第10周 指数与指数函数-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—88 — (2)因为x>0时,f(x)=g(x)+2=x 1 2+2, 所以由f(x)≤4⇒x 1 2+2≤4⇒x 1 2≤2⇒x≤4,又∵x>0, 所以0<x≤4,所以不等式f(x)≤的解集为(0,4]; (3)当x>0时,f(x)=g(x)+2=x 1 2 +2,此时函数单调递增,且 f(x)>0,当x<0时,f(x)=-(-x) 1 2 -2,此时函数单调递增, 且f(x)<0,而f(0)=0, 因此奇函数f(x)是 R上的增函数,于是由 f(t2-2t)+f(2t2-k)>0⇒f(t2-2t)>-f(2t2-k)=f(k-2t2) ⇒t2-2t>k-2t2⇒k<3t2-2t=3 t-13 2 -13 恒成立, 又3t2-2t=3 t-13 2 -13≥- 1 3 ,所以k<-13 , 所以实数k的取值范围为 -∞,-13 . 【点睛】 本题的关键是利用奇函数的性质和单调性进行求解. 第十周 指数与指数函数 考点·一应俱全 1.AC [对于 A, 3(-8)3=-8,故 A正确;对于B, (-10)2= |-10|=10,故B错误;对于C, 4(3-π)4=|3-π|=π-3,故C 正确;对于D,a≥b, (a-b)2=|a-b|=a-b,a<b, (a-b)2= |a-b|=b-a,故D错误;故选AC.] 2.C [(-64) 1 3 +[(-3)4] 1 4 -(2-1)0+ 3 338 = (-43) 1 3 + (34) 1 4-1+ 32 3 1 3 =-4+3-1+32=- 1 2. 故选C.] 【破题技巧】 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂 统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又 含有负指数. 3.D [因为函数y=(2a2-3a+2)ax 是指数函数,∴2a2-3a+2=1 且a>0,a≠1,由2a2-3a+2=1解得a=1或a=12 ,∴a=12 ,故 选D.] 4.A [对于函数f(x),令2x-1=0,可得x=12 ,则f 12 =a0+1 =2,所以,函数f(x)=a2x-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点坐 标为 12,2 .故选A.] 5.A [因为a>1,所以f(x)是增函数,g(x)的图象与y轴上的交点 为(0,a)(a>1),故只有A项正确.故选A.] 【破题技巧】 对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基 本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别 地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 6.B [因为y=3x 在R上单调递增,所以30.5>30=1,因为y=0.8x 在 R上单调递减,所以0.82<0.80=1,所以30.5>1>0.82,即a> c>b.故选B.] 【技法点拨】 利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式, 最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量. 7.(-2,+∞) [由题意知,22x-3> 12 7 =2-7,又指数函数y=2x 在 R上单调递增,所以2x-3>-7,解得x>-2,即原不等式的 解集为(-2,+∞).故答案为:(-2,+∞).] 8.[1,+∞)/(1,+∞) [复合函数f(x)=0.7x 2-2x可以分为:外部 函数y=0.7u 与内部函数u=x2-2x,因为外部函数y=0.7u 在公 共定义域内单调递减,根据复合函数单调性“同增异减”的性质,所 以求f(x)的减区间,等价于求内部函数u=x2-2x的增区间,易 知u=x2-2x 的 增 区 间 为[1,+∞),故 f(x)的 减 区 间 为[1, +∞),由于端点不影响函数的单调性,所以f(x)的减区间也可以 为(1,+∞),故答案为:[1,+∞).] 【破题技巧】 求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复 合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同 增异减”这一性质分析判断. 9.[1,2] [当-1≤x≤1时,12≤2 x≤2,函数f(x)=(2x)2-2·2x +2=(2x-1)2+1,显然当2x=1,即x=0时,f(x)min=1,当2x= 2,即x=1时,f(x)max=2,所以所求值域是[1,2].故答案为:[1,2].] 10. 0,116 [依题意,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当且仅当x= -1时 取 等 号,而 函 数y= 14 x 在 R 上 单 调 递 减,因 此0< 14 x2+2x+3 ≤ 14 2 =116 ,所以函数y= 14 x2+2x+3 的值域是 0,116 .故答案为: 0,116 .] 探究·一举突破 探究路径 (1)因为f(x)=2a x+a-4 2ax+a (a>0,a≠1),x∈R,定义域关于原点 对称,令x=0,所以f(0)=a-22+a=0 ,故a=2, 则f(x)=2 x-1 2x+1 (x∈R),f(-x)=2 -x-1 2-x+1 =1-2 x 1+2x =-2 x-1 2x+1 =-f(x), 所以f(x)为定义在R上的奇函数,故a=2. (2)f(x)=2 x-1 2x+1 是R上的增函数. 证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2, f(x)1-f(x2)= 2x1-1 2x1+1 -2 x2-1 2x2+1 = (2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1) (2x1+1)(2x2+1) = 2 (2x1-2x2) (2x1+1)(2x2+1) , 所以x1<x2,所以2x1+1>0,2x2+1>0,0<2x1<2x2, 所以2x1-2x2<0,(2x1+1)(2x2+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)是R上的增函数. (3)当x∈[1,2]时,不等式t·f(x)≥2x-2 即t≥ (2x-2)(2x+1) 2x-1 ,故t≥ (2x)2-2x-2 2x-1 =(2x-1)- 2 2x-1 +1, 则令v=2x-1,由题意可知∃v∈[1,3],t≥v-2v+1 , 因为函数y=x,y=-2x 为[1,3]上的增函数, 故y=v-2v+1 在v∈[1,3]上单调递增, 故 v-2v+1 min=1-21+1=0,所以t≥0. 参考答案 (1)2 (2)增函数,证明见解析 (3)t≥0 综合·一练到底 1.解 (1)由f(x)为奇函数,可知f(-1)=-f(1), 即-(1+2a)=-(2+a),解得a=1, 当a=1时,f(x)=2 x+1 2x-1 ,f(-x)=2 -x+1 2-x-1 =1+2 x 1-2x =-f(x)对一 切非零实数恒成立,故a=1时,y=f(x)为奇函数. (2)由f(2)=a,可得4+a3 =a ,解得a=2, 所以f(x)>a⇔2 x+2 2x-1 >2⇔2 x-4 2x-1 <0⇔1<2x<4⇔0<x<2. 解得:0<x<2,所以满足f(x)>a的实数x 的取值范围是(0,2). 【技法点拨】 (1)由奇函数的性质可得f(-1)=-f(1),代入 解方程即可得出答案; (2)由f(2)=a,可得a=2,则2 x+2 2x-1 >2,由指数函数的单调性解 不等式即可得出答案. 2.解 (1)因为函数f(x)是定义在 R上的奇函数, 所以f(0)=0,即a-1b+1=0 ,所以a=1. 又因为f(-x)=-f(x),所以 a-1 2x b+1 2x =-a-2 x b+2x , 将a=1代入,整理得 2 x-1 b·2x+1 =2 x-1 b+2x , 当x≠0时,有b·2x+1=b+2x,即(b-1)·(2x-1)=0, 又因为当x≠0时,有2x-1≠0,所以b-1=0,所以b=1, 故f(x)=1-2 x 1+2x ,满足f(-x)=1-2 -x 1+2-x =2 x-1 1+2x =-f(x),符合题 意,所以a=1,b=1. (2)由(1)知:函数f(x)=1-2 x 1+2x =- (1+2x)+2 1+2x =-1+ 2 1+2x , 因为y=1+2x 为R上的单调增函数,且1+2x>0,故y= 21+2x 为 R上的单调减函数 则函数f(x)在 R上是减函数. (3)因为存在t∈[0,4],使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立, 又因为函数f(x)是定义在 R上的奇函数, 所以不等式可转化为f(k+t2)<-f(4t-2t2)=f(2t2-4t), 又因为函数f(x)在 R上是减函数, 所以k+t2>2t2-4t,所以k>t2-4t, 令g(t)=t2-4t=(t-2)2-4,t∈[0,4] 由题意可得k>g(t)min,又因为g(t)min=g(2)=-4, 所以k>-4,即k的取值范围为(-4,+∞). 【技法点拨】 (1)利用函数为奇函数,结合奇函数性质,列式求 参数值,即可得答案; (2)将f(x)化为f(x)=-1+ 21+2x ,结合指数函数单调性,即 可得出结论; (3)结合函数奇偶性以及单调性,将原不等式化简为存在t∈[0, 4],k>t2-4t成立,结合二次函数的最值,即可求得答案. 选做·一飞冲天 解 (1)由指数函数单调性可知y=3x-1单调递增, 对b分类讨论如下: ①当b=0时,f(x)为常函数; ②当b>0时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞) 上单调递减 ③当b<0时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞) 上单调递增 (2)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(x)是奇函数,∴f(x)+f(-x)=0, 即a+ b 3x-1 +a+ b 3-x-1 =0⇒ (2a-b)3x+(b-2a) 3x-1 =0, 所以b=2a,经验证b=2a时,满足f(-x)=-f(x), 所以a与b的关系式为b=2a. (3)由已知得f(x)=1+ 23x-1 ≥k·3-x, 整理可得:k≤3x+2 ·3x 3x-1 =3x+2 (3x-1)+2 3x-1 =3x-1+ 2 3x-1 +3 在x∈(0,+∞)恒成立,由基本不等式可得3x-1+ 2 3x-1 +3≥2 2+3,当且仅当(3x-1)2=2时,即x=log3(2+1)时,等号成立, 所以k≤2 2+3. 第十一周 对数与对数函数 考点·一应俱全 1.C [由式子log(3x-1)(2-x)有意义,则满足 3x-1>0 3x-1≠1 2-x>0 ,解得13< x<2且x≠23. 故选C.] 2.-3 [因为41-log42-lg249-lg245+ (-64) 1 3=4×4log4 1 2-lg2+ lg49-(lg5+lg49)-4=4×12- (lg2+lg5)-4=-3,故答案 为:-3.] 【破题技巧】 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. 3.B [由2a=3,3b=5,5c=4,可得a=log23,b=log35,c=log54,所 以abc=log23×log35×log54= lg3 lg2× lg5 lg3× lg4 lg5=2 ,则log4abc= log42= 1 2. 故选B.] 【破题技巧】 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对 数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 4.C [根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a>0且a≠1)形式 的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数,易知,①是指数 函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;③中y =-log3x=log13x,是对数函数;④中y=log0.2 x=log0.04x,是对 数函数;⑤⑥中函数显然不是对数函数,由此可知只有③④是对数 函数.故选C.] 5.D [∵ 函 数 f(x)=lg (10-x2) x ,∴ 10-x 2>0 x≠0 ,解 得 x∈ (- 10,0)∪(0, 10).故选D.] 【破题技巧】 根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得 到不等式组,解出即可. 6.B [由指数函数的图像性质可知,①②③④为指数函数图像,且③ ④为单调递增的指数函数,取x=1可知,③④分别对应y=6x,y =2x,又①④图像关于轴对称,则①对应y= 12 x ,即②不属于; 由对数函数的图像性质可知,⑤⑥⑦⑧为对数函数图像,其中⑦⑧ 为单调递减的对数函数,由“底大图低”可知⑧对应y=log1 2 x,⑦ 对应y=log1 3 x,且⑤⑧图像关于轴对称,则⑤对应y=log2x,即⑥ 不属于;故选B.] 【破题技巧】 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要 求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题,利用数形结合法求解. 7.(-∞,ln2] [由-x2+2x+1>0,得1- 2<x<1+ 2,令t= -x2+2x+1,则y=lnt,因为t=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,1 - 2<x<1+ 2,所以0<t≤2,因为函数y=lnt在(0,2]上单调 递增,所以y=lnt≤ln2,所以函数f(x)=ln(-x2+2x+1)的值 域为(-∞,ln2].故答案为:(-∞,ln2]. 【技法点拨】 先求出函数的定义域,再换元令t=-x2+2x+ 1,则y=lnt,求出t的范围,再利用对数函数的性质可求出函数 的值域. 8.C [令-x2-2x+3>0得-3<x<1,故y=ln(-x2-2x+3)的 定义域为(-3,1),y=lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,由复合函 数单调性满足同增异减可得,只需求出t=-x2-2x+3在(-3, 1)上的单调递减区间,t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4在(-1,1) 上单调递减,故数y=ln(-x2-2x+3)的单调递减区间为(-1, 1).故选C.] 9.(-∞,1) [由x2-5x+4>0,得x<1或x>4.∴函数f(x)= log1 2 (x2-5x+4)的定义域为{x|x<1或x>4}.令t=x2-5x+ 4,该函数在(-∞,1)上为减函数,而函数y=log1 2 t为定义域内的 减函数,则 函 数 f(x)=log1 2 (x2-5x+4)的 单 调 递 增 区 间 是 (-∞,1).故答案为:(-∞,1).] 【破题技巧】 求与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必 须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是 复合函数的构成. 10.A [因为a=20.3>20=1,0=log21<b=log21.5<log22=1,c= log0.23<log0.21=0,所以c<b<a,故选A.] 【技法点拨】 根据指数函数、对数函数的单调性,借助0,1比较 大小即可. 探究·一举突破 探究路径 (1)由已知函数需满足2x+a≠0,当a≥0时,函数的定义域为R, 函数f(x)=2 x+1 2x+a 为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2 -x+1 2-x+a = -2 x+1 2x+a 在R上恒成立,即(a+1)(2x+1)=0,a=-1(舍), 当a<0时,x≠log2(-a),函数的定义域为(-∞,log2(-a))∪ (log2(-a),+∞),又函数f(x)= 2x+1 2x+a 为奇函数,所以log2(-a) =0,a=-1,此时f(x)=2 x+1 2x-1 ,函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=2 -x+1 2-x-1 = 2 x+1 -2x+1 =-f(x),函数为奇函数,满足, 综上所述:a=-1; (2)f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,证明如下: f(x)=2 x+1 2x-1 =1+ 2 2x-1 ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 设∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= 1+ 22x1-1 - 1+ 22x2-1 = 2(2 x2-2x1) (2x1-1)(2x2-1) 因为x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,所以2x1-1>0,2x2-1>0,2x2 -2x1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 同理可证,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减; 所以f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上单调递减. (3)函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减, 且当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f(x)>0, x1∈(0,1]时,f(x)≥f(1)=3,所以当x∈(0,1]时f(x)的值域A =[3,+∞), 又g(x)=log2 x 2 ·log2 x 4+m= (log2x-1)(log2x-2)+m,x∈ [2,8], 设t=log2x,t∈[1,3],则y=(t-1)(t-2)+m=t2-3t+2+m, 当t=32 时,取最小值为-14+m ,当x=3时,取最大值为2+m, 即g(x)在x∈[2,8]上的值域B= -14+m,2+m , 又对任意的x1∈[2,8],总存在x2∈(0,1],使得g(x1)=f(x2)成 立,即B⊆A,所以-14+m≥3 ,解得m≥134 ,即m∈ 134,+∞ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 87 — — 38 — 第十周 指数与指数函数 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第9题.该题主要考查与指数函数有关的值域问题,题目设置紧扣概念,考查学生的 转化能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 根式的概念 1.(多选)(2025·湖南娄底·质量检测)下列运算正确的是 ( ) A. 3(-8)3=-8 B.(-10)2=-10 C. 4(3-π)4=π-3 D.(a-b)2=a-b 考点二 分数指数幂的简单计算 2.(2025·湖南长沙·阶段练习)计算(-64) 1 3+[(-3)4] 1 4-(2-1)0+ 3 338= ( ) A.-132 B.- 11 2 C.- 1 2 D. 1 2 考点三 指数函数的概念 3.(2025·天津河西·质量检测)若函数f(x)=(2a2-3a+2)·ax 是指数函数,则a的值为 ( ) A.2 B.1 C.1或12 D. 1 2 考点四 指数型函数图象 4.(2025·广西南宁·质量检测)函数f(x)=a2x-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点 M,则 M 为 ( ) A. 12,2 B.(0,2) C.(0,1) D. 12,1 5.(2025·全国·单元测试)若a>1,则函数f(x)=ax 与g(x)=-x+a的图象大致是 ( ) 考点五 利用指数函数的单调性比较大小 6.(2025·云南昆明·质量检测)若a=30.5,b=0.82,c=1,则a,b,c的大小关系是 ( ) A.c>b>a B.a>c>b C.a>b>c D.b>c>a 考点六 利用指数函数的单调性解不等式 7.(2025·贵州遵义·阶段练习)不等式22x-3> 12 7 的解集是 . 考点七 指数型复合函数的单调性 8.(2025·湖南衡阳·质量检测)f(x)=0.7x 2 -2x的单调递减区间为 . 考点八 与指数函数有关的值域问题 9.(2025·福建三明·质量检测)函数f(x)=4x-2x+1+2在-1≤x≤1时的值域是 . 10.(2025·重庆·质量检测)函数y= 14 x2+2x+3 的值域是 . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 与指数函数的相关的综合问题 已知函数f(x)=2a x+a-4 2ax+a (a>0,a≠1)是定义在R上的奇函数. 探究问题: (1)求实数a的值; (2)判断f(x)在定义域上的单调性,并用单调性定义证明; (3)∃x∈[1,2],使得t·f(x)≥2x-2成立,求实数t的取值范围. — 37 — — 40 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·上海黄浦·质量检测)设a∈R,函数f(x)=2 x+a 2x-1 . (1)求a的值,使得y=f(x)为奇函数; (2)若f(2)=a,求满足f(x)>a的实数x 的取值范围. 2.(2025·安徽淮北·阶段练习)已知定义域为R的函数f(x)=a-2 x b+2x 是奇函数. (1)求a,b的值; (2)判断f(x)的单调性,并作简要说明,无需证明; (3)若存在t∈[0,4],使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立,求实数k的取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·浙江质量检测)设函数f(x)=a+ b3x-1 (a,b∈R). (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)和(-∞,0)上的单调性(不需要证明过程); (2)若函数f(x)在其定义域内为奇函数,求a与b的关系式; (3)在(2)的条件下,当a=1时,不等式f(x)≥k·3-x在x∈(0,+∞)恒成立,求k的取值范围. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 39 —