第17周 三角恒等变换-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 66 — 第十七周 三角恒等变换 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第4题.该题主要考查同角三角函数基本关系、两角差的正弦余弦公式、化简求值以 及保角变换等,题目设置紧扣概念,考查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得 推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 两角和与差余弦公式 1.(2025·山东烟台质量检测)已知cosα=1213 ,α∈ -π2,0 ,则cos α-π4 的值为 ( ) A.5 213 B. 7 2 13 C. 17 2 26 D. 7 2 26 2.(2025·全国专题练习)已知α,β∈ 0,π2 ,且sinα=2 55 ,cosβ= 1010,求α+β的值 . 考点二 两角和与差正弦公式 3.(2025·全国·专题练习)已知cosα=35 ,cos(α-β)= 12 13 且0<α<β< π 2 ,则sinβ= . 4.(2025·北京·专题练习)已知α,β∈ 3π4,π ,sin(α+β)=-35,sin β-π4 =2425,则sin α+π4 = . 考点三 两角和与差正切公式 5.(2025·北京·专题练习)设tan(α+β)= 2 5 ,tan β-π4 =14,则tan α+π4 的值是 ( ) A.16 B. 3 22 C. 13 22 D. 13 18 6.(2025·全国·专题练习)已知tan α+π3 =3 3,则tan α-π3 的值为 . 考点四 二倍角的正弦、余弦、正切公式 7.(2025·江苏泰州·专题练习)已知α∈ 0,π2 ,β∈ -π,-π2 ,sinα=7 210,cosβ=-2 55 ,则α+ 2β的值为 ( ) A.34π B.- 3 4π C. 5 4π D.- 5 4π 8.(2025·江苏南通·质量检测)若cos π3-α =23,则sin 2α-π6 = ( ) A.-79 B.- 1 9 C. 1 9 D. 7 9 9.(2025·甘肃·兰州质量检测)下列各式的值为12 的是 ( ) A.sin870° B.sin15°cos15° C.cos40°cos20°-sin40°sin20° D.tan22.5° 1-tan222.5° 10.(2025·贵州黔东南·质量检测)已知α∈(0,π),且cos α+π4 =13,则cos2α= . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b零点(根)的问题 已知函数f(x)=2sin2x+cos 2x-π3 -1. 探究问题: (1)试求f π6 的值; (2)若x∈ 0,π2 ,试求f(x)的最大值和最小值; (3)若x∈[0,π],t∈(-∞,0),讨论4f(x)-tf(x)+1=0根的情况. — 65 — — 68 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·广东湛江·阶段练习)已知0<α<π2 ,-π2<β<0 ,cosα= 210 ,sinβ=- 5 5. (1)求cos(α-β)的值; (2)求tan(α-2β)的值,并确定α-2β的大小. 2.(2025·浙江杭州质量检测)在平面直角坐标系xOy中,锐角α、β的顶点为 坐标原点O,始边为x轴的正半轴,终边与单位圆O 的交点分别为P、Q.已 知点P 的横坐标为 210 ,点Q 的纵坐标为 55. (1)求sin(α+β)的值; (2)求α+2β的值. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·陕西商洛·质量检测)由倍角公式cos2θ=2cos2θ-1,可知cos2θ可以表示为cosθ的二 次多项式.对于cos3θ,我们有cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ-sin2θsinθ=(2cos2θ-1)cosθ- 2sin2θcosθ=2cos3θ-cosθ-2(1-cos2θ)cosθ=4cos3θ-3cosθ,可见cos3θ也可以表示成cosθ 的三次多项式.以上推理过程体现了数学中的逻辑推理和数学运算等核心素养,同时也蕴含了转 化和化归思想. (1)试用以上素养和思想方法将sin3θ表示成sinθ的三次多项式; (2)化简sin(60°-θ)sin(60°+θ)sinθ,并利用此结果求sin20°sin40°sin80°的值. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明思路不对 理解不够分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 67 — —96 — 【破题技巧】 根据余弦函数只能在半个周期内单调可得0<ω ≤2,再通过整体法确定ωx-π12 的取值范围,最后求解ω取值范 围即可. 9.D [对于选项AC:因为f(x)的最小正周期是T=π2 ,可知f(x) 在定义域内不单调,故AC错误;对于选项B:f(0)=tanπ3= 3≠ 0,可知f(x)不是奇函数,故B错误;对于选项D:令2x+π3= kπ 2 , k∈Z,解得x=kπ4- π 6 ,k∈Z,所以f(x)图像的对称中心是 kπ4- π 6 ,0 ,k∈Z,故D正确;故选D.] 10. 4kπ-43π,4kπ+83π (k∈Z) [函数y=3tan π6-x4 = -3tan x4-π6 ,由正切函数的性质知kπ-π2<x4-π6<kπ +π2 (k∈Z),解得4kπ-43π<x<4kπ+ 8 3π (k∈Z),所以函数的 单调递减区间为 4kπ-43π,4kπ+83π (k∈Z),故答案为: 4kπ -43π ,4kπ+83π (k∈Z).] 【破题技巧】 化简函数为y=-3tan x4-π6 ,由正切函数的 性质可求得函数的单调递减区间. 探究·一举突破 探究路径 (1)因为相邻两个零点的距离为π2 ,所以周期为π,所以2πω =π ,所 以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),函数f(x)=2sin(2x+φ)的图 象关于直线x=π3 对称,所以2sin 2×π3+φ =±1,所以2π3+φ =kπ+π2 ,k∈Z,所以φ=kπ- π 6 ,k∈Z,又-π2≤φ≤ π 2 ,所以φ =-π6 ; (2)所以f(x)=2sin 2x-π6 ,f α2 =23,所以2sin α-π6 = 2 3 ,所以sin α-π6 =13,因为α∈(0,π),所以-π6<α-π6<5π6, 又sin α-π6 =13,所以-π6<α-π6<π6, 所以cos α-π6 = 1-sin2 α-π6 =2 23 , cos α+3π2 =sinα=sin α-π6 +π6 =sin α-π6 cosπ6+ cos α-π6 sinπ6= 3+2 26 ; (3)因为f(x)=2sin 2x-π6 ,又x∈ 0,π2 , 则有-π6<2x- π 6< 5π 6 ,所以f(x)max=2, 由∀x∈ 0,π2 ,使得关于x的不等式f(x)≤m 成立, 所以m≥2,实数m 的取值范围为[2,+∞). 参考答案 (1)ω=2,φ=- π 6 (2)cos α+3π2 = 3+2 26 (3)实数m 的取值范围为[2,+∞) 综合·一练到底 1.解 (1)f(x)=2cos 2x+π3 +1,令-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ,k∈Z, 解得-23π+kπ≤x≤- π 6+kπ ,k∈Z, 所以函数的单调递增区间为 -23π+kπ,-π6+kπ ,k∈Z. (2)f(x)=2cos 2x+π3 +1,因为x∈ 0,π2 ,所以2x+π3∈ π3,4π3 ,可得cos 2x+π3 ∈ -1,12 ,则2cos 2x+π3 +1 ∈[-1,2],即函数f(x)在 0,π2 上的值域为[-1,2]. 【破题技巧】 (1)根据余弦函数的性质计算可得. (2)由x的取值范围求出2x+π3∈ π3,4π3 ,再根据余弦函数 的性质计算可得. 三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求 值域. (2)把sinx或cosx看作一个整体,转换成二次函数求值域. (3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值 域. 2.解 (1)由x2- π 3≠ π 2+kπ ,得x≠5π3+2kπ (k∈Z), ∴f(x)的定义域是 x x≠5π3+2kπ ,k∈Z , ∵ω=12 ,∴最小正周期T=πω= π 1 2 =2π, 由-π2+kπ< x 2- π 3< π 2+kπ (k∈Z),得-π3+2kπ<x< 5π 3+ 2kπ(k∈Z). ∴函数f(x)的单调增区间是 -π3+2kπ,5π3+2kπ (k∈Z). 所以函数f(x)定义域是 x x≠5π3+2kπ ,k∈Z ,最小正周期2π, 单调增区间是 -π3+2kπ,5π3+2kπ (k∈Z). (2)由-1≤tan x2-π3 ≤3,得-π4+kπ≤x2-π3≤π3+kπ(k∈Z). 解得π 6+2kπ≤x≤ 4π 3+2kπ (k∈Z). ∴ 不 等 式 - 1 ≤ f (x ) ≤ 3 的 解 集 是 x π6+2kπ≤x≤ 4π 3+2kπ ,k∈Z . (3)令x2- π 3=0 ,则x=2π3 ;令x 2- π 3= π 2 ,则x=5π3 ; 令x 2- π 3=- π 2 ,则x=-π3. ∴函数f(x)=tan x2-π3 的 图 像 与x 轴 的 一 个 交 点 坐 标 是 2π3,0 ,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x =-π3 ,x=5π3. 从而得函数y=f(x)在一个周期 -π3,5π3 内的简图如下: 选做·一飞冲天 解 (1)选条件①; 由题知,f(x)的最大值为2, 在 -π3,π6 上单调递增,f π6 =2,f -π12 =0, 则T 4= π 6- -π12 ,解得T=π,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ), 又f π6 =2,所以sin π3+φ =1,又|φ|<π2,所以φ=π6, 所以f(x)=2sin 2x+π6 ; 选条件②,因为∀a∈R,f(x)在区间[a,a+π]上至少有2个零点, 所以T≤π,又 因 为f(x)在 - π3,π6 上 单 调 递 增,所 以 T2≥ T 6- -π3 =π2,即T≥π,所以 T=π,ω=2,所以f(x)=2sin (2x+φ),又f π6 =2,所以sin π3+φ =1,又|φ|<π2,所以φ =π6 ,所以f(x)=2sin 2x+π6 ; (2)因为x∈ 0,π3 ,所以2x+π6∈ π6,5π6 ,则f(x)∈[1,2], 令t=f(x),则t2-mt+2≥0在t∈[1,2]内恒成立,即 m≤t+2t 在t∈[1,2]内恒成立,令g(t)=t+2t ,t∈[1,2],由基本不等式可 知t+2t≥2 2 ,当且仅当t=2t 时取等号,即t= 2, 所以实数m 的取值范围为(-∞,2 2]. 【技法点拨】 (1)选条件①,根据最值以及零点,结合单调性可 得T 4= π 6- -π12 ,即可求解ω=2,选择②,根据单调性以及 零点可得T=π,即可求解ω=2,即可求解解析式. (2)利用整体法,结合三角函数的性质可得f(x)∈[1,2],即可 利用换元法,即可分离参数,由基本不等式求解最值. 第十七周 三角恒等变换 考点·一应俱全 1.D [因为cosα=1213 ,α∈ - π2,0 ,则sinα=- 1-cos2α= -513 ,所以cos α-π4 =cosαcosπ4+sinαsin π4=1213× 22+ -513 × 22=7 226.故选D.] 2.3π4 [∵α,β∈ 0,π2 ,sinα=2 55 ,cosβ= 1010 ,∴cosα= 55, sinβ= 3 10 10 ,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 5 5× 10 10 - 2 5 5 × 3 10 10 =- 2 2. 又0<α+β<π,∴α+β= 3π 4. ] 【破题技巧】 根据角所在的象限,利用同角三角函数的基本关 系求出cosα= 55 ,sinβ= 3 10 10 ,再用两角和的余弦公式求解 即可. 3.6365 [∵cosα=35 ,0<α<π2 ,∴sinα=45. 又∵0<α<β< π 2 , ∴-π2<α-β<0 ,∴sin(α-β)=- 5 13 ,∴sinβ=sin[α-(α-β)]= sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= 4 5× 12 13- 3 5× -513 =6365.故 答案为:63 65. ] 【破题技巧】 根据题干条件,结合同角三角函数的关系可得 sinα=45 ,sin(α-β)=- 5 13 的值,根据两角和的正弦公式sinβ =sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β),化简整理 即可得答案. 4.-35 /-0.6 [由题意知,α+β∈ 3π2,2π ,又sin(α+β)=-35, 所以cos(α+β)= 4 5 ,因为sin β-π4 =2425,β-π4∈ π2,3π4 , 所以cos β-π4 =-725,所以sin α+π4 =sin (α+β)- β- π 4 =sin(α+β)cos β-π4 -cos(α+β)sin β-π4 =-35.故 答案为:-35. ] 【技法点拨】 (1)结合角的范围利用同角三角函数基本关系求 得cos(α+β)= 4 5 和cos β-π4 =-725,然后利用拼凑角思想 和两角差的正弦公式化简求值即可. (2)常见的角的变换:2α=(α+β)+(α-β),α= α+β 2 + α-β 2 ,π 3 +α=π2- π6-α ,α=(α+β)-β=(α-β)+β, π4+α + π4-α =π2等. 5.B [tan α + π4 =tan (α +β)- β - π4 = tan(α+β)-tan β-π4 1+tan(α+β)tan β-π4 ,将tan(α+β)= 2 5 ,tan β-π4 =14 代入,得原式= 2 5- 1 4 1+25× 1 4 =322. 故选B.] 【破题技巧】 先由α+π4= (α+β)- β-π4 ,再利用两角差 的正切公式进行求解即可. 6.- 32 [由题意知tan α+π3 = tanα+tanπ3 1-tanαtanπ3 =3 3,解得tanα = 35 ,∴tan α-π3 = tanα-tanπ3 1+tanαtanπ3 =- 32. 故答案为:- 32. ] 7.D [由于α∈ 0,π2 ,sinα=7 210,所以cosα= 1-sin2α= 210, 由于β∈ -π,-π2 ,cosβ=-2 55 ,所以sinβ=- 1-cos2β= - 55. 所 以tanα=sinαcosα=7 ,tanβ= sinβ cosβ = 12 ,所 以tan2β= 2tanβ 1-tan2β = 2×12 1-14 =43 ,由于α∈ 0,π2 ,β∈ -π,-π2 ,所以α +2β∈ -2π,- π2 ,由 于tan(α+2β)= tanα+tan2β1-tanαtan2β= 7+43 1-7×43 =-1,所以α+2β=- 5π 4. 故选D.] 【破题技巧】 根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解 tan(α+2β),再分析角度范围得到α+2β即可. 8.B [令x=π3-α ,cos π3-α =23,则cosx=23,令y=2α- π 6 ,则y=π2-2x ,所以sin 2α-π6 =siny=sin π2-2x = cos2x=2cos2x-1=2× 23 2 -1=-19. 故选B.] 【技法点拨】 利用换元法,令x=π3-α ,y=2α-π6 ,找到y与 x 的关系,然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 9.ACD [对于A,sin870°=sin(2×360°+150°)=sin150°=12 ,A 正确;对 于 B,sin15°cos15°= 12sin30°= 1 4 ,B错 误;对 于 C, cos40°cos20°-sin40°sin20°=cos(40°+20°)=cos60°=12 ,C正 确;对于D,tan22.5° 1-tan222.5° =12 · 2tan22.5° 1-tan222.5° =12tan45°= 1 2 , D正确.故选ACD.] 10.4 29 [因为α∈(0,π),cos α+π4 =13>0,所以α+π4∈ π4, π 2 ,则sin α+ π4 = 1-cos2 α+π4 =2 23 ,则cos2a= cos 2 α+π4 -π2 =sin2 α+π4 =2sin α+π4 ·cos α+ π 4 =4 29 .] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 95 — —98 — 探究·一举突破 探究路径 (1)依题意,f(x)=2sin2x+cos 2x- π3 -1,所以f π6 = 2sin2 π6+cos 2·π6-π3 -1=2×14+1-1=12. (2)f(x)=2sin2x+cos 2x-π3 -1=1-cos2x+12cos2x+ 3 2sin2x-1= 3 2sin2x- 1 2cos2x=sin 2x-π6 . 由于0≤x≤π2 ,所以-π6≤2x- π 6≤ 5π 6 , 当2x-π6=- π 6 ,x=0时,f(x)取得最小值为-12 , 当2x-π6= π 2 ,x=π3 时,f(x)取得最大值为1. (3)由上述分析可知f(x)=sin(2x-π6 ),由于0≤x≤π, 所以-π6≤2x- π 6≤ 11π 6 ,所以f(x)=sin 2x-π6 ∈[-1,1]. 依题意t<0,所以4-t>4,t-4<-4⇒-14< 1 t-4<0 , 由4f(x)-tf(x)+1=0得(4-t)f(x)+1=0, 则f(x)= -14-t= 1 t-4 ,画出f(x)=sin 2x-π6 在区间[0,π]上 的图象如下图所示, 由于f(0)=f(π)=-12 ,-14< 1 t-4<0 , 结合图象可知方程4f(x)-tf(x)+1=0有2个根. 参考答案 (1)12 (2)最小值为-12 ,最大值为1 (3)2个根 综合·一练到底 1.解 (1)∵0<α<π2 ,-π2<β<0 ,cosα= 210 ,sinβ=- 5 5 , ∴sinα= 1-cos2α=7 210 ,cosβ= 1-sin2β= 2 5 5 , ∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 2 10× 2 5 5 + 7 2 10 × - 55 =- 1010 ; (2)由(1)得tanα=sinαcosα=7 ,tanβ= sinβ cosβ = - 12 ,tan2β= 2tanβ 1-tan2β = 2× -12 1- -12 2=- 4 3 , ∴tan(α-2β)= tanα-tan2β 1+tanαtan2β = 7- -43 1+7× -43 =-1, 由0<α<π2 ,-π2<β<0 得0<α-2β< 3π 2 ,∴α-2β= 3π 4. 【破题技巧】 (1)先通过条件求出sinα,cosβ,再利用两角差的 余弦公式计算cos(α-β)即可; (2)通过(1)求出tanα,tan2β,再利用两角差的正切公式计算 tan(α-2β)即可. 2.解 (1)利用三角函数的定义可得cosα= 210 ,sinβ= 5 5 , 又α、β是锐角,所以sinα= 2-cos2α= 7 2 10 ,cosβ= 1-sin2β =2 55 ,所以,sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 3 10 10 . (2)因为sin2β=2sinβcosβ= 4 5 ,cos2β=2cos 2 β-1= 3 5>0 , 又β是锐角,则0<2β<π,所以0<2β< π 2 , 又因为0<α<π2 ,则0<α+2β<π, 而cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=- 2 2 ,所以α+2β= 3π 4. 【破题技巧】 (1)利用三角函数的定义以及同角三角函数的基 本关系可求得α、β的正弦值、余弦值,利用两角和的正弦公式可 求得sin(α+β)的值; (2)求出2β的正弦值、余弦值,利用两角和的余弦公式可求得α +2β的余弦值,求出α+2β的取值范围,即可求得结果. 选做·一飞冲天 解 (1)sin3θ=sin(2θ+θ)=sin2θcosθ+cos2θsinθ =2sinθcos2θ+(1-2sin2θ)sinθ=2sinθ(1-sin2θ)+sinθ-2sin3θ =3sinθ-4sin3θ. (2)sin(60°-θ)sin(60°+θ)sinθ= 32cosθ-12sinθ 32cosθ+ 1 2sinθ sinθ = 34cos2θ-14sin2θ sinθ= 34-34sin2θ-14sin2θ sinθ= 3 4sinθ-sin 3θ=14 (3sinθ-4sin3θ) 从而sin(60°-θ)sin(60°+θ)sinθ=14sin3θ , 故sin20°sin40°sin80°=sin20°sin(60°-20°)sin(60°+20°)= 1 4sin (3×20°)=14× 3 2= 3 8. 第十八周 函数y=Asin(ωx+φ) 考点·一应俱全 1.C [由y=2sin 2x+π6 =2sin2 x+π12 ,因此y=2sin2x向左 平行π 12 个单位得到y=2sin 2x+π6 图象,故选C.] 2.B [y=cos 2x-2π3 =cos 2x-π6-π2 =sin 2x-π6 ,将函 数向左平移π 4 个单位得:y=sin 2 x+ π4 - π6 =sin 2x+ π 3 .故选B.] 3.D [由于函数y=sinx2=cos x2-π2 =cos 12 x-π2 - π 4 ,故只需将函数y=cos x2-π4 的图象向右平移π2可得函 数y=sinx2 的图象.故选D.] 【破题技巧】 将y=sinx2 整理成y=cos 12 x-π2 -π4 , 然后利用平移变换即可求解. 4.C [因为y=cos 2 x-π10 +π5 =cos2x,所以只需将函数y =cos 2x+π5 的图象向右平移π10个单位长度即可得到函数y= cos2x的图象.故选C.] 5.A [函数y=sin(2x+φ)的图象沿轴向左平移 π 8 个单位后,得到 函数y=sin 2 x+π8 +φ ,函数关于奇函数,所以当x=0时, π 4+φ=kπ ,k∈Z,解得:φ=- π 4+kπ ,k∈Z,当k=1时,φ= 3π 4. 故选A.] 【破题技巧】 (1)由y=sinωx的图象到y=sin(ωx+φ)(ω>0, φ>0)的图象的变换:向左平移 φω 个单位长度而非φ 个单位 长度. (2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致,那么应先 利用诱导公式化为同名函数,ω为负时应先变成正值. 6.B [由函数的图象可得,函数的周期T=2 7π8-3π8 =π,则2πω = π,所以ω=2,函数图象过点 3π8,0 ,则sin 2×3π8+φ =0,所以 3π 4+φ=π+2kπ ,k∈Z,即φ= π 4+2kπ ,k∈Z,又0<φ< π 2 ,所以φ =π4. 故选B.] 7.C [由题意得,A=2,T=4 π3-π12 =π,所以ω=2,故f(x)= 2sin(2x+φ),因为2× π 12+φ= π 2+2kπ ,k∈Z,因为|φ|< π 2 ,所以 φ= π 3 ,f(x)=2sin 2x+π3 ,A正确;因为2×7π12+π3=3π2,此 时f(x)取得最小值,B正确;当-2π3≤x≤- π 6 时,-π≤2x+π3 ≤0,此时f(x)不单调,C错误;因为f -π6 =2sin0=0,D正 确.故选C.] 8.BC [观察图象得,A=2,由f(0)=1,得sinφ= 1 2 ,而0<φ<π, 解得φ= π 6 或φ= 5π 6 ,函数f(x)的最小正周期T=2πω ,而T 4< 5π 12 且T 2> 5π 12 ,于是π 2ω< 5π 12 且π ω> 5π 12 ,解得6 5<ω< 12 5 ,又f 5π12 = 0,且x=5π12 是函数f(x)递减区间上的零点,则5π12ω+φ=π+2kπ ,k ∈Z,当φ= π 6 时,ω=2+245k ,k∈Z,则k=0,ω=2;当φ= 5π 6 时,ω =25+ 24 5k ,k∈Z,无 解,因 此φ= π 6 ,ω=2,f(x)=2sin 2x+ π 6 ,A错 误;对 于 B,g(x)=f x- π3 =2sin 2x- π2 = -2cos2x,g(-x)=-2cos(-2x)=-2cos2x=g(x),g(x)为偶 函数,B正确;对于C,f(x)=2sin 2x- π3+ π2 =2cos 2x- π 3 ,C正确;对于D,当x∈ π6,π2 时,2x+π6∈ π2,7π6 ,sin 2x+π6 ∈ -12,1 ,f(x)∈[-1,2],D错误.故选BC.] 9.-1 [由图象得f(x)max=2,从而A=2,f(x)的图象上的所有点 向左平移π 12 个单位长度后图象关于原点对称,得函数f(x)的图象 过点 π12,0 ,所以结合图象知7π12-π12=π2=T2,所以T=2π|ω|= π,故ω=2,又π12×2+φ=2kπ ,k∈Z,则φ=2kπ- π 6 ,k∈Z,结合 |φ|< π 2 ,得φ=- π 6 ,所 以f(x)=2sin 2x- π6 ,a=f(0)= 2sin -π6 =-1.] 【技法点拨】 根据图象最大值得到A=2,由向左平移π12 个单 位长度后图象关于原点对称,得过 π12,0 ,结合图象过 7π12, 0 得到T=2π|ω|=π,故ω=2,φ=-π6,从而f(x)=2sin 2x- π 6 ,由a=f(0)得到a的值. 10.3π2 π 4 [①由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的部分图象可得函数的 图象经过点(0,1),故有2sinφ=1,结合图象由五点法可得φ= π 6 ,f(x)=2sin ωx+ π6 .再 把 点 3π4,-1 代 入,可 得 2sin 3ωπ4 +π6 =-1,即sin 3ωπ4 +π6 =-12.结合图象由五 点法可得3ωπ 4 + π 6= 7π 6 ,∴ω=43 ,故函数f(x)=2sin 43x+ π 6 的最小正周期为2π4 3 =3π2 ;②将函数f(x)=2sin 43x+π6 的图象向左平移t(t>0)个单位长度,得到函数g(x)=2sin 43x +4t3+ π 6 的图象,若函数g(x)为偶函数,则4t3+π6=kπ+π2 (k∈Z),即t=3kπ4 + π 4 ,k∈Z.则正数t的最小值是π4 ,此时,k= 0.故答案为:3π2 ;π 4. ] 探究·一举突破 探究路径 (1)因为f(x)=2cosx(3sinx+cosx)-1 =2 3sinxcosx+2cos2x-1= 3sin2x+2·1+cos2x2 -1 = 3sin2x+cos2x=2 32sin2x+12cos2x =2sin 2x+π6 , 所以函数y=f(x)的最小正周期为T=2π2=π. (2)将函数y=f(x)的图象的横坐标缩小为原来的12 , 可得到函数y=2sin 4x+π6 的图象, 再将y=2sin 4x+π6 的函数图象向右平移π8个单位,最后得到 函数y=g(x)的图象,则g(x)=2sin 4 x-π8 +π6 =2sin 4x -π3 ,令4x-π3=kπ,得x=kπ4+π12(k∈Z), 所以对称中心为 kπ4+π12,0 ,(k∈Z). (3)当0≤x≤π4 时,-π3≤4x- π 3≤ 2π 3 , 则- 32≤sin 4x-π3 ≤1,所以- 3≤g(x)≤2, 所以g(x)在区间 0,π4 上的值域为[- 3,2]. 由|g(x)-m|≤2,得 m-2≤g(x)≤m+2,由|g(x)-m|≤2在 0,π4 上恒成立,得 m-2≤- 3m+2≥2 ,解得0≤m≤2- 3, ∴实数m 的取值范围为[0,2- 3]. 参考答案 (1)T=π (2) kπ4+π12,0 ,(k∈Z) (3)[0,2- 3] 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx=sinωxcosωx+cos2ωx =12sin2ωx+ 1 2 (1+cos2ωx)= 22 22sin2ωx+ 22cos2ωx +12 = 22sin 2ωx+π4 +12(ω>0), 又由题T 4= π 4 ,所以1 4× 2π 2ω= π 4⇒ω=1 , 所以f(x)= 22sin 2x+π4 +12,令2kπ-π2≤2x+π4≤2kπ+ π 2 ,k∈Z,则kπ-3π8≤x≤kπ+ π 8 ,k∈Z, 所以函数f(x)的单调递增区间为 kπ-3π8,kπ+π8 ,k∈Z. (2)由(1)f(x)= 22sin 2x+π4 +12, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 97 —