第12周 函数的应用(二)-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—90 — 参考答案 (1)a=-1 (2)f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上单调递 减. (3)m∈ 134,+∞ 综合·一练到底 1.解 (1)依题意,φ(x)=2loga(a x-t),设函数h(t)=ax-t的值域 为D,由φ(x)的值域为 R,得(0,+∞)⊆D,而a x>0,则ax-t> -t,因此-t≤0,解得t≥0,所以的取值范围为[0,+∞). (2)依题意,2loga(x-t)<logax⇔loga(x-t)<loga x在 116,4 上恒成立,由0<a<1,得函数y=logax 在定义域内单调递减,则 x-t> x>0,于是t<x- x对x∈ 116,4 恒成立,而y=x- x = x-12 2 -14 ,x∈ 116,4 ,则当 x=12,即x=14时,(x- x)min=- 1 4 ,因此t<-14 ,此时满足x-t>0, 所以t的取值范围为 -∞,-14 . 【破题技巧】 (1)根据给定条件,利用对数函数的值域与定义域 的对应关系,结合指数函数值域求解. (2)利用对数函数的单调性变形不等式,分离参数,借助二次函 数求出最小值即得. 2.解 (1)当a=-10时,f(x)=log2(4x-10×2x+16), 由4x-10×2x+16>0得(2x-2)(2x-8)>0, 故2x<2或2x>8,得x<1或x>3,故函数f(x)=log2(4x-10× 2x+16)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞); (2)由f(x)>x得log2(4x+a·2x+16)>x=log22x, 得4x+a·2x+16>2x,即4x+(a-1)·2x+16>0, 设t=2x,g(t)=t2+(a-1)·t+16 因x∈[1,+∞),故t=2x≥2, 所以当x∈[1,+∞)时,f(x)>x恒成立, 即为g(x)=t2+(a-1)·t+16在t∈[2,+∞)上最小值大于0, 函数g(t)=t2+(a-1)·t+16的对称轴为t=1-a2 , 当1-a 2 <2 即a>-3时,函数g(t)在[2,+∞)上单调递增, 此时g(2)=22+2(a-1)+16>0,得a>-9, 即a>-3满足题意; 当1-a 2 ≥2 ,即a≤-3时,函数g(t)在对称轴取得最小值, 此时g 1-a2 = 1-a2 2 +(a-1) 1-a2 +16>0,得-7<a< 9,即-7<a≤-3满足题意; 故a的取值范围为(-7,+∞). 【技法点拨】 (1)由真数大于0列出不等式即可求解; (2)先根据函数y=log2x为单调递增函数,将f(x)>x转化为 4x+(a-1)·2x+16>0,根据题意可转化为g(t)=t2+(a-1) ·t+16在t∈[2,+∞)上最小值大于0,然后结合二次函数的 性质即可求得. 选做·一飞冲天 解 (1)因为f(x)是定义在 R上的奇函数,所以f(0)=a-1=0, 解得a=1. 经验证,a=1符合题意. 当x≥0时,2x≥1,所以0< 2 2x+1 ≤1,所以0≤1- 2 2x+1 <1, 即f(x)在[0,+∞)上的值域为[0,1). 因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上的值域为(-1,0), 则f(x)的值域为(-1,1). (2)因为对 任 意 的x1∈[1,2],存 在 x2∈[0,1],使 得 g(x1)= f(x2)+m,所以函数g(x)在[1,2]上的值域是函数f(x)+m 在 [0,1]上的值域的子集. g(x)=log2 x 2 ·log2x=(log2x-1)·log2x=(log2x)2-log2x= log2x-12 2 -14. 因为1≤x≤2,所以0≤log2x≤1,所以- 1 2≤log2x- 1 2≤ 1 2 , 则0≤ log2x-12 2 ≤14 ,所以-14≤ log2x-12 2 -14≤0 , 即-14≤g (x)≤0. 因为0≤x≤1,所以2≤2x+1≤3,则23≤ 2 2x+1 ≤1,所以0≤1- 2 2x-1 ≤13 ,即0≤f(x)≤13 ,所以m≤f(x)+m≤13+m , 则 m≤-14 , 1 3+m≥0 , 解得-13≤m≤-14,即m的取值范围是 -13,-14 . 第十二周 函数的应用(二) 考点·一应俱全 1.AD [当2-x≤2时,x≥0,f(2-x)=2-|2-x|= x ,0≤x≤2 4-x,x>2 ; 当2-x>2时,x<0,f(2-x)=(2-x-2)2=x2.f(2-x)= x2,x<0 x,0≤x≤2 4-x,x>2 ,所以f(2-x)的大致图象为 当b=0时,g(x)=b-f(2-x)有零点0,4;当b=2时,由x2=2解 得x=- 2,所以g(x)=b-f(2-x)有零点- 2,2.故选AD.] 2.-1和4 [依题意,x<0ln(-x)=0 或 x>0x2-3x-4=0 ,解得x=-1 或x=4(负根舍去).故答案为:-1和4.] 3.D [函数y=x3-9x的零点,即方程x3-9x=0的实数根.由x3 -9x=x(x+3)(x-3)=0解得,x=0或±3.故函数y=x3-9x 的零点个数是3.故选D.] 4.D [函数f(x)=ln|x|+8-x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 当x<0时,f(x)=ln(-x)+8-x,显然函数y=ln(-x),y=8- x在(-∞,0)上都单调递减,因此函数f(x)在(-∞,0)上单调递 减,而f(-e-9)=-1+e-9<0,f(-1)=9>0,则函数f(x)在 (-∞,0)上有唯一零点;当x>0时,f(x)=lnx+8-x,显然f (e-9)=-1-e-9<0,f(1)=7>0,f(e3)=11-e3<0,因此函数 f(x)在区间(e-9,1)(1,e3)上至少各有一个零点,当x>0时,由f (x)=0,得lnx=x-8,则f(x)在(0,+∞)上的零点即为函数y= lnx的图象与直线y=x-8的交点横坐标,在同一坐标系内作出 函数y=lnx的图象与直线y=x-8,如图, 观察图象知,函数y=lnx的图象与直线y=x-8有两个交点,即 lnx=x-8有两个解,所以函数f(x)=ln|x|+8-x的零点个数 为3.故选D.] 【破题技巧】 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则f(x) 有多少个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调 性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图 象的交点个数得出函数的零点个数. 5.B [因为f(x)的定义域为(0,+∞),且y=ln(2x),y=-1x 在 (0,+∞)内单调递增,可知f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f(1) =ln2-1<0,f(2)=ln4-12>0 ,所以函数f(x)的唯一一个零 点所在的区间是(1,2).故选B.] 【破题技巧】 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是否连续;再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间 上是否有交点来判断. 6.B [由y=f(x)-m2 有两个不同的零点, 即方程f(x)=m2 有两个不同的解,即函数 y=f(x)与y=m2 的图象有两个不同的交 点,画出函数y=f(x)的图象,如图所示,结 合图象可得m2=1或 m2=0,解 m=±1或 m=0,即m∈{-1,0,1}.故选B.] 【破题技巧】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再 通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域确定参数 范围. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画 出函数的图象,然后利用数形结合法求解.本题根据题意,转化 为y=f(x)与y=m2 的图象有两个不同的交点,画出y=f(x) 的图象,结合图象,即可求解. 7.D [若函数f(x)=log2x+x2+m 在区间(2,4)上存在零点,由函 数f(x)在(2,4)的图象连续不断,且为增函数,则根据零点存在定 理可知,只需满足f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得 -18<m<-5,所以实数m 的取值范围是(-18,-5).故选D.] 8.BC [因为函数f(x)=lnx+2x-6在其定义域上单调递增,结合 表格可知,方程lnx+2x-6=0的近似解在(2.5,3),(2.5,2.75), (2.5,2.625),(2.5,2.5625)内,又精确度0.1,所以方程lnx+2x -6=0的近似解(精确度0.1)可取为2.52,2.55.故选BC.] 9.(1,2) [令f(x)=lgx+x-2,因为f(x)在定义域内单调递增, 且f(1)=-1<0,f(3)=lg3+1>0,f(2)=lg2>0,因为f(1)· f(2)<0,所以第一次用二分法求其近似解时,根所在区间应取(1, 2).故答案为:(1,2).] 【破题技巧】 令f(x)=lgx+x-2,利用零点存在性定理,满 足f(a)·f(b)<0,即可找到零点所在区间. 10.A [因为指数函数y=1.05x 的底数大于1,其增长速度随着时 间的推移会越来越快,比幂函数y=x2,对数函数y=lg(x+1), 一次函数y=50x增长的速度快,所以从足够长远的角度看,使得 公司获益最大的函数模型是y=10×1.5x,故选A.] 探究·一举突破 探究路径 (1)f(x)+f(2-x)= 12x+m + 1 22-x+m = 1 2x+m + 2 x 4+m·2x = (4+m·2x)+2x(2x+m) (2x+m)(4+m·2x) = 4 x+2m·2x+4 m·4x+(4+m2)2x+4m , 若f(x)+f(2-x)为定值则应1m= 2m 4+m2 =44m ,解得m2=4, 即m=±2. 当m=2时,f(x)+f(2-x)=12 ,当m=-2时,f(x)+f(2-x) =-12. 所以存在m=±2符合要求. (2)m =1 时,方 程 即 为 12x+1- 1 2 = k 2x+1 ,整 理 得 1-2x 2(2x+1) = k 2x+1 ,即|2x-1|=2k, 因为方程有两个根x1<0,x2>0,由图象可 知,0<2k<1,即0<k<12 , 且-2x1+1=2k,得x1=log2(1-2k),同理 有2x2-1=2k,得x2=log2(1+2k), 所以x1+x2=log2(1-2k)+log2(1+2k)= log2(1-4k2),由0<k< 1 2 ,得x1+x2<0,所 以x1+x2 的取值范围是(-∞,0). 参考答案 (1)m=±2 (2)(-∞,0) 综合·一练到底 1.解 (1)若f(1)=4,则a+2a+1=4,解得a=1, 所以f(x)=x2+2x+1, 由 y=x 2+2x+1 y=4x+4 解得 x=3y=16 ,或 x=-1y=0 , 所以f(x)与g(x)=4x+4交点的横坐标为x=3或x=-1; (2)若a=0,则f(x)=1在区间(1,2)上没零点,不符合题意, 所以a≠0,所以f(x)=ax2+2ax+1的图象为抛 物线,对称轴为x=-2a2a=-1 , 所以要使f(x)在区间(1,2)上恰有一个零点,只须 f(1)f(2)<0, 即(a+2a+1)(4a+4a+1)<0,解得-13<a< -18.a 的取值范围 -13,-18 . 【技法点拨】 (1)f(1)=4求出a,再解f(x)与g(x)=4x+4组 成的方程组可得答案; (2)a=0时不符合题意,a≠0时只须f(1)f(2)<0解不等式可 得答案. 2.解 (1)因为f(x)= a+ln (-x),x<0, -x2+2x+3,x≥0, 且f(-e)=3, 所以f(-e)=a+ln(e)=3,解得a=2; (2)由(1)可得 f(x)= 2+ln (-x),x<0 -x2+2x+3,x≥0 , 当x<0时,f(x)=2+ln(-x),函 数 f(x)在(-∞,0)上 单 调 递 减,且 f(x) ∈R; 当x≥0时,f(x)=-x2+2x+3=-(x -1)2+4,则f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 且f(1)=4,f(0)=3,即f(x)∈(-∞,4]; 所以f(x)的图象如图所示: 因为函数g(x)=f(x)-k在 R上恰有两个零点, 即函数y=f(x)与y=k在 R上恰有两个交点, 由图可知k<3或k=4,即实数k的取值范围为(-∞,3)∪{4}. 【破题技巧】 (1)根据分段函数解析式代入计算可得; (2)由(1)可得f(x)的解析式,即可分析函数在各段的单调性与 取值范围,再画出f(x)的图象,依题意函数y=f(x)与y=k在 R上恰有两个交点,数形结合即可求出参数的取值范围. 选做·一飞冲天 解 (1)①当x≥0时,f(x)= 2 x,0≤x≤2 |x-6|,x>2 列表: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x)1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 描点连线,图象如图,因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图象关于y 轴对称,所以f(x)在[-10,10]上的图象如图所示; ②f(x)=a恰有6个不相等的实根,等价于y=f(x)与y=a有6 个交点,由图象可知当1<a<4时,有6个交点,所以实数a的取 值范围为(1,4); (2)由题意,g(x)=log2(x2+1)- 12 x , 因为t=x2+1在[1,+∞)上为增函数,y=log2t在(0,+∞)上为 增函数,所以y=log2(x2+1)在[1,+∞)上为增函数, 因为y=- 12 x 在[1,+∞)上为增函数,所以g(x)=log2(x2+ 1)- 12 x 在[1,+∞)上为增函数, 所以g(x)min=g(1)=log2(12+1)- 12 1 =12 , 由(1)可知f(x)在 R上的最小值为0, 因为∀x1∈R,∃x2∈[1,+∞),使得f(x1)+3a≥g(x2)成立, 所以f(x)min+3a≥g(x)min, 所以0+3a≥12 ,解得a≥16 ,所以实数a的最小值为16. 【技法点拨】 (1)①先利用描点法作出区间[0,10]上的函数图 象,结合偶函数的对称性可得[-10,10]上的图象,②利用图象 和实数根的个数可得实数a的取值范围; (2)先根据复合函数求出g(x)的最小值,利用f(x)min+3a≥ g(x)min可得答案. 第十三周 任意角与弧度制 考点·一应俱全 1.B [因为α∈ 0,π2 锐角,所以小于π2的角不一定是锐角,故① 不成立;因为钝 角β∈ π2,π ,第 二 象 限 角θ∈ π2 +2kπ,π+ 2kπ ,k∈Z,所以钝角一定是第二象限角,故②成立;若两个角的 终边不重合,则这两个角一定不相等,故③成立;例如α=120°,β= 390°,但α<β,故④不成立.故选B.] 2.B [∵-2024°4'=-5×360°-224°4',∴与角-2024°4'终边相 同的角是-224°4'.故选B.] 3.{θ|k·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z} [阴影部分内的角的 集合为{θ|k·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z}.故答案为:{θ|k ·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z}.] 【破题技巧】 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的 角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通 过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 89 — — 46 — 第十二周 函数的应用(二) (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第6题.该题为已知零点个数求参数的取值范围问题,主要考查数形结合、转化等思 想方法,题目设置紧扣概念,考查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 求函数的零点 1.(多选)(2025·四川南充·阶段练习)已知函数f(x)= 2-|x|,x≤2 (x-2)2,x>2 ,函数g(x)=b-f(2- x),其中b∈R,若函数g(x)恰有两个零点,则函数g(x)的零点可以是 ( ) A.- 2 B.-1 C.1 D.2 2.(2025·河南驻马店·质量检测)已知函数f(x)= ln(-x),x<0 x2-3x-4,x>0 ,则函数y=f(x)的零点是 . 考点二 函数零点个数的判断 3.(2025·全国·假期作业)函数y=x3-9x的零点个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 4.(2025·广东韶关·阶段练习)函数f(x)=ln|x|+8-x的零点个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点三 判断函数零点所在的区间 5.(2025下·北京·阶段练习)函数f(x)=ln(2x)-1x 的一个零点所在的区间是 ( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 考点四 已知零点个数求参数的取值范围 6.(2025·甘肃白银·质量检测)已知函数f(x)= -x+2,x≥1 x2,x<1 ,若函数y=f(x)-m2 有两个不 同的零点,则实数m 的取值范围为 ( ) A.(0,1) B.{-1,0,1} C.[0,1] D.{0,1} 考点五 已知零点所在区间求参数的取值范围 7.(2025·宁夏银川·质量检测)函数f(x)=log2x+x2+m 在区间(2,4)上存在零点,则实数m 的 取值范围是 ( ) A.(-∞,-18) B.(5,+∞) C.(5,18) D.(-18,-5) 考点六 用二分法求方程的近似解 8.(多选)(2025·浙江宁波·阶段练习)某同学利用二分法求函数f(x)=lnx+2x-6的零点时,用 计算器算得部分函数值如表所示: f(2)≈-1.307 f(2.5)≈-0.084 f(2.5625)≈0.066 f(2.625)≈0.215 f(2.75)≈0.512 f(3)≈1.099 则函数f(x)=lnx+2x-6的零点的近似值(精确度0.1)可取为 ( ) A.2.49 B.2.52 C.2.55 D.2.58 9.(2025·重庆黔江·阶段练习)已知方程lnx+x-2=0的根在区间(1,3)上,第一次用二分法求 其近似解时,其根所在区间应取为 . 考点七 函数模型的应用 10.(2025·广东深圳·质量检测)下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x 的函数模型, 从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是 ( ) A.y=10×1.05x B.y=20+x2 C.y=30+lg(x+1) D.y=50x 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 函数与方程综合性问题 已知函数f(x)= 12x+m . 探究问题: (1)是否存在m∈R,使得f(x)+f(2-x)为定值,若存在,求出m 的值;若不存在,说明理由; (2)若m=1,方程 f(x)-12 =kf (x)(k∈R)有两个根x1,x2,且x1<0,x2>0,求x1+x2 的取值 范围. — 45 — — 48 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·广东茂名·质量检测)已知函数f(x)=ax2+2ax+1. (1)若f(1)=4,求f(x)与g(x)=4x+4交点的横坐标; (2)若f(x)在区间(1,2)上恰有一个零点,求a的取值范围. 2.(2025·福建质量检测)已知函数f(x)= a+ln(-x),x<0, -x2+2x+3,x≥0 且f(-e)=3. (1)求实数a的值; (2)若函数g(x)=f(x)-k在R上恰有两个零点,求实数k的取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·湖南长沙·质量检测)已知函数f(x)为定义在R上的偶函数, 且当x≥0时,f(x)= 2x,0≤x≤2 |x-6|,x>2 (1)①作出函数f(x)在[-10,10]上的图象; ②若方程f(x)=a恰有6个不相等的实根,求实数a的取值范围; (2)对于两个定义域相同的函数s(x)和t(x),若g(x)=s(x)-t(x),则称函数g(x)是由“基函数 s(x)和t(x)”生成的.已知g(x)是由“基函数s(x)=log2(x2+1)和t(s)= 12 x ”生成的,若∀x1 ∈R,∃x2∈[1,+∞),使得f(x1)+3a≥g(x2)成立,求实数a的最小值. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 47 —