第7周 函数的单调性-【周测必刷】2025-2026学年高一数学必修第一册（人教A版2019）

—84 — (2)由f(x)<0的解集为 14,1 ,可知a>0,且14,1是方程ax2 -(a+1)x+1=0的解,则 a+1 a =1+ 1 4 1 a= 1 4 ,解得a=4,所以实数a 的值为4. (3)由题意可得:f(x)=(ax-1)(x-1)<0, 因为a>0,令f(x)=0,解得x=1a 或1,则有: 当0<a<1时,解集为 x 1<x<1a ; 当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为 x 1a<x<1 参考答案 (1)x x≠1 (2)4 (3)答案见解析 综合·一练到底 1.解 (1)因为f(x)= x2,x≤0 1-x x ,0<x<1 x-3 -2,x≥1 ,所以f(x)的图象如图 所示: (2 ) 由 题 可 得 x≤0x2≥2 或 0<x<1 1-x x ≥2 或 x≥1x-3 -2≥2 , 解得x≤- 2或0<x≤13 或x≥7, 所以实数x的取值范围为(-∞,- 2] ∪ 0,13 ∪[7,+∞). 2.解 (1)因为2>-1,且f(x)= x-4 x ,x≤-1 1-x 1+x ,x>-1 ,所以f(2)=1-21+2 =-13. 因为g(x)=x2-1,所以g(2)=22-1=3. (2)依题意,令g(a)=t, 若t≤-1,则f(g(a))=f(t)=t-4t =- 7 9 ,解得t=94>-1 , 与t≤-1矛盾,舍去; 若t>-1,则f(g(a))=f(t)=1-t1+t=- 7 9 ,解得t=8>-1, 故g(a)=a2-1=8,解得a=±3,所以实数a的值为±3; 综上所述:a的值为±3. 选做·一飞冲天 解 (1)由题意可知3-2x=x,得x=1,故函数y=3-2x的稳定 点为(1,1) (2)设点(x0,x0)是稳定点,则有x0= 3x0+18 2x0+a 即2x20+(a-3)x0- 18=0,由题意知方程有两个根,且这两个根互为相反数.故a-3 =0,且-18<0,解得a=3. 得x20=9,x0=±3则稳定点为A(-3,-3),B(3,3) (3)对任意实数b,函数恒有两个相异的稳定点, 即ax2+(b+1)x+(b-4)=x恒有两个不相等实数根, 即ax2+bx+(b-4)=0有两不等实数根, ∴Δ1=b2-4a(b-4)>0恒成立, 令u=b2-4ab+16a>0,视作关于b的不等式恒成立, 所以Δ2=16a2-4×16a<0,解得0<a<4. 第七周 函数的单调性 考点·一应俱全 1.A [f(x)=|x-2|x= x 2-2x,x≥2 -x2+2x,x<2 ,画 出f(x)的 图 象 如 下:f(x)的 单 调 减 区 间 为 [1,2],故选A.] 2. -∞,- 32 , - 32,+ ∞ [f(x)= 4x-3 2x+3= 4x+6-9 2x+3 =2- 9 2x+3 ,由2x+3≠0, 得x≠-32 ,当x∈ -∞,-32 时,y= 92x+3单调递减,f(x)单 调递增;当x∈ -32,+∞ 时,y= 92x+3单调递减,f(x)单调递 增,所以f(x)的单调增区间为 -∞,-32 , -32,+∞ .故答案 为: -∞,-32 , -32,+∞ .] 3. 14,32 [令-2x2+x+3≥0,解得x∈ -1,32 ,设y=t= t 1 2,t=-2x2+x+3,外函数y=t 1 2 为增函数,则复合函数的减区 间即为内函数的减区间,t=-2x2+x+3,对称轴为x=14 ,其开 口向下,故其减区间为 14,32 .故答案为: 14,32 .] 【破题技巧】 首先求出函数的定义域为 -1,32 ,利用复合 函数单调性,同增异减的原则,先确定外函数的单调性,再确定 内函数的单调性即可得到答案. 4.D [由函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上为单调递增函 数,当a=0时,f(x)=2x-3在(-∞,4)上为单调递增函数,符合 题意;当a≠0时,则满足 a<0 -1a≥4 ,解得-14≤a<0,综上可得, 实数的取值范围为 -14,0 .故选D.] 5.D [因为函数f(x)= -x2-ax-5,x≤1 a x ,x>1 是 R上的增函数,所以 a<0 -a2≥1 -1-a-5≤a ,解得-3≤a≤-2,即的取值范围是[-3,-2]. 故选D.] 【破题技巧】 根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不 大于右侧的函数值得到不等式组,解得即可. 6.A [∵ 函 数 f(x)是 定 义 在 (0,+ ∞)上 的 增 函 数,∴ 有 x>0 8x-16>0 x>8x-16 ,解得2<x<167,∴不等式f(x)>f(8x-16)的解集 为 2,167 ,故选A.] 7. 23,1 [因为函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(2a-1)<f(1-a),所以 -1<2a-1<1 -1<1-a<1 2a-1>1-a ,解得a∈ 23,1 ,故 答案为: 23,1 .] 【易错警示】 (1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区 间内,然后利用函数的单调性解决. (2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大 小关系,应注意函数的定义域. (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参 数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降,再结 合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值. 8.BC [∵y=x2-3x-4= x-32 2 -254 ,作 出函数y=x2-3x-4在区间[0,m]上的图象 如图 所 示.由 图 象 可 知,当 x= 32 时,ymin= -254. 令y=x2-3x-4=-4得出x=0或x =3.当0<m<32 时,函数y=x2-3x-4在区 间[0,m]上单调递减,此时ymin=m2-3m-4> -254 ,不符合题意;当3 2≤m≤3 时,且当x∈ [0,m]时,由图象可知ymin=- 25 4 ,ymax=-4,符合题意;当 m>3 时,且当x∈[0,m]时,由图象可知ymin=- 25 4 ,ymax=m2-3m-4 >-4,不符合题意.综上所述,实数 m 的取值范围是 32,3 .故 选BC.] 9.AD [函数f(x)=x2-2x+1的对称轴为x=1,开口向上.当a≥ 1时,函数f(x)在区间[a,a+8]上单调递增,所以f(x)min=f(a) =a2-2a+1=9,解得a=-2或a=4,因为a≥1,所以a=4;当a +8≤1,即a≤-7时,函数f(x)在区间[a,a+8]上单调递减,所 以f(x)min=f(a+8)=a2+14a+49=9,解得a=-10或a=-4, 因为a≤-7,所以a=-10;当-7<a<1时,f(x)在[a,1]上递 减,在(1,a+8]上递增,所以f(x)min=f(1)=0,不合题意;综上: 实数a可能的取值4或-10.故选AD.] 10.D [f(x)=(x+2a)2+2-4a2, 当-2a≤-1,即a≥12 时,f(x)min=f(-1)=1-4a+2=1,则a =12 ;当 -1<-2a<3,即 - 32 <a< 1 2 时,f(x)min(x)= f(-2a)=4a2-8a2+2=1,则a=-12 ;当-2a≥3,即a≤-32 时,f(x)min(x)=f(3)=9+12a+2=1,无解.所以a=± 1 2. 故 ABC错误;故D正确.故选D.] 【破题技巧】 把f(x)配方后找到对称轴与给定区间的关系,结 合其单调性求出相应最小值并结合题意判断即可. 探究·一举突破 探究路径 (1)函数f(x)= -x 2+1,|x|<1 |x|-1,|x|≥1 ,当-1<x<1时,f(x)=-x2 +1的图象是开口向下的抛物线在(-1,1)的一段, 当x≤-1或x≥1时,f(x)= -x-1 ,x≤-1 x-1,x≥1 的图象是射线y= -x-1,x≤-1和射线y=x-1,x≥1组成, 函数f(x)的图象,如图, (2)f f -32 =f 32-1 =f 12 =- 12 2 +1=34. (3)当-1<x<1时,f(x)=-x2+1在[0,1)上单调递减, 当x≤-1或x≥1时,f(x)= -x-1 ,x≤-1 x-1,x≥1 在(-∞,-1]上单 调递减,所以函数f(x)的单调递减区间是(-∞,-1],[0,1). 参考答案 (1)作图见解析 (2)34 (3)(-∞,-1],[0,1). 综合·一练到底 1.解 (1)当a=1时,f(x)=x2-x+3, 联立方程 y=x 2-x+3 y=3x ,解得:x=1y=3 或 x=3y=9 , 即交点坐标为(1,3)和(3,9). (2)函数f(x)=x2-ax+3在 a2,+∞ 上单调递增,在 -∞, a 2 上单调递减;又函数f(x)在(-∞,0)上不具有单调性, 所以a 2<0 ,即a<0. (3)函数f(x)=x2-ax+3在 a2,+∞ 上单调递增,在 -∞, a 2 上单调递减; 当a 2≤-2 时,f(x)=x2-ax+3在x∈[-2,2]上 单 调 递 增, f(x)的最小值f(-2)=4+2a+3=7+2a. 当a 2≥2 时,f(x)=x2-ax+3在x∈[-2,2]上单调递减,f(x) 的最小值f(2)=4-2a+3=7-2a. 当-2<a2<2 时,f(x)=x2-ax+3在 a2,2 上单调递增,在 -2,a2 上单调递减,f(x)的最小值f a2 =a 2 4- a 2×a+3= 3-a 2 4. 当a≤-4,f(x)的最小值f(-2)=7+2a. 当a≥4,f(x)的最小值f(2)=7-2a. 当-4<a<4,f(x)的最小值f a2 =3-a 2 4. 2.解 (1)f(x)=-x2+ax-a=- x-a2 +a 2 4-a , 因为f(x)的最大值为0,所以a 2 4-a=0 ,所以a=0或a=4. (2)函数f(x)=-x2+ax-a的对称轴为x=a2 ,当a 2≤0 ,即a≤ 0时,f(x)在[0,2]上是减函数,所以 M(a)=f(0)=-a; 当0<a2<2 ,即0<a<4时,当x∈ a2,2 时,f(x)是减函数,当 x∈ 0,a2 时,f(x)是增函数,所以 M(a)=f a2 =a 2 4-a ; 当a 2≥2 ,即a≥4时,f(x)在[0,2]上是增函数,所以 M(a)=f(2) =a-4,所以 M(a)= -a,a≤0 a2 4-a ,a∈(0,4) a-4,a≥4 . (3)由题意g(x)=-f (x) x =x+ a x -a ,令x=ax 可得x= a,简图 如下,当0< a≤1时,即0<a≤1时, g(x)在x∈[1,2]是增函数, 所以g(1)=1+a-a=1,成立. 当1< a<2时,即1<a<4时, g(x)在[1,a]上是减函数,在[a,2]上 是增函数,所以g(a)= a+ a-a=1, 解得a=1,不成立; 当 a≥2时,即a≥4时,g(x)在[1,2]上 是减函数,所以g(2)=2+12a-a=1 ,解 得a=2,不成立;综上所述,0<a≤1. 选做·一飞冲天 解 f(x)=-4x-8- 9x-2=-4 (x-2)- 9x-2-16 ,x∈[0,1], ∵x∈[0,1],∴x-2∈[-2,-1],设t=x-2,则t∈[-2,-1], 则函数f(x)等价为y=-4t-9t-16 , 由对勾函数的单调性可得, t∈ -2,-32 时,y=-4t-9t-16单调递减, t∈ -32,-1 时,y=-4t-9t-16单调递增, 当t=-32 时,函数取得最小值,ymin=-4× -32 - 9-32 -16 =6+6-16=-4,当t=-2时,y=8- 9-2-16=- 7 2 ,当t=-1 时,y=4+9-16=-3, 设函数f(x)的值域为 M,则函数f(x)的值域 M=[-4,-3]; 由g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),∴g(x)在[0,1]上是减函数, 则最大值为g(0)=-2m,最小值g(1)=1-4m-2m=1-6m,(m≥1), 设g(x)的值域为 N,则 N=[1-6m,-2m], 若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成 立,则等价为 M⊆N,即 -2m≥-3 1-6m≤-4 m≥1 ,解得1≤m≤32, 所以实数的取值范围是 1,32 . 【破题技巧】 根据对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使 得f(x1)=g(x2)成立,得出g(x)的值域包含f(x)的值域,是 解决本题的关键. 第八周 函数的奇偶性 考点·一应俱全 1.C [对 于 A,因 为f(x)=x2+1的 定 义 域 为 R,且f(-x)= (-x)2+1=x2+1=f(x),所以f(x)=x2+1为偶函数;对于B, 因为f(x)=x3-1的定义域为 R,且f(-x)=(-x)3+1=-x3 +1≠-f(x),所以f(x)=x3-1不是奇函数;对于C,因为f(x) =x3+1x 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=(-x)3+ 1 -x=-x 3-1x=- x3+1x =-f(x),所以f(x)=x3+1x 为 奇函数;对于D,因为f(x)=x4+2x2 的定义域为 R,且f(-x)= (-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),所以f(x)=x4+2x2 为偶函 数;故选C.] 【破题技巧】 判断函数的奇偶性,其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,否则即为非奇非偶函数. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运 算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)+f(-x) =0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 83 — — 26 — 第七周 函数的单调性 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第9题.该题主要考查根据函数在动区间上的最值(值域)求参数问题,题目设置紧 扣概念,考查学生的灵活性,对学生的理解应用能力要求较高,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共50分) 考点一 求函数单调区间 1.(2025·福建泉州·阶段练习)函数f(x)=|x-2|x的单调减区间是 ( ) A.[1,2] B.[-1,0] C.[0,2] D.[2,+∞) 2.(2025·河南新乡·阶段练习)函数f(x)=4x-32x+3 的单调递增区间为 . 考点二 复合函数单调区间 3.(2025·安徽六安·质量检测)函数f(x)= -2x2+x+3的单调递减区间为 . 考点三 根据函数的单调性求参数 4.(2025·浙江杭州·质量检测)如果函数f(x)=ax2+2x-3在区间上(-∞,4)是单调递增的,则 实数a的取值范围 ( ) A.a>-14 B.a≥- 1 4 C.- 1 4<a<0 D.- 1 4≤a≤0 5.(2025·北京·质量检测)已知函数f(x)= -x2-ax-5,x≤1 a x ,x>1 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 是R上的增函数,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,0) C.(-3,-2] D.[-3,-2] 考点四 根据函数的单调性解不等式 6.(2025·江苏南京·阶段练习)函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,则不等式f(x)>f(8x -16)的解集为 ( ) A. 2,167 B. -∞,167 C. 167,+∞ D.(2,+∞) 7.(2025·浙江杭州·质量检测)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(2a-1)< f(1-a),则实数a的取值范围是 . 考点五 根据单调性(图象)求最值或值域 8.(多选)(2025·全国·专题练习)若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为 -254,-4 , 则实数m 的取值范围可以是 ( ) A.[0,4] B. 32,2 C. 85,2 D.[1,2] 考点六 根据函数的最值(值域)求参数 9.(多选)(2025·广西南宁·阶段练习)已知函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+8]上的最小值为 9,则a可能的取值为 ( ) A.4 B.-2 C.4 D.-10 考点七 二次函数最值问题(含参) 10.(2025·全国)已知函数f(x)=x2+4ax+2在区间[-1,3]上的最小值是1,则a= ( ) A.12 或-1112 B. 1 2 C.- 1 2 D. 1 2 或-12 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 数形结合在分段函数中的应用 已知函数f(x)= -x2+1,|x|<1 |x|-1,|x|≥1 . 探究问题: (1)画出函数f(x)的图象; (2)求f f -32 的值; (3)写出函数f(x)的单调递减区间. — 25 — — 28 — 【综合·一练到底】(35分) 1.(2025·北京西城·质量检测)设f(x)=x2-ax+3,其中a∈R. (1)当a=1时,求函数f(x)的图象与直线y=3x交点的坐标; (2)若函数f(x)在(-∞,0)上不具有单调性,求a的取值范围: (3)当x∈[-2,2]时,求函数f(x)的最小值. 2.(2025·上海·质量检测)已知函数f(x)=-x2+ax-a. (1)若f(x)的最大值为0,求实数a的值; (2)设f(x)在区间[0,2]上的最大值为 M(a),求 M(a)的表达式; (3)令g(x)=-f (x) x ,若g(x)在区间[1,2]上的最小值为1,求正实数a的取值范围. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·山东德州·阶段练习)已知函数f(x)=-4x-8- 9x-2 ,x∈[0,1],g(x)=x2-4mx- 2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m 的取 值范围. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 27 —