第18周 函数y=Asin(ωx+φ)-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 70 — 第十八周 函数y=Asin(ωx+φ) (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第8题.该题主要考查由三角函数的图像求解析式、三角函数的性质、图像变换等, 灵活性综合性较强,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 三角函数的图象变换 1.(2025·山东济宁·质量检测)为了得到函数y=2sin 2x+π6 的图象,只需把函数y=2sin2x的 图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动π6 个单位长度 B.向右平行移动π6 个单位长度 C.向左平行移动π12 个单位长度 D.向右平行移动π12 个单位长度 2.(2025·上海普陀质量检测)为了得到函数y=sin 2x+π3 的图象,可以将函数y=cos 2x-2π3 的图象 ( ) A.向左平移π2 个单位 B.向左平移π4 个单位 C.向右平移π2 个单位 D.向右平移π4 个单位 3.(2025·河南南阳·阶段练习)要得到y=sinx2 的图象,只需将函数y=cos x2-π4 的图象 ( ) A.向左平移π4 个单位长度 B.向右平移π4 个单位长度 C.向左平移π2 个单位长度 D.向右平移π2 个单位长度 4.(2025·山西吕梁质量检测)为得到函数y=cos2x的图象,只需将函数y=cos 2x+π5 的图象 ( ) A.向右平移π5 个单位长度 B.向左平移π5 个单位长度 C.向右平移π10 个单位长度 D.向左平移π10 个单位长度 5.(2025·天津专题练习)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿轴向左平移 π 8 个单位后,得到一个奇函数 的图象,则φ的一个可能取值为 ( ) A.3π4 B. π 4 C.0 D.- 3π 4 考点二 由y=Asin(ωx+φ)的图象确定其解析式(或参数值) 6.(2025·北京东城·质量检测)已知函数y=sin(ωx+φ) ω>0,0<φ<π2 ,且 此函数的图象如图所示,则ω,φ的值分别是 ( ) A.2,π2 B.2 ,π 4 C.4,π2 D.4 ,π 4 7.(2025·湖北武汉·质量检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ| <π2 的部分图象如图所示,则下列结论错误的是 ( ) A.函数的解析式可以为f(x)=2sin 2x+π3 B.函数y=f(x)的图像关于直线x=7π12 对称 C.函数f(x)在 -2π3,-π6 上单调递减 D.函数y=f(x)的图像关于点 -π6,0 对称 8.(多选)(2025·河北张家口·质量检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图,则 ( ) A.φ可能为 5π 6 B.若将函数f(x)图象向右平移π3 得到(g)x,则g(x)为偶函数 C.f(x)的解析式可能为f(x)=2cos 2x-π3 D.f(x)在 π6,π2 上的值域为 -12,1 9.(2025·云南大理质量检测)函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0,ω>0,|φ|<π2 的 部分图象如图所示,将f(x)的图象向左平移π12 个单位长度后所得图象关于原点 对称,则图中的a值为 . 考点三 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 10.(2025·北京海淀·质量检测)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< π 2 )的部分图象如图所示. ①函数f(x)的最小正周期为 ; ②将函数f(x)的图象向左平移t(t>0)个单位长度,得到函数g(x)的图象. 若函数g(x)为偶函数,则t的最小值是 . — 69 — — 72 — 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质的综合应用 已知函数f(x)=2cosx(3sinx+cosx)-1. 探究问题: (1)求f(x)最小正周期; (2)将函数y=f(x)的图象的横坐标缩小为原来的12 ,再将得到的函数图象向右平移π 8 个单位,最 后得到函数y=g(x),求函数g(x)的对称中心; (3)若|g(x)-m|≤2在 0,π4 上恒成立,求实数m 的取值范围. 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·陕西西安·质量检测)已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0),y=f(x)的图 象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π 4. (1)求函数f(x)的单调递增区间; (2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12 ,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图 象,求函数y=g(x)在区间 0,π4 上的值域. 2.(2025·广东汕尾·质量检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B A>0, ω>0,|φ|< π 2 的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)先把函数f(x)的图象向左平移π6 个单位长度.再向上平移1个单位长 度,得到函数g(x)的图象,若当x∈ -π12,π12 时,关于x的方程g(x)+2a-1=0有实数根,求 实数a的取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|< π 2 的部分图象如图所示,点P (0,-1),Q7π12 ,0 (1)求f(x)的解析式; (2)将f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标伸长为原来的2倍,再将所得图象向左平移 π 3 个单位长度,得到g(x)的图象,求g(x)在区间 -π2 ,0􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 上的最值. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 71 — —98 — 探究·一举突破 探究路径 (1)依题意,f(x)=2sin2x+cos 2x- π3 -1,所以f π6 = 2sin2 π6+cos 2·π6-π3 -1=2×14+1-1=12. (2)f(x)=2sin2x+cos 2x-π3 -1=1-cos2x+12cos2x+ 3 2sin2x-1= 3 2sin2x- 1 2cos2x=sin 2x-π6 . 由于0≤x≤π2 ,所以-π6≤2x- π 6≤ 5π 6 , 当2x-π6=- π 6 ,x=0时,f(x)取得最小值为-12 , 当2x-π6= π 2 ,x=π3 时,f(x)取得最大值为1. (3)由上述分析可知f(x)=sin(2x-π6 ),由于0≤x≤π, 所以-π6≤2x- π 6≤ 11π 6 ,所以f(x)=sin 2x-π6 ∈[-1,1]. 依题意t<0,所以4-t>4,t-4<-4⇒-14< 1 t-4<0 , 由4f(x)-tf(x)+1=0得(4-t)f(x)+1=0, 则f(x)= -14-t= 1 t-4 ,画出f(x)=sin 2x-π6 在区间[0,π]上 的图象如下图所示, 由于f(0)=f(π)=-12 ,-14< 1 t-4<0 , 结合图象可知方程4f(x)-tf(x)+1=0有2个根. 参考答案 (1)12 (2)最小值为-12 ,最大值为1 (3)2个根 综合·一练到底 1.解 (1)∵0<α<π2 ,-π2<β<0 ,cosα= 210 ,sinβ=- 5 5 , ∴sinα= 1-cos2α=7 210 ,cosβ= 1-sin2β= 2 5 5 , ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 2 10× 2 5 5 + 7 2 10 × - 55 =- 1010 ; (2)由(1)得tanα=sinαcosα=7 ,tanβ= sinβ cosβ = - 12 ,tan2β= 2tanβ 1-tan2β = 2× -12 1- -12 2=- 4 3 , ∴tan(α-2β)= tanα-tan2β 1+tanαtan2β = 7- -43 1+7× -43 =-1, 由0<α<π2 ,-π2<β<0 得0<α-2β< 3π 2 ,∴α-2β= 3π 4. 【破题技巧】 (1)先通过条件求出sinα,cosβ,再利用两角差的 余弦公式计算cos(α-β)即可; (2)通过(1)求出tanα,tan2β,再利用两角差的正切公式计算 tan(α-2β)即可. 2.解 (1)利用三角函数的定义可得cosα= 210 ,sinβ= 5 5 , 又α、β是锐角,所以sinα= 2-cos2α= 7 2 10 ,cosβ= 1-sin2β =2 55 ,所以,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 3 10 10 . (2)因为sin2β=2sinβcosβ= 4 5 ,cos2β=2cos 2 β-1= 3 5>0 , 又β是锐角,则0<2β<π,所以0<2β< π 2 , 又因为0<α<π2 ,则0<α+2β<π, 而cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=- 2 2 ,所以α+2β= 3π 4. 【破题技巧】 (1)利用三角函数的定义以及同角三角函数的基 本关系可求得α、β的正弦值、余弦值,利用两角和的正弦公式可 求得sin(α+β)的值; (2)求出2β的正弦值、余弦值,利用两角和的余弦公式可求得α +2β的余弦值,求出α+2β的取值范围,即可求得结果. 选做·一飞冲天 解 (1)sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ =2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ=2sinθ(1-sin2θ)+sinθ-2sin3θ =3sinθ-4sin3θ. (2)sin(60°-θ)sin(60°+θ)sinθ= 32cosθ-12sinθ 32cosθ+ 1 2sinθ sinθ = 34cos2θ-14sin2θ sinθ= 34-34sin2θ-14sin2θ sinθ= 3 4sinθ-sin 3θ=14 (3sinθ-4sin3θ) 从而sin(60°-θ)sin(60°+θ)sinθ=14sin3θ , 故sin20°sin40°sin80°=sin20°sin(60°-20°)sin(60°+20°)= 1 4sin (3×20°)=14× 3 2= 3 8. 第十八周 函数y=Asin(ωx+φ) 考点·一应俱全 1.C [由y=2sin 2x+π6 =2sin2 x+π12 ,因此y=2sin2x向左 平行π 12 个单位得到y=2sin 2x+π6 图象,故选C.] 2.B [y=cos 2x-2π3 =cos 2x-π6-π2 =sin 2x-π6 ,将函 数向左平移π 4 个单位得:y=sin 2 x+ π4 - π6 =sin 2x+ π 3 .故选B.] 3.D [由于函数y=sinx2=cos x2-π2 =cos 12 x-π2 - π 4 ,故只需将函数y=cos x2-π4 的图象向右平移π2可得函 数y=sinx2 的图象.故选D.] 【破题技巧】 将y=sinx2 整理成y=cos 12 x-π2 -π4 , 然后利用平移变换即可求解. 4.C [因为y=cos 2 x-π10 +π5 =cos2x,所以只需将函数y =cos 2x+π5 的图象向右平移π10个单位长度即可得到函数y= cos2x的图象.故选C.] 5.A [函数y=sin(2x+φ)的图象沿轴向左平移 π 8 个单位后,得到 函数y=sin 2 x+π8 +φ ,函数关于奇函数,所以当x=0时, π 4+φ=kπ ,k∈Z,解得:φ=- π 4+kπ ,k∈Z,当k=1时,φ= 3π 4. 故选A.] 【破题技巧】 (1)由y=sinωx的图象到y=sin(ωx+φ)(ω>0, φ>0)的图象的变换:向左平移 φω 个单位长度而非φ 个单位 长度. (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致,那么应先 利用诱导公式化为同名函数,ω为负时应先变成正值. 6.B [由函数的图象可得,函数的周期T=2 7π8-3π8 =π,则2πω = π,所以ω=2,函数图象过点 3π8,0 ,则sin 2×3π8+φ =0,所以 3π 4+φ=π+2kπ ,k∈Z,即φ= π 4+2kπ ,k∈Z,又0<φ< π 2 ,所以φ =π4. 故选B.] 7.C [由题意得,A=2,T=4 π3-π12 =π,所以ω=2,故f(x)= 2sin(2x+φ),因为2× π 12+φ= π 2+2kπ ,k∈Z,因为|φ|< π 2 ,所以 φ= π 3 ,f(x)=2sin 2x+π3 ,A正确;因为2×7π12+π3=3π2,此 时f(x)取得最小值,B正确;当-2π3≤x≤- π 6 时,-π≤2x+π3 ≤0,此时f(x)不单调,C错误;因为f -π6 =2sin0=0,D正 确.故选C.] 8.BC [观察图象得,A=2,由f(0)=1,得sinφ= 1 2 ,而0<φ<π, 解得φ= π 6 或φ= 5π 6 ,函数f(x)的最小正周期T=2πω ,而T 4< 5π 12 且T 2> 5π 12 ,于是π 2ω< 5π 12 且π ω> 5π 12 ,解得6 5<ω< 12 5 ,又f 5π12 = 0,且x=5π12 是函数f(x)递减区间上的零点,则5π12ω+φ=π+2kπ ,k ∈Z,当φ= π 6 时,ω=2+245k ,k∈Z,则k=0,ω=2;当φ= 5π 6 时,ω =25+ 24 5k ,k∈Z,无 解,因 此φ= π 6 ,ω=2,f(x)=2sin 2x+ π 6 ,A错 误;对 于 B,g(x)=f x- π3 =2sin 2x- π2 = -2cos2x,g(-x)=-2cos(-2x)=-2cos2x=g(x),g(x)为偶 函数,B正确;对于C,f(x)=2sin 2x- π3+ π2 =2cos 2x- π 3 ,C正确;对于D,当x∈ π6,π2 时,2x+π6∈ π2,7π6 ,sin 2x+π6 ∈ -12,1 ,f(x)∈[-1,2],D错误.故选BC.] 9.-1 [由图象得f(x)max=2,从而A=2,f(x)的图象上的所有点 向左平移π 12 个单位长度后图象关于原点对称,得函数f(x)的图象 过点 π12,0 ,所以结合图象知7π12-π12=π2=T2,所以T=2π|ω|= π,故ω=2,又π12×2+φ=2kπ ,k∈Z,则φ=2kπ- π 6 ,k∈Z,结合 |φ|< π 2 ,得φ=- π 6 ,所 以f(x)=2sin 2x- π6 ,a=f(0)= 2sin -π6 =-1.] 【技法点拨】 根据图象最大值得到A=2,由向左平移π12 个单 位长度后图象关于原点对称,得过 π12,0 ,结合图象过 7π12, 0 得到T=2π|ω|=π,故ω=2,φ=-π6,从而f(x)=2sin 2x- π 6 ,由a=f(0)得到a的值. 10.3π2 π 4 [①由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象可得函数的 图象经过点(0,1),故有2sinφ=1,结合图象由五点法可得φ= π 6 ,f(x)=2sin ωx+ π6 .再 把 点 3π4,-1 代 入,可 得 2sin 3ωπ4 +π6 =-1,即sin 3ωπ4 +π6 =-12.结合图象由五 点法可得3ωπ 4 + π 6= 7π 6 ,∴ω=43 ,故函数f(x)=2sin 43x+ π 6 的最小正周期为2π4 3 =3π2 ;②将函数f(x)=2sin 43x+π6 的图象向左平移t(t>0)个单位长度,得到函数g(x)=2sin 43x +4t3+ π 6 的图象,若函数g(x)为偶函数,则4t3+π6=kπ+π2 (k∈Z),即t=3kπ4 + π 4 ,k∈Z.则正数t的最小值是π4 ,此时,k= 0.故答案为:3π2 ;π 4. ] 探究·一举突破 探究路径 (1)因为f(x)=2cosx(3sinx+cosx)-1 =2 3sinxcosx+2cos2x-1= 3sin2x+2·1+cos2x2 -1 = 3sin2x+cos2x=2 32sin2x+12cos2x =2sin 2x+π6 , 所以函数y=f(x)的最小正周期为T=2π2=π. (2)将函数y=f(x)的图象的横坐标缩小为原来的12 , 可得到函数y=2sin 4x+π6 的图象, 再将y=2sin 4x+π6 的函数图象向右平移π8个单位,最后得到 函数y=g(x)的图象,则g(x)=2sin 4 x-π8 +π6 =2sin 4x -π3 ,令4x-π3=kπ,得x=kπ4+π12(k∈Z), 所以对称中心为 kπ4+π12,0 ,(k∈Z). (3)当0≤x≤π4 时,-π3≤4x- π 3≤ 2π 3 , 则- 32≤sin 4x-π3 ≤1,所以- 3≤g(x)≤2, 所以g(x)在区间 0,π4 上的值域为[- 3,2]. 由|g(x)-m|≤2,得 m-2≤g(x)≤m+2,由|g(x)-m|≤2在 0,π4 上恒成立,得 m-2≤- 3m+2≥2 ,解得0≤m≤2- 3, ∴实数m 的取值范围为[0,2- 3]. 参考答案 (1)T=π (2) kπ4+π12,0 ,(k∈Z) (3)[0,2- 3] 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx=sinωxcosωx+cos2ωx =12sin2ωx+ 1 2 (1+cos2ωx)= 22 22sin2ωx+ 22cos2ωx +12 = 22sin 2ωx+π4 +12(ω>0), 又由题T 4= π 4 ,所以1 4× 2π 2ω= π 4⇒ω=1 , 所以f(x)= 22sin 2x+π4 +12,令2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,则kπ-3π8≤x≤kπ+ π 8 ,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递增区间为 kπ-3π8,kπ+π8 ,k∈Z. (2)由(1)f(x)= 22sin 2x+π4 +12, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 97 — —100 — 故由题意可得g(x)= 22sin 4x+π4 +12, 当x∈ 0,π4 ,4x+π4∈ π4,5π4 , 故由正弦函数图像性质可得sin 4x+ π 4 ∈ - 22,1 , 所以 2 2sin 4x+ π4 + 12 ∈ 0, 2+1 2 即g(x)∈ 0,2+12 , 所以函数y=g(x)在区间 0,π4 上的值域为 0,2+12 . 2.解 (1)由图象可得 A+B=1 -A+B=-3 ,T2=7π12-π12,解得A=2, B=-1,T=π,所以2πω=π ,得ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ)-1 |φ|<π2 , 因为f(x)的图象过点 π12,1 ,所以2sin π6+φ -1=1, 所以sin π6+φ =1,所以π6+φ=π2+2kπ,k∈Z, 所以φ= π 3+2kπ ,k∈Z 因为|φ|< π 2 ,所以φ= π 3 ,所以f(x)=2sin 2x+π3 -1; (2)先把函数f(x)的图象向左平移π6 个单位长度, 得y=2sin 2 x+π6 +π3 -1=2sin 2x+2π3 -1, 再向上平移1个单位长度,得y=2sin 2x+2π3 , 所以g(x)=2sin 2x+2π3 , 由x∈ -π12,π12 ,得2x∈ -π6,π6 ,则2x+2π3∈ π2,5π6 , 所以1 2≤sin 2x+2π3 ≤1,所以1≤2sin 2x+2π3 ≤2,即g(x) ∈[1,2],由g(x)+2a-1=0,得g(x)=1-2a,因为关于x 的方 程g(x)+2a-1=0有实数根,所以y=g(x)与y=1-2a的图象 有交点,所以1≤1-2a≤2,解得-12≤a≤0 ,即实数a的取值范 围为 -12,0 . 选做·一飞冲天 解 (1)由图象知A=2. 因为f(x)的图象过点P(0,-1),所以2sinφ=-1, 又|φ|< π 2 ,所以φ=- π 6 ,所以f(x)=2sin ωx-π6 . 又f(x)的图象过点Q 7π12,0 ,由“五点作图法”可得7πω12-π6=π, 所以ω=2.所以f(x)=2sin 2x-π6 . (2)由题意知g(x)=2sin x+π3 -π6 =2sin x+π6 , 当x∈ -π2 ,0 时,x+π6∈ -π3,π6 , 所以sin x+π6 ∈ - 32,12 ,则2sin x+π6 ∈ - 3,1 , 所以g(x)在区间 -π2 ,0 上的最小值为- 3,最大值为1. 第十九周 三角函数的应用 考点·一应俱全 1.D [由题意得12 (t1+t2)=1, 1 2 (t2+t3)=3,故函数y=sin(ωπ+ φ)(ω>0,|φ|<π)的周期为T=2×(3-1)=4,ω= 2π 4= π 2 ,可得y =sin π2t+φ ,令sin π2t+φ >0.5,解得4k+13-2πφ<t<4k +53- 2 πφ ,k∈Z,故总时间为4k+53- 2 πφ- 4k+13-2πφ = 4 3 ,综上在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时 间为4 3s. 故选D.] 2.D [由噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0≤φ ≤2π)的振幅为1,周期为2π,初相为π2 ,可得ω=2πT= 2π 2π=1 ,A= 1,φ= π 2 ,所 以 噪 声 的 声 波 曲 线 的 解 析 式 为y=sin x+ π2 = cosx,所以通过主动降噪芯片生成的声波曲线的解析式为y=- cosx.故选D.] 【破题技巧】 根据振幅可求出A,根据周期可求出ω,根据初相 可求出φ,化简后可得答案. 3.BCD [因为仅有第5张,第13张,第17张照片与第1张照片完 全一样,则弹簧振子运动时的最小正周期为T=12×0.01=0.12 =325s ,则ω=2π3 25 =50π3 ,所以y=Asin 50πt3 +φ ,由题意可知, Asin 50π3 × 1100+φ =Asin 50π3 × 5100+φ ,所以sin π6+φ = sin 5π6+φ ,则12cosφ+ 32sinφ=12cosφ- 32sinφ,所以sinφ =0,则φ=mπ,(m∈Z),则y=Asin 50πt3 +mπ ,令y=0,可得 50πt 3 +mπ=nπ (m,n∈Z),所以t=350 (n-m),令k=n-m∈Z,则t =350k (k∈Z),由0<3k50≤ 1 5 ,可得0<k≤103 ,因为k∈Z,则k∈ {1,2,3},当k=1时,t=350=0.06s ,对应第6张照片,当k=2时, t=650=0.12s ,对应第12张照片,当k=3时,t=950=0.18s ,对 应第18张照片.故选BCD.] 【破题技巧】 首先分析出弹簧振子运动时的最小正周期 T= 3 25s ,并求出ω的值,然后结合已知条件求出φ的值,令y=0, 可求出结果. 4.C [频率为|ω|2π= 3 2π ,故选C.] 5.D [根据题意可设h(t)=Acosωt+B,则A<0,B>0. ∵12min旋转一周,∴2πω =12 ,∴ω=π6.∵ 最大值与最小值分别 为14,2,∴ -A+B=14A+B=2 ,解得A=-6,B=8.∴h(t)=-6cosπ6t +8.故选D.] 【破题技巧】 利用待定系数法设出函数解析式后,由题意可得 函数周期、最大最小值等,即可计算出函数中相应系数,即可得 解. 6.ABD [设t为摩天轮匀速逆时针旋转的时间,单位为分钟,则h (t)=50sin π12t+π2 +55=50cosπ12t+55,t≥0.对于A选项,由 于摩天轮匀速逆时针旋转,每24分钟转一圈,因为t≥0,则π12t≥ 0,令π12t=π ,解得t=12,所以经过12分钟,点P 首次到达最低点, 故A选项正确;对于B选项,因为h(16)=50cos43π+55=30 , h(32)=h(8)=50cos23π+55=30 ,即h(16)=h(32),所以第16 分钟和第32分钟点P 距离地面一样高,B选项正确;对于C选项, 由于摩天轮匀速逆时针旋转,每24分钟转一圈,所以第28分钟至 第40分钟,相当于第4分钟至第16分钟,根据 A选项可知,经过 12分钟,点P 首次到达最低点,所以第4分钟至第12分钟,摩天 轮高度降低,第12分钟至第16分钟,摩天轮高度上升,所以C选 项错误;对于D选项,由h(t)=50cosπ12t+55≥80 ,则cosπ12t≥ 1 2 ,其中0≤t≤24,即0≤π12t≤2π ,则0≤π12t≤ π 3 或5π 3≤ π 12t≤2π ,解 得0≤t≤4或20≤t≤24,故摩天轮在旋转一周的过程中点P 有4+4 =8分钟距离地面不低于80米,D选项正确.故选ABD.] 7.AC [对于A,振幅A 即为半径,A=4,A正确;对于B,筒车按逆 时针方向每分钟转2圈,则ω=2×2π60 = π 15 ,B错误;对于C,b= dmax+dmin 2 = (4+2.5)+(2.5-4) 2 =2.5 ,C正确;对于D,由t=0, d=0,得0=4sinφ+2.5,则sinφ=- 2.5 4 =- 5 8 ,D错 误.故 选AC.] 【技法点拨】 根据实际含义分别求A,ω,b的值即可,再根据t =0,d=0可求得sinφ,进而判断各个选项即可. 8.y=4sin 2π3t+π3 (t≥0) [依题意设y=Asin(ωx+φ)(t≥0), A>0,ω>0,|φ|≤π2 ,由于每3秒转一圈,故最小正周期为3, 则ω=2πT= 2π 3 ,由于圆O 半径为4,故A=4,又初相为π3 ,故φ= π 3 ,所以y=4sin 2π3t+ π3 (t≥0).故 答 案 为:y=4sin 2π3t+ π 3 (t≥0).] 9.C [记时间为x,水深值为y,设时间与水深值的函数关系式为y =f(x)=Asin(ωx+φ)+b,(A>0,ω>0),由表中数据可知,T= 12,f(x)max=7.5,f(x)min=2.5,所以ω= 2π 12= π 6 ,A=7.5-2.52 =52 ,b=7.5+2.52 =5 ,所以f(x)=52sin π6x+φ +5,又x=3 时,y=7.5,所以52sin π6×3+φ +5=7.5,所以π2+φ=π2+ 2kπ,即φ=2kπ,k∈Z,所以f(x)= 5 2sin π6x+2kπ +5=52sinπ6x +5,f(13)=52sin 13π 6 +5= 5 2sin π 6+5= 5 2× 1 2+5=6.25 ,即 13:00的水深值大约为6.25.故选C.] 【破题技巧】 观察表中数据求出周期和最大最小值,然后可得 A,ω,b,将表中最大值点坐标代入解析式可得φ,然后可得所求. 10.4 [由题意得函数y=Asinωt+h(其中A>0,ω>0,h>0)的周 期为T=12,所以2πω=12 ,得ω=2π12= π 6 ,由表中数据可知最大值 为7,最小值为3,则 A+h=7-A+h=3 ,解得 A=2h=5 ,所以y=2sin π6t +5,所以该港口在11:00的水深为y=2sin116π+5=4 (m).故答 案为:4.] 【破题技巧】 由表中的数据可得T=12,可求出ω,由最大值和 最小值可求出A,h,从而可求出函数关系式,然后将t=11代入 可求得答案. 探究·一举突破 探究路径 (1)由表中数据可知,收购价格月份变化上下波动,应选模型①, 由表中数据可知,养殖成本逐月递增,应选模型②, 对于模型①,由点(1,8)及(3,8),可得函数周期满足T2=3-1=2 , 即2π ω=4 ,所以ω=π2 ,又函数最大值为A+B=9,最小值为-A+ B=7,解得A=1,B=8,所以y=sin π2x+φ +8,又π2+φ= 2kπ,k∈Z,所以φ=- π 2 +2kπ ,k∈Z,又-π<φ<π,所以φ= -π2 ,所以模型①y=sin π2x-π2 +8(x∈N*); 对于模型②,y=log2(x+a)+b图象过点(1,5),(3,6), 所以 5=log2(1+a)+b 6=log2(3+a)+b , 解得:a=1 b=4 ,所以模型②y=log2(x+1)+4; (2)由(1)设y1=sin π2x-π2 +8,y2=log2(x+1)+4, 若y1>y2 时则盈利,若y1<y2 则亏损; 当x=5时,y1=8>y2=log26+4;当x=6时,y1=9>y2=log27 +4;当x=7时,y1=8>y2=log28+4;当x=8时,y1=7<y2= log29+4; 这说明第5,6,7月份可能盈利,8月份生猪养殖户可能出现亏损. 参考答案 (1)模型①y=sin π2x-π2 +8(x∈N*),模型②y= log2(x+1)+4 (2)答案见解析 综合·一练到底 1.解 (1)由于ω=160π,代入周期公式T=2π|ω| ,可得T=2π160π= 1 80 (min), 所以函数p(t)的周期为180min. (2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f=1T=80 (次). (3)列表: t 0 1320 1 160 3 320 1 80 y=p(t) 115 140 115 90 115 描点、连线并向左右扩展得到函数y=p(t)的简图如图所示: 由图可知此人的收缩压为140mmHg,舒张压为90mmHg. 【破题技巧】 (1)由周期公式T=2π|ω| 即可求解; (2)由频率和周期的关系即可求解; (3)由五点画图法直接作图即可,并直接得出读数即可. 2.解 (1)由题意,得风机的角速度ω=2π5 每秒,当t=0时h=60. A+B=140, -A+B=60, Asinφ+B=60, 解得 A=40, B=100, φ=- π 2. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴h(t)=40sin 2π5t-π2 +100(0≤t≤5). (2)令h(t)≥80,则h(t)=40sin 2π5t-π2 +100≥80,即cos2π5t≤12, ∴π3≤ 2π 5t≤ 5π 3 ,解得5 6≤t≤ 25 6 ,∴256- 5 6= 10 3. ∴当风机叶片端点P 从离地面最低位置开始,在转动一周的过程 中,点P 离地面的高度不低于80米的时长为103 秒. 选做·一飞冲天 解 (1)如图:过O 做OH⊥AB 于H. 则∠AOH=θ,所 以 AH=Rsinθ⇒AB= 2Rsinθ,AD=R(cosθ-sinθ). (2)S=AB·AD=2R2sinθ(cosθ-sinθ) =R2(2sinθcosθ-2sin2θ)=R2(sin2θ+ cos2θ-1) =R2 2sin 2θ+π4 -1 ≤(2-1)R2, 当且仅当2θ+π4= π 2 即θ=π8 时取“=”. 故当θ=π8 时矩形场地的面积最大且最大为(2-1)R2. 【破题技巧】 借助三角函数表示AB 和AD,进一步表示矩形的 面积,可求矩形面积的最大值. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 99 —