第11周 对数与对数函数-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 42 — 第十一周 对数与对数函数 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第8题.该题主要考查对数型复合函数的单调性,特别注意真数的范围问题容易出 错,题目设置紧扣概念,考查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 对数的概念 1.(2025·贵州贵阳·阶段练习)使式子log(3x-1)(2-x)有意义的x的取值范围是 ( ) A.x>2 B.13<x<2 C.13<x<2 且x≠23 D.x<2 考点二 对数的运算 2.(2025·湖北·阶段练习)41-log42-lg249-lg245+ (-64) 1 3= . 考点三 换底公式的应用 3.(2025·辽宁丹东·质量检测)若2a=3,3b=5,5c=4,则log4abc= ( ) A.-2 B.12 C. 2 2 D.1 考点四 对数函数的概念 4.(2025·全国·专题练习)已知函数①y=4x;②y=logx2;③y=-log3x;④y=log0.2 x;⑤y= log3x+1;⑥y=log2(x+1).其中是对数函数的是 ( ) A.①②③ B.③④⑤ C.③④ D.②④⑥ 5.(2025·青海海南·质量检测)函数f(x)=lg (10-x2) x 的定义域为 ( ) A.(- 10,10) B.(-∞,- 10)∪(10,+∞) C.[- 10,10] D.(- 10,0)∪(0,10) 考点五 对数函数(对数型复合函数)图象问题 6.(2025·云南昆明·质量检测)如图所示,函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数:y=2x,y= 6x,y= 12 x ,y=log12x,y=log13x,y=log2x的是 ( ) A.①⑤ B.②⑥ C.③⑦ D.④⑧ 考点六 求对数函数(对数型复合函数)的值域 7.(2025·广西·阶段练习)函数f(x)=ln(-x2+2x+1)的值域为 . 考点七 对数函数(对数型复合函数)的单调性 8.(2025·浙江杭州·阶段练习)函数y=ln(-x2-2x+3)的单调递减区间为 ( ) A.(-∞,-1) B.(-1,+∞) C.(-1,1) D.(1,+∞) 9.(22-23下·江苏·质量检测)函数f(x)=log12(x 2-5x+4)的单调递增区间是 . 考点八 比较大小问题 10.(2025·云南昆明·质量检测)已知a=20.3,b=log21.5,c=log0.23,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c> 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 指数函数与对数函数综合问题 已知函数f(x)=2 x+1 2x+a 为奇函数. 探究问题: (1)求实数a的值; (2)判断函数f(x)的单调性(不用证明); (3)设函数g(x)=log2 x 2 ·log2 x 4+m ,若对任意的x1∈[2,8],总存在x2∈(0,1],使得g(x1)= f(x2)成立,求实数m 的取值范围. — 41 — — 44 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·江西·南昌阶段练习)已知函数f(x)=2loga(x-t),其中0<a<1,t∈R. (1)若函数φ(x)=f(a x)的值域为R,求t的取值范围; (2)若不等式f(x)<logax 在 116,4 上恒成立,求t的取值范围. 2.(2025·山西吕梁·质量检测)已知函数f(x)=log2(4x+a·2x+16),其中a∈R. (1)若a=-10,求函数f(x)的定义域; (2)当x∈[1,+∞)时,f(x)>x恒成立,求实数a的取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·河南·洛阳质量检测)已知f(x)=a- 22x+1 (a∈R)是定义在R上的奇函数. (1)求f(x)的值域; (2)设函数g(x)=log2 x 2 ·log2x,若对任意的x1∈[1,2],存在x2∈[0,1],使得g(x1)=f(x2)+ m,求m 的取值范围. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 43 — —88 — (2)因为x>0时,f(x)=g(x)+2=x 1 2+2, 所以由f(x)≤4⇒x 1 2+2≤4⇒x 1 2≤2⇒x≤4,又∵x>0, 所以0<x≤4,所以不等式f(x)≤的解集为(0,4]; (3)当x>0时,f(x)=g(x)+2=x 1 2 +2,此时函数单调递增,且 f(x)>0,当x<0时,f(x)=-(-x) 1 2 -2,此时函数单调递增, 且f(x)<0,而f(0)=0, 因此奇函数f(x)是 R上的增函数,于是由 f(t2-2t)+f(2t2-k)>0⇒f(t2-2t)>-f(2t2-k)=f(k-2t2) ⇒t2-2t>k-2t2⇒k<3t2-2t=3 t-13 2 -13 恒成立, 又3t2-2t=3 t-13 2 -13≥- 1 3 ,所以k<-13 , 所以实数k的取值范围为 -∞,-13 . 【点睛】 本题的关键是利用奇函数的性质和单调性进行求解. 第十周 指数与指数函数 考点·一应俱全 1.AC [对于 A, 3(-8)3=-8,故 A正确;对于B, (-10)2= |-10|=10,故B错误;对于C, 4(3-π)4=|3-π|=π-3,故C 正确;对于D,a≥b, (a-b)2=|a-b|=a-b,a<b, (a-b)2= |a-b|=b-a,故D错误;故选AC.] 2.C [(-64) 1 3 +[(-3)4] 1 4 -(2-1)0+ 3 338 = (-43) 1 3 + (34) 1 4-1+ 32 3 1 3 =-4+3-1+32=- 1 2. 故选C.] 【破题技巧】 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂 统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又 含有负指数. 3.D [因为函数y=(2a2-3a+2)ax 是指数函数,∴2a2-3a+2=1 且a>0,a≠1,由2a2-3a+2=1解得a=1或a=12 ,∴a=12 ,故 选D.] 4.A [对于函数f(x),令2x-1=0,可得x=12 ,则f 12 =a0+1 =2,所以,函数f(x)=a2x-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点坐 标为 12,2 .故选A.] 5.A [因为a>1,所以f(x)是增函数,g(x)的图象与y轴上的交点 为(0,a)(a>1),故只有A项正确.故选A.] 【破题技巧】 对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基 本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别 地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 6.B [因为y=3x 在R上单调递增,所以30.5>30=1,因为y=0.8x 在 R上单调递减,所以0.82<0.80=1,所以30.5>1>0.82,即a> c>b.故选B.] 【技法点拨】 利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式, 最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量. 7.(-2,+∞) [由题意知,22x-3> 12 7 =2-7,又指数函数y=2x 在 R上单调递增,所以2x-3>-7,解得x>-2,即原不等式的 解集为(-2,+∞).故答案为:(-2,+∞).] 8.[1,+∞)/(1,+∞) [复合函数f(x)=0.7x 2-2x可以分为:外部 函数y=0.7u 与内部函数u=x2-2x,因为外部函数y=0.7u 在公 共定义域内单调递减,根据复合函数单调性“同增异减”的性质,所 以求f(x)的减区间,等价于求内部函数u=x2-2x的增区间,易 知u=x2-2x 的 增 区 间 为[1,+∞),故 f(x)的 减 区 间 为[1, +∞),由于端点不影响函数的单调性,所以f(x)的减区间也可以 为(1,+∞),故答案为:[1,+∞).] 【破题技巧】 求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复 合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同 增异减”这一性质分析判断. 9.[1,2] [当-1≤x≤1时,12≤2 x≤2,函数f(x)=(2x)2-2·2x +2=(2x-1)2+1,显然当2x=1,即x=0时,f(x)min=1,当2x= 2,即x=1时,f(x)max=2,所以所求值域是[1,2].故答案为:[1,2].] 10. 0,116 [依题意,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当且仅当x= -1时 取 等 号,而 函 数y= 14 x 在 R 上 单 调 递 减,因 此0< 14 x2+2x+3 ≤ 14 2 =116 ,所以函数y= 14 x2+2x+3 的值域是 0,116 .故答案为: 0,116 .] 探究·一举突破 探究路径 (1)因为f(x)=2a x+a-4 2ax+a (a>0,a≠1),x∈R,定义域关于原点 对称,令x=0,所以f(0)=a-22+a=0 ,故a=2, 则f(x)=2 x-1 2x+1 (x∈R),f(-x)=2 -x-1 2-x+1 =1-2 x 1+2x =-2 x-1 2x+1 =-f(x), 所以f(x)为定义在R上的奇函数,故a=2. (2)f(x)=2 x-1 2x+1 是R上的增函数. 证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2, f(x)1-f(x2)= 2x1-1 2x1+1 -2 x2-1 2x2+1 = (2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1) (2x1+1)(2x2+1) = 2 (2x1-2x2) (2x1+1)(2x2+1) , 所以x1<x2,所以2x1+1>0,2x2+1>0,0<2x1<2x2, 所以2x1-2x2<0,(2x1+1)(2x2+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)是R上的增函数. (3)当x∈[1,2]时,不等式t·f(x)≥2x-2 即t≥ (2x-2)(2x+1) 2x-1 ,故t≥ (2x)2-2x-2 2x-1 =(2x-1)- 2 2x-1 +1, 则令v=2x-1,由题意可知∃v∈[1,3],t≥v-2v+1 , 因为函数y=x,y=-2x 为[1,3]上的增函数, 故y=v-2v+1 在v∈[1,3]上单调递增, 故 v-2v+1 min=1-21+1=0,所以t≥0. 参考答案 (1)2 (2)增函数,证明见解析 (3)t≥0 综合·一练到底 1.解 (1)由f(x)为奇函数,可知f(-1)=-f(1), 即-(1+2a)=-(2+a),解得a=1, 当a=1时,f(x)=2 x+1 2x-1 ,f(-x)=2 -x+1 2-x-1 =1+2 x 1-2x =-f(x)对一 切非零实数恒成立,故a=1时,y=f(x)为奇函数. (2)由f(2)=a,可得4+a3 =a ,解得a=2, 所以f(x)>a⇔2 x+2 2x-1 >2⇔2 x-4 2x-1 <0⇔1<2x<4⇔0<x<2. 解得:0<x<2,所以满足f(x)>a的实数x 的取值范围是(0,2). 【技法点拨】 (1)由奇函数的性质可得f(-1)=-f(1),代入 解方程即可得出答案; (2)由f(2)=a,可得a=2,则2 x+2 2x-1 >2,由指数函数的单调性解 不等式即可得出答案. 2.解 (1)因为函数f(x)是定义在 R上的奇函数, 所以f(0)=0,即a-1b+1=0 ,所以a=1. 又因为f(-x)=-f(x),所以 a-1 2x b+1 2x =-a-2 x b+2x , 将a=1代入,整理得 2 x-1 b·2x+1 =2 x-1 b+2x , 当x≠0时,有b·2x+1=b+2x,即(b-1)·(2x-1)=0, 又因为当x≠0时,有2x-1≠0,所以b-1=0,所以b=1, 故f(x)=1-2 x 1+2x ,满足f(-x)=1-2 -x 1+2-x =2 x-1 1+2x =-f(x),符合题 意,所以a=1,b=1. (2)由(1)知:函数f(x)=1-2 x 1+2x =- (1+2x)+2 1+2x =-1+ 2 1+2x , 因为y=1+2x 为R上的单调增函数,且1+2x>0,故y= 21+2x 为 R上的单调减函数 则函数f(x)在 R上是减函数. (3)因为存在t∈[0,4],使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立, 又因为函数f(x)是定义在 R上的奇函数, 所以不等式可转化为f(k+t2)<-f(4t-2t2)=f(2t2-4t), 又因为函数f(x)在 R上是减函数, 所以k+t2>2t2-4t,所以k>t2-4t, 令g(t)=t2-4t=(t-2)2-4,t∈[0,4] 由题意可得k>g(t)min,又因为g(t)min=g(2)=-4, 所以k>-4,即k的取值范围为(-4,+∞). 【技法点拨】 (1)利用函数为奇函数,结合奇函数性质,列式求 参数值,即可得答案; (2)将f(x)化为f(x)=-1+ 21+2x ,结合指数函数单调性,即 可得出结论; (3)结合函数奇偶性以及单调性,将原不等式化简为存在t∈[0, 4],k>t2-4t成立,结合二次函数的最值,即可求得答案. 选做·一飞冲天 解 (1)由指数函数单调性可知y=3x-1单调递增, 对b分类讨论如下: ①当b=0时,f(x)为常函数; ②当b>0时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞) 上单调递减 ③当b<0时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞) 上单调递增 (2)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(x)是奇函数,∴f(x)+f(-x)=0, 即a+ b 3x-1 +a+ b 3-x-1 =0⇒ (2a-b)3x+(b-2a) 3x-1 =0, 所以b=2a,经验证b=2a时,满足f(-x)=-f(x), 所以a与b的关系式为b=2a. (3)由已知得f(x)=1+ 23x-1 ≥k·3-x, 整理可得:k≤3x+2 ·3x 3x-1 =3x+2 (3x-1)+2 3x-1 =3x-1+ 2 3x-1 +3 在x∈(0,+∞)恒成立,由基本不等式可得3x-1+ 2 3x-1 +3≥2 2+3,当且仅当(3x-1)2=2时,即x=log3(2+1)时,等号成立, 所以k≤2 2+3. 第十一周 对数与对数函数 考点·一应俱全 1.C [由式子log(3x-1)(2-x)有意义,则满足 3x-1>0 3x-1≠1 2-x>0 ,解得13< x<2且x≠23. 故选C.] 2.-3 [因为41-log42-lg249-lg245+ (-64) 1 3=4×4log4 1 2-lg2+ lg49-(lg5+lg49)-4=4×12- (lg2+lg5)-4=-3,故答案 为:-3.] 【破题技巧】 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. 3.B [由2a=3,3b=5,5c=4,可得a=log23,b=log35,c=log54,所 以abc=log23×log35×log54= lg3 lg2× lg5 lg3× lg4 lg5=2 ,则log4abc= log42= 1 2. 故选B.] 【破题技巧】 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对 数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 4.C [根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a>0且a≠1)形式 的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数,易知,①是指数 函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;③中y =-log3x=log13x,是对数函数;④中y=log0.2 x=log0.04x,是对 数函数;⑤⑥中函数显然不是对数函数,由此可知只有③④是对数 函数.故选C.] 5.D [∵ 函 数 f(x)=lg (10-x2) x ,∴ 10-x 2>0 x≠0 ,解 得 x∈ (- 10,0)∪(0, 10).故选D.] 【破题技巧】 根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得 到不等式组,解出即可. 6.B [由指数函数的图像性质可知,①②③④为指数函数图像,且③ ④为单调递增的指数函数,取x=1可知,③④分别对应y=6x,y =2x,又①④图像关于轴对称,则①对应y= 12 x ,即②不属于; 由对数函数的图像性质可知,⑤⑥⑦⑧为对数函数图像,其中⑦⑧ 为单调递减的对数函数,由“底大图低”可知⑧对应y=log1 2 x,⑦ 对应y=log1 3 x,且⑤⑧图像关于轴对称,则⑤对应y=log2x,即⑥ 不属于;故选B.] 【破题技巧】 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要 求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题,利用数形结合法求解. 7.(-∞,ln2] [由-x2+2x+1>0,得1- 2<x<1+ 2,令t= -x2+2x+1,则y=lnt,因为t=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,1 - 2<x<1+ 2,所以0<t≤2,因为函数y=lnt在(0,2]上单调 递增,所以y=lnt≤ln2,所以函数f(x)=ln(-x2+2x+1)的值 域为(-∞,ln2].故答案为:(-∞,ln2]. 【技法点拨】 先求出函数的定义域,再换元令t=-x2+2x+ 1,则y=lnt,求出t的范围,再利用对数函数的性质可求出函数 的值域. 8.C [令-x2-2x+3>0得-3<x<1,故y=ln(-x2-2x+3)的 定义域为(-3,1),y=lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,由复合函 数单调性满足同增异减可得,只需求出t=-x2-2x+3在(-3, 1)上的单调递减区间,t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4在(-1,1) 上单调递减,故数y=ln(-x2-2x+3)的单调递减区间为(-1, 1).故选C.] 9.(-∞,1) [由x2-5x+4>0,得x<1或x>4.∴函数f(x)= log1 2 (x2-5x+4)的定义域为{x|x<1或x>4}.令t=x2-5x+ 4,该函数在(-∞,1)上为减函数,而函数y=log1 2 t为定义域内的 减函数,则 函 数 f(x)=log1 2 (x2-5x+4)的 单 调 递 增 区 间 是 (-∞,1).故答案为:(-∞,1).] 【破题技巧】 求与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必 须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是 复合函数的构成. 10.A [因为a=20.3>20=1,0=log21<b=log21.5<log22=1,c= log0.23<log0.21=0,所以c<b<a,故选A.] 【技法点拨】 根据指数函数、对数函数的单调性,借助0,1比较 大小即可. 探究·一举突破 探究路径 (1)由已知函数需满足2x+a≠0,当a≥0时,函数的定义域为R, 函数f(x)=2 x+1 2x+a 为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2 -x+1 2-x+a = -2 x+1 2x+a 在R上恒成立,即(a+1)(2x+1)=0,a=-1(舍), 当a<0时,x≠log2(-a),函数的定义域为(-∞,log2(-a))∪ (log2(-a),+∞),又函数f(x)= 2x+1 2x+a 为奇函数,所以log2(-a) =0,a=-1,此时f(x)=2 x+1 2x-1 ,函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=2 -x+1 2-x-1 = 2 x+1 -2x+1 =-f(x),函数为奇函数,满足, 综上所述:a=-1; (2)f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,证明如下: f(x)=2 x+1 2x-1 =1+ 2 2x-1 ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 设∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= 1+ 22x1-1 - 1+ 22x2-1 = 2(2 x2-2x1) (2x1-1)(2x2-1) 因为x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,所以2x1-1>0,2x2-1>0,2x2 -2x1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 同理可证,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减; 所以f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上单调递减. (3)函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减, 且当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f(x)>0, x1∈(0,1]时,f(x)≥f(1)=3,所以当x∈(0,1]时f(x)的值域A =[3,+∞), 又g(x)=log2 x 2 ·log2 x 4+m= (log2x-1)(log2x-2)+m,x∈ [2,8], 设t=log2x,t∈[1,3],则y=(t-1)(t-2)+m=t2-3t+2+m, 当t=32 时,取最小值为-14+m ,当x=3时,取最大值为2+m, 即g(x)在x∈[2,8]上的值域B= -14+m,2+m , 又对任意的x1∈[2,8],总存在x2∈(0,1],使得g(x1)=f(x2)成 立,即B⊆A,所以-14+m≥3 ,解得m≥134 ,即m∈ 134,+∞ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 87 — —90 — 参考答案 (1)a=-1 (2)f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上单调递 减. (3)m∈ 134,+∞ 综合·一练到底 1.解 (1)依题意,φ(x)=2loga(a x-t),设函数h(t)=ax-t的值域 为D,由φ(x)的值域为 R,得(0,+∞)⊆D,而a x>0,则ax-t> -t,因此-t≤0,解得t≥0,所以的取值范围为[0,+∞). (2)依题意,2loga(x-t)<logax⇔loga(x-t)<loga x在 116,4 上恒成立,由0<a<1,得函数y=logax 在定义域内单调递减,则 x-t> x>0,于是t<x- x对x∈ 116,4 恒成立,而y=x- x = x-12 2 -14 ,x∈ 116,4 ,则当 x=12,即x=14时,(x- x)min=- 1 4 ,因此t<-14 ,此时满足x-t>0, 所以t的取值范围为 -∞,-14 . 【破题技巧】 (1)根据给定条件,利用对数函数的值域与定义域 的对应关系,结合指数函数值域求解. (2)利用对数函数的单调性变形不等式,分离参数,借助二次函 数求出最小值即得. 2.解 (1)当a=-10时,f(x)=log2(4x-10×2x+16), 由4x-10×2x+16>0得(2x-2)(2x-8)>0, 故2x<2或2x>8,得x<1或x>3,故函数f(x)=log2(4x-10× 2x+16)的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞); (2)由f(x)>x得log2(4x+a·2x+16)>x=log22x, 得4x+a·2x+16>2x,即4x+(a-1)·2x+16>0, 设t=2x,g(t)=t2+(a-1)·t+16 因x∈[1,+∞),故t=2x≥2, 所以当x∈[1,+∞)时,f(x)>x恒成立, 即为g(x)=t2+(a-1)·t+16在t∈[2,+∞)上最小值大于0, 函数g(t)=t2+(a-1)·t+16的对称轴为t=1-a2 , 当1-a 2 <2 即a>-3时,函数g(t)在[2,+∞)上单调递增, 此时g(2)=22+2(a-1)+16>0,得a>-9, 即a>-3满足题意; 当1-a 2 ≥2 ,即a≤-3时,函数g(t)在对称轴取得最小值, 此时g 1-a2 = 1-a2 2 +(a-1) 1-a2 +16>0,得-7<a< 9,即-7<a≤-3满足题意; 故a的取值范围为(-7,+∞). 【技法点拨】 (1)由真数大于0列出不等式即可求解; (2)先根据函数y=log2x为单调递增函数,将f(x)>x转化为 4x+(a-1)·2x+16>0,根据题意可转化为g(t)=t2+(a-1) ·t+16在t∈[2,+∞)上最小值大于0,然后结合二次函数的 性质即可求得. 选做·一飞冲天 解 (1)因为f(x)是定义在 R上的奇函数,所以f(0)=a-1=0, 解得a=1. 经验证,a=1符合题意. 当x≥0时,2x≥1,所以0< 2 2x+1 ≤1,所以0≤1- 2 2x+1 <1, 即f(x)在[0,+∞)上的值域为[0,1). 因为f(x)是奇函数,所以f(x)在(-∞,0)上的值域为(-1,0), 则f(x)的值域为(-1,1). (2)因为对 任 意 的x1∈[1,2],存 在 x2∈[0,1],使 得 g(x1)= f(x2)+m,所以函数g(x)在[1,2]上的值域是函数f(x)+m 在 [0,1]上的值域的子集. g(x)=log2 x 2 ·log2x=(log2x-1)·log2x=(log2x)2-log2x= log2x-12 2 -14. 因为1≤x≤2,所以0≤log2x≤1,所以- 1 2≤log2x- 1 2≤ 1 2 , 则0≤ log2x-12 2 ≤14 ,所以-14≤ log2x-12 2 -14≤0 , 即-14≤g (x)≤0. 因为0≤x≤1,所以2≤2x+1≤3,则23≤ 2 2x+1 ≤1,所以0≤1- 2 2x-1 ≤13 ,即0≤f(x)≤13 ,所以m≤f(x)+m≤13+m , 则 m≤-14 , 1 3+m≥0 , 解得-13≤m≤-14,即m的取值范围是 -13,-14 . 第十二周 函数的应用(二) 考点·一应俱全 1.AD [当2-x≤2时,x≥0,f(2-x)=2-|2-x|= x ,0≤x≤2 4-x,x>2 ; 当2-x>2时,x<0,f(2-x)=(2-x-2)2=x2.f(2-x)= x2,x<0 x,0≤x≤2 4-x,x>2 ,所以f(2-x)的大致图象为 当b=0时,g(x)=b-f(2-x)有零点0,4;当b=2时,由x2=2解 得x=- 2,所以g(x)=b-f(2-x)有零点- 2,2.故选AD.] 2.-1和4 [依题意,x<0ln(-x)=0 或 x>0x2-3x-4=0 ,解得x=-1 或x=4(负根舍去).故答案为:-1和4.] 3.D [函数y=x3-9x的零点,即方程x3-9x=0的实数根.由x3 -9x=x(x+3)(x-3)=0解得,x=0或±3.故函数y=x3-9x 的零点个数是3.故选D.] 4.D [函数f(x)=ln|x|+8-x的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 当x<0时,f(x)=ln(-x)+8-x,显然函数y=ln(-x),y=8- x在(-∞,0)上都单调递减,因此函数f(x)在(-∞,0)上单调递 减,而f(-e-9)=-1+e-9<0,f(-1)=9>0,则函数f(x)在 (-∞,0)上有唯一零点;当x>0时,f(x)=lnx+8-x,显然f (e-9)=-1-e-9<0,f(1)=7>0,f(e3)=11-e3<0,因此函数 f(x)在区间(e-9,1)(1,e3)上至少各有一个零点,当x>0时,由f (x)=0,得lnx=x-8,则f(x)在(0,+∞)上的零点即为函数y= lnx的图象与直线y=x-8的交点横坐标,在同一坐标系内作出 函数y=lnx的图象与直线y=x-8,如图, 观察图象知,函数y=lnx的图象与直线y=x-8有两个交点,即 lnx=x-8有两个解,所以函数f(x)=ln|x|+8-x的零点个数 为3.故选D.] 【破题技巧】 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个不同的实数根,则f(x) 有多少个零点. (2)定理法:利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调 性、奇偶性等. (3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图 象的交点个数得出函数的零点个数. 5.B [因为f(x)的定义域为(0,+∞),且y=ln(2x),y=-1x 在 (0,+∞)内单调递增,可知f(x)在(0,+∞)内单调递增,且f(1) =ln2-1<0,f(2)=ln4-12>0 ,所以函数f(x)的唯一一个零 点所在的区间是(1,2).故选B.] 【破题技巧】 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b] 上的图象是否连续;再看是否有f(a)·f(b)<0,若有,则函数 y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间 上是否有交点来判断. 6.B [由y=f(x)-m2 有两个不同的零点, 即方程f(x)=m2 有两个不同的解,即函数 y=f(x)与y=m2 的图象有两个不同的交 点,画出函数y=f(x)的图象,如图所示,结 合图象可得m2=1或 m2=0,解 m=±1或 m=0,即m∈{-1,0,1}.故选B.] 【破题技巧】 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组),再 通过解不等式确定参数(范围). (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域确定参数 范围. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画 出函数的图象,然后利用数形结合法求解.本题根据题意,转化 为y=f(x)与y=m2 的图象有两个不同的交点,画出y=f(x) 的图象,结合图象,即可求解. 7.D [若函数f(x)=log2x+x2+m 在区间(2,4)上存在零点,由函 数f(x)在(2,4)的图象连续不断,且为增函数,则根据零点存在定 理可知,只需满足f(2)·f(4)<0,即(m+5)(m+18)<0,解得 -18<m<-5,所以实数m 的取值范围是(-18,-5).故选D.] 8.BC [因为函数f(x)=lnx+2x-6在其定义域上单调递增,结合 表格可知,方程lnx+2x-6=0的近似解在(2.5,3),(2.5,2.75), (2.5,2.625),(2.5,2.5625)内,又精确度0.1,所以方程lnx+2x -6=0的近似解(精确度0.1)可取为2.52,2.55.故选BC.] 9.(1,2) [令f(x)=lgx+x-2,因为f(x)在定义域内单调递增, 且f(1)=-1<0,f(3)=lg3+1>0,f(2)=lg2>0,因为f(1)· f(2)<0,所以第一次用二分法求其近似解时,根所在区间应取(1, 2).故答案为:(1,2).] 【破题技巧】 令f(x)=lgx+x-2,利用零点存在性定理,满 足f(a)·f(b)<0,即可找到零点所在区间. 10.A [因为指数函数y=1.05x 的底数大于1,其增长速度随着时 间的推移会越来越快,比幂函数y=x2,对数函数y=lg(x+1), 一次函数y=50x增长的速度快,所以从足够长远的角度看,使得 公司获益最大的函数模型是y=10×1.5x,故选A.] 探究·一举突破 探究路径 (1)f(x)+f(2-x)= 12x+m + 1 22-x+m = 1 2x+m + 2 x 4+m·2x = (4+m·2x)+2x(2x+m) (2x+m)(4+m·2x) = 4 x+2m·2x+4 m·4x+(4+m2)2x+4m , 若f(x)+f(2-x)为定值则应1m= 2m 4+m2 =44m ,解得m2=4, 即m=±2. 当m=2时,f(x)+f(2-x)=12 ,当m=-2时,f(x)+f(2-x) =-12. 所以存在m=±2符合要求. (2)m =1 时,方 程 即 为 12x+1- 1 2 = k 2x+1 ,整 理 得 1-2x 2(2x+1) = k 2x+1 ,即|2x-1|=2k, 因为方程有两个根x1<0,x2>0,由图象可 知,0<2k<1,即0<k<12 , 且-2x1+1=2k,得x1=log2(1-2k),同理 有2x2-1=2k,得x2=log2(1+2k), 所以x1+x2=log2(1-2k)+log2(1+2k)= log2(1-4k2),由0<k< 1 2 ,得x1+x2<0,所 以x1+x2 的取值范围是(-∞,0). 参考答案 (1)m=±2 (2)(-∞,0) 综合·一练到底 1.解 (1)若f(1)=4,则a+2a+1=4,解得a=1, 所以f(x)=x2+2x+1, 由 y=x 2+2x+1 y=4x+4 解得 x=3y=16 ,或 x=-1y=0 , 所以f(x)与g(x)=4x+4交点的横坐标为x=3或x=-1; (2)若a=0,则f(x)=1在区间(1,2)上没零点,不符合题意, 所以a≠0,所以f(x)=ax2+2ax+1的图象为抛 物线,对称轴为x=-2a2a=-1 , 所以要使f(x)在区间(1,2)上恰有一个零点,只须 f(1)f(2)<0, 即(a+2a+1)(4a+4a+1)<0,解得-13<a< -18.a 的取值范围 -13,-18 . 【技法点拨】 (1)f(1)=4求出a,再解f(x)与g(x)=4x+4组 成的方程组可得答案; (2)a=0时不符合题意,a≠0时只须f(1)f(2)<0解不等式可 得答案. 2.解 (1)因为f(x)= a+ln (-x),x<0, -x2+2x+3,x≥0, 且f(-e)=3, 所以f(-e)=a+ln(e)=3,解得a=2; (2)由(1)可得 f(x)= 2+ln (-x),x<0 -x2+2x+3,x≥0 , 当x<0时,f(x)=2+ln(-x),函 数 f(x)在(-∞,0)上 单 调 递 减,且 f(x) ∈R; 当x≥0时,f(x)=-x2+2x+3=-(x -1)2+4,则f(x)在[0,1]上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 且f(1)=4,f(0)=3,即f(x)∈(-∞,4]; 所以f(x)的图象如图所示: 因为函数g(x)=f(x)-k在 R上恰有两个零点, 即函数y=f(x)与y=k在 R上恰有两个交点, 由图可知k<3或k=4,即实数k的取值范围为(-∞,3)∪{4}. 【破题技巧】 (1)根据分段函数解析式代入计算可得; (2)由(1)可得f(x)的解析式,即可分析函数在各段的单调性与 取值范围,再画出f(x)的图象,依题意函数y=f(x)与y=k在 R上恰有两个交点,数形结合即可求出参数的取值范围. 选做·一飞冲天 解 (1)①当x≥0时,f(x)= 2 x,0≤x≤2 |x-6|,x>2 列表: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f(x)1 2 4 3 2 1 0 1 2 3 4 描点连线,图象如图,因为f(x)为偶函数,所以f(x)的图象关于y 轴对称,所以f(x)在[-10,10]上的图象如图所示; ②f(x)=a恰有6个不相等的实根,等价于y=f(x)与y=a有6 个交点,由图象可知当1<a<4时,有6个交点,所以实数a的取 值范围为(1,4); (2)由题意,g(x)=log2(x2+1)- 12 x , 因为t=x2+1在[1,+∞)上为增函数,y=log2t在(0,+∞)上为 增函数,所以y=log2(x2+1)在[1,+∞)上为增函数, 因为y=- 12 x 在[1,+∞)上为增函数,所以g(x)=log2(x2+ 1)- 12 x 在[1,+∞)上为增函数, 所以g(x)min=g(1)=log2(12+1)- 12 1 =12 , 由(1)可知f(x)在 R上的最小值为0, 因为∀x1∈R,∃x2∈[1,+∞),使得f(x1)+3a≥g(x2)成立, 所以f(x)min+3a≥g(x)min, 所以0+3a≥12 ,解得a≥16 ,所以实数a的最小值为16. 【技法点拨】 (1)①先利用描点法作出区间[0,10]上的函数图 象,结合偶函数的对称性可得[-10,10]上的图象,②利用图象 和实数根的个数可得实数a的取值范围; (2)先根据复合函数求出g(x)的最小值,利用f(x)min+3a≥ g(x)min可得答案. 第十三周 任意角与弧度制 考点·一应俱全 1.B [因为α∈ 0,π2 锐角,所以小于π2的角不一定是锐角,故① 不成立;因为钝 角β∈ π2,π ,第 二 象 限 角θ∈ π2 +2kπ,π+ 2kπ ,k∈Z,所以钝角一定是第二象限角,故②成立;若两个角的 终边不重合,则这两个角一定不相等,故③成立;例如α=120°,β= 390°,但α<β,故④不成立.故选B.] 2.B [∵-2024°4'=-5×360°-224°4',∴与角-2024°4'终边相 同的角是-224°4'.故选B.] 3.{θ|k·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z} [阴影部分内的角的 集合为{θ|k·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z}.故答案为:{θ|k ·360°-30°<θ<k·360°+75°,k∈Z}.] 【破题技巧】 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的 角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通 过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 89 —