第14周 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 54 — 第十四周 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第7题.该题主要考查同角三角函数的基本关系以及各象限角的取值符号,题目设 置紧扣概念,考查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 利用三角函数的定义求三角函数值 1.(2025·江西吉安·质量检测)已知角α的终边与单位圆交于点 35,y0 ,则sinα+2cosα3sinα-cosα= ( ) A.109 B.- 10 9 或-215 C. 10 9 或-215 D. 1 5 考点二 由终边或终边上点求三角函数值 2.(2025·江西鹰潭·质量检测)若角α的终边经过点P(3m,-4m)(m<0),则sinα+cosα= ( ) A.75 B.- 7 5 C. 1 5 D.- 1 5 3.(2025·广东惠州·质量检测)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,终边经过 点P(- 3,1),则cosα= . 考点三 由三角函数值求终边上的点或参数 4.(2025·河南·阶段练习)已知角θ的终边经过点P(4,m),若sinθ=- 55 ,则实数m= . 考点四 三角函数值符号的运用 5.(2025·四川内江·质量检测)若cosθ>0,tanθ<0,则θ2 的终边在 ( ) A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上 D.第二、四象限或在x轴的非负半轴上 考点五 同角三角函数的基本关系 6.(2025·四川乐山·质量检测)已知tanα=-34 ,且α为第二象限角,则cosα= ( ) A.-45 B. 4 5 C.- 3 5 D. 3 5 7.(多选)(2025·河南南阳·质量检测)tanx tan2x + sinx 1-cos2x + cosx 1-sin2x 的值可能为 ( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 8.(2025·上海专题练习)若sinθ=a,cosθ=-2a,且θ为第四象限的角,则实数a= . 考点六 已知正弦,余弦,正切中其一求另外两个量 9.(2025·北京·质量检测)已知x∈(0,π),tanx=-2 2,则cosx= ( ) A.2 23 B. 1 3 C.- 2 2 3 D.- 1 3 10.(2025·江苏盐城·质量检测)若sinα=m+1m+2 ,cosα= mm+2 ,则tanα= . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 求关于sinα和cosα的齐次式的值 已知函数f(x)= 1+sinx1-sinx- 1-sinx 1+sinx ,其中α为第三象限角且f(α)=-23. 探究问题: (1)求 3cos π2-α +2sin α-π2 2cos 3π2+α -3sin 3π2-α 的值; (2)求cos 4α+2cosαsinα-sin4α 2cos2α+1 的值. — 53 — — 56 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·全国专题练习)化简: (1)1+2sin10°cos10° cos10°+ 1-cos210° ; (2)sin2αtanα+cos 2α tanα+2sinαcosα. 2.(2025·上海虹口·质量检测)已知sinθ+2cosθ=0. (1)求cosθ-sinθ2sinθ+cosθ 的值; (2)求3sin2θ-2sinθcosθ的值. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·全国·专题练习)求函数f(x)= 32sin2x+1 + 8 3cos2x+2 (x∈R)的最小值. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 55 — —92 — 4.B [集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中,当k为偶数时, 此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角,位于第一象限;当k 为奇数时,此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角,位于第 三象限.所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中角表示 的范围为选项B中阴影所示.故选B.] 【破题技巧】 当k取偶数时,确定角的终边所在的象限;当k取 奇数时,确定角的终边所在的象限,再根据选项即可确定结果. 5.A [由题意可知α是第二象限角,π2+2kπ<α<π+2kπ ,k∈Z,则 π 4+kπ< α 2 < π 2 +kπ ,k∈Z,则 α2 是 第 一 或 第 三 象 限 角.故 选A.] 6.BD [对于A选项,1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角, 故A错误;对于B选项,若α是第一象限的角,则-α是第四象限 的角,所以-α+π2 是第一象限的角,故B正确;对于C选项,当α =30°,β=390°时,α与β终边重合,但两个角不相等,故C错误;对 于D选项,不论是用角度制还是弧度制度量角,由角度值和弧度 值的定义可知度量角与所取圆的半径无关,故D正确.故选BD.] 7.C [终边落在y= 33x 上的角为π 6+kπ (k∈Z),终边落在y= 3x 上 的 角 为 π 3 + kπ (k ∈ Z),故 角 α 的 集 合 为 α π6+kπ<α< π 3+kπ ,k∈Z .故选C.] 8.A [单位圆 O 中,弦 AB 长度为 3,C 为AB 中点,则有OC⊥AB,BC= 32 ,sin∠BOC=BCBO = 32 ,由0<∠BOC< π2 ,得∠BOC= π3 ,弦 AB 所对 的 劣 弧,所 对 的 圆 心 角 为∠AOB,则 ∠AOB=2∠BOC=2π3 ,由圆的半径为1,所以 弦AB 所对的劣弧长等于2π3. 故选A.] 9.C [由一个扇形的半径为1,圆心角为30°,即为π6 ,所以该扇形的 面积为1 2× π 6×1 2=π12. 故选C.] 10.3π [由扇形的圆心角是3π8 ,半径为4,则该扇形的面积为S=12× 3π 8×4 2=3π.故答案为:3π.] 【破题技巧】 应用弧度制解决问题时应注意 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是 弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值 问题. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所 在的三角形. 探究·一举突破 探究路径 (1)由α=60°=π3 ,则S=12aR 2=12× π 3×10 2=50π3 (cm2). (2)由 Rα+2R=20 1 2αR 2=9 ,解得α= 29 或18,因 为0<α<2π,所 以α =29. (3)由2R+αR=C,得R= C2+α , 则S=12αR 2=12α · C 2 α2+4α+4 =C 2 2 · 1 a+4α+4 , 由0<α<2π,则S≤C 2 2 · 1 2 α·4α +4 =C 2 16 ,当且仅当α=2时,等 号成立, 当α=2时,扇形面积有最大值C 2 16. 参考答案 (1)50π3 (2)α=29 (3)当α=2时,扇形面积有最大 值,为C 2 16 综合·一练到底 1.解 (1)弧AB 的长度l1= 4π 3 ,弧CD 的长度l2= 12π 3 , 所以扇形环面展台周长为:l1+l2+2×4= 16π 3 +8 米; (2)设∠COD=θ,OA=r米, 则弧AB 的长度l1=θr,弧CD 的长度l2=θ(r+4)=θr+4θ, 因为该扇形环面的周长为14米,所以l1+l2+4×2=14,即θr+θr +4θ+8=14,整理得θr+2θ=3, 则该扇形环面展台的面积:S=12θ (r+4)2-12θr 2=4θr+8θ= 4(θr+2θ)=12平方米, 所以布置该扇形环面展台的总费用为:12×500=6000元. 2.解 (1)α=60°=π3 ,故扇形的周长为l+2R=π3×6+2×6=2π+12 ; (2)扇形的周长为20,则αR+2R=20,所以R= 20α+2 , 则扇 形 的 面 积 S= 12αR 2 = 12α · 400 (α+2)2 = 200 α+4α+4 ≤ 200 2 α·4α +4 =25,当且仅当α=4α ,即α=2时取等号, 所以扇形面积的最大值为25,此时扇形的圆心角α为2弧度. 选做·一飞冲天 解 (1)由α=π3 ,R=10cm,则扇形的弧长l=|α|R=π3×10= 10π 3 (cm). (2)由已知得,l+2R=20,则l=20-2R, ∴S=12lR= 1 2 (20-2R)·R≤14 (20-2R)+2R2 2 =25 当且仅当20-2R=2R,即R=5时扇形的面积最大, 此时圆心角α=lR = 10 5=2. (3)设弓形面积为S弓形,由α=π3 ,R=2cm,得l=αR=2π3 (cm), 所以S弓形 =12× 2π 3×2- 1 2×2 2×sinπ3= 2π3- 3 cm2. 【破题技巧】 (1)直接利用弧长公式即可; (2)由扇形的周长得2R+l=20,表示出扇形的面积,求最值 即可; (3)弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积. 第十四周 三角函数的概念、同角三角函数的 基本关系 考点·一应俱全 1.C [根据三角函数的定义,cosα=35 ,由同角三角函数关系得: sinα=± 1-cos2α=±45 ;当sinα=45 ,cosα=35 ,代入解得 sinα+2cosα 3sinα-cosα= 10 9 ;当 sinα= - 45 ,cosα= 35 ,代 入 解 得 sinα+2cosα 3sinα-cosα=- 2 15. 综上所述,原式等于10 9 或-215. 故选C.] 2.C [r=|OP|= (3m)2+(-4m)2=5|m|=-5m,O 为坐标原 点,则sinα=yr = -4m -5m= 4 5 ,cosα=xr = 3m -5m=- 3 5 ,故sinα+ cosα=45- 3 5= 1 5. 故选C.] 3.- 32 [由三角函数的定义可得cosα= - 3 (- 3)2+12 =- 32 ,故 答案为:- 32. ] 【破题技巧】 (1)利用三角函数的定义,已知角α终边上一点P 的坐标,可以求出α的三角函数值;已知角α的三角函数值,也 可以求出点P 的坐标. (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时,特别要注 意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况. 4.-2 [由于角θ的终边经过点P(4,m),由角θ正弦的定义得: sinθ= m 42+m2 ,且sinθ=- 55 ,得: m 42+m2 =- 55 ,解方程 得:5m2=m2+42,即m2=4,得 m=±2,由于 m 42+m2 =- 55< 0,则m<0,所以m=-2.故答案是:-2.] 【破题技巧】 由三角函数的定义求出角θ的正弦值,且sinθ= - 55 ,建立等式,求参数m 的值即可. 5.B [因为cosθ>0,tanθ<0,所以θ的终边在第四象限,即3π2+ 2kπ<θ<2π+2kπ(k∈Z),则3π4+kπ< θ 2<π+kπ (k∈Z),当k=0 时,θ 2 的终边在第二象限;当k=1时,θ2 的终边在第四象限;故 选B.] 6.A [因为tanα=-34 ,所以sinα=-34cosα ,又sin2α+cos2α= 1,所以 -34cosα 2 +cos2α=1,所以cos2α=1625 ,又α为第二象限 角,所以cosα=-45. 故选A.] 7.BD [因 为 tanx tan2x + sinx 1-cos2x + cosx 1-sin2x = tanx|tanx|+ sinx |sinx|+ cosx |cosx| ,所以x≠kπ且x≠kπ+π2 (k∈Z),若x在第一 象限,则sinx>0,tanx>0,cosx>0,故原式=1+1+1=3,若x 在第二象限,则sinx>0,tanx<0,cosx<0,原式=-1+1-1= -1,若x在第三象限,则sinx<0,tanx>0,cosx<0,原式=1- 1-1=-1,若x在第四象限,则sinx<0,tanx<0,cosx>0,原 式=-1-1+1=-1.故选BD.] 8.- 55 [由sinθ=a,cosθ=-2a,θ为第四象限的角,得sinθ<0, cosθ>0,则a<0,又sin2θ+cos2θ=1,则a2+(-2a)2=1,解得a =- 55. 故答案为:- 55. ] 9.D [因为tanx=sinxcosx=-2 2⇒sinx=-2 2cosx ,又sin2x+ cos2x=(-2 2cosx)2+cos2x=9cos2x=1,又x∈(0,π),tanx= -2 2<0,所以x∈ π2,π ,所以cosx=-13,故选D.] 10.0或 43 [由 已 知 可 得,sin2α+cos2α=1,所 以, m+1m+2 2 + mm+2 2 =2m 2+2m+1 m2+4m+4 =1,整理可得,m2-2m-3=0,解得 m =-1或m=3.当m=-1时,sinα=0,cosα=-1,tanα=sinαcosα =0;当m=3时,sinα=45 ,cosα=35 ,tanα=sinαcosα= 4 3. 综上所 述,tanα=0或tanα=43. 故答案为:0或43. ] 【破题技巧】 根据sin2α+cos2α=1,代入整理求解得出 m 的 值,进而得出sinα,cosα的值, 利用sinα cosα=tanα 可以实现角α的弦切互化. 探究·一举突破 探究路径 (1)由题意可得:f(x)= 1+sinx1-sinx- 1-sinx 1+sinx = (1+sinx)2 (1+sinx)(1-sinx)- (1-sinx)2 (1+sinx)(1-sinx) =1+sinx|cosx|- 1-sinx |cosx|= 2sinx |cosx| 因为α为第三象限角,则f(α)=2sinα-cosα=-2tanα=- 2 3 ,即tanα= 1 3 ,所以原式=3sinα-2cosα2sinα+3cosα= 3tanα-2 2tanα+3= 3×13-2 2×13+3 =-311. (2)由(1)可知:tanα=13 , 由题意可得:cos 4α+2cosαsinα-sin4α 2cos2α+1 = (cos2α-sin2α)(cos2α+sin2α)+2cosαsinα 2cos2α+1 =cos 2α-sin2α+2cosαsinα 3cos2α+sin2α =1-tan 2α+2tanα 3+tan2α =12. 参考答案 (1)-311 (2)12 综合·一练到底 1.解 (1)原式= (cos10°+sin10°)2 cos10°+sin10° = |cos10°+sin10| cos10°+sin10° =cos10°+sin10cos10°+sin10°=1. (2)原式=sin2α·sinαcosα+cos 2α·cosαsinα+2sinαcosα =sin 4α+cos4α+2sin2αcos2α sinαcosα = (sin2α+cos2α)2 sinαcosα = 1sinαcosα 2.解 (1)由sinθ+2cosθ=0⇒tanθ=-2, 所以cosθ-sinθ 2sinθ+cosθ= 1-tanθ 2tanθ+1= 1+2 -4+1=-1 (2)3sin2θ-2sinθcosθ=3sin 2θ-2sinθcosθ sin2θ+cos2θ =3tan 2θ-2tanθ tan2θ+1 =12+44+1= 16 5. 【破题技巧】 (1)先求出tanθ的值,在分式的分子分母中同时 除以cosθ,实现弦化切,再将tanθ的值代入分式计算即可; (2)首先将原式变形为3sin 2θ-2sinθcosθ sin2θ+cos2θ ,再将齐次分式化简为 tanθ表示,计算求值. 选做·一飞冲天 解 由sin2x+cos2x=1, 故f(x)= 32sin2x+1 + 8 3cos2x+2 = 3 2sin2x+1 + 8 5-3sin2x = 9 6sin2x+3 + 16 10-6sin2x , 由sin2x∈[0,1],故6sin2x+3>0、10-6sin2x>0, f(x)= 96sin2x+3+ 1610-6sin2x × (6sin2x+3+10-6sin2x) 13 =113 9+16+9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 +16 (6sin2x+3) 10-6sin2x ≥113 25+2 9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 × 16(6sin2x+3) 10-6sin2x =113 (25+2×12)=4913 , 当且仅当9(10-6sin 2x) 6sin2x+3 =16 (6sin2x+3) 10-6sin2x ,即sin2x=37 时,等号成 立.故答案为:4913. 第十五周 诱导公式 考点·一应俱全 1.C [sin2025°=sin(5×360°+225°)=sin225°=sin(180°+45°) =-sin45°=- 22 ,故A不正确;cos2025°=cos(5×360°+225°) =cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=- 22 ,故B不正确; tan2025°=sin2025°cos2025°= - 22 - 2 2 =1,故 C正 确;|sin2025°|= - 22 = 22 ,cos2025°=- 22 ,故D不正确.故选C.] 2.-12 - 3 6 [sin -14π3 +cos -20π3 +tan -11π6 = sin -5π+π3 +cos -7π+π3 +tan -2π+π6 =-sin π3 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 91 —