第9周 幂函数、函数的应用(一)-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

— 34 — 第九周 幂函数、函数的应用(一) (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第8题.该题主要考查幂函数的图象的判断及应,题目设置紧扣概念,考查对学生 的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 判断函数是否为幂函数 1.(多选)(2025·四川雅安·阶段练习)下列函数是幂函数的是 ( ) A.y=5x B.y=x5 C.y= x D.y=(x+1)3 考点二 求幂函数的值 2.(2025·广东湛江·质量检测)已知幂函数f(x)的图象经过点(2,2),则f(9)= ( ) A.3 B.1 C.2 D.3 考点三 求幂函数的解析式 3.(2025·安徽亳州·质量检测)已知幂函数的图象经过点 243,13 ,那么f(x)的解析式为 . 考点四 根据函数是幂函数求参数 4.(2025·广东广州质量检测)若幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上单调递增,则实数 m 的值为 ( ) A.2 B.1 C.-1 D.2 考点五 求幂函数的定义域 5.(2025·广东珠海·质量检测)给出5个幂函数:①y=x-2;②y=x 4 5;③y=x 1 4;④y=x 2 3;⑤y= x- 4 5,其中定义域为R的是 ( ) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 考点六 求幂函数的值域 6.(2025·辽宁大连·阶段练习)函数y=x 2 3,-1≤x≤0的值域为 . 考点七 根据幂函数的单调性解不等式 7.(2025·广西百色·质量检测)已知幂函数f(x)=mxm- 1 2满足条件f(3-a)>f(a),则实数a的 取值范围是 . 考点八 幂函数的图象的判断及应用 8.(2025·四川南充·质量检测)已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是 ( ) A.y=x 1 2 B.y=x- 1 2 C.y=x3 D.y=x 1 3 考点九 函数模型的应用 9.(2025·全国·专题练习)某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:每位职工每月用水不超 过10m3 的,按每立方米m 元收费;用水超过10m3 的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费 16m元,则该职工这个月实际用水为 ( ) A.13m3 B.14m3 C.18m3 D.26m3 10.(2025·上海浦东新·质量检测)要建造一个高为3米,容积为48立方米的无盖长方体蓄水池. 已知池底的造价为每平方米1500元,池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价(元) 关于池底一边的长度(米)的函数关系为: . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 分段函数模型的应用 新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召,2020 年积极引进新能源汽车生产设备,通过分析,全年需要投入固定成本2000万元.每生产x(百辆) 新能源汽车,需另投入成本C(x)万元,且C(x)= 10x2+100x,0<x<50 501x+8100x -5000 ,x≥50 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ,由市场调研知,每∙ 辆 ∙ 车售价5万元,且生产的车辆当年能全部销售完. 探究问题: (1)求出2020年的利润L(x)(万元)关于年产量x(百辆∙∙ )的函数关系式;(利润=销售量×售价- 成本) (2)2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大? 并求出最大利润. — 33 — — 36 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·河北沧州·质量检测)已知幂函数f(x)=(3m2-m+1)x9m-2的图象不经过原点. (1)求m 的值; (2)若a≠0,试比较f(a)与f(a2+1)的大小. 2.(2025·内蒙古兴安盟·质量检测)设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定.生产成本C (单位:万元)与产量x(单位:百件)的函数关系是C(x)=10000+20x;销售收入S(单位:万元)与 产量x的函数关系式为S(x)= 1 50x 2+220x,0<x<120, 25488+10x,x≥120. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 (1)求该商品的利润W(x)关于产量x的函数解析式;(利润=销售收入-生产成本) (2)为使该商品的利润最大化,应如何安排产量? 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·江苏宿迁·阶段练习)已知幂函数g(x)=(m2-m+1)xm- 1 2在区间(0,+∞)上是单调递 增,定义域为R的奇函数f(x)满足x>0时,f(x)=g(x)+2. (1)求f(x)的解析式; (2)在x>0时,解不等式f(x)≤4; (3)若对于任意实数,都有f(t2-2t)+f(2t2-k)>0恒成立,求实数k的取值范围. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 35 — —86 — 2.D [当x<0,则-x>0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x,又 f(x)为偶函数,所以,当x<0时,f(x)=f(-x)=x2-x.故选D.] 【技法点拨】 设x<0,可得出-x>0,求出f(-x)的表达式, 利用偶函数的性质可得出函数f(x)在x<0时的解析式. 3.f(x)= 2x1+x2 [由奇函数的性质可知,f(0)=b=0,即f(x)= ax 1+x2 ,又f 12 = 1 2a 1+14 =45 ,得a=2,所以f(x)= 2x1+x2 .故答 案为:f(x)= 2x1+x2 .] 4.A [因为函数f(x)是定义在[2a,2-a]上的偶函数,所以定义域 关于原点对称,可得2-a=-2a,所以a=-2,由f(-x)=f(x), 可得2b+a=0,解得b=1,所以a-b=-3.故选A.] 5.-3 [函数f(x)= x 2+ax,x≥0 bx2-2x,x<0 是奇函数,f(0)=0,当x<0 时,-x>0,f(x)=-f(-x)=-(x2-ax)=-x2+ax,而当x< 0时,f(x)=bx2-2x,则b=-1,a=-2,当x>0时,-x<0, f(x)=-f(-x)=-(bx2+2x)=-bx2-2x,而当x>0时,f(x) =x2+ax,则b=-1,a=-2,所以b=-1,a=-2.a+b=-3.故 答案为:-3.] 【破题技巧】 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取 值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或 得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象,结合 几何直观求解相关问题. 6.C [因 为f(x)为 定 义 在[-4,4]上 的 偶 函 数,且f(x+1)> f(-2),可得f(|x+1|)>f(2),且f(x)在[0,4]上为减函数,则 0≤|x+1|<2,解得-3<x<1,所以实数x的取值范围是(-3,1). 故选C.] 7.B [函数f(x)是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,f(1)=0,则 f(x)在(- ∞,0)上 单 调 递 减,f(-1)=0,f (x) x <0 ,则 有 x<0 f(x)>0=f(-1) 或 x>0f(x)<0=f(1) ,解得x<-1或0<x< 1,所以不等式f (x) x <0 的解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选B.] 8.C [令g(x)=x5+ax3+bx,因为g(-x)=-x5-ax3-bx= -g(x),所以函数g(x)为奇函数,由f(-2)=g(-2)+3=5,得g (-2)=2,所以g(2)=-g(-2)=-2,所以f(2)=g(2)+3=1. 故选C.] 9.188 [令g(x)=ax3+bx,h(x)=x2-3,x∈R,则g(-x)=-ax3 -bx=-(ax3+bx)=-g(x),h(-x)=x2-3=h(x),所以g(x) 为奇函数,h(x)为 偶 函 数,又f(x)=g(x)+h(x),且f(10)= g(10)+h(10)=6,h(10)=102-3=97,所 以 g(10)=-91, h(-10)=h(10)=97,又g(-10)=-g(10)=91,所以f(-10)= g(-10)+h(-10)=91+97=188.故答案为188.] 【技法点拨】 令g(x)=ax3+bx,h(x)=x2-3,即可判断g (x)、h(x)的奇偶性,再根据奇偶性求出f(-10). 10.B [f(x)= (x+1)2 x2+1 =x 2+2x+1 x2+1 =1+ 2x x2+1 ,设g(x)=f(x)- 1= 2x x2+1 ,x∈[-3,3],g(-x)= 2 (-x) (-x)2+1 = -2x x2+1 =-g(x), 则g(x)是[-3,3]上的奇函数,g(x)的最大值为 M-1,最小值为 m-1,则有(M-1)+(m-1)=0,所以 M+m=2.故选B.] 【破题技巧】 设g(x)=f(x)-1,证明g(x)是奇函数,则g(x) 的最大值与最小值互为相反数,可求 M+m. 探究·一举突破 探究路径 (1)由函数f(x)=x 2+1 ax+b 为奇函数,且f(-1)=-2,可得f(1)= 2,则 2 -a+b=-2 2 a+b=2 ,解得a=1,b=0,可得f(x)=x+1x, 经检验,有解析式可知,定义域{x|x≠0},关于原点对称, 可得f(x)+f(-x)=x+1x+ (-x)+ 1-x=0 ,所以f(x)是奇函 数,满足题意 函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 证明如下:任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= x1 + 1x1 - x2 + 1x2 = (x1 -x2) x1x2-1x1x2 ,因为x1,x2∈(0,1),且x1<x2,所以x1-x2<0,0< x1x2<1,所以x1x2-1<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)> f(x2),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,同理可证明函数f(x) 在(1,+∞)上单调递增. (2)由题意,函数h(x)=x2+1 x2 -2t x+1x ,令z=x+1x,可得 y=z2-2tz-2,由(1)可知函数z=x+1x 在 12,1 上单调递减, 在[1,2]上单调递增,所以z∈ 2,52 ,因为函数y=z2-2tz-2 的对称轴方程为z=t<0, 所以函数y=z2-2tz-2在 2,52 上单调递增, 当z=2时,y=z2-2tz-2取得最小值,ymin=-4t+2; 当z=52 时,y=z2-2tz-2取得最大值,ymax=-5t+ 17 4. 所以h(x)min=-4t+2,h(x)max=-5t+ 17 4 , 又因为对任意的∀x1,x2∈ 12,2 都有|h(x1)-h(x2)|≤154恒 成立,所以h(x)max-h(x)min≤ 15 4 ,即-5t+174-4t+2≤ 15 4 ,解得 t≥-32 ,又因为t<0,所以-32≤t<0 ,所以实数t的取值范围是 -32,0 . 参考答案 (1)函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调 递增,证明见解析 (2) -32,0 综合·一练到底 1.解 (1)根据题意,f(x)=ax-b4-x2 是定义在(-2,2)上的奇函数, 则有f(0)=-b4 =0 ,解得b=0,又由f(1)=a3= 1 3 ,解得a=1, 所以f(x)= x4-x2 ,f(x)定义域为(-2,2), 且f(-x)= -x4-(-x)2 = -x 4-x2 =-f(x),所以f(x)= x4-x2 (-2 <x<2); (2)f(x)在区间(-2,2)上为严格增函数. 证明如下:设任意-2<x1<x2<2,则f(x1)-f(x2)= x1 4-x21 - x2 4-x22 = (4+x1x2)(x1-x2) (4-x21)(4-x22) ,由-2<x1<x2<2,得-4<x1x2<4, 即4+x1x2>0,x1-x2<0,(4-x21)(4-x22)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 故f(x)在区间(-2,2)上为严格增函数. 【破题技巧】 根据题意,由奇函数的性质可得f(0)=0,求出b 的值,结合函数的解析式求出a的值,计算可得答案. 2.解 (1)由f(0)=0得b=0, 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x), 当x∈(-1,0)时,-ax1-x=- x 1-x ,故a=1, 故f(x)= x 1-x ,-1<x≤0 x 1+x ,0<x<1 (2)任取x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= x1 1+x1 - x2 1+x2 = x1-x2 (1+x1)(1+x2) , ∵x1,x2∈(0,1),且x1<x2,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(0,1)上是增函数 (3)∵f(x)为奇函数,由(2)可知f(x)在(0,1)上是增函数, 且0<x<1时,f(x)>f(0)=0, ∴f(x)在[0,1)上单调递增,则f(x)在(-1,1)上是增函数, 而f(t-1)+f(t)<0⇒f(t-1)<-f(t)⇒f(t-1)<f(-t), 故 -1<t-1<1 -1<-t<1 t-1<-t ,解得 t0<t<12 , 所以原不等式的解集为 t0<t<12 . 选做·一飞冲天 解 在f(x1x2)=f(x1)+f(x2)+2中, 令x1=x2=1,得f(1)=-2,令x1=x2=-1,得f(-1)=-2, 令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x), 又f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),所以f(x)为偶函数, 又对∀x3,x4∈(2,+∞),都有(x3-x4)[f(x3-2)-f(x4-2)]<0, 即对∀x3,x4∈(2,+∞)都有[(x3-2)-(x4-2)][f(x3-2)- f(x4-2)]<0,所以y=f(x-2)在(2,+∞)上为减函数,所以y =f(x)在(0,+∞)上为减函数,又f(1)=-2,f(m)>-2,f(x) 为偶函数,所以|m|<1,解得-1<m<0或0<m<1, 所以m 的取值范围为(-1,0)∪(0,1). 故答案为:(-1,0)∪(0,1). 【破题技巧】 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等 式,要设法将隐性划归为显性的不等式来求解,方法是: (1)把不等式转化为f[g(x)]>f[h(x)]; (2)判断函数f(x)的单调性,再根据函数的单调性把不等式的 函数符号“f”脱掉,得到具体的不等式(组),但要注意函数奇偶 性的区别. 第九周 幂函数、函数的应用(一) 考点·一应俱全 1.BC [根据幂函数的定义,幂函数的一般形式为y=xa,y=5x 是 系数为5的正比例函数,不是幂函数,选项 A错误;y=x5 是幂函 数,选项B正确;y= x=x 1 2 是幂函数,选项C正确;y=(x+1)3 不是幂函数,选项D错误;故选BC.] 2.D [设f(x)=xa,由f(2)=2a= 2,得a=12 ,∴f(x)=x 1 2, 则f(9)=9 1 2=3.故选D.] 3.f(x)=x- 1 5 [设幂函数为f(x)=xa,将点 243,13 代入得13= 243α,解得α=-15. 所以f(x)=x- 1 5.故答案为:f(x)=x- 1 5.] 4.A [因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x2m-3在(0,+∞)上是增函 数,所以 m 2-m-1=1 2m-3>0 ,解得m=2.故选A.] 5.C [①y=x-2=1x2 的定义域为{x|x≠0},不符合.②y=x 4 5 = 5 x4的定义域为 R,符合.③y=x 1 4=4x的定义域为{x|x≥0},不 符合.④y=x 2 3= 3 x2的定义域为 R,符合.⑤y=x- 4 5= 15 x4 的定 义域为{x|x≠0},不符合.所以符合的是②④.故选C.] 6.[0,1] [由幂函数性质可知y=x 2 3 在[0,+∞]上单调递增,又易 知y=x 2 3,x∈R为偶函数,所以当-1≤x≤0时,可知y=x 2 3 在 [-1,0]上单调递减,可得0≤y≤1.故答案为:[0,1].] 7. 0,32 [因为f(x)=mxm-12 为幂函数,所以 m=1,则f(x)= x 1 2,故f(x)的定义域为[0,+∞),且在定义域上为增函数, 所以由f(3-a)>f(a),可得 3-a≥0 a≥0 3-a>a ,解得0≤a<32,故a的取 值范围为 0,32 .故答案为: 0,32 .] 8.D [对于A,函数y=x 1 2 = x的定义域为[0,+∞),显然不符合 题意,故A错误;对于B,函数y=x- 1 2=1 x 的定义域为(0,+∞), 显然不符合题意,故B错误;对于C,函数y=x3 的定义域为 R,又 y=x3 为奇函数,但是y=x3 在(0,+∞)上函数是下凸递增,故不 符合题意,故C错误;对于D,y=x 1 3=3x定义域为R,又y=x 1 3 为 奇函数,且y=x 1 3 在(0,+∞)上函数是上凸递增,故D正确.故 选D.] 9.A [设该职工用水xm3 时,缴纳的水费为y 元,由题意得y= mx,(0<x≤10) 10m+(x-10)·2m,(x>10) ,则10m+(x-10)·2m=16m, 解得x=13.答:该职工这个月实际用水为13m3.故选A.] 【技法点拨】 解应用题关键是找出变量之间的关系,列方程求 解未知量. 10.y=6000 x+16x +1500×16,x>0 [根据条件,该蓄水池的 总造价y元,池底一边的长度x米,底面另一边长为16x 米, ∴长方体的底面积为16,侧面积为3×2 x+16x ,由题意得:y= 6000 x+16x +1500×16,x>0, 故答案为:y=6000 x+16x +1500×16,x>0.] 探究·一举突破 探究路径 (1)每辆车售价5万元,年产量x(百辆)时销售收入为500x万元, 总成本为2000+C(x)= 10x2+100x+2000(0<x<50) 501x+8100x -5000+2000 (x≥50) , 所以L(x)= 500x-(10x2+100x+2000)(0<x<50) 500x- 501x+8100x -3000 (x≥50) = -10x2+400x-2000(0<x<50) -x-8100x +3000 (x≥50) . 所以年利润L(x)= -10x2+400x-2000(0<x<50) -x-8100x +3000 (x≥50) . (2)由(1)当0<x<50时,L(x)=-10(x-20)2+2000, x=20∈(0,50)(百辆)时L(x)max=2000(万元), 当x≥50时L(x)=- x+8100x +3000≤-2 x·8100x + 3000=2820,当且仅当x=8100x =90∈ [50,+∞)(百辆)时,等 号成立,因为2820万元>20000万元,所以年产量90百辆时利 润最大,最大利润为2820万元. 参考答案 (1)L(x)= -10x2+400x-2000(0<x<50) -x-8100x +3000 (x≥50) (2)年产量为90百辆时利润最大,最大利润为2820万元. 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)是幂函数,所以3m2-m+1=1,解得m=0或m=13. 当m=0时,f(x)=x-2的图象不经过原点,符合题意, 当m=13 时,f(x)=x的图象经过原点,不符合题意,所以m=0. (2)由(1)得f(x)=x-2,易得f(x)在(0,+∞)上单调递减. 当a>0时,由a2+1-a= a-12 2 +34>0 ,可得a2+1>a>0. 因为f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(a2+1)<f(a). 当a<0时,-a>0,由a2+1-(-a)= a+12 2 +34>0 ,可得 a2+1>-a>0. 因为f(-a)=(-a)-2=a-2=f(a),且f(x)在(0,+∞)上为减 函数,所以f(a2+1)<f(-a)=f(a). 综上,f(a2+1)<f(a). 2.解 (1)由 题 意,利 润 W (x)= S (x)- C (x) = 1 50x 2+220x-20x-10000,0<x<120 25488+10x-20x-10000,x≥120 , 所以W(x)=S(x)-C(x)= 1 50x 2+200x-10000,0<x<120 15488-10x,x≥120 . (2)由(1)知,当0<x<120时,W(x)=150x 2+200x-10000= 1 50 (x+5000)2-510000, W(x)在(0,120)上单调递增,所以W(x)<W(120)=14288, 当x≥120时,W(x)=15488-10x在(120,+∞)上单调递减, 所以W(x)≤W(120)=15488-10×120=14288. 综上,为使该商品的利润最大化,产量为120百件. 【破题技巧】 (1)根据利润=销售量×售价-成本,表示出利润 关于产量的关系式W(x)=S(x)-C(x)即可,注意单位的统一; (2)先求出W(x)在0<x<120上的最大值,由一次函数单调性求x ≥120上的最大值,比较大小,即可确定利润最大时的生产量. 选做·一飞冲天 解 (1)因为g(x)=(m2-m+1)xm- 1 2 是幂函数, 所以有m2-m+1=1⇒m=0,或m=1, 当m=0时,函数g(x)=x- 1 2 在区间(0,+∞)上是单调递减,不符 合题意; 当m=1时,g(x)=x 1 2 在区间(0,+∞)上是单调递增,符合题意, 所以g(x)=x 1 2,因为函数f(x)是定义域为R的奇函数,则f(0)=0, 所以当x<0时,f(x)=-f(-x)=-[g(-x)+2]=-(-x) 1 2-2, 因此f(x)的解析式为:f(x)= x 1 2+2,x>0 0,x=0 -(-x) 1 2-2,x<0 ; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 85 — —88 — (2)因为x>0时,f(x)=g(x)+2=x 1 2+2, 所以由f(x)≤4⇒x 1 2+2≤4⇒x 1 2≤2⇒x≤4,又∵x>0, 所以0<x≤4,所以不等式f(x)≤的解集为(0,4]; (3)当x>0时,f(x)=g(x)+2=x 1 2 +2,此时函数单调递增,且 f(x)>0,当x<0时,f(x)=-(-x) 1 2 -2,此时函数单调递增, 且f(x)<0,而f(0)=0, 因此奇函数f(x)是 R上的增函数,于是由 f(t2-2t)+f(2t2-k)>0⇒f(t2-2t)>-f(2t2-k)=f(k-2t2) ⇒t2-2t>k-2t2⇒k<3t2-2t=3 t-13 2 -13 恒成立, 又3t2-2t=3 t-13 2 -13≥- 1 3 ,所以k<-13 , 所以实数k的取值范围为 -∞,-13 . 【点睛】 本题的关键是利用奇函数的性质和单调性进行求解. 第十周 指数与指数函数 考点·一应俱全 1.AC [对于 A, 3(-8)3=-8,故 A正确;对于B, (-10)2= |-10|=10,故B错误;对于C, 4(3-π)4=|3-π|=π-3,故C 正确;对于D,a≥b, (a-b)2=|a-b|=a-b,a<b, (a-b)2= |a-b|=b-a,故D错误;故选AC.] 2.C [(-64) 1 3 +[(-3)4] 1 4 -(2-1)0+ 3 338 = (-43) 1 3 + (34) 1 4-1+ 32 3 1 3 =-4+3-1+32=- 1 2. 故选C.] 【破题技巧】 (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂 统一为整数的分数指数幂,以便利用法则计算,还应注意: ①必须同底数幂相乘,指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又 含有负指数. 3.D [因为函数y=(2a2-3a+2)ax 是指数函数,∴2a2-3a+2=1 且a>0,a≠1,由2a2-3a+2=1解得a=1或a=12 ,∴a=12 ,故 选D.] 4.A [对于函数f(x),令2x-1=0,可得x=12 ,则f 12 =a0+1 =2,所以,函数f(x)=a2x-1+1(a>0且a≠1)的图象恒过定点坐 标为 12,2 .故选A.] 5.A [因为a>1,所以f(x)是增函数,g(x)的图象与y轴上的交点 为(0,a)(a>1),故只有A项正确.故选A.] 【破题技巧】 对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基 本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换得到.特别 地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 6.B [因为y=3x 在R上单调递增,所以30.5>30=1,因为y=0.8x 在 R上单调递减,所以0.82<0.80=1,所以30.5>1>0.82,即a> c>b.故选B.] 【技法点拨】 利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式, 最重要的是“同底”原则,比较大小还可以借助中间量. 7.(-2,+∞) [由题意知,22x-3> 12 7 =2-7,又指数函数y=2x 在 R上单调递增,所以2x-3>-7,解得x>-2,即原不等式的 解集为(-2,+∞).故答案为:(-2,+∞).] 8.[1,+∞)/(1,+∞) [复合函数f(x)=0.7x 2-2x可以分为:外部 函数y=0.7u 与内部函数u=x2-2x,因为外部函数y=0.7u 在公 共定义域内单调递减,根据复合函数单调性“同增异减”的性质,所 以求f(x)的减区间,等价于求内部函数u=x2-2x的增区间,易 知u=x2-2x 的 增 区 间 为[1,+∞),故 f(x)的 减 区 间 为[1, +∞),由于端点不影响函数的单调性,所以f(x)的减区间也可以 为(1,+∞),故答案为:[1,+∞).] 【破题技巧】 求解与指数函数有关的复合函数问题,要明确复 合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,要借助“同 增异减”这一性质分析判断. 9.[1,2] [当-1≤x≤1时,12≤2 x≤2,函数f(x)=(2x)2-2·2x +2=(2x-1)2+1,显然当2x=1,即x=0时,f(x)min=1,当2x= 2,即x=1时,f(x)max=2,所以所求值域是[1,2].故答案为:[1,2].] 10. 0,116 [依题意,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,当且仅当x= -1时 取 等 号,而 函 数y= 14 x 在 R 上 单 调 递 减,因 此0< 14 x2+2x+3 ≤ 14 2 =116 ,所以函数y= 14 x2+2x+3 的值域是 0,116 .故答案为: 0,116 .] 探究·一举突破 探究路径 (1)因为f(x)=2a x+a-4 2ax+a (a>0,a≠1),x∈R,定义域关于原点 对称,令x=0,所以f(0)=a-22+a=0 ,故a=2, 则f(x)=2 x-1 2x+1 (x∈R),f(-x)=2 -x-1 2-x+1 =1-2 x 1+2x =-2 x-1 2x+1 =-f(x), 所以f(x)为定义在R上的奇函数,故a=2. (2)f(x)=2 x-1 2x+1 是R上的增函数. 证明:任取x1,x2∈R,且x1<x2, f(x)1-f(x2)= 2x1-1 2x1+1 -2 x2-1 2x2+1 = (2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1) (2x1+1)(2x2+1) = 2 (2x1-2x2) (2x1+1)(2x2+1) , 所以x1<x2,所以2x1+1>0,2x2+1>0,0<2x1<2x2, 所以2x1-2x2<0,(2x1+1)(2x2+1)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), 所以f(x)是R上的增函数. (3)当x∈[1,2]时,不等式t·f(x)≥2x-2 即t≥ (2x-2)(2x+1) 2x-1 ,故t≥ (2x)2-2x-2 2x-1 =(2x-1)- 2 2x-1 +1, 则令v=2x-1,由题意可知∃v∈[1,3],t≥v-2v+1 , 因为函数y=x,y=-2x 为[1,3]上的增函数, 故y=v-2v+1 在v∈[1,3]上单调递增, 故 v-2v+1 min=1-21+1=0,所以t≥0. 参考答案 (1)2 (2)增函数,证明见解析 (3)t≥0 综合·一练到底 1.解 (1)由f(x)为奇函数,可知f(-1)=-f(1), 即-(1+2a)=-(2+a),解得a=1, 当a=1时,f(x)=2 x+1 2x-1 ,f(-x)=2 -x+1 2-x-1 =1+2 x 1-2x =-f(x)对一 切非零实数恒成立,故a=1时,y=f(x)为奇函数. (2)由f(2)=a,可得4+a3 =a ,解得a=2, 所以f(x)>a⇔2 x+2 2x-1 >2⇔2 x-4 2x-1 <0⇔1<2x<4⇔0<x<2. 解得:0<x<2,所以满足f(x)>a的实数x 的取值范围是(0,2). 【技法点拨】 (1)由奇函数的性质可得f(-1)=-f(1),代入 解方程即可得出答案; (2)由f(2)=a,可得a=2,则2 x+2 2x-1 >2,由指数函数的单调性解 不等式即可得出答案. 2.解 (1)因为函数f(x)是定义在 R上的奇函数, 所以f(0)=0,即a-1b+1=0 ,所以a=1. 又因为f(-x)=-f(x),所以 a-1 2x b+1 2x =-a-2 x b+2x , 将a=1代入,整理得 2 x-1 b·2x+1 =2 x-1 b+2x , 当x≠0时,有b·2x+1=b+2x,即(b-1)·(2x-1)=0, 又因为当x≠0时,有2x-1≠0,所以b-1=0,所以b=1, 故f(x)=1-2 x 1+2x ,满足f(-x)=1-2 -x 1+2-x =2 x-1 1+2x =-f(x),符合题 意,所以a=1,b=1. (2)由(1)知:函数f(x)=1-2 x 1+2x =- (1+2x)+2 1+2x =-1+ 2 1+2x , 因为y=1+2x 为R上的单调增函数,且1+2x>0,故y= 21+2x 为 R上的单调减函数 则函数f(x)在 R上是减函数. (3)因为存在t∈[0,4],使f(k+t2)+f(4t-2t2)<0成立, 又因为函数f(x)是定义在 R上的奇函数, 所以不等式可转化为f(k+t2)<-f(4t-2t2)=f(2t2-4t), 又因为函数f(x)在 R上是减函数, 所以k+t2>2t2-4t,所以k>t2-4t, 令g(t)=t2-4t=(t-2)2-4,t∈[0,4] 由题意可得k>g(t)min,又因为g(t)min=g(2)=-4, 所以k>-4,即k的取值范围为(-4,+∞). 【技法点拨】 (1)利用函数为奇函数,结合奇函数性质,列式求 参数值,即可得答案; (2)将f(x)化为f(x)=-1+ 21+2x ,结合指数函数单调性,即 可得出结论; (3)结合函数奇偶性以及单调性,将原不等式化简为存在t∈[0, 4],k>t2-4t成立,结合二次函数的最值,即可求得答案. 选做·一飞冲天 解 (1)由指数函数单调性可知y=3x-1单调递增, 对b分类讨论如下: ①当b=0时,f(x)为常函数; ②当b>0时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞) 上单调递减 ③当b<0时,f(x)在区间(-∞,0)上单调递增,在区间(0,+∞) 上单调递增 (2)易知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), ∵f(x)是奇函数,∴f(x)+f(-x)=0, 即a+ b 3x-1 +a+ b 3-x-1 =0⇒ (2a-b)3x+(b-2a) 3x-1 =0, 所以b=2a,经验证b=2a时,满足f(-x)=-f(x), 所以a与b的关系式为b=2a. (3)由已知得f(x)=1+ 23x-1 ≥k·3-x, 整理可得:k≤3x+2 ·3x 3x-1 =3x+2 (3x-1)+2 3x-1 =3x-1+ 2 3x-1 +3 在x∈(0,+∞)恒成立,由基本不等式可得3x-1+ 2 3x-1 +3≥2 2+3,当且仅当(3x-1)2=2时,即x=log3(2+1)时,等号成立, 所以k≤2 2+3. 第十一周 对数与对数函数 考点·一应俱全 1.C [由式子log(3x-1)(2-x)有意义,则满足 3x-1>0 3x-1≠1 2-x>0 ,解得13< x<2且x≠23. 故选C.] 2.-3 [因为41-log42-lg249-lg245+ (-64) 1 3=4×4log4 1 2-lg2+ lg49-(lg5+lg49)-4=4×12- (lg2+lg5)-4=-3,故答案 为:-3.] 【破题技巧】 解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. 3.B [由2a=3,3b=5,5c=4,可得a=log23,b=log35,c=log54,所 以abc=log23×log35×log54= lg3 lg2× lg5 lg3× lg4 lg5=2 ,则log4abc= log42= 1 2. 故选B.] 【破题技巧】 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对 数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用. 4.C [根据对数函数的定义,只有符合y=logax(a>0且a≠1)形式 的函数才是对数函数,其中x是自变量,a是常数,易知,①是指数 函数;②中的自变量在对数的底数的位置,不是对数函数;③中y =-log3x=log13x,是对数函数;④中y=log0.2 x=log0.04x,是对 数函数;⑤⑥中函数显然不是对数函数,由此可知只有③④是对数 函数.故选C.] 5.D [∵ 函 数 f(x)=lg (10-x2) x ,∴ 10-x 2>0 x≠0 ,解 得 x∈ (- 10,0)∪(0, 10).故选D.] 【破题技巧】 根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得 到不等式组,解出即可. 6.B [由指数函数的图像性质可知,①②③④为指数函数图像,且③ ④为单调递增的指数函数,取x=1可知,③④分别对应y=6x,y =2x,又①④图像关于轴对称,则①对应y= 12 x ,即②不属于; 由对数函数的图像性质可知,⑤⑥⑦⑧为对数函数图像,其中⑦⑧ 为单调递减的对数函数,由“底大图低”可知⑧对应y=log1 2 x,⑦ 对应y=log1 3 x,且⑤⑧图像关于轴对称,则⑤对应y=log2x,即⑥ 不属于;故选B.] 【破题技巧】 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象 上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要 求的选项. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问 题,利用数形结合法求解. 7.(-∞,ln2] [由-x2+2x+1>0,得1- 2<x<1+ 2,令t= -x2+2x+1,则y=lnt,因为t=-x2+2x+1=-(x-1)2+2,1 - 2<x<1+ 2,所以0<t≤2,因为函数y=lnt在(0,2]上单调 递增,所以y=lnt≤ln2,所以函数f(x)=ln(-x2+2x+1)的值 域为(-∞,ln2].故答案为:(-∞,ln2]. 【技法点拨】 先求出函数的定义域,再换元令t=-x2+2x+ 1,则y=lnt,求出t的范围,再利用对数函数的性质可求出函数 的值域. 8.C [令-x2-2x+3>0得-3<x<1,故y=ln(-x2-2x+3)的 定义域为(-3,1),y=lnt在t∈(0,+∞)上单调递增,由复合函 数单调性满足同增异减可得,只需求出t=-x2-2x+3在(-3, 1)上的单调递减区间,t=-x2-2x+3=-(x+1)2+4在(-1,1) 上单调递减,故数y=ln(-x2-2x+3)的单调递减区间为(-1, 1).故选C.] 9.(-∞,1) [由x2-5x+4>0,得x<1或x>4.∴函数f(x)= log1 2 (x2-5x+4)的定义域为{x|x<1或x>4}.令t=x2-5x+ 4,该函数在(-∞,1)上为减函数,而函数y=log1 2 t为定义域内的 减函数,则 函 数 f(x)=log1 2 (x2-5x+4)的 单 调 递 增 区 间 是 (-∞,1).故答案为:(-∞,1).] 【破题技巧】 求与对数函数有关的复合函数的单调性问题,必 须弄清三个问题:一是定义域;二是底数与1的大小关系;三是 复合函数的构成. 10.A [因为a=20.3>20=1,0=log21<b=log21.5<log22=1,c= log0.23<log0.21=0,所以c<b<a,故选A.] 【技法点拨】 根据指数函数、对数函数的单调性,借助0,1比较 大小即可. 探究·一举突破 探究路径 (1)由已知函数需满足2x+a≠0,当a≥0时,函数的定义域为R, 函数f(x)=2 x+1 2x+a 为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即2 -x+1 2-x+a = -2 x+1 2x+a 在R上恒成立,即(a+1)(2x+1)=0,a=-1(舍), 当a<0时,x≠log2(-a),函数的定义域为(-∞,log2(-a))∪ (log2(-a),+∞),又函数f(x)= 2x+1 2x+a 为奇函数,所以log2(-a) =0,a=-1,此时f(x)=2 x+1 2x-1 ,函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f(-x)=2 -x+1 2-x-1 = 2 x+1 -2x+1 =-f(x),函数为奇函数,满足, 综上所述:a=-1; (2)f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减,证明如下: f(x)=2 x+1 2x-1 =1+ 2 2x-1 ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 设∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)= 1+ 22x1-1 - 1+ 22x2-1 = 2(2 x2-2x1) (2x1-1)(2x2-1) 因为x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,所以2x1-1>0,2x2-1>0,2x2 -2x1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递减, 同理可证,所以f(x)在(-∞,0)上单调递减; 所以f(x)在(0,+∞),(-∞,0)上单调递减. (3)函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减, 且当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f(x)>0, x1∈(0,1]时,f(x)≥f(1)=3,所以当x∈(0,1]时f(x)的值域A =[3,+∞), 又g(x)=log2 x 2 ·log2 x 4+m= (log2x-1)(log2x-2)+m,x∈ [2,8], 设t=log2x,t∈[1,3],则y=(t-1)(t-2)+m=t2-3t+2+m, 当t=32 时,取最小值为-14+m ,当x=3时,取最大值为2+m, 即g(x)在x∈[2,8]上的值域B= -14+m,2+m , 又对任意的x1∈[2,8],总存在x2∈(0,1],使得g(x1)=f(x2)成 立,即B⊆A,所以-14+m≥3 ,解得m≥134 ,即m∈ 134,+∞ . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 87 —