求二次函数的表达式 ， ， 解得 或3. 点的坐标为或 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 变形4 已知抛物线, 为常数）. （1）若抛物线的顶点坐标为,求, 的值; 解：由题意,可知抛物线的表达式为,即 . 解得 教材回归（一） 求二次函数的表达式 10 （2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求 的取值范围. 解：设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为, , 代入表达式可得 两式相加,可得 , . , . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 11 变形5 已知点,在二次函数 的图象 上,且 . （1）若二次函数的图象经过点 ,求这个二次函数的表达式; 解： 二次函数经过点 , , 解得 . 二次函数的表达式为 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 12 （2）在（1）的条件下，若,求顶点到 的距离. 解： , 点, 关于抛物线的对称轴对称. 对称轴是直线,且 , , . 当时, , 当时,顶点到的距离为 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 13 变形6 [2023湘潭模拟] 如图，已知二次函数 的图象经过点，点 . （1）求该二次函数的表达式及顶点坐标. 解： 二次函数的图象经过点 ， , 解得 该二次函数为 . ， 顶点坐标为 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 14 （2）点 在该二次函数图象上. ①当时，求 的值； ②当时，最大值为5，最小值为1，请根据图象直接写出 的取值范围. 解： 点 在该二次函数图象上， ①当时， . ②当时，最大值为5，最小值为1,抛物线的顶点为 , 把代入 , 得，解得， ， 的取值范围是 . 教材回归（一） 求二次函数的表达式 15 16 $$