第16周 三角函数的图像与性质-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 62 — 第十六周 三角函数的图像与性质 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第8题.该题主要考查三角函数的解析式、三角函数的基本性质,题目设置紧扣概 念,考查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 正弦函数、余弦函数的图象 利用图象解三角不等式 1.(2025·内蒙古通辽·阶段练习)在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x 的取值范围为 ( ) A. π4,π B. π4,π2 ∪ π,5π4 C. π4,5π4 D. π4,π2 ∪ 3π4,5π4 2.(2025·上海·专题练习)在[0,2π]内,不等式sinx<- 32 的解集是 . 考点二 利用图象求方程的解或函数零点的个数问题 3.(2025·四川成都·质量检测)已知函数f(x)=-cos3x和g(x)=sin x-π6 ,则这两个函数图 象在x∈[0,2π]的交点个数为 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 考点三 三角函数的周期问题及简单应用 4.(多选)(2025·全国·专题练习)下列函数中周期为π,且为偶函数的是 ( ) A.y=|cosx| B.y=sin2x C.y=sin 2x+π2 D.y=cos12x 考点四 三角函数的奇偶性及其应用 5.(2025·上海徐汇·质量检测)已知函数y= 3cos(x+θ)(-π≤θ≤0)是奇函数,则θ= . 考点五 三角函数的单调性及其应用 6.(2025·全国专题练习)求函数y=sin π3-x 的单调递增区间 . 7.(多选)(2025·辽宁抚顺·质量检测)若函数f(x)=cos ωx-π12 (ω>0)在 π6,2π3 上单调,则ω 的取值可能为 ( ) A.116 B. 1 8 C. 3 8 D. 7 4 考点六 函数奇偶性与周期性、单调性,对称性的综合问题 8.(多选)(2025·全国质量检测)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2 在 π4,2π 上单调, 且有f -π6 =f π2 =-f 11π6 ,则 ( ) A.直线x=π6 是f(x)图像的一条对称轴 B.f(x)的最小正周期为4π C.点 5π3,0 是f(x)图像的一个对称中心 D.f 2π3 = 2 考点七 正切函数的性质与图象 9.(2025·陕西咸阳·阶段练习)已知函数f(x)=tan 2x+π3 ,则下列说法正确的是 ( ) A.f(x)在定义域内是增函数 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的最小正周期是π D.f(x)图像的对称中心是 kπ4-π6,0 ,k∈Z 10.(2025·全国·专题练习)y=3tan π6-x4 的单调递减区间为 . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 三角函数中的恒(能)成立问题 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ), ω>0,-π2≤φ≤π2 的图象关于直线x=π3对称,且相邻两个零点 的距离为π 2. 探究问题: (1)求ω和φ 的值. (2)若α∈(0,π),f α2 =23,求cos α+3π2 的值. (3)若∀x∈ 0,π2 ,使得关于x的不等式f(x)≤m 成立,求实数m 的取值范围. — 61 — — 64 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·河南南阳·质量检测)已知函数f(x)=2cos 2x+π3 +1. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)求f(x)在 0,π2 上的值域. 2.(2025·上海专题练习)设函数f(x)=tan x2-π3 . (1)求函数f(x)的定义域、最小正周期和单调区间; (2)求不等式-1≤f(x)≤ 3的解集; (3)作出函数y=f(x)在一个周期内的简图. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·江西萍乡·质量检测)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2 在区间 -π3,π6 上 单调递增,f π6 =2,且 .从下列两个条件中选择一个补充在题中的横线上,再解答. ①f -π12 =0;②∀a∈R,f(x)在区间[a,a+π]上至少有2个零点. (1)求函数f(x)的解析式; (2)对任意的x∈ 0,π3 ,f2(x)-mf(x)+2≥0恒成立,求实数m 的取值范围. 【注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.】 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 63 — —94 — -cosπ3+tan π 6=- 3 2- 1 2+ 3 3=- 1 2- 3 6. 故答案为:-12 - 36. ] 3.D [因为sin α- π6 =13,所以sin α+5π6 =sin π+ α- π 6 =-sin α-π6 =-13.故选D.] 4.-2 23 /-23 2 [cos 2π3+θ =cos θ-π3 +π =-cos θ- π 3 .∵θ∈ 0,π2 ,∴θ-π3∈ -π3,π6 ,∴cos θ-π3 >0, 则cos θ- π3 = 1-sin2 θ-π3 =2 23 ,∴cos 2π3 +θ = -2 23 . 故答案为:-2 23 . ] 5.-54 [ cos π2-α -2cos(π-α) sin(π+α)-sin π2+α =sinα+2cosα-sinα-cosα= tanα+2 -tanα-1 = 3+2-3-1=- 5 4 ,故答案为:-54. ] 6.-34 /-0.75 [因为P(-4,3)是角α终边上一点,所以tanα= -34 ,原 式 =sinα (-cosα)tanα cosα(-sinα) =tanα= - 3 4 ,故 答 案 为: -34. ] 7.- 15 /-0.2 [由tan(α-7π)= - 34 ,得tanα= - 34 ,则 sinα cosα=- 3 4 sin2α+cos2α=1 ,由α∈ π2,3π2 ,得α∈ π2,π ,即sinα>0, cosα<0,解得sinα=35 ,cosα=-45 ,所以sinα+cosα=-15. 故答案为:-15. ] 8.ABC [对 于 A, cosx1+sinx = cosx(1-sinx) (1+sinx)(1-sinx) = cosx(1-sinx) 1-sin2x =cosx (1-sinx) cos2x =1-sinxcosx ,故 A正 确;对 于 B,1+sin 2x sinxcosx = (sin2x+cos2x)+sin2x sinxcosx = cos2x+2sin2x sinxcosx = 1+2tan2x tanx ,故B正确;对于C,sin(53°-x)=sin[90°-(37°+x)] =cos(37°+x),故C正确;对于D,cos(480°+x)=cos(120°+x) =cos[180°- (60°-x)]= -cos(60°-x),故 D 错 误.故 选ABC.] 9.AC [对于A,sin(A+B)-sinC=sinC-sinC=0,A正确;对于 B,cos(B+C)-cosA=-cosA-cosA=-2cosA,B错误;对于 C, sinA+B2 cosC2 = sin π2-C2 cosC2 = cosC2 cosC2 =1,C 正 确;对 于 D, cosB+C2 cosA2 = cos π2-A2 cosA2 = sinA2 cosA2 =tanA2 ,D错误.故选AC.] 10.直角三角形 [求出A=B+C=π2 ,即可确定出三角形形状 ∵A+B+C=π,∴A2= π 2- B+C 2 ,∴sinA2=sin π2-B+C2 =cosB+C2 =sin B+C 2 ,即tanB+C2 =1 ,又B+C 2 ∈ (0,π), ∴B+C2 = π 4 ,即A=B+C=π2 ,则△ABC 为直角三角形.故答 案为:直角三角形.] 【破题技巧】 根据三角形内角和定理得到A+B+C=π,利用 诱导公式化简,得到tanB+C2 =1. 探究·一举突破 探究路径 (1)因为sinx+cosx=15 , 所以(sinx+cosx)2=125 ,即sin2x+cos2x+2sinxcosx=125 , 即1+2sinxcosx=125 ,所以2sinxcosx=-2425<0 , 又0∈(0,π),则sinx>0,所以cosx<0,所以x∈ π2,π , 所以sinx-cosx>0, 则sinx-cosx= (sinx-cosx)2= (sinx+cosx)2-4sinxcosx = 15 2 -2× -2425 =75, 所以sinx=45 ,cosx=-35 ,则tanx=sinxcosx=- 4 3. (2)因为tanx=-43 , 所以 sin(π-x)+2cos(π+x) sin π2+x +cos π2-x =sinx-2cosxcosx+sinx= tanx-2 1+tanx = -43-2 1+ -43 =10. 参考答案 (1)-43 (2)10 综合·一练到底 1.解 (1)依题意,r=|OP|= 45 2 + -35 2 =1, 则sinα=-35 ,cosα=45 ,tanα=-34 , 所以原式= sinα-sinα · tanα -cosα= tanα cosα= -34 4 5 =-1516. (2)由(1)知,tanα=-34 ,所以原式= sin 3α-5cos3α -3cos3α+sin2α·cosα = tan3α-5 -3+tan2α = -34 3 -5 -3+ -34 2= 347 156. 2.解 (1)f(α)= sin(π-α)cos π2-α cos(2π+α)sin(-π-α)= sinα×sinα cosα×sinα=tanα 若角α的终边过点P(3,4),则tanα=43 ,所以f(α)=tanα=43 (2)若 f (α)=tanα =2,所 以 4sin2α -3sinαcosα = 4sin2α-3sinαcosα sin2α+cos2α =4tan 2α-3tanα tan2α+1 =16-64+1=2. 选做·一飞冲天 解 (1)若 选 条 件 ①,则sinα= -4 32+(-4)2 =- 45 ,cosα= 3 32+(-4)2 =35 ,tanα=-43 ,所以 tan(π-α) sin(π+α)-cos π2-α = -tanα -sinα-sinα= tanα 2sinα= -43 -85 =56 ; 若选条件②,则由角α满足cosα=35 ,且角α为第四象限角,得 sinα=- 1-cos2α= 1-925=- 4 5 ,tanα=sinαcosα=- 4 3 , 所 以 tan(π-α) sin(π+α)-cos π2-α = -tanα-sinα-sinα= tanα 2sinα= -43 -85 =56 ; 若选条件③,则由10sin2α-15cos2α=1,得10(1-cos2α)-15cos2α=1, 化简得25cos2α=9,得cos2α=925 , 因为α∈ -π2,0 ,所以cosα=35,所以sinα=- 1-cos2α= - 1-925 = - 4 5 ,tan α = sinαcosα = - 4 3 , 所 以 tan(π-α) sin(π+α)-cos π2-α = -tanα-sinα-sinα= tanα 2sinα= -43 -85 =56 ; (2)若选条件①,由(1)知sinα=-45 ,cosα=35 , 所以cos2α+sinαcosα+1= 35 2 + -45 ×35+1=2225; 若选条件②,由(1)知sinα=-45 ,cosα=35 , 所以cos2α+sinαcosα+1= 35 2 + -45 ×35+1=2225; 若选条件③,由(1)知sinα=-45 ,cosα=35 , 所以cos2α+sinαcosα+1= 35 2 + -45 ×35+1=2225. 第十六周 三角函数的图像与性质 考点·一应俱全 1.C [作出函数y=sinx和y=cosx在(0,2π)内的图象, , ∵sinx>cosx,∴函数y=sinx的图象在函数y=cosx的图象上 方的区间就是sinx>cosx的解集,即为 π4,5π4 .故选C.] 【破题技巧】 作出函数y=sinx和y=cosx在(0,2π)内的图 象,根据图象直接观察得到答案. 2. 4π3,5π3 [画出y=sinx,x∈[0,2π]的草图如下: 当x∈[0,2π]时,由sinx<0,得x∈(π,2π),又sin4π3=sin 5π 3= - 32 ,观察图象,当sinx<- 32 时,4π 3<x< 5π 3 ,所以不等式sinx <- 32 的解集是 4π3,5π3 .故答案为: 4π3,5π3 .] 3.D [因为f(x)=-cos3x的最小正周期T1= 2π 3 ,g(x)=sin x- π 6 的最小正周期T2=2π,画出函数f(x)=-cos3x 与g(x)= sin x-π6 在x∈[0,2π]上的图象如下所示: 由图可知,两函数图象有6个交点.故选D.] 4.AC [对于A,因为|cos(x+π)|=|-cosx|=|cosx|,所以y= |cosx|的周期为π,因为|cos(-x)|=|cosx|,所以y=|cosx| 是偶函数,A符合题意;对于B,y=sin2x是奇函数,B不合题意; 对于D,y=cos12x 的周期为2π 1 2 =4π,所以D不合题意;对于C,y =sin 2x+ π2 =cos2x,因 为cos(-2x)=cos2x,所 以y= sin 2x+π2 是偶函数,因为y=sin 2x+π2 =cos2x的周期是 2π 2=π ,C符合题意.故选AC.] 【破题技巧】 根据周期的定义以及奇偶性的定义判断 A;根据 y=sin2x是奇函数,y=cos12x 的周期为4π,分别判断BD;化 简y=sin 2x+π2 =cos2x,再判断C. 5.-π2 [由题意可知:y=3cos(x+θ)关于原点对称,可知θ=kπ+π2 , k∈Z,且-π≤θ≤0,所以k=-1,θ=-π2. 故答案为:-π2. ] 【技法点拨】 根据函数对称性解得θ=kπ+π2 ,k∈Z,结合题中 θ的范围分析求解. 6. 5π6+2kπ,11π6 +2kπ ,k∈Z [y=sin π3-x =-sin x- π 3 ,令z=x-π3,又y=-sinz的单调递增区间是 π2+2kπ, 3π 2+2kπ ,k∈Z,∴令π2+2kπ≤x-π3≤3π2+2kπ,k∈Z,得5π6+ 2kπ≤x≤11π6 +2kπ ,k∈Z,∴函数y=sin π3-x 的单调递增区 间为 5π6+2kπ,11π6 +2kπ ,k∈Z.] 【破题技巧】 已知三角函数解析式求单调区间 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调 区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω <0,可先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. 7.AB [由题意函数f(x)的最小正周期为 T=2πω ,因为函数f(x) 在区间 π6,2π3 上单调,可得2π3-π6≤πω,则0<ω≤2.因为x∈ π6,2π3 ,所以ωx-π12∈ ωπ6-π12,2ωπ3 -π12 .因为0<ω≤2,所 以- π12< ωπ 6 - π 12≤ π 4. 因 为 f(x)在 π6,2π3 上 单 调,所 以 ωπ 6- π 12≤0 , 2ωπ 3 - π 12≤0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 ωπ 6- π 12≥0 , 2ωπ 3 - π 12≤π 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得0<ω≤18或 1 2≤ω≤ 13 8. 故 选AB.] 8.ABD [因为函数f(x)=2cos(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2 在 π4, 2π 上单调,所以f(x)的最小正周期 T≥2 2π-π4 =7π2,又因 为f π2 =-f 11π6 ,所以函数f(x)的图像关于点 π 2+ 11π 6 2 , 0 ,即点 7π6,0 对称,由f -π6 =f π2 及T≥7π2,知f(x)的 图像关于直线x= -π6+ π 2 2 = π 6 对称,所以f(x)的最小正周期T =4 7π6- π6 =4π,从 而ω=2πT = 12,故 A,B正 确;因 为 函 数 f(x)的图像的一条对称轴为直线x=π6 ,所以π 12+φ=kπ ,k∈Z, 解得φ=- π 12+kπ ,k∈Z,又|φ|< π 2 ,所以φ=- π 12 ,所以f(x)= 2cos 12x-π12 ,所以f 5π3 =2cos 5π6-π12 =2cos3π4≠0, f 2π3 =2cos π3- π12 =2cos π4= 2,故 C错 误,D正 确.故 选ABD.] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 93 — —96 — 【破题技巧】 根据余弦函数只能在半个周期内单调可得0<ω ≤2,再通过整体法确定ωx-π12 的取值范围,最后求解ω取值范 围即可. 9.D [对于选项AC:因为f(x)的最小正周期是T=π2 ,可知f(x) 在定义域内不单调,故AC错误;对于选项B:f(0)=tanπ3= 3≠ 0,可知f(x)不是奇函数,故B错误;对于选项D:令2x+π3= kπ 2 , k∈Z,解得x=kπ4- π 6 ,k∈Z,所以f(x)图像的对称中心是 kπ4- π 6 ,0 ,k∈Z,故D正确;故选D.] 10. 4kπ-43π,4kπ+83π (k∈Z) [函数y=3tan π6-x4 = -3tan x4-π6 ,由正切函数的性质知kπ-π2<x4-π6<kπ +π2 (k∈Z),解得4kπ-43π<x<4kπ+ 8 3π (k∈Z),所以函数的 单调递减区间为 4kπ-43π,4kπ+83π (k∈Z),故答案为: 4kπ -43π ,4kπ+83π (k∈Z).] 【破题技巧】 化简函数为y=-3tan x4-π6 ,由正切函数的 性质可求得函数的单调递减区间. 探究·一举突破 探究路径 (1)因为相邻两个零点的距离为π2 ,所以周期为π,所以2πω =π ,所 以ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ),函数f(x)=2sin(2x+φ)的图 象关于直线x=π3 对称,所以2sin 2×π3+φ =±1,所以2π3+φ =kπ+π2 ,k∈Z,所以φ=kπ- π 6 ,k∈Z,又-π2≤φ≤ π 2 ,所以φ =-π6 ; (2)所以f(x)=2sin 2x-π6 ,f α2 =23,所以2sin α-π6 = 2 3 ,所以sin α-π6 =13,因为α∈(0,π),所以-π6<α-π6<5π6, 又sin α-π6 =13,所以-π6<α-π6<π6, 所以cos α-π6 = 1-sin2 α-π6 =2 23 , cos α+3π2 =sinα=sin α-π6 +π6 =sin α-π6 cosπ6+ cos α-π6 sinπ6= 3+2 26 ; (3)因为f(x)=2sin 2x-π6 ,又x∈ 0,π2 , 则有-π6<2x- π 6< 5π 6 ,所以f(x)max=2, 由∀x∈ 0,π2 ,使得关于x的不等式f(x)≤m 成立, 所以m≥2,实数m 的取值范围为[2,+∞). 参考答案 (1)ω=2,φ=- π 6 (2)cos α+3π2 = 3+2 26 (3)实数m 的取值范围为[2,+∞) 综合·一练到底 1.解 (1)f(x)=2cos 2x+π3 +1,令-π+2kπ≤2x+π3≤2kπ,k∈Z, 解得-23π+kπ≤x≤- π 6+kπ ,k∈Z, 所以函数的单调递增区间为 -23π+kπ,-π6+kπ ,k∈Z. (2)f(x)=2cos 2x+π3 +1,因为x∈ 0,π2 ,所以2x+π3∈ π3,4π3 ,可得cos 2x+π3 ∈ -1,12 ,则2cos 2x+π3 +1 ∈[-1,2],即函数f(x)在 0,π2 上的值域为[-1,2]. 【破题技巧】 (1)根据余弦函数的性质计算可得. (2)由x的取值范围求出2x+π3∈ π3,4π3 ,再根据余弦函数 的性质计算可得. 三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y=Asin(ωx+φ)的形式求 值域. (2)把sinx或cosx看作一个整体,转换成二次函数求值域. (3)利用sinx±cosx和sinxcosx的关系转换成二次函数求值 域. 2.解 (1)由x2- π 3≠ π 2+kπ ,得x≠5π3+2kπ (k∈Z), ∴f(x)的定义域是 x x≠5π3+2kπ ,k∈Z , ∵ω=12 ,∴最小正周期T=πω= π 1 2 =2π, 由-π2+kπ< x 2- π 3< π 2+kπ (k∈Z),得-π3+2kπ<x< 5π 3+ 2kπ(k∈Z). ∴函数f(x)的单调增区间是 -π3+2kπ,5π3+2kπ (k∈Z). 所以函数f(x)定义域是 x x≠5π3+2kπ ,k∈Z ,最小正周期2π, 单调增区间是 -π3+2kπ,5π3+2kπ (k∈Z). (2)由-1≤tan x2-π3 ≤3,得-π4+kπ≤x2-π3≤π3+kπ(k∈Z). 解得π 6+2kπ≤x≤ 4π 3+2kπ (k∈Z). ∴ 不 等 式 - 1 ≤ f (x ) ≤ 3 的 解 集 是 x π6+2kπ≤x≤ 4π 3+2kπ ,k∈Z . (3)令x2- π 3=0 ,则x=2π3 ;令x 2- π 3= π 2 ,则x=5π3 ; 令x 2- π 3=- π 2 ,则x=-π3. ∴函数f(x)=tan x2-π3 的 图 像 与x 轴 的 一 个 交 点 坐 标 是 2π3,0 ,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x =-π3 ,x=5π3. 从而得函数y=f(x)在一个周期 -π3,5π3 内的简图如下: 选做·一飞冲天 解 (1)选条件①; 由题知,f(x)的最大值为2, 在 -π3,π6 上单调递增,f π6 =2,f -π12 =0, 则T 4= π 6- -π12 ,解得T=π,ω=2,所以f(x)=2sin(2x+φ), 又f π6 =2,所以sin π3+φ =1,又|φ|<π2,所以φ=π6, 所以f(x)=2sin 2x+π6 ; 选条件②,因为∀a∈R,f(x)在区间[a,a+π]上至少有2个零点, 所以T≤π,又 因 为f(x)在 - π3,π6 上 单 调 递 增,所 以 T2≥ T 6- -π3 =π2,即T≥π,所以 T=π,ω=2,所以f(x)=2sin (2x+φ),又f π6 =2,所以sin π3+φ =1,又|φ|<π2,所以φ =π6 ,所以f(x)=2sin 2x+π6 ; (2)因为x∈ 0,π3 ,所以2x+π6∈ π6,5π6 ,则f(x)∈[1,2], 令t=f(x),则t2-mt+2≥0在t∈[1,2]内恒成立,即 m≤t+2t 在t∈[1,2]内恒成立,令g(t)=t+2t ,t∈[1,2],由基本不等式可 知t+2t≥2 2 ,当且仅当t=2t 时取等号,即t= 2, 所以实数m 的取值范围为(-∞,2 2]. 【技法点拨】 (1)选条件①,根据最值以及零点,结合单调性可 得T 4= π 6- -π12 ,即可求解ω=2,选择②,根据单调性以及 零点可得T=π,即可求解ω=2,即可求解解析式. (2)利用整体法,结合三角函数的性质可得f(x)∈[1,2],即可 利用换元法,即可分离参数,由基本不等式求解最值. 第十七周 三角恒等变换 考点·一应俱全 1.D [因为cosα=1213 ,α∈ - π2,0 ,则sinα=- 1-cos2α= -513 ,所以cos α-π4 =cosαcosπ4+sinαsin π4=1213× 22+ -513 × 22=7 226.故选D.] 2.3π4 [∵α,β∈ 0,π2 ,sinα=2 55 ,cosβ= 1010 ,∴cosα= 55, sinβ= 3 10 10 ,∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 5 5× 10 10 - 2 5 5 × 3 10 10 =- 2 2. 又0<α+β<π,∴α+β= 3π 4. ] 【破题技巧】 根据角所在的象限,利用同角三角函数的基本关 系求出cosα= 55 ,sinβ= 3 10 10 ,再用两角和的余弦公式求解 即可. 3.6365 [∵cosα=35 ,0<α<π2 ,∴sinα=45. 又∵0<α<β< π 2 , ∴-π2<α-β<0 ,∴sin(α-β)=- 5 13 ,∴sinβ=sin[α-(α-β)]= sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)= 4 5× 12 13- 3 5× -513 =6365.故 答案为:63 65. ] 【破题技巧】 根据题干条件,结合同角三角函数的关系可得 sinα=45 ,sin(α-β)=- 5 13 的值,根据两角和的正弦公式sinβ =sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β),化简整理 即可得答案. 4.-35 /-0.6 [由题意知,α+β∈ 3π2,2π ,又sin(α+β)=-35, 所以cos(α+β)= 4 5 ,因为sin β-π4 =2425,β-π4∈ π2,3π4 , 所以cos β-π4 =-725,所以sin α+π4 =sin (α+β)- β- π 4 =sin(α+β)cos β-π4 -cos(α+β)sin β-π4 =-35.故 答案为:-35. ] 【技法点拨】 (1)结合角的范围利用同角三角函数基本关系求 得cos(α+β)= 4 5 和cos β-π4 =-725,然后利用拼凑角思想 和两角差的正弦公式化简求值即可. (2)常见的角的变换:2α=(α+β)+(α-β),α= α+β 2 + α-β 2 ,π 3 +α=π2- π6-α ,α=(α+β)-β=(α-β)+β, π4+α + π4-α =π2等. 5.B [tan α + π4 =tan (α +β)- β - π4 = tan(α+β)-tan β-π4 1+tan(α+β)tan β-π4 ,将tan(α+β)= 2 5 ,tan β-π4 =14 代入,得原式= 2 5- 1 4 1+25× 1 4 =322. 故选B.] 【破题技巧】 先由α+π4= (α+β)- β-π4 ,再利用两角差 的正切公式进行求解即可. 6.- 32 [由题意知tan α+π3 = tanα+tanπ3 1-tanαtanπ3 =3 3,解得tanα = 35 ,∴tan α-π3 = tanα-tanπ3 1+tanαtanπ3 =- 32. 故答案为:- 32. ] 7.D [由于α∈ 0,π2 ,sinα=7 210,所以cosα= 1-sin2α= 210, 由于β∈ -π,-π2 ,cosβ=-2 55 ,所以sinβ=- 1-cos2β= - 55. 所 以tanα=sinαcosα=7 ,tanβ= sinβ cosβ = 12 ,所 以tan2β= 2tanβ 1-tan2β = 2×12 1-14 =43 ,由于α∈ 0,π2 ,β∈ -π,-π2 ,所以α +2β∈ -2π,- π2 ,由 于tan(α+2β)= tanα+tan2β1-tanαtan2β= 7+43 1-7×43 =-1,所以α+2β=- 5π 4. 故选D.] 【破题技巧】 根据二倍角的正切公式与两角和的正切公式求解 tan(α+2β),再分析角度范围得到α+2β即可. 8.B [令x=π3-α ,cos π3-α =23,则cosx=23,令y=2α- π 6 ,则y=π2-2x ,所以sin 2α-π6 =siny=sin π2-2x = cos2x=2cos2x-1=2× 23 2 -1=-19. 故选B.] 【技法点拨】 利用换元法,令x=π3-α ,y=2α-π6 ,找到y与 x 的关系,然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可. 9.ACD [对于A,sin870°=sin(2×360°+150°)=sin150°=12 ,A 正确;对 于 B,sin15°cos15°= 12sin30°= 1 4 ,B错 误;对 于 C, cos40°cos20°-sin40°sin20°=cos(40°+20°)=cos60°=12 ,C正 确;对于D,tan22.5° 1-tan222.5° =12 · 2tan22.5° 1-tan222.5° =12tan45°= 1 2 , D正确.故选ACD.] 10.4 29 [因为α∈(0,π),cos α+π4 =13>0,所以α+π4∈ π4, π 2 ,则sin α+ π4 = 1-cos2 α+π4 =2 23 ,则cos2a= cos 2 α+π4 -π2 =sin2 α+π4 =2sin α+π4 ·cos α+ π 4 =4 29 .] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 95 —