第15周 诱导公式-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—92 — 4.B [集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中,当k为偶数时, 此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角,位于第一象限;当k 为奇数时,此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角,位于第 三象限.所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中角表示 的范围为选项B中阴影所示.故选B.] 【破题技巧】 当k取偶数时,确定角的终边所在的象限;当k取 奇数时,确定角的终边所在的象限,再根据选项即可确定结果. 5.A [由题意可知α是第二象限角,π2+2kπ<α<π+2kπ ,k∈Z,则 π 4+kπ< α 2 < π 2 +kπ ,k∈Z,则 α2 是 第 一 或 第 三 象 限 角.故 选A.] 6.BD [对于A选项,1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角, 故A错误;对于B选项,若α是第一象限的角,则-α是第四象限 的角,所以-α+π2 是第一象限的角,故B正确;对于C选项,当α =30°,β=390°时,α与β终边重合,但两个角不相等,故C错误;对 于D选项,不论是用角度制还是弧度制度量角,由角度值和弧度 值的定义可知度量角与所取圆的半径无关,故D正确.故选BD.] 7.C [终边落在y= 33x 上的角为π 6+kπ (k∈Z),终边落在y= 3x 上 的 角 为 π 3 + kπ (k ∈ Z),故 角 α 的 集 合 为 α π6+kπ<α< π 3+kπ ,k∈Z .故选C.] 8.A [单位圆 O 中,弦 AB 长度为 3,C 为AB 中点,则有OC⊥AB,BC= 32 ,sin∠BOC=BCBO = 32 ,由0<∠BOC< π2 ,得∠BOC= π3 ,弦 AB 所对 的 劣 弧,所 对 的 圆 心 角 为∠AOB,则 ∠AOB=2∠BOC=2π3 ,由圆的半径为1,所以 弦AB 所对的劣弧长等于2π3. 故选A.] 9.C [由一个扇形的半径为1,圆心角为30°,即为π6 ,所以该扇形的 面积为1 2× π 6×1 2=π12. 故选C.] 10.3π [由扇形的圆心角是3π8 ,半径为4,则该扇形的面积为S=12× 3π 8×4 2=3π.故答案为:3π.] 【破题技巧】 应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是 弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值 问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所 在的三角形. 探究·一举突破 探究路径 (1)由α=60°=π3 ,则S=12aR 2=12× π 3×10 2=50π3 (cm2). (2)由 Rα+2R=20 1 2αR 2=9 ,解得α= 29 或18,因 为0<α<2π,所 以α =29. (3)由2R+αR=C,得R= C2+α , 则S=12αR 2=12α · C 2 α2+4α+4 =C 2 2 · 1 a+4α+4 , 由0<α<2π,则S≤C 2 2 · 1 2 α·4α +4 =C 2 16 ,当且仅当α=2时,等 号成立, 当α=2时,扇形面积有最大值C 2 16. 参考答案 (1)50π3 (2)α=29 (3)当α=2时,扇形面积有最大 值,为C 2 16 综合·一练到底 1.解 (1)弧AB 的长度l1= 4π 3 ,弧CD 的长度l2= 12π 3 , 所以扇形环面展台周长为:l1+l2+2×4= 16π 3 +8 米; (2)设∠COD=θ,OA=r米, 则弧AB 的长度l1=θr,弧CD 的长度l2=θ(r+4)=θr+4θ, 因为该扇形环面的周长为14米,所以l1+l2+4×2=14,即θr+θr +4θ+8=14,整理得θr+2θ=3, 则该扇形环面展台的面积:S=12θ (r+4)2-12θr 2=4θr+8θ= 4(θr+2θ)=12平方米, 所以布置该扇形环面展台的总费用为:12×500=6000元. 2.解 (1)α=60°=π3 ,故扇形的周长为l+2R=π3×6+2×6=2π+12 ; (2)扇形的周长为20,则αR+2R=20,所以R= 20α+2 , 则扇 形 的 面 积 S= 12αR 2 = 12α · 400 (α+2)2 = 200 α+4α+4 ≤ 200 2 α·4α +4 =25,当且仅当α=4α ,即α=2时取等号, 所以扇形面积的最大值为25,此时扇形的圆心角α为2弧度. 选做·一飞冲天 解 (1)由α=π3 ,R=10cm,则扇形的弧长l=|α|R=π3×10= 10π 3 (cm). (2)由已知得,l+2R=20,则l=20-2R, ∴S=12lR= 1 2 (20-2R)·R≤14 (20-2R)+2R2 2 =25 当且仅当20-2R=2R,即R=5时扇形的面积最大, 此时圆心角α=lR = 10 5=2. (3)设弓形面积为S弓形,由α=π3 ,R=2cm,得l=αR=2π3 (cm), 所以S弓形 =12× 2π 3×2- 1 2×2 2×sinπ3= 2π3- 3 cm2. 【破题技巧】 (1)直接利用弧长公式即可; (2)由扇形的周长得2R+l=20,表示出扇形的面积,求最值 即可; (3)弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 第十四周 三角函数的概念、同角三角函数的 基本关系 考点·一应俱全 1.C [根据三角函数的定义,cosα=35 ,由同角三角函数关系得: sinα=± 1-cos2α=±45 ;当sinα=45 ,cosα=35 ,代入解得 sinα+2cosα 3sinα-cosα= 10 9 ;当 sinα= - 45 ,cosα= 35 ,代 入 解 得 sinα+2cosα 3sinα-cosα=- 2 15. 综上所述,原式等于10 9 或-215. 故选C.] 2.C [r=|OP|= (3m)2+(-4m)2=5|m|=-5m,O 为坐标原 点,则sinα=yr = -4m -5m= 4 5 ,cosα=xr = 3m -5m=- 3 5 ,故sinα+ cosα=45- 3 5= 1 5. 故选C.] 3.- 32 [由三角函数的定义可得cosα= - 3 (- 3)2+12 =- 32 ,故 答案为:- 32. ] 【破题技巧】 (1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P 的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也 可以求出点P 的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注 意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 4.-2 [由于角θ的终边经过点P(4,m),由角θ正弦的定义得: sinθ= m 42+m2 ,且sinθ=- 55 ,得: m 42+m2 =- 55 ,解方程 得:5m2=m2+42,即m2=4,得 m=±2,由于 m 42+m2 =- 55< 0,则m<0,所以m=-2.故答案是:-2.] 【破题技巧】 由三角函数的定义求出角θ的正弦值,且sinθ= - 55 ,建立等式,求参数m 的值即可. 5.B [因为cosθ>0,tanθ<0,所以θ的终边在第四象限,即3π2+ 2kπ<θ<2π+2kπ(k∈Z),则3π4+kπ< θ 2<π+kπ (k∈Z),当k=0 时,θ 2 的终边在第二象限;当k=1时,θ2 的终边在第四象限;故 选B.] 6.A [因为tanα=-34 ,所以sinα=-34cosα ,又sin2α+cos2α= 1,所以 -34cosα 2 +cos2α=1,所以cos2α=1625 ,又α为第二象限 角,所以cosα=-45. 故选A.] 7.BD [因 为 tanx tan2x + sinx 1-cos2x + cosx 1-sin2x = tanx|tanx|+ sinx |sinx|+ cosx |cosx| ,所以x≠kπ且x≠kπ+π2 (k∈Z),若x在第一 象限,则sinx>0,tanx>0,cosx>0,故原式=1+1+1=3,若x 在第二象限,则sinx>0,tanx<0,cosx<0,原式=-1+1-1= -1,若x在第三象限,则sinx<0,tanx>0,cosx<0,原式=1- 1-1=-1,若x在第四象限,则sinx<0,tanx<0,cosx>0,原 式=-1-1+1=-1.故选BD.] 8.- 55 [由sinθ=a,cosθ=-2a,θ为第四象限的角,得sinθ<0, cosθ>0,则a<0,又sin2θ+cos2θ=1,则a2+(-2a)2=1,解得a =- 55. 故答案为:- 55. ] 9.D [因为tanx=sinxcosx=-2 2⇒sinx=-2 2cosx ,又sin2x+ cos2x=(-2 2cosx)2+cos2x=9cos2x=1,又x∈(0,π),tanx= -2 2<0,所以x∈ π2,π ,所以cosx=-13,故选D.] 10.0或 43 [由 已 知 可 得,sin2α+cos2α=1,所 以, m+1m+2 2 + mm+2 2 =2m 2+2m+1 m2+4m+4 =1,整理可得,m2-2m-3=0,解得 m =-1或m=3.当m=-1时,sinα=0,cosα=-1,tanα=sinαcosα =0;当m=3时,sinα=45 ,cosα=35 ,tanα=sinαcosα= 4 3. 综上所 述,tanα=0或tanα=43. 故答案为:0或43. ] 【破题技巧】 根据sin2α+cos2α=1,代入整理求解得出 m 的 值,进而得出sinα,cosα的值, 利用sinα cosα=tanα 可以实现角α的弦切互化. 探究·一举突破 探究路径 (1)由题意可得:f(x)= 1+sinx1-sinx- 1-sinx 1+sinx = (1+sinx)2 (1+sinx)(1-sinx)- (1-sinx)2 (1+sinx)(1-sinx) =1+sinx|cosx|- 1-sinx |cosx|= 2sinx |cosx| 因为α为第三象限角,则f(α)=2sinα-cosα=-2tanα=- 2 3 ,即tanα= 1 3 ,所以原式=3sinα-2cosα2sinα+3cosα= 3tanα-2 2tanα+3= 3×13-2 2×13+3 =-311. (2)由(1)可知:tanα=13 , 由题意可得:cos 4α+2cosαsinα-sin4α 2cos2α+1 = (cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)+2cosαsinα 2cos2α+1 =cos 2α-sin2α+2cosαsinα 3cos2α+sin2α =1-tan 2α+2tanα 3+tan2α =12. 参考答案 (1)-311 (2)12 综合·一练到底 1.解 (1)原式= (cos10°+sin10°)2 cos10°+sin10° = |cos10°+sin10| cos10°+sin10° =cos10°+sin10cos10°+sin10°=1. (2)原式=sin2α·sinαcosα+cos 2α·cosαsinα+2sinαcosα =sin 4α+cos4α+2sin2αcos2α sinαcosα = (sin2α+cos2α)2 sinαcosα = 1sinαcosα 2.解 (1)由sinθ+2cosθ=0⇒tanθ=-2, 所以cosθ-sinθ 2sinθ+cosθ= 1-tanθ 2tanθ+1= 1+2 -4+1=-1 (2)3sin2θ-2sinθcosθ=3sin 2θ-2sinθcosθ sin2θ+cos2θ =3tan 2θ-2tanθ tan2θ+1 =12+44+1= 16 5. 【破题技巧】 (1)先求出tanθ的值,在分式的分子分母中同时 除以cosθ,实现弦化切,再将tanθ的值代入分式计算即可; (2)首先将原式变形为3sin 2θ-2sinθcosθ sin2θ+cos2θ ,再将齐次分式化简为 tanθ表示,计算求值. 选做·一飞冲天 解 由sin2x+cos2x=1, 故f(x)= 32sin2x+1 + 8 3cos2x+2 = 3 2sin2x+1 + 8 5-3sin2x = 9 6sin2x+3 + 16 10-6sin2x , 由sin2x∈[0,1],故6sin2x+3>0、10-6sin2x>0, f(x)= 96sin2x+3+ 1610-6sin2x × (6sin2x+3+10-6sin2x) 13 =113 9+16+9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 +16 (6sin2x+3) 10-6sin2x ≥113 25+2 9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 × 16(6sin2x+3) 10-6sin2x =113 (25+2×12)=4913 , 当且仅当9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 =16 (6sin2x+3) 10-6sin2x ,即sin2x=37 时,等号成 立.故答案为:4913. 第十五周 诱导公式 考点·一应俱全 1.C [sin2025°=sin(5×360°+225°)=sin225°=sin(180°+45°) =-sin45°=- 22 ,故A不正确;cos2025°=cos(5×360°+225°) =cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=- 22 ,故B不正确; tan2025°=sin2025°cos2025°= - 22 - 2 2 =1,故 C正 确;|sin2025°|= - 22 = 22 ,cos2025°=- 22 ,故D不正确.故选C.] 2.-12 - 3 6 [sin -14π3 +cos -20π3 +tan -11π6 = sin -5π+π3 +cos -7π+π3 +tan -2π+π6 =-sin π3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 91 — —94 — -cosπ3+tan π 6=- 3 2- 1 2+ 3 3=- 1 2- 3 6. 故答案为:-12 - 36. ] 3.D [因为sin α- π6 =13,所以sin α+5π6 =sin π+ α- π 6 =-sin α-π6 =-13.故选D.] 4.-2 23 /-23 2 [cos 2π3+θ =cos θ-π3 +π =-cos θ- π 3 .∵θ∈ 0,π2 ,∴θ-π3∈ -π3,π6 ,∴cos θ-π3 >0, 则cos θ- π3 = 1-sin2 θ-π3 =2 23 ,∴cos 2π3 +θ = -2 23 . 故答案为:-2 23 . ] 5.-54 [ cos π2-α -2cos(π-α) sin(π+α)-sin π2+α =sinα+2cosα-sinα-cosα= tanα+2 -tanα-1 = 3+2-3-1=- 5 4 ,故答案为:-54. ] 6.-34 /-0.75 [因为P(-4,3)是角α终边上一点,所以tanα= -34 ,原 式 =sinα (-cosα)tanα cosα(-sinα) =tanα= - 3 4 ,故 答 案 为: -34. ] 7.- 15 /-0.2 [由tan(α-7π)= - 34 ,得tanα= - 34 ,则 sinα cosα=- 3 4 sin2α+cos2α=1 ,由α∈ π2,3π2 ,得α∈ π2,π ,即sinα>0, cosα<0,解得sinα=35 ,cosα=-45 ,所以sinα+cosα=-15. 故答案为:-15. ] 8.ABC [对 于 A, cosx1+sinx = cosx(1-sinx) (1+sinx)(1-sinx) = cosx(1-sinx) 1-sin2x =cosx (1-sinx) cos2x =1-sinxcosx ,故 A正 确;对 于 B,1+sin 2x sinxcosx = (sin2x+cos2x)+sin2x sinxcosx = cos2x+2sin2x sinxcosx = 1+2tan2x tanx ,故B正确;对于C,sin(53°-x)=sin[90°-(37°+x)] =cos(37°+x),故C正确;对于D,cos(480°+x)=cos(120°+x) =cos[180°- (60°-x)]= -cos(60°-x),故 D 错 误.故 选ABC.] 9.AC [对于A,sin(A+B)-sinC=sinC-sinC=0,A正确;对于 B,cos(B+C)-cosA=-cosA-cosA=-2cosA,B错误;对于 C, sinA+B2 cosC2 = sin π2-C2 cosC2 = cosC2 cosC2 =1,C 正 确;对 于 D, cosB+C2 cosA2 = cos π2-A2 cosA2 = sinA2 cosA2 =tanA2 ,D错误.故选AC.] 10.直角三角形 [求出A=B+C=π2 ,即可确定出三角形形状 ∵A+B+C=π,∴A2= π 2- B+C 2 ,∴sinA2=sin π2-B+C2 =cosB+C2 =sin B+C 2 ,即tanB+C2 =1 ,又B+C 2 ∈ (0,π), ∴B+C2 = π 4 ,即A=B+C=π2 ,则△ABC 为直角三角形.故答 案为:直角三角形.] 【破题技巧】 根据三角形内角和定理得到A+B+C=π,利用 诱导公式化简,得到tanB+C2 =1. 探究·一举突破 探究路径 (1)因为sinx+cosx=15 , 所以(sinx+cosx)2=125 ,即sin2x+cos2x+2sinxcosx=125 , 即1+2sinxcosx=125 ,所以2sinxcosx=-2425<0 , 又0∈(0,π),则sinx>0,所以cosx<0,所以x∈ π2,π , 所以sinx-cosx>0, 则sinx-cosx= (sinx-cosx)2= (sinx+cosx)2-4sinxcosx = 15 2 -2× -2425 =75, 所以sinx=45 ,cosx=-35 ,则tanx=sinxcosx=- 4 3. (2)因为tanx=-43 , 所以 sin(π-x)+2cos(π+x) sin π2+x +cos π2-x =sinx-2cosxcosx+sinx= tanx-2 1+tanx = -43-2 1+ -43 =10. 参考答案 (1)-43 (2)10 综合·一练到底 1.解 (1)依题意,r=|OP|= 45 2 + -35 2 =1, 则sinα=-35 ,cosα=45 ,tanα=-34 , 所以原式= sinα-sinα · tanα -cosα= tanα cosα= -34 4 5 =-1516. (2)由(1)知,tanα=-34 ,所以原式= sin 3α-5cos3α -3cos3α+sin2α·cosα = tan3α-5 -3+tan2α = -34 3 -5 -3+ -34 2= 347 156. 2.解 (1)f(α)= sin(π-α)cos π2-α cos(2π+α)sin(-π-α)= sinα×sinα cosα×sinα=tanα 若角α的终边过点P(3,4),则tanα=43 ,所以f(α)=tanα=43 (2)若 f (α)=tanα =2,所 以 4sin2α -3sinαcosα = 4sin2α-3sinαcosα sin2α+cos2α =4tan 2α-3tanα tan2α+1 =16-64+1=2. 选做·一飞冲天 解 (1)若 选 条 件 ①,则sinα= -4 32+(-4)2 =- 45 ,cosα= 3 32+(-4)2 =35 ,tanα=-43 ,所以 tan(π-α) sin(π+α)-cos π2-α = -tanα -sinα-sinα= tanα 2sinα= -43 -85 =56 ; 若选条件②,则由角α满足cosα=35 ,且角α为第四象限角,得 sinα=- 1-cos2α= 1-925=- 4 5 ,tanα=sinαcosα=- 4 3 , 所 以 tan(π-α) sin(π+α)-cos π2-α = -tanα-sinα-sinα= tanα 2sinα= -43 -85 =56 ; 若选条件③,则由10sin2α-15cos2α=1,得10(1-cos2α)-15cos2α=1, 化简得25cos2α=9,得cos2α=925 , 因为α∈ -π2,0 ,所以cosα=35,所以sinα=- 1-cos2α= - 1-925 = - 4 5 ,tan α = sinαcosα = - 4 3 , 所 以 tan(π-α) sin(π+α)-cos π2-α = -tanα-sinα-sinα= tanα 2sinα= -43 -85 =56 ; (2)若选条件①,由(1)知sinα=-45 ,cosα=35 , 所以cos2α+sinαcosα+1= 35 2 + -45 ×35+1=2225; 若选条件②,由(1)知sinα=-45 ,cosα=35 , 所以cos2α+sinαcosα+1= 35 2 + -45 ×35+1=2225; 若选条件③,由(1)知sinα=-45 ,cosα=35 , 所以cos2α+sinαcosα+1= 35 2 + -45 ×35+1=2225. 第十六周 三角函数的图像与性质 考点·一应俱全 1.C [作出函数y=sinx和y=cosx在(0,2π)内的图象, , ∵sinx>cosx,∴函数y=sinx的图象在函数y=cosx的图象上 方的区间就是sinx>cosx的解集,即为 π4,5π4 .故选C.] 【破题技巧】 作出函数y=sinx和y=cosx在(0,2π)内的图 象,根据图象直接观察得到答案. 2. 4π3,5π3 [画出y=sinx,x∈[0,2π]的草图如下: 当x∈[0,2π]时,由sinx<0,得x∈(π,2π),又sin4π3=sin 5π 3= - 32 ,观察图象,当sinx<- 32 时,4π 3<x< 5π 3 ,所以不等式sinx <- 32 的解集是 4π3,5π3 .故答案为: 4π3,5π3 .] 3.D [因为f(x)=-cos3x的最小正周期T1= 2π 3 ,g(x)=sin x- π 6 的最小正周期T2=2π,画出函数f(x)=-cos3x 与g(x)= sin x-π6 在x∈[0,2π]上的图象如下所示: 由图可知,两函数图象有6个交点.故选D.] 4.AC [对于A,因为|cos(x+π)|=|-cosx|=|cosx|,所以y= |cosx|的周期为π,因为|cos(-x)|=|cosx|,所以y=|cosx| 是偶函数,A符合题意;对于B,y=sin2x是奇函数,B不合题意; 对于D,y=cos12x 的周期为2π 1 2 =4π,所以D不合题意;对于C,y =sin 2x+ π2 =cos2x,因 为cos(-2x)=cos2x,所 以y= sin 2x+π2 是偶函数,因为y=sin 2x+π2 =cos2x的周期是 2π 2=π ,C符合题意.故选AC.] 【破题技巧】 根据周期的定义以及奇偶性的定义判断 A;根据 y=sin2x是奇函数,y=cos12x 的周期为4π,分别判断BD;化 简y=sin 2x+π2 =cos2x,再判断C. 5.-π2 [由题意可知:y=3cos(x+θ)关于原点对称,可知θ=kπ+π2 , k∈Z,且-π≤θ≤0,所以k=-1,θ=-π2. 故答案为:-π2. ] 【技法点拨】 根据函数对称性解得θ=kπ+π2 ,k∈Z,结合题中 θ的范围分析求解. 6. 5π6+2kπ,11π6 +2kπ ,k∈Z [y=sin π3-x =-sin x- π 3 ,令z=x-π3,又y=-sinz的单调递增区间是 π2+2kπ, 3π 2+2kπ ,k∈Z,∴令π2+2kπ≤x-π3≤3π2+2kπ,k∈Z,得5π6+ 2kπ≤x≤11π6 +2kπ ,k∈Z,∴函数y=sin π3-x 的单调递增区 间为 5π6+2kπ,11π6 +2kπ ,k∈Z.] 【破题技巧】 已知三角函数解析式求单调区间 求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中ω>0)的单调 区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不等式求解.但如果ω <0,可先借助诱导公式将ω化为正数,防止把单调性弄错. 7.AB [由题意函数f(x)的最小正周期为 T=2πω ,因为函数f(x) 在区间 π6,2π3 上单调,可得2π3-π6≤πω,则0<ω≤2.因为x∈ π6,2π3 ,所以ωx-π12∈ ωπ6-π12,2ωπ3 -π12 .因为0<ω≤2,所 以- π12< ωπ 6 - π 12≤ π 4. 因 为 f(x)在 π6,2π3 上 单 调,所 以 ωπ 6- π 12≤0 , 2ωπ 3 - π 12≤0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 或 ωπ 6- π 12≥0 , 2ωπ 3 - π 12≤π 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,解得0<ω≤18或 1 2≤ω≤ 13 8. 故 选AB.] 8.ABD [因为函数f(x)=2cos(ωx+φ) ω>0,|φ|<π2 在 π4, 2π 上单调,所以f(x)的最小正周期 T≥2 2π-π4 =7π2,又因 为f π2 =-f 11π6 ,所以函数f(x)的图像关于点 π 2+ 11π 6 2 , 0 ,即点 7π6,0 对称,由f -π6 =f π2 及T≥7π2,知f(x)的 图像关于直线x= -π6+ π 2 2 = π 6 对称,所以f(x)的最小正周期T =4 7π6- π6 =4π,从 而ω=2πT = 12,故 A,B正 确;因 为 函 数 f(x)的图像的一条对称轴为直线x=π6 ,所以π 12+φ=kπ ,k∈Z, 解得φ=- π 12+kπ ,k∈Z,又|φ|< π 2 ,所以φ=- π 12 ,所以f(x)= 2cos 12x-π12 ,所以f 5π3 =2cos 5π6-π12 =2cos3π4≠0, f 2π3 =2cos π3- π12 =2cos π4= 2,故 C错 误,D正 确.故 选ABD.] 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 93 — — 58 — 第十五周 诱导公式 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第10题.该题通过判断三角形形状,考查三角函数诱导公式 ,题目设置紧扣概念, 考查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 给角求值问题 1.(2025·全国·专题练习)下列说法正确的是 ( ) A.sin2025°= 22 B.cos2025°= 2 2 C.tan2025°=1 D.|sin2025°|=cos2025° 2.(2025·陕西渭南·阶段练习)sin -14π3 +cos -20π3 +tan -11π6 = . 考点二 给值(式)求值问题 3.(2025·江西南昌·阶段练习)若sin α-π6 =13,则sin α+5π6 = ( ) A.23 B. 1 3 C.- 2 3 D.- 1 3 4.(2025·全国专题练习)已知sin θ-π3 =-13,且θ∈ 0,π2 ,则cos 2π3+θ = . 考点三 三角函数的化简求值问题 5.(2025·上海黄浦·质量检测)若tanα=3,则 cos π2-α -2cos(π-α) sin(π+α)-sin π2+α = . 6.(2025·湖北咸宁·阶段练习)已知角α终边上一点P(-4,3),求sin (π-α)cos(3π+α)tanα cos(-α)sin(π+α) 的值 . 7.(2025·上海·专题练习)若α∈ π2,3π2 ,tan(α-7π)=-34,则sinα+cosα= . 考点四 利用诱导公式证明三角恒等式 8.(多选)(2025·黑龙江齐齐哈尔·质量检测)已知下列等式的左右两边都有意义,则下列等式恒 成立的是 ( ) A.cosx1+sinx= 1-sinx cosx B. 1+sin2x sinxcosx= 1+2tan2x tanx C.sin(53°-x)=cos(37°+x) D.(sin60°-x)=cos(480°+x) 考点五 诱导公式在三角形中的应用 9.(多选)(2025·广东佛山·阶段练习)在△ABC中,下列等式恒成立的是 ( ) A.sin(A+B)-sinC=0 B.cos(B+C)-cosA=0 C. sinA+B2 cosC2 =1 D. cosB+C2 cosA2 =1 10.(2025·全国·专题练习)△ABC中,若sinA2=sin B+C 2 ,则△ABC形状为 . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 诱导公式与同角函数基本关系的应用 已知sinx+cosx=15 ,x∈(0,π). 探究问题: (1)求tanx的值; (2)求值:sin (π-x)+2cos(π+x) sin π2+x +cos π2-x . — 57 — — 60 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·上海·专题练习)已知角α的终边经过点P 45,-35 . (1)求sin (π-α) sin(α+π) ·tan(α-π) cos(3π-α) 的值; (2)求 sin 3(π-α)+5cos3(α-3π) 3cos3(π-α)+sin2(π-α)cos(α-2π) 的值. 2.(2025·广西柳州·质量检测)已知f(α)= sin(π-α)cos π2-α cos(2π+α)sin(-π-α). (1)若角α的终边过点P(3,4),求f(α); (2)若f(α)=2,求4sin2α-3sinαcosα的值. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·四川德阳·阶段练习)已知角α满足 .请从下列三个条件中任选一个作答.(注: 如果多个条件分别作答,按第一个解答计分). 条件①:角α的终边与单位圆的交点为M(3,-4); 条件②:角α满足cosα=35 ,且角α为第四象限角; 条件③:角α满足α∈ -π2,0 且10sin2α-15cos2α=1. (1)求 tan (π-α) sin(π+α)-cos π2-α 的值; (2)求cos2α+sinαcosα+1的值. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 59 —